FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB0 Sannolkhetsteor Följande gäller för sannolkheter: 0 P(A 1 P(Ω = 1 P(A B = P(A + P(B, om händelserna A och B är oförenlga (dsjunkta. Addtonssatsen för två händelser: P(A B = P(A + P(B P(A B. Betngad sannolkhet: P(B A = P(A B. P(A Satsen om total sannolkhet : P(A = P(A H P(H, där händelserna H 1,...,H n är parvs oförenlga (dsjunkta händelser och A och B är oberoende P(A B = P(A P(B. n H = Ω. Beskrvnng av data Medelvärde: x = 1 n Varans: s = 1 Varatonskoeffcent: s x Kovarans: c xy = 1 x (x x = 1 Korrelatonskoeffcent: r xy = c xy s x s y [ ] x n x (x x(y ȳ = 1 [ ] x y n xȳ Läges-, sprdnngs- och beroendemått Väntevärdet av g(x : E[g(X ] = g(kp X (k k= g(xf X (x dx (dskreta s.v. (kontnuerlga s.v.

2 Varans: V(X = E[(X E(X ] = E(X [E(X ]. Standardavvkelse: D(X = V(X. Kovarans: C(X, Y = E[(X E(X (Y E(Y ] = E(XY E(X E(Y. ( Väntevärde av lnjärkombnaton: E a X + b = a E(X + b ( Varans av lnjärkombnaton: V a X + b = a V(X + a a j C(X, X j. j=+1 X 1,..., X n oberoende X 1,..., X n okorrelerade, dvs C(X, X j = 0, j. Fördelnngar Vanlga fördelnngar Fördelnng Väntevärde Varans Bnomalfördelnng, Bn ( n, p p(k = ( n p k k (1 p n k k = 0, 1,..., n np np(1 p Possonfördelnng, Po ( μ μ μk p(k = e k! k = 0, 1,,... μ μ Rektangelfördelnng, R(a, b f (x = 1 b a a x b a + b (a b 1 Exponentalfördelnng, Exp(a f (x = 1 a e x/a x 0 a a Normalfördelnng 1, N ( μ, σ f (x = 1 (x μ e σ < x < μ σ πσ χ -fördelnng, χ (n f (x = 1 e x/ ( x n/ 1 Γ( n x 0 n n t-fördelnng, t(n f (x = 1 Γ( n+1 nπ Γ( n n+1 (1 + x n < x < 0, n > 1 n n, n > F-fördelnng, F(n, m 1 I övnngshäftet och matlab N ( μ, σ f (x = Γ ( n+m n n/ m m/ x 0 Γ( n Γ( m x (n / (m + nx (n+m/ m m m (m + n 4 n(m (m 4, m > 4

3 Addtonsformler Om X och Y oberoende så gäller: X Bn ( n 1, p, Y Bn ( n, p X + Y Bn ( n 1 + n, p. X Po ( ( μ 1, Y Po μ X + Y Po ( μ 1 + μ. X χ (n, Y χ (m X + Y χ (n + m. Normalfördelnng X N ( μ, σ Z = X μ N(0, 1 σ ( x μ F X (x = Φ där Φ( ges av tabell σ X 1,..., X n oberoende och N ( μ 1, σ ( ( 1,..., N μn, σ n a X N a μ, a σ Centrala gränsvärdessatsen X 1, X,... oberoende och lkafördelade med E(X = μ, V(X = σ X N ( nμ, nσ om n är stort nog Med utnyttjande av, bland annat, CGS gäller följande approxmatoner: Bn ( n, p Po ( np om p 0.1 och n 10. Bn ( n, p N ( np, np(1 p om np(1 p 10. Po ( μ N ( μ, μ om μ 15. Gauss approxmatonsformler: Med μ = E(X gäller att E [ g(x ] g(μ, V [ g(x ] [ g (μ ] V(X. Med μ = E(X och c = g (μ 1,..., μ k gäller att E [ g(x 1,..., X n ] g(μ 1,..., μ k, V [ g(x 1,..., X n ] k k c V(X + c c j C(X, X j. j=+1 Obs: X 1,..., X n oberoende X 1,..., X n okorrelerade, dvs C(X, X j = 0, j. 3

