Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)"

Ann Persson
för 6 år sedan
Visningar:

1 TENTAMEN 7 e 8, HF oh HF8 Moment: TEN Lnjär lger, hp, skrftlg tentmen Kurser: Lnjär lger oh nlys HF oh Anlys oh lnjär lger, HF8, Klsser: TIELA, TIMEL, TIDAA T: 8-, Plts: Cmpus Flemngserg Lärre: Mr Shmoun oh Armn Hllov Exmntor: Armn Hllov Betygsgränser: Mxpoäng För etyg A, B, C, D, E, Fx krävs, 9,,, respektve 9 poäng Hjälpmeel på tentmen TEN: Utel formell Mnräknre ej tllåten Kompletterng: 9 poäng på tentmen ger rätt tll kompletterng etyg Fx Skrv enst på en s