Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 Saolikhetsteori Kap 2: Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0 PA 1 PW = 1 PA B = PA + PB, om hädelsera A och B är disjukta Additiossatse för två hädelser: PA B = PA + PB PA B Betigad saolikhet: PB A = Satse om total saolikhet : PA = PA B PA PA H k PH k, k=1 där hädelsera H 1,,H är disjukta och H k = W k=1 AochBäroberoede PA B = PA PB Atalet olika sätt, m, attdra elemet ur N är: Med återläggig, med häsy till ordig: m = N N + 1 Med återläggig, uta häsy till ordig: m = Uta återläggig, med häsy till ordig: m = N N 1 N + 1 N Uta återläggig, uta häsy till ordig: m = Kap 3: Edimesioella stokastiska variabler Fördeligsfuktio för X : F X x = PX x Saolikhetsfuktio för e diskret sv X : p X k = PX = k Täthetsfuktioe för e kotiuerlig sv X : f X x = df X x dx b p X k omx är diskret, Pa < X b = F X b F X a = k=a+1 b f X x dx om X är kotiuerlig a

2 Kap 4: Flerdimesioella stokastiska variabler Simulta fördeligsfuktio: F X,Y x, y = PX x, Y y = y PgX, Y A = f X,Y x, y dx dy gx,y A j x, k y x p X,Y j, k f X,Y t, u dt du om X, Y är diskret, om X, Y är kotiuerlig Margiell täthetsfuktio för X : f X x = f X,Y x, y dy Om X och Y är oberoede så gäller F X,Y x, y = F X x F Y y för alla x och y, samt p X,Y j, k = p X j p Y k för alla j och k om X och Y diskreta f X,Y x, y = f X x f Y y för alla x och y om X och Y kotiuerliga Betigad saolikhetsfuktio för X,givetY = k: p X Y j k = p X,Y j, k p Y k Betigad täthetsfuktio för X,givetY = y: f X Y x y = f X,Y x, y f Y y Kap 5: Fuktioer av stokastiska variabler Om X och Y är oberoede, så gäller för Z = X + Y, p Z k = f Z z = k p X i p Y k i, i=0 Kap 6 och 7: Vätevärde f X x f Y z x dx Vätevärdet av gx, Y : gj, k p X,Y j, k j,k EgX, Y = gx, y f X,Y x, y dx dy omx, Y är diskret, om X, Y är kotiuerlig Vätevärde är lijära, dvs EagX + bhx = aegx + behx Varias: VX = E[X EX 2 ] = EX 2 [EX ] 2 Stadardavvikelse: DX = VX Kovarias: CX, Y = E[X EX Y EY ] = EXY EX EY Korrelatioskoefficiet: rx, Y = CX, Y DX DY 2

3 Kovariase är bilijär, dvs C j a j X j, k b k Y k = j a j b k CX j, Y k k X, Y oberoede X, Y okorrelerade, dvs CX, Y = 0 Betigat vätevärde för X,givetY = k: EX Y = k = j jp X Y j k Betigat vätevärde för X,givetY = y: EX Y = y = För betigade vätevärde gäller EX Y = k p Y k, k EX = EX Y = y f Y y dy Gauss approximatiosformler: EgX 1,,X gex 1,,EX VgX 1,,X ci 2 VX i + 2 c i c j CX i, X j, i<j där c i = g x 1,,x x i xk =EX k, k Kap 8 och 9: Normalfördelig och cetrala gräsvärdessatse xf X Y x y dx Om X 1,,X är oberoede och Nm 1, s1,,nm, s ochc 1,,c R, så gäller att c i X i N c i m i, ci 2 s2 i Cetrala gräsvärdessatse CGS: Om X 1, X 2,,X är oberoede och likafördelade med EX i = m och DX i = s, sågälleratt då Y = X X AsNEY, DY, Med utyttjade av, blad aat, CGS gäller följade approximatioer Hypergeometrisk Biomial om /N 01 Hypergeometrisk Poisso om p + /N 01 och 10 Hypergeometrisk Normal om N pq 10 N 1 Biomial Poisso om p 01 och 10 Biomial Normal om pq 10 Poisso Normal om m 15 3

