Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor)

Transkript

1 Statistik för biotekik SF9 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller Ht 206 Numeriska sammafattigar (statistikor) För ett datamaterial x, x 2,..., x beräkas Stickprovsmedelvärde x = i= x i = Stickprovsvarias s 2 = i= (x i x) 2 = ( i= x2 i x 2 ) Om a och b kostater och y i = a x i + b, i =,..., så är y = a x + b s 2 y = a 2 s 2 x För grupperade data där värdea {a 0, a, a 2,...} har relativ frekves {p 0, p, p 2,...} beräkas µ = i a i p i σ 2 = i (a i µ) 2 p i. Tjebychovs olikhet I ett datamaterial x,..., x är åtmistoe /k 2 av observatioer iom k stadardavvikelser frå medelvärdet. 2 Grudläggade saolikhetsteori 2. De Morgas lagar 2.2 Kombiatorik (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Atalet sätt som ma ka välja k elemet av distikta Med återläggig återläggig Uta Med Ordigshäsy k! ( ( k)! Uta Ordigshäsy + k ) ( ) k k =! 2.3 Räkeregler för saolikheter ( k)!k! P (A c ) = P A P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

2 2 Betigade saolikheter P (A B) P (A B) = (defiitio) P (B) P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B) P (B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) (lage om total saolikhet) Om A och B är oberoede så är P (A B) = P (A)P (B) (defiitio) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) 3 Saolikhetsfördeligar 3. Discrete Distributios Beroulli Distributio Let X Ber (p). X has two values, usually umerically coded as 0 ad. The p.m.f. is p x = p X (x) = () q = p x = 0. E [X] = p, Var [X] = p( p). Discrete Uiform Distributio X U (, 2,..., ), where >. The p.m.f. is x =, 2,..., p X (x) = 0 else. (2) E [X] = +, Var [X] = Geometric Distributio 0 < p <, q = p. The p.m.f. of X Ge(p) is p X (x) = q x p, x = 0,, 2,... E [X] = q p, Var [X] = q p 2. First Success Distributio X Geom(p), 0 < p <, q = p. The p.m.f. is p X (x) = q x p, x =, 2,.... E [X] = p, Var [X] = q p 2.

3 3 Biomial Distributio X Bi (, p), 0 p, q = p, ad the p.m.f. is ( ) p X (x) = p x q x, x = 0,,...,. x E [X] = p, Var [X] = qp. Hypergeometric Distributio X HG(m, k, ), the hypergeometric distributio with parameters (m, k, ) ad x {o,..., mi(, k)} ( k m k ) p X (x) = x)( x ( m ) E[X] = k m Varias Var[X] = k m k m m m m Poisso Distributio X Poi(λ), λ > 0, the its p.m.f. is p X (x) = e λ λx, x = 0,, 2,... (3) x! E [X] = λ, Var [X] = λ. Negative Biomial Distributio X is said to follow the Negative Biomial distributio, X N B(, p), 0 < p <, q = p, if its p.m.f. is ( ) + x p X (x) = p q x, x = 0,, 2,... (4) x Obs! Ge(p) = N B(, p). E [X] = q p, Var [X] = q p Cotiuous Distributios Uiform Distributio X U(a, b), a < b is a radom variable with the p.d.f. a x b, b a f X (x) = 0 elsewhere. (5) E [X] = a + b 2 (b a)2, Var [X] =. 2 Normal Distributio a.k.a. Gaussia Distributio X N (µ, σ 2 ), µ is a real umber, σ > 0 meas that the p.d.f. of X is f X (x) = σ /2σ2 e (x µ)2, < x < +. (6) 2π We say that X has a ormal distributio or a Gaussia distributio with the parameters µ ad σ 2, where E [X] = µ, Var [X] = σ 2.

