Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Transkript

1 Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07

2 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X; Y ) = E ((X E (X)) (Y E (Y ))) = E (XY ) E (X) E (Y ) (X; Y ) = C (X; Y ) D (X) D (Y ) 3 Dikreta fördeligar Biomialfördelige X är Bi(; p) om p X (k) = p k ( k p) k, k = 0; ; :::;, där 0 < p <. E (X) = p, V (X) = p ( p) "För-förta-gåge"-fördelige X är g(p) om p X (k) = p ( p) k, k = ; ; 3; :::, där 0 < p <. E (X) = p, V (X) = p p Hypergeometrika fördelige Np N ( p) X är Hyp(N; ; p) om p X (k) = k N k, 0 k Np, 0 k N ( p), där N, Np och är poitiva heltal amt N, < N, 0 < p <. E (X) = p, V (X) = N p ( N p) Poiofördelige X är Po(), där > 0, om p X (k) = k k! e, k = 0; ; ; ::: E (X) =, V (X) = 4 Kotiuerliga fördeligar Likformig fördelig 8 < X är U (a; b), där a < b, om f X (k) = : E (X) = a + b (b a), V (X) = b för a < x < b a 0 aar

3 Expoetialfördelige X är Exp(), där > 0, om f X (k) = E (X) =, V (X) = ( e x för x > 0 0 aar Normalfördelige (x ) X är N (; ) om f X (k) = p e, < x <, > 0 E (X) =, V (X) = X är N (; ) om och edat om X är N (0; ) Om Z är N (0; ) å har Z fördeligfuktioe (x) eligt Tabell och täthetfuktioe ' (x) = p e x =, < x <. E lijärkombiatio P i a ix i + b av oberoede, ormalfördelade tokatika variabler är ormalfördelad. 5 Cetrala grävärdeate Om X ; X ; :::; X är oberoede, likafördelade tokatika variabler med vätevärde och tadardavvikele > 0, å är Y = X + ::: + X approximativt N (; p ) om är tort. 6 Approximatio Hyp(N; ; p) Bi(; p) om N 0: Bi(; p) Po(p) om p 0: Bi(; p) N p; p p ( p) om p ( p) 0 Po() N ; p om 5 7 Tjebyjov olikhet Om E (X) = och D (X) = > 0 å gäller för varje k > 0 att P (jx j < k) k 8 Statitikt material x = j= = x j (x j x) = 6 4 j= j= x j j= x j A

4 9 Puktkattigar 9. Maximum-likelihoodmetode Låt x i vara e obervatio av X i, i = ; ; :::;, där fördelige för X i beror på e okäd parameter. Det värde ob om maximerar likelihoodfuktioe L () = p X ;:::;X (x ; :::; x ; ) =(om oberoede)= p X (x ; ) p X (x ; ) f X;:::;X (x ; :::; x ; ) =(om oberoede)= f X (x ; ) f X (x ; ) kalla maximum-likelihoodkattige (ML-kattige) av. 9. Mita-kvadratmetode Låt x i vara e obervatio av X i, i = ; ; :::;, och atag att E (X i ) = i ( ; ; :::; k ) och V (X i ) =, där ; ; :::; k är okäda parametrar och X ; X ; :::; X k är oberoede. Mita-kvadratkattigara (MK-kattigara) av ; ; :::; k är de värde ( ) ob ; ( ) ob ; :::; ( k) ob om miimerar kvadratumma Q = Q ( ; ; :::; k ) = (x i i ( ; ; :::; k )). 9.3 Medelfel E kattig av D ( ) kalla medelfelet för och betecka d ( ). 9.4 Felfortplatig Med beteckigar och förutättigar eligt läroboke gäller a) E (g ( )) g( ob) D (g ( )) jg 0 ( ob)j D ( ) b) E (g ( ; :::; )) g(( ) ob ; :::; ( ) ob ) V (g ( ; :::; )) j= C i @x j x k =( k ) o b ;k=;:::; 0 Några valiga fördeligar i tatitike -fördelige Om X ; X ; :::; X f är oberoede N (0; ), å gäller det att fx Xk är (f)-fördelad. k= 4