4 Kap 11: Stokastiska processer med diskret tid Övergågssaolikhet: p ij = PX +1 = j X = i P = {p ij } är övergågsmatrise Övergågssaolikhet av ordig m: p m ij = PX +m = j X = i P m = {p m ij } är övergågsmatrise av ordig m Chapma-Kolmogorovs sats: P m = P m Absoluta saolikheter: p i = PX = i p är radvektor {p i } p0 kallas iitialfördelige p = p 1P = p0p Statioär fördelig: pp = p Bestädighet: tillståd i är bestädigt om PX = i för ågot > 0 X 0 = i = 1 aars trasiet Kommuikatio: tillståd i kommuicerar esidigt med j om p m ij > 0 för ågot m > 0 Om i kommuicerar esidigt med j och vice versa kommuicerar i och j tvåsidigt Irreducibilitet: alla tillståd kommuicerar tvåsidigt Alla tillståd är då atige trasieta, positivt bestädiga eller ollbestädiga, och de har samma period Existes av statioär fördelig: om {X } är irreducibel så existerar e uik statioär fördelig om och edast om tillståde är positivt bestädiga Kap 12: Poissoprocesse E homoge Poissoprocess {X t, t 0} har oberoede och statioära ökigaroch X t + s X s Polt Avståde mella kosekutiva hädelser är oberoede och Exp1/l-fördelade E ihomoge Poissoprocess {X t, t 0} har oberoede ökigaroch s+t X t + s X s Po lu du s 4

5 Tabell 1: Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi, p Hypergeometrisk fördelig pk = pk = p k k q k k = 0, 1,, p pq Np Nq k k N k Np, k Nq p N N 1 pq Poissofördelig, Pom m mk pk = e k! k = 0, 1, 2, m m Geometrisk fördelig pk = pq k k = 0, 1, 2, q/p q/p 2 ffg-fördelig pk = pq k 1 k = 1, 2, 1/p q/p 2 Normalfördelig, Nm, s Gammafördelig, Gp, a Expoetialfördelig, Expa, G1, a f x = 1 x m2 e 2s 2 x R m s 2 2ps 2 f x = 1 a p Gp xp 1 e x/a x 0 ap a 2 p f x = 1 a e x/a x 0 a a 2 Rektagelfördelig, Ra, b f x = 1 b a a x b a + b 2 a b 2 12 Dubbel expoetialfördelig Fx = e e x b/a OBS! fördeligsfuktio x R, a > 0 b + ga a 2 p 2 6 Weibullfördelig c Fx = 1 e x b a OBS! fördeligsfuktio x b, a, c > 0 b + ag1 + 1/c a 2 [ G1 + 2 c G c ] Logormalfördelig l X Nb, a f x = 1 l x b2 e x 2 a 2 2a 2 x 0 2p e b+a2 /2 e 2b+2a2 e 2b+a2 5

6 Gp = 0 x p 1 e x dx, p > 0 Gp = p 1 Gp 1 Gp = p 1! om p heltal G 1 2 = p g Tvådimesioell ormalfördelig mx X, Y är tvådimesioellt ormalfördelad med vätevärdesvektor m = och kovariasmatris m Y s S = 2 X rsx s Y 1 om f X,Y x, y = e Q/2, x, y R 2, dets rsx s Y s 2 Y T x där dets = s 2 X s2 Y 1 mx x r2 ochq = S y m 1 mx Y y m Y De betigade fördelige för X givet att Y = y är e edimesioell ormalfördelig med 2p EX Y = y = sx m X + r y m Y, sy VX Y = y = 2 sx 1 2 r Fördeligar besläktade med ormalfördeligar q 2 -fördelig X 1,,X N0, 1, oberoede q 2 f = Gf /2, 2 X 2 i q 2 t-fördelig, tf X N0, 1, Y q 2 f, oberoede X Y /f tf F-fördelig, Ff 1, f 2 X q 2 f 1, Y q 2 f 2, oberoede X /f 1 Y /f 2 Ff 1, f 2 Additiosformler Om X 1 och X 2 oberoede så gäller: X 1 Bi 1, p, X 2 Bi 2, p X 1 + X 2 Bi 1 + 2, p X 1 Pom 1, X 2 Pom 2 X 1 + X 2 Pom 1 + m 2 X 1 Gp 1, a, X 2 Gp 2, a X 1 + X 2 Gp 1 + p 2, a X 1 q 2 f 1, X 2 q 2 f 2 X 1 + X 2 q 2 f 1 + f 2 6