4 4 Stadard Normal Distributio or Stadard Gaussia Distributio The special case X N (0, ) of (6) is the stadard ormal distributio or the stadard Gaussia distributio. φ(x) def = e x2 /2, < x < +. (7) 2π The correspodig distributio fuctio is desigated by Φ(x), i.e., Φ(x) def = x φ(t)dt, < x < +. (8) It follows readily that Φ( x) = Φ(x), (9) Φ (0) = 2. (0) Expoetial Distributio X E (λ), λ > 0, ad the p.d.f. is λe λx 0 x f X (x) = 0 x < 0. () E [X] = λ, Var [X] = λ 2. Double expoetial Distributio X DE (a), a > 0. f X (x) = 2a e x /a, < x < +. (2) E [X] = 0, Var [X] = 2a 2. χ 2 (f)- Distributio with f Degrees of Freedom The p.d.f. for f =, 2,... x f 2 e x/2 if x > 0 f X (x) = Γ(f/2)2 f/2 0 if x 0, the X is said to be χ 2 (f)- distributed with f degrees of freedom. X χ 2 (f). Note that χ 2 (f) = Γ (f/2, 2). E [X] = f, Var [X] = 2f 2. Studet s t-distributio If the radom variable X has the p.d.f. for =, 2,... f X (x) = Γ ( ) + 2 ( πγ ) ( ) 2 + x 2 (+)/2, < x <, the X is said to be t()- distributed with degrees of freedom. We write X t(). E [X] = 0, Var [X] = + 2.

5 5 Beta Distributio The Beta fuctio B (x, y) is defied for real r > 0 ad s > 0 as B (r, s) = 0 Γ(r + s) Γ(r)Γ(s) x r ( x) s dx = Γ(r)Γ(s) Γ(r + s). (3) 0 x r ( x) s dx =. (4) f X (x) = { Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) xr ( x) s 0 x 0 elsewhere, (5) is a p.d.f. to be called the Beta desity. We write X Be (r, s), if X is a radom variable that has a Beta desity. This p.d.f. plays a importat role i Bayesia statistics. E [X] = r rs, Var [X] = r + s (r + s) 2 (r + s + ). Pareto Distributio A cotiuous radom variable X has the p.d.f. f X (x) = { αk α x α+ x > k, 0 x k, (6) where k > 0, α > 0, which is called a Pareto desity with parameters k ad α. X Pa(k, α). E [X] = 4 Normalfördelig αk α, Var [X] = αk 2 (α 2)(α ) 2, α > 2. Om X är N (µ, σ 2 ) är X µ N (0, ). σ Om X är N (µ, σ 2 ) så är Y = ax + b N aµ + b, a 2 σ 2 ) Om X är N (µ x, σ 2 x) och Y är N (µ y, σ 2 y) så är X + Y N (µ x + µ y, σ 2 x + σ 2 y) om X och Y är oberoede. Om X är N (µ x, σ 2 x) och Y är N (µ y, σ 2 y) så är X Y N (µ x µ y, σ 2 x + σ 2 y) om X och Y är oberoede. Om X, X 2,..., X är oberoede, alla ormalfördelade N (µ, σ 2 ) och X = X + X X, så är X N (µ, σ 2 /).

6 6 5 Approximatioer HG(N,, p) N N p( p) 0 {}}{ N (p, pq) /N 0. {}}{ Bi(, p) pq 0 {}}{ N (p, pq) p 0. {}}{ Poi( p }{{} =µ µ 5 {}}{ ) N (µ, µ) 6 Statistiska skattigar 6. Maximum likelihood metode Låt x i vara oberoede observatioer på X i, i =, 2,...,, där fördelige för X i beror på e okäd parameter θ. Det värde θ mle som maximerar likeihoodfuktioe L(θ) (diskreta data) L(θ) = p X (x ; θ) p X (x ; θ) (kotiuerliga data) L(θ) = f X (x ; θ) f X (x ; θ) kallas maximum likelihood skattige (ML skattige) av θ. 6.2 Mometmetod Mometmetode är e metod för estimerig av θ. Vi behöver e ekvatio som relaterar ett populatiosmomet (t.ex., vätevärde) till θ, som vi vill skatta, t.ex E[X] = g(θ) Med observatioera tar ett stickprovsmomet de okäda populatiosmometets plats och ekvatioe löses m.a.p. θ, x = g(θ) θ mm = g ( x). vilket ger mometskattige θ mm. 7 Valiga kofidesitervall och test 7. Normalfördelad populatio. Okäd µ, käd σ Kofidesitervall σ σ x z α/2 µ x + z α/2

