Repetition. Repetition. Repetition. X: slumpvariabel (s.v.) betraktas innan ett försök är genomfört. x: observerat värde efter försöket är genomfört.

Transkript

1 X: slumpvrel (s.v.) etrkts nnn ett försök är genomfört. : oservert värde efter försöket är genomfört. En s.v. är kontnuerlg om den kn nt ll tänkr värden ett ntervll. Fördelnngsfunkton (cdf): F () = P(X ) Täthetsfunkton (pdf): f () = F () P( < X ) = f ()d F () - F () = Täthetsfunkton P( < X ) täthet Väntevärde: Vrns: Stndrvvkelse: μ = E(X) = f ()d σ = V(X) = E (X -μ) σ = σ (uttrycker jämvktsläge) Normlfördelnng: X N(μ, σ ) Stndrd normlfördelnng: Z = (X- μ)/σ N(, ) ( ) = ( - μ) f ()d = V(X) μ μ μ P( < X ) = P < = σ σ σ μ μ μ μ P < Z = Φ Φ σ σ σ σ

2 Lägesförändrng N(,σ ) N(μ,σ ) täthet -μ -μ μ Stndrdserng N(,) N(μ,σ ) täthet (-μ)/σ (-μ)/σ μ Hur mn kn verfer om ett dtmterl är normlfördelt. Hstogrm Normlplottr Normltetstest Testr om hypotesen tt dtmterlet är normlfördelt är snn. Hypotesen förksts om p-värdet α (sgnfknsnvån). Om p-värdet > α kn v nte förkst hypotesen, dvs hypotesen ehöver nte vr snn. Små stckprov r etrem vvkelser från normlfördelnngen förksts Stor stckprov mnst lll vvkelse från normlfördelnngen (som prktken kn vr försumr) förksts.

3 Hstogrm of strengths (uppg. 3.69) Norml Hstogrm of strengths (uppg. 3.69) Norml 4 Men 6. StDev.57 N 6 6 Men 6. StDev.57 N Frequency Frequency strengths strengths Beroende på klssredd och ntl klsser ger hstogrm olk lder. Prolty Plot of strengths Norml - 95% CI Percent Men 6. StDev.57 N 6 AD.475 P-Vlue strengths Normlplot med konfdensnd. En s.v. X är dskret om den endst kn nt ett ändlgt eller ett uppräknelgt oändlgt ntl värden. Snnolkhetsfunkton: f () = P(X = ) Fördelnngsfunkton (cdf): F () = P(X ) = f ( ) Väntevärde: Vrns: μ = E(X) = f ( ll ) σ = V(X) = E (X -μ) ( ) = ( -μ) ll f ( )

4 Bnomlfördelnngen: A är en händelse som nträffr med snnolkheten P(A) = p. Upprep försöket n gånger och låt X = ntl gånger händelse A nträffr X Bn(n, p) n n f () = P(X = ) = p ( p), =,,...,n μ = np, σ = np(-p) Om n är stort (np(-p)>) kn X Bn(n, p) ppromers med N(np, np(-p)) (centrl gränsvärdesstsen) Flerdmensonell s.v.: f(,y) X och Y är oeroende f(,y) = f () f y (y) Beroendemått: Kovrns: Cov(X,Y) = E((X - μ ) (Y - μ y )) = E(X Y) - μ μ y Korrelton: ρ = ρ(x,y) = Cov(X,Y)/(σ σ y ) - ρ (mått på det enkl lnjär eroendet melln X och Y). Korrelton =.45 Korrelton =.9888 Korrelton = -.4 Korrelton = -.59 Korrelton = Korrelton =.3

5 Populton X. μ, σ, f (), Stckprov (,,, n ), s, Stckprov: oeroende oservtoner,,, n från X. X hr en fördelnng med okänd prmetrr μ och σ. n μ sktts med = = í n σ n sktts med s = = ( í ) n Noter tt nnn stckprovet är tget är och s två s.v. (v vet nte vlk mätvärden v kommer tt få just den här gången). Vlk fördelnngr hr dess slumpvrler? Låt X, X,,X n vr oer. s.v. med E(X ) = μ och V(X ) = σ Om Y = c X + c X + + c n X n, där ll c är konstnter, är lltd E(Y) = c E(X )+ c E(X )+ + c n E(X n ) = c μ + c μ + + c n μ n V(Y) = c L+ V(X ) + cv(x) + L+ cnv(xn ) = cσ + cσ + cnσn Om dessutom ll X N(μ,σ ) är Y N(E(Y), V(Y)) Speclfll: ll c =/n, μ = μ och σ = σ. X μ X N(μ, σ /n) dvs N(,) Centrl gränsvärdesstsen (CGS): Om n är stort (n >3) gäller det tt X μ X ppro. N(μ, σ /n) dvs ppro. N(,) (ovsett vlken fördelnng X hr). Mn kn vs tt (n-)s /σ χ (n-) om ll X N(μ,σ )

6 Punktskttnngr llmänt: Låt θˆ vr en skttnng v θ. θˆ är en funkton v stckprovet,,, n, dvs θˆ = θˆ(,, K, n ). Innn v hr oservert stckprovet är θˆ en s.v. θˆ är väntevärdesrktg (v.v.r.) om E( θˆ ) = E θˆ ( X,X, K,X ) Skttnngens stndrdvvkelse V θˆ. En skttnng v skttnngens stndrdvvkelse medelfelet för θˆ. Medelfelet för X är s/ n. () ( ) θ n = Vˆ () θˆ klls Hypotesprövnng: H : nollhypotes (det mn vll motevs) H : mothypotes (det mn vll styrk) Typ I-fel: H förksts när H är snn. Typ II-fel: H förksts nte när H är snn. Sgnfknsnvå: α (förvld, vnlgtvs 5%) Test estäms så tt P(Typ I-fel) = α. Styrk (power): - P(Typ II-fel), nvänds för tt edöm hur r ett test är och för stckprovsdmensonerng. p-värde: den mnst sgnfknsnvå som H förksts på. (om p-värdet < förvlt α förksts H ) Låt X, X,,X n vr oer. och N(μ, σ ) -fördelde (σ känd). H : μ = μ, H : μ μ μ sktts med. Om vvker mycket från μ tyder det på tt H är snn, dvs. μ om vvker mycket från. X μ Om H är snn är Z = N(,) Bestäm k och k så tt α = P(förkst H då H är snn) = X μ X μ P > ( Z < k ) + P( Z ) < k + P > k k = P

7 α/ - α α/ λ α / λ α / Välj k = -λ α/ och k = λ α/ (om α =.5 λ α/ =.96). μ Förkst H om μ < - λ α/ eller > λ α/, dvs. om < μ λ eller > μ + λ. α / α / Olk vrnter v test fnns smmnfttde på nsdn v okens pärmr. Konfdensntervll: Ett ntervll [L, U] som täcker den prmeter mn skttr med snnolkheten -α. Om X, X,,X n vr oer. och N(μ, σ ) -fördelde (σ känd) är L = λ α / σ/ n och U = + λα / σ/ Förkst H om μ [L, U]. n.