7 Statistikteori Kap 20: Puktskattigar vid ormalfördelig och helt okäd fördelig Ett stickprov Låt x 1,,x vara observatioer av oberoede och likafördelade sv med vätevärde m och stadardavvikelse s Vätevärdesriktiga skattigar av m och s 2 är då m = 1 s 2 = 1 x i = x s 2 = s 2 = Flera stickprov Om X i Nm, s såm Nm, s 2 s x i m 2 då m käd Om X i Nm, s så s2 q 2 Q 1 = 1 1 Låt x i1,,x ii vara ober obs frå Nm i, s dåi = 1,,kDåär x i x 2 då m okäd Om X i Nm, s så Q s 2 q2 1 s 2 = s 2 = Q f = 1 1 s k 1 s 2 k k 1 Eftersom X ij Nm i, s så Q s 2 q2 f Valiga skattigsmetoder ML-skattig: Låt x 1,,x vara observatioer av X 1,,X, som är oberoede sv med täthets- saolikhets- fuktio f x i ; θ, i = 1,, px i ; θ, i = 1,, ML-skattige av parameter θ är det θml som maximerar likelihood-fuktioe px 1 ; θ px 2 ; θ px ; θ, Lθ; x 1,,x = f x 1 ; θ f x 2 ; θ f x ; θ MK-skattig: Låt x 1,,x vara oberoede observatioer av stokastiska variabler med EX i = m i θ, där fuktioera m i är käda och parameter θ okäd MK-skattige av parameter θ är det θmk som miimerar förlustfuktioe Qθ; x 1,,x = x i m i θ 2 Viktad MK-skattig: Förutsättigar eligt MK-skattig ova De viktade MK-skattige av θ är det θ MK som miimerar förlustfuktioe Qθ; x 1,,x = lix i m i θ 2, där li är e följd av vikter, tex li = 1/s 2 i,därs2 i = VX i 7

8 Kap 21: Kofidesitervall Kofidesitervall med kofidesgrad 1 a för vätevärdet i e ormalfördelig: Om θ X 1,,X Nθ, Dθ så I θ = θ ± l a/2 Dθ om Dθ är käd I θ = θ ± t a/2 f dθ om Dθ = c s där s = DX i, c är e kostat och 2 s = s 2 = Q med Q f s 2 q2 f Kofidesitervall med kofidesgrad 1 a för vätevärdet i e ormalapproximatio: Om θ X 1,,X Nθ, Dθ eligt CGS el dyl så I θ θ ± l a/2 Dθ om Dθ är käd I θ θ ± l a/2 dθ om Dθ skattas med dθ alltid rätt I θ θ ± t a/2 f dθ om Dθ = c s där s = DX i, c är e kostat och 2 s = s 2 = Q går bra f Kofidesitervall med kofidesgrad 1 a för variase i e ormalfördelig: Om X 1,,X Nm, s med s 2 = s 2 = Q f och Q s 2 q2 f så Kap 22: Hypotestest f s 2 f s 2 I s 2 = q 2 a/2 f, q 2 1 a/2 f Styrkefuktio: hθ = PH 0 förkastas θ är det rätta parametervärdet Speciellt: Sigifikasivå, a = PH 0 förkastas H 0 sa q 2 -test H 0 preciserar fördelige Q = r x i p i 2 p i Förkasta H 0 om Q > q 2 ar 1 Kap 23 och 26: Ekel lijär regressio y i, i = 1,, ober obs frå Nm i, s, där m i = a + bx i = a + bx i x, i = 1, 2,, x = 1 S xx = x i, ȳ = 1 x i x 2 = S yy = y i ȳ 2 = y i 2 xi 2 1 x i 2 yi 2 1 y i 8

9 S xy = a =ȳ, x i xy i ȳ = b = S xy S xx, Formelsamlig: Matstat AK för CDEFI, Nao och Pi, MAS233, 2004 x i y i 1 x i y i s 2 = Q 0 2 a Na, s/, b Nb, s/ S xx, Ca, b = 0 Q 0 = S yy S2 xy S xx, Q 0 s 2 q2 2 Kalibrerigsitervall med approximativ kofidesgrad 1 p I x0 = x0 ± s l p/ y 0 ȳ 2 b 2 S xx Kap 24: Korrelatio b x 1, y 1,,x, y obsfrånm X, m Y, sx, sy, r Puktskattig av r: r = r = S xy Sxx S yy Fördelige för r om r = 0: Fishers z-trasformatio: z = l Kap 27: Multipel lijär regressio 2 y i, i = 1,, ober obs frå Nm i, s, där r 1 r r 1 r Nl t r, 1 r 1 m i = a + b1x i1 + + bkx ik = a + b1x i1 x b kx ik x k, i = 1, 2,,, med x j = 1 x ij b = T b1 bk θ = T a b1 bk Y = T y 1 y x 11 x 1 x 1k x k 1 x 11 x 1 x 1k x k X = U = x 1 x 1 x k x k 1 x 1 x 1 x k x k θ = U T U 1 U T Y, θ Nθ, Dθ, Vθ = s 2 U T U 1 a =ȳ, b = X T X 1 X T Y, s 2 = Q 0 k 1 a Na, s/, b Nb, Db, Vb = s 2 X T X 1 Ca, b j = 0, j = 1,,k Q 0 = Y U θ T Y U θ = Y a 1 X b T Y a 1 X b, Q 0 s 2 q2 k 1 9