7 7 Test av µ = µ 0 utyttjar z = x µ 0 σ/. Alterativhypotes Förkastelseområde µ < µ 0 z z α µ > µ 0 z z α µ µ 0 z z α/2 eller z z α/2 7.2 Normalfördelad populatio. Okäd µ, okäd σ Kofidesitervall s s x t α/2 µ x + t α/2 med t-kvatiler ur t( )-fördelige. Test av µ = µ 0 utyttjar t = x µ 0 s/. Kofidesitervall för σ Alterativhypotes Förkastelseområde µ < µ 0 t t α µ > µ 0 t t α µ µ 0 t t α/2 eller t t α/2 ( )s 2 χ 2 α/2 σ ( )s 2 χ 2 α/2 med χ 2 -kvatiler ur χ 2 ( )-fördelige. Test av σ = σ 0 utyttjar χ 2 = ( )s2 σ 2 0 Alterativhypotes Förkastelseområde σ < σ 0 χ 2 χ 2 α σ > σ 0 χ 2 χ 2 α σ σ 0 χ 2 χ 2 α/2 eller χ2 χ 2 α/2 För stora fis ett approximativt kofidesitervall s + z σ α/2 2 s z α/2 2 och tillhörade stadardormalfördelade teststorhet z = s σ 0 σ 0 / Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, käda σ, σ 2 Kofidesitervall för skillader µ µ 2 σ 2 (x x 2 ) z α/2 + σ2 2 Test av µ µ 2 = δ utyttjar 2 µ µ 2 (x x 2 ) + z α/2 σ 2 + σ2 2 2 z = x x 2 δ. σ 2 + σ2 2 2 Alterativhypotes Förkastelseområde µ µ 2 < δ z z α µ µ 2 > δ z z α µ µ 2 δ z z α/2 eller z z α/2

8 8 7.4 Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, okäd σ = σ = σ 2 Kofidesitervall för skillader µ µ 2 (x x 2 ) t α/2 s p + 2 µ µ 2 (x x 2 ) + t α/2 s p + 2 med t-kvatiler ur t( + 2 2)-fördelige. Test av µ µ 2 = δ utyttjar t = x x 2 δ, s 2 s p + p = 2 ( )s 2 + ( 2 )s Alterativhypotes Förkastelseområde µ µ 2 < δ t t α µ µ 2 > δ t t α µ µ 2 δ t t α/2 eller t t α/2 7.5 Två stickprov x, x 2,..., x frå N (µ, σ 2 ) respektive y, y 2,..., y 2 frå N (µ 2, σ 2 2), kofidesitervall för µ µ 2, kofidesgrad α. x ȳ ± z α σ 2 / + σ 2 2/ 2, om σ, σ 2 käda x ȳ ± t (α, + 2 2)s / + / 2 om σ, σ 2 okäda me lika och där s 2 och s 2 2 är stickprovsvariasera i de två stick- där s 2 = ( )s 2 + ( 2 )s prove. 7.6 Stickprov i par Atag att ma vill jämföra två metoder på ett atal prov som har helt olika värde. På varje prov görs e aalys med var och e av metodera. Vi atar att skillade mella de två metoderas resultat har samma förvätade värde, oavsett prov. Data: Prov Metod x x 2 x 3... x Metod 2 y y 2 y 3... y Skillad z z 2 z 3... z Här är alltså z i = x i y i, i =, 2,...,. Atag att de kostata förvätade skillade är. Det är då ite så svårt att visa att z-observatioera är ormalfördelade med förvätat värde, och att testa om metodera är likvärdiga, d.v.s. om = 0, ka vi göra utgåede frå z-data. Vi har återfört problemet till fallet ett stickprov. Hypotese = 0 förkastas om 0 ite tillhör itervallet z ± t α, s/ eller om t > t α, där t = z s. z/

9 9 7.7 Normalfördelade populatioer. Okäda µ, µ 2, okäda σ, σ 2 Test av σ = σ 2 utyttjar Alterativhypotes Teststorhet, F Förkastelseområde σ < σ 2 s 2 2/s 2 F F α ( 2, ) σ > σ 2 s 2 /s 2 2 F F α (, 2 ) σ σ 2 max( s2 2, s2 s 2 ) F F s 2 α/ Adelar i oädliga populatioer Approximativt kofidesitervall för p utyttjar ˆp = x/ och Test av p = p 0 utyttjar z = ˆp p 0 ˆp z α/2 ˆp( ˆp) p 0 ( p 0 ). p ˆp + z α/2 ˆp( ˆp) Alterativhypotes Förkastelseområde p < p 0 z z α p > p 0 z z α p p 0 z z α/2 eller z z α/2 Approximativt kofidesitervall för skillad p p 2 utyttjar ˆp ( ˆp ) ˆp ˆp 2 z α/2 + ˆp 2( ˆp 2 ) p p 2 ˆp ˆp 2 + z α/2 2 Test av p = p 2 utyttjar ˆp ( ˆp ) + ˆp 2( ˆp 2 ) 2 z = ˆp ˆp 2 ( ), ˆp = ˆp( ˆp) + 2 x + x Alterativhypotes Förkastelseområde p < p 2 z z α p > p 2 z z α p p 2 z z α/2 eller z z α/2 8 Kotigestabeller, Homogeitetstest, χ 2 -test av fördelig Med observatioer x ij på tabellform Radsumma x x 2 x r x 2 x 22 x 2r 2. x s x s2 x sr s Kolumsumma m m 2 m r N 8. Homogeitetstest... χ 2 = i,j (x ij im j N )2 i m j N E hypotes om samma kolumfördelig över s kategorier i r mätserier förkastas om χ 2 > χ 2 α med χ 2 α frå χ 2 ((r )(s ))-fördelig.

