Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2), (B1, B3),, (R1, R2)} dvs alla delmägder av storleke 2 draga frå mägde av de 5 kulora {B1, B2, B3, R1, R2}. Atalet elemet i Ω är alltså ( 5 2) = 10. I det mest detaljerade saolikhetsrummet (Ω, F, P) består σ-algebra F alla delmägder till Ω. De är 2 10 = 1024 stycke. Saolikhetsmåttet P ska uppfylla Kolmogorovs axiomsystem. Det mest aturliga i dea situatio är att ata att kulora dras helt slumpmässigt vilket betyder att vi ka aväda de klassiska modelle där alla utfall får samma saolikhet dvs E hädelse B får alltså saolikhete (B)/10 där (B) är atalet elemet i B. b) Om ma bara ser atalet draga röda kulor och summa av umre på de draga kulora partitioeras Ω i 8 disjukta delmägder. Vi får A = {(0, 3), (0, 4), (0, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3)} där t ex (0, 3) beteckar delmägde {(B1, B2)} osv. Här består hädelsera (1, 3) = {(B1, R2), (B2, R1)} och (1, 4) = {(B2, R2), (B3, R1)} av 2 elemet, de övriga av ett elemet. A iehåller alltså 8 delmägder till Ω. De σ-algebra σ(a) som geereras av A iehåller alltså 2 8 = 256 hädelser. c) Hädelsera i σ(a) är alla hädelser äve i F). De behåller sia saolikheteri det ya saolikhetsrummet.

2 Lösig Saolikhetsteori III, 13 jauari Uppgift 2 a) Betiga på Y 1. Det ger E(Y ) = E(E(Y Y 1 )) där P (Y = k 1 Y 1 = k) = k2 P (Y = k Y 1 = k) = 2 k(a k) P (Y = k + 1 Y 1 = k) = (A k)2 E(Y Y 1 = k) = 1 (k2 (k 1)+2k 2 (A k)+(k+1)(a k) 2 ) = k som leder till rekursiosformel ( 1 2 ) +1 A där c = ( ) 1 2 A. E(Y ) = ce(y 1 ) + 1 Eftersom det vid tide t = 0 var 0 kvior i styrelse är Y 0 = 0 dvs E(Y 0 ) = 0 E(Y 1 ) = 1, E(Y 2 ) = c + 1 osv. Med ekel iduktio visas att E(Y ) = 1 + c +, c 1 = 1 c 1 c = (1 c ) Uppgift 3 a) ) ϕ X (t) = E (e itx = k=0 itk k e k! e = e +eit = e (1 eit ) b) Uppgifte ka lösas med hjälp av karakteristiska fuktioer. ϕ (X )/ (t) = e it e (1 eit/ ) [ = exp it ( ( ))] 1 + it t2 2 + o 1 ( )] = exp [ t2 2 + o 1 e t2 2 då. Vi käer ige e t2 2 som de karakteristiska fuktioe för de stadardiserade ormalfördelige N(0, 1). Eligt etydighetssatse är dea fördelig de eda med de karakteristiska fuktioe. Eligt kotiuitetssatse kovergerar då (X )/ i fördelig mot N(0, 1).

3 Lösig Saolikhetsteori III, 13 jauari Alterativt ka ma resoera på följade sätt: X är Poissofördelad med parameter vilket betyder att X har samma fördelig som summa av stycke oberoede och Poissofördelade stokastiska variabler med vätevärdet 1 och variase 1. Resultatet följer då av cetrala gräsvärdessatse. Uppgift 4 a) X kovergerar mot 0 i saolikhet om för varje ε > 0 det gäller att lim P ( X = 0 Välj ett godtyckligt ε > 0. För tillräckligt stort gäller det att P ( X > ε) = p som går mot 0 om p 0 då. Villkoret blir alltså lim p = 0 b) X kovergerar mot 0 i r-te medel om lim E( X r = 0 Eftersom E( X r = r p blir villkoret lim r p = 0 c) X kovergerar mot 0 ästa säkert om X 1, X 2, är oberoede och det för varje ε > 0 gäller att P ( X > ε) < =1 Villkoret bliri detta fall alltså p < =1 d) För defiitio av koverges i saolikhet: se a). Eftersom X 1, X 2, är oberoede får vi P (M > ε) = 1 k= P (X k < ε) = 1 k= (1 p k ) = 1 exp [ k= l(1 p k )] 1 exp [2 k= p k ] M kovergerar alltså mot i saolikhet om k= p k 0 då vilket är detsamma som p < =1

4 Lösig Saolikhetsteori III, 13 jauari Uppgift 5 a) Akties värde efter börsdagar är S 0 X i där S 0 är itroduktiosvärdet 100 kr. Det gäller att E(X ) (1.04) 100 <. Dessutom gäller att E(S +1 X 1, X 2,, X ) = E(S +1 S ) = S (1.04p (0.5 p)) = S (0.06p ) = S om 0.06p = 1 p = 1 6 Följde S är alltså e martigal om p = 1 6. b) Eftersom vi valt p så att S är e martigal är E(S ) = 100. S ka skrivas som S 0 Y i där Y i = 1 + X i /100. Det gäller E(Y i ) 2 = 1 6 (1.04) (1) (0.98)2 = E(S 2 ) = S2 0 (1.0004). Resultatet blir alltså V ar(s ) = ((1.0004) 1) Uppgift 6 a) Ma ser att Y och Z alltid vilket medför att S med saolikhete 1 dvs E(S ). Det gäller att följde Y är helt bestämd av följde X så följdera geererar samma filtratio. Det gäller alltid S S 1 = Z Z 1 qx 1 Av det följer att om X 1 = 0 så är alltid S S 1 = 0. Om X 1 = 1, X = 0 så är S S 1 = 1 q = p och om X 1 = 1, X = 1 så är S S 1 = q. Det följer att E(S S 1 X 1 = 0) = 0 E(S S 1 X 1 = 1) = pp (X = 0) qp (X = 0) = pq qp = 0 E(S X 1,, X 1 ) = S 1 S är alltså e martigal med avseede på följde Y.

5 Lösig Saolikhetsteori III, 13 jauari b) För att beräka S ser vi på Alltså E((S S 1 ) 2 X 1,, X 1 ) = S = { 0 om X 1 = 0 qp 2 + pq 2 = pq omx 1 = 1 1 E((S i S i 1 ) 2 X 1,, X i 1 ) = pq X i Eftersom X 1, X 2, är oberoede gäller det att X i / p ästa säkert att S / kovergerar ästa säkert mot p 2 q vilket i si tur medför att S ästa säkert. Eligt stora tales lag för martigaler får vi att S / 0 ästa säkert. Alltså Z / q/ q X i / 0.s. Z / pq.s.