4 Fördelnngar besläktade med normalfördelnngar X 1,..., X n oberoende och N(0, 1 X 1,..., X n oberoende och N ( μ, σ 1 σ X N(0, 1, Y χ (n samt oberoende X χ (n (X X χ ( X Y /n t(n X χ (n, Y χ (m samt oberoende X /n F(n, m Y /m F 1 α (n, m = 1/F α (m, n Konfdensntervall Konfdensntervall med konfdensgrad 1 α för väntevärdet av en normalfördelad skattnng: Om θ N ( θ, D(θ så I θ = (θ ± λ α/ D(θ, I θ = (θ ± λ α/ d(θ, I θ = (θ ± t α/ (f d(θ, om D(θ är känd om D(θ skattas med d(θ, eller θ N enl. CGS. om D(θ = c σ där σ okänd och skattad med (σ = s = Q f med Q σ χ (f Intervallen är approxmatva vd normalapproxmaton av skattaren, θ N ( θ, D(θ. Konfdensntervall med konfdensgrad 1 α för varansen en normalfördelnng: Om X 1,..., X n N ( μ, σ med (σ = s = Q f och Q σ χ (f så ( f s f s I σ = χ α/ (f, χ 1 α/ (f Konfdensntervall med konfdensgrad 1 α för kvoten mellan varanserna två normalfördelnngar: Om X 1,..., X n1 N ( μ 1, σ 1 och Y1,..., Y n N ( μ, σ och μ1, μ är okända: ( s I σ 1 /σ = 1 s F 1 α/ (n 1, n 1 1, s 1 s F α/ (n 1, n 1 1 4

5 Skattnng av σ Om X N ( μ, σ, = 1,..., n är oberoende och μ okänd skattas varansen med (σ = s = Q = 1 ( X X Q och σ χ ( Poolade varansskattnngen vd stckprov: (σ = s p = Q f = (n 1 1s 1 + (n 1s n 1 + n och Q σ χ (n 1 + n Poolade varansskattnng vd k stckprov: (σ = s p = Q f med f = n k frhetsgrader. = (n 1 1s 1 + (n 1s + + (n k 1s k (n (n (n k 1 och Q σ χ (f Vanlga medelfel Modell Skattnng Medelfel X N ( μ, σ, = 1,..., n μ = x D(μ = σ n X N ( μ 1, σ, = 1,..., n 1 Y j N ( μ, σ, j = 1,..., n X Bn ( n, p X 1 Bn ( n 1, p 1 X Bn ( n, p μ 1 = x μ = ȳ p = x n 1 D(μ 1 μ = σ + 1 n 1 n p d(p = (1 p p = x n d(p 1 p = X Po ( μ μ = x d(μ = x n p 1 (1 p 1 + p (1 p n 1 n Intervall för skllnad medelvärde vd olka varanser (Welchs t-test Om X N ( μ 1, σ 1, = 1,..., n1, Y j N ( μ, σ, j = 1,..., n och σ 1 σ är okända (approxmatvt: ( s ( s I μ1 μ = x 1 ȳ ± t α/ f 1 + s n1 + s n där f = n 1 Hypotestest n (s1 /n 1 n (s /n n 1 Drektmetoden: P ( Få det v fått eller längre från H 0 H 0 sann, jmf. med sgnfkansnvån α. Teststorhet, om skattnngen θ är (approxmatvt normalfördelad, T = θ θ 0 d H 0 (θ, jmf. med λ eller t(f -kvantl. Styrkefunkton: h(θ = P(H 0 förkastas θ är det rätta parametervärdet Specellt: Sgnfkansnvån, α = P(H 0 förkastas H 0 sann 5

6 Regresson Enkel lnjär regresson: Modell: y = α + βx + ε, = 1,..., n, där ε N ( 0, σ är oberoende. Parameterskattnngar: β = S xy N (β, σ α = ȳ β x ( 1n N (α, σ S xx S + x xx S xx s = Q 0 där Q 0 = (y α β x = S yy S xy n S xx S xx = (x x, S yy = (y ȳ, S xy = (x x(y ȳ Ett tvåsdgt konfdensntervall med konfdensgrad 1 p för μ Y (x 0 = α + βx 0 ges av I μy (x 0 = α + β 1 x 0 ± t p/ (n s n + (x 0 x Ett predktonsntervall för y(x 0 = α + βx 0 + ε 0 ges av I y(x0 = α + β x 0 ± t p/ (n s S xx n + (x 0 x S xx Ett kalbrerngsntervall med konfdensgrad 1 p för x 0 = y 0 α ges av β I x0 = x0 s ± t p/ (n β n + (x 0 x där x0 = y 0 α S xx β Multpel lnjär regresson: Modell: y = β 0 + β 1 x 1 + β x β p x p + ε, där ε N ( 0, σ är oberoende. Med matrsrepresentaton kan modellen skrvas som Y = X β + E. Parameterskattnngar: β = (X T X 1 X T Y V(β = σ (X T X 1 s Q 0 = där Q 0 = (y β0 β1 x 1... βp x p = Y T Y β T X T Y n (p + 1 Konfdensntervall för β : I β = ( β ± t α/ ( n p 1 d(β där d(β = s element( + 1, + 1 (X T X 1 Konfdensntervall för μ Y (x 0 = β 0 + β 1 x β px 0 p: I μy (x 0 = (μ Y (x 0 ( ± t α/ n p 1 s x 0T (X T X 1 x 0 Vd stegvs regresson baseras valet av modell varje steg på varablernas testkvantteter T = β d(β 6

7 Faktorförsök k -försök Varje faktor kan anta låg ( och hög (+ nvå. För t.ex. ett 3 -försök med n observatoner per faktorkombnaton är modellen y jkl = μ ± A ± B ± C(±(±AB(±(±AC(±(±BC(±(±(±ABC + ε jkl Effekten skattas med hjälp av ett teckenschema. Dvdera med 3 (allmänt med k Förs Medelv μ A B C AB AC BC ABC (1 ȳ (a ȳ (b ȳ (ab ȳ (c ȳ (ac ȳ (bc ȳ (abc ȳ Medelfelet d(effekt = s k n, där s är den poolade varansskattnngen från de olka försökspunkterna om n. Om n = 1 kan en varansskattnng erhållas från samspel av högre ordnng. För dessa måste då antas E((effekt = σ / k. k 1 -försök Vanlgen kopplas högsta samspelet tll I. För k = 4, t.ex., blr kopplngen I = ±ABCD. Härur erhålles kopplngar mellan övrga effekter. Försökspunkterna fås genom att teckenschemat för k -försöket välja de rader som antngen har + eller för högsta samspelet. Effekterna skattas med hjälp av det så erhållna halverade teckenschemat. Dvdera med k 1 s. Medelfelet d(effekt =. k 1 Varansanalys Ensdg ndelnng y j = μ + α + ε j där ε j N ( 0, σ, = 1,,..., k, j = 1,,..., n. Q = Q A + Q 0 där Q = (y j ȳ = yj (ȳ j j Q A = n (ȳ ȳ = n ȳ (ȳ n Q 0 = (y j ȳ = yj n ȳ j j n 7

8 Varansanalystabell Varaton Kvadratsumma f Medelkvadrat Faktor A Q A k 1 sa = Q A/(k 1 Resdual Q 0 n k s = Q 0 /( n k Totalt Q Testkvanttet s A s obs av F(k 1, n k om alla α = 0. Vd slumpmässga effekter (varanskomponentmodell antas α N ( 0, σ A. Om alla n = n skattas σ A med (σ A = 1 n (s A s För att göra konfdensntervall för μ detta fallet betraktar man medelvärdena ȳ 1,..., ȳ k som ett stckprov av en normalfördelnng. Tvåsdg ndelnng y jk = μ + α + β j + (αβ j + ε jk där ε jk N ( 0, σ, = 1,,..., a, j = 1,,..., b, k = 1,,..., n Q = Q A + Q B + Q AB + Q 0 där Q = (y jk ȳ = yjk a b n ȳ j k,j,k Q A = (ȳ ȳ = b n ȳ a b n ȳ j k Q B = (ȳ j ȳ = a n ȳ j a b n ȳ j k j Q AB = (ȳ j ȳ ȳ j + ȳ = Q Q A Q B Q 0 j k Q 0 = (y jk ȳ j = yjk n ȳj j k,j,k,j Varansanalystabell Varaton Kvadratsumma f Medelkvadrat Faktor A Q A a 1 s A = Q A/(a 1 Faktor B Q B b 1 s B = Q B/(b 1 Samspel AB Q AB (a 1(b 1 s AB = Q AB/((a 1(b 1 Resdual Q 0 ab( s = Q 0 /ab( Totalt Q ab s AB s obs av F((a 1(b 1, ab( om (αβ j = 0 s A s obs av F(a 1, ab( om α = 0 s B s obs av F(b 1, ab( om β j = 0 8