10 0 8.2 Kotigestabell E hypotes om oberoede mella rader och koloer förkastas om χ 2 > χ 2 α med χ 2 α frå χ 2 ((r )(s ))-fördelig. 8.3 χ 2 -test av fördelig E hypotes om fördelige p, p 2,..., p s över s kategorier i r mätserier förkastas om χ 2 > χ 2 α där (x ij m j p i ) 2 χ 2 = i,j m j p i och χ 2 α hämtas ur frå χ 2 ((s )r)-fördelig. 9 Korrelatio Datamaterial (x, y ),..., (x, y ). Korrelatioskoefficiet för stickprov beteckas r och för populatioer med ρ. Båda beräkas eligt r xy def = s xy sxx s yy där s xx = (x i x) 2 s yy = (y i y) 2 s xy = i= i= Ett approximativt test av ρ = ρ 0 utyttjar (x i x)(y i y). i= z = ( ) 3 ( + r)( ρ0 ) l. 2 ( r)( + ρ 0 ) Alterativhypotes Förkastelseområde ρ < ρ 0 z z α ρ > ρ 0 z z α ρ ρ 0 z z α/2 eller z z α/2 0 Regressio Modell: Y = α + βx + ε, ε N (0, σ 2 ). Datapukter (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Skattigar: β = i= (x i x)y i i= (x i x) 2, α = ȳ β x σ 2 = s 2 = i= (y i ŷ) 2 2 = i= (y i ȳ) 2 ( i= (x i x)y i ) 2 / i= (x i x) 2 2 där ŷ = α + βx i. t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Följade algebraiska likhet gäller: i= (x i x)y i = i= (x i x)(y i ȳ) = i= x i(y i ȳ) = i= x iy i xȳ

11 Test av α = α 0 utyttjar t = s α α 0 + x 2 i= (x i x) 2. Alterativhypotes Förkastelseområde α < α 0 t t α α > α 0 t t α α α 0 t t α/2 eller t t α/2 med t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Test av β = β 0 utyttjar t = β β 0 s. i= (x i x) 2 Alterativhypotes Förkastelseområde β < β 0 t t α β > β 0 t t α β β 0 t t α/2 eller t t α/2 Kofidesitervall med kofidesgrad p: α : α ± t (p, 2) s + x 2 i= (x i x), β : β ± t(p, 2) s / (x 2 i x) 2 i= α + βx 0 : α + βx 0 ± t (p, 2) s + (x 0 x) 2 i= (x i x) 2 Kofidesitervall för okät x 0 vid observerat y 0 (kofidesgrad approximativt lika med p): s x 0 ± t (p, 2) + β + ( x 0 x) 2 i (x i x) 2 där x 0 = (y 0 α)/ β. Kofidesitervall för α + βx 0 α + βx 0 t α/2 s + (x 0 x) 2 i= (x i x) α + βx 2 0 α + βx 0 + t α/2 s + (x 0 x) 2 i= (x i x) 2 med t-kvatiler ur t( 2)-fördelige. Test av α + βx 0 = µ 0 utyttjar t = α + βx 0 µ 0 s + (x 0 x) 2 Kofidesitervall för σ i= (x i x) 2. ( 2)s 2 χ 2 α/2 Alterativhypotes Förkastelseområde α + βx 0 < µ 0 t t α α + βx 0 > µ 0 t t α α + βx 0 µ 0 t t α/2 eller t t α/2 σ ( 2)s 2 χ 2 α/2 med χ 2 -kvatiler ur χ 2 ( 2)-fördelige. Test av σ = σ 0 utyttjar χ 2 = ( 2)s2 σ 2 0 Alterativhypotes Förkastelseområde σ < σ 0 χ 2 χ 2 α σ > σ 0 χ 2 χ 2 α σ σ 0 χ 2 χ 2 α/2 eller χ2 χ 2 α/2