5 t-fördelige Om X är N (0; ) och Y är (f) amt om X och Y är oberoede, å gäller det X att p är t (f)-fördelad. Y=f Stickprovvariablera fördeligar vid ormalfördelade tickprov. Ett ormalfördelat tickprov Låt X ; :::; X vara oberoede tokatika variabler om alla är N (; ). Då gäller: a) X är N ; p b) X i X = c) X och S är oberoede d) X S= p är t ( ) ( ) S är ( ). Två ormalfördelade tickprov med amma varia Låt X ; :::; X vara N ( ; ) och Y ; :::; Y vara N ( ; ) och amtliga dea tokatika variabler ata vara oberoede. Då gäller: r a) X Y är N ; + b) ( + ) S är ( + ) där S = ( ) S + ( ) S, + S = X X i X och S = X Y i Y c) X Y och S är oberoede d) X Y ( ) r S + är t ( + ).3 Två ormalfördelade tickprov med olika varia Låt X ; :::; X vara N ( ; ) och Y ; :::; Y vara N ( ; ) och amtliga dea tokatika variabler ata vara oberoede.! Då gäller: X Y är N ; + 5

6 Ko deitervall. -metode Låt vara N (; D), där D är käd och okäd. Då är ob D = ett ko deitervall för med ko degrade.. t-metode Låt vara N (; D), där D och är okäda och D ite beror på. Låt Dob vara e puktkattig av D åda att D ob Dob t = (f) ett ko deitervall för med ko degrade..3 Approximativa metode är t (f). Då är Låt vara approximativt N (; D). Atag att Dob är e lämplig puktkattig av D. Då är ob Dob = ett ko deitervall för med de approximativa ko degrade..4 Metod baerad på -fördelig Låt ob vara e puktkattig av e parameter åda att f är (f). Då är! f f ob = (f); ob = (f) ett ko deitervall för med ko degrade. 3 Lijär regreio 3. Fördeligar Låt Y i vara N ( + x i ; ), i = ; ; :::;, och oberoede. Då gäller: a) = (x i x) Y i Y 0 (x i x) är q A P (x i x)! b) = Y x är N ; + (x) (x i x)! c) + x 0 är N + x 0 ; + (x 0 x) (x i x) 6

7 d) ( ) S är ( ) där S = e) S är oberoede av och (Y i x i ) 3. Ko deitervall I : ob t p= ( ) + (x) (x i x) I : ob t p= ( ) q P (x i x) I +x0 : ob + obx 0 t p= ( ) + (x 0 x) (x i x) 3.3 Beräkigapekter S xy = (x i x) (y i y) = (x i x) y i = S xx = S yy = (x i x) = (y i y) x i (x) x i (y i y) = ( ) = S yy ( ob) S xx = S yy ob S xy = mi ; 4 Hypoteprövig 4. De itioer x i y i (y i x i ) x y Sigi kaivå (felrike) är (det maximala värdet av) P (förkata H 0 ) då hypotee H 0 är a. Styrkefuktioe h () = P (förkata H 0 ) då är rätt parametervärde. 4. Ko demetode Förkata H 0 : = 0 på ivå om 0 ej faller iom ett lämpligt valt ko - deitervall med ko degrade tet Atag att oberoede upprepigar av ett förök med de möjliga utfalle A ; A ; :::; A r med repektive aolikheter P (A ) ; P (A ) ; :::; P (A r ). Låt, för j = ; ; :::; r, de tokatika variablel X j betecka atalet förök om ger reultatet A j. 7

8 Tet av give fördelig Vi vill teta H 0 : P (A ) = p ; P (A ) = p ; :::; P (A r ) = p r för giva aolikheter p ; p ; :::; p r. Då blir rx (x j p j ) Q = ett utfall av e approximativt (r )-fördelad tokatik p j variabel om H 0 är a och p j 5, j = ; ; :::; r. Om vi kattar k parametrar ur data, = ( ; :::; k ) för att katta p ; p ; :::; p r med p ( ob); p ( ob); :::; p r ( ob), å är rx Q 0 (x j p j ( = ob)) p j ( ett utfall av e approximativt (r k )-fördelad ob) j= tokatik variabel. Homogeitettet Vi vill teta om aolikhetera för utfalle A ; A ; :::; A r förökerier. Iför beteckigar eligt edatåede tabell: är deamma i Serie Atal obervatioer av Atal förök A A A 3 A r x x x 3 x r x x x 3 x r x x x 3 x r Koloumma m m m 3 m r N i m j X rx x ij Bilda Q = N i m j. j= N Q är ett utfall av e approximativt ((r ) ( ))-fördelad tokatik variabel om i m j =N 5, för alla i = ; ; :::; och j = ; ; :::; r. Oberoedetet Atag att värdemägde för de tokatika variabel X ka dela i i kategoriera A ; A ; :::; A r och att värdemägde för de tokatika variabel Y ka dela i i kategoriera B ; B ; :::; B. Vi vill teta om de tokatika variablera X och Y är oberoede. Atal obervatioer A A A 3 A r Radumma B x x x 3 x r B x x x 3 x r B x x x 3 x r Koloumma m m m 3 m r N Samma tettorhet och fördelig ka aväda om vid homogeitettet. 8