12 2 0. Variasaalys 0.2 Variasaalystabell, esidig idelig y ij är j:te data frå stickprov ummer i, i =, 2,..., k, j =, 2,..., i. Totala atalet data är N = k. Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Medelkvadratsumma Mella stickprov k k i= i(ȳ i. ȳ.. ) 2 kvs/fg Iom stickprov N k k i i= j= (y ij ȳ i. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt N k i i= j= (y ij ȳ.. ) 2 σ 2 ka beräkas som viktat medelvärde av stickprovsvariasera, σ 2 = ( )s 2 +( 2 )s ( k )s 2 k N k. 0.3 Variasaalystabell, tvåsidig idelig, r A-ivåer och s B- ivåer e obs/cell y ij, i =, 2,..., r, j =, 2,..., s, är observatio frå ivåkombiatio A i B j som atas vara N(a i + b j, σ 2 ), additiv modell. Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Mella rader (A) r s r i= (ȳ i. ȳ.. ) 2 kvs/fg Mella kolumer (B) s r s j= (ȳ.j ȳ.. ) 2 kvs/fg Residual (r )(s ) i j (y ij ȳ i. ȳ.j + ȳ.. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt rs r s i= j= (y ij ȳ.. ) 2

13 3 Variasaalystabell, tvåsidig idelig, obs/cell y ijk, i =, 2,..., r, j =, 2,..., s, k =, 2,...,, är k:te observatioe frå ivåkombiatio A i B j som atas vara N(µ ij, σ 2 ). Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Mella rader r s r i= (ȳ i.. ȳ... ) 2 kvs/fg Mella kolumer s r s j= (ȳ.j. ȳ... ) 2 kvs/fg Samspel (r )(s ) r s i= j= (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2 kvs/fg Iom celler=residual rs( ) r s i= j= k= (y ijk ȳ ij. ) 2 σ 2 =kvs/fg Totalt rs s j= k= (y ijk ȳ... ) 2 r i= σ 2 ka beräkas som medelvärdet av stickprovsvariasera iom celler. Variasaalystabell, 2 2 -försök, observatioer per cell Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Huvudeffekt T 2 2 T 2 =Kvs Huvudeffekt K 2 2 K 2 =Kvs Samspel T K 2 2 T K 2 =Kvs Iom celler=residual 2 2 ( ) i j k (y ijk ȳ ij. ) 2 σ 2 =Kvs/fg Totalt 2 2 k (y ijk ȳ... ) 2 i j σ 2 ka beräkas som medelvärdet av stickprovsvariasera för försökspuktera. Om = försvier residualrade. Variasaalystabell, 2 3 -försök, observatioer per cell Variatioskälla Frihetsgrader Kvadratsumma Mkvs Huvudeffekt A 2 3Â2 =Kvs Huvudeffekt B 2 3 B 2 =Kvs Huvudeffekt C 2 3Ĉ2 =Kvs Samspel AB 2 3 ÂB2 =Kvs Samspel AC 2 3 ÂC2 =Kvs Samspel BC 2 3 BC 2 =Kvs Samspel ABC 2 3 ÂBC 2 =Kvs Iom celler=residual 2 3 ( ) (yijkl ȳ ijk. ) 2 σ 2 =Kvs/fg Totalt 2 3 i j k r (y ijkl ȳ... ) 2 Om = försvier residualrade. σ 2 ka beräkas som medelvärde av stickprovsvariasera för försökspuktera. I 2 k -försök ka kvadratsummor för försumbara effekter avädas för σ 2 -skattige: Addera kvadratsummor för försumbara effekter och residualkvadratsumma samt dividera med summa av atalet frihetsgrader. Kofidesitervall för effekt: effektskattig ±t (α,f) σ/ 2 k där f är atalet frihetsgrader i σ 2 -skattige. Variasaalystabell för 2 k -försök och reducerade försök fås på aalogt sätt. I reducerade försök blir effektera kopplade.

14 4 Effektskattigara i fullstådiga och reducerade 2 k -försök beräkas utifrå data och teckeschema och med divisor 2 k eller utifrå cellmedelvärdea och teckeschema med divisor 2 k. Tecketabell 3 faktorer I A B AB C AC BC ABC Skattigar av effekter fås geom att bilda medelvärde av data med tecke eligt tabell.

15 F -fördeliges kvatiler 5 % sigifikasivå 5

16 6 f 2 /f f 2 /f

17 F -fördeliges kvatiler % sigifikasivå 7

18 8 f 2 /f f 2 /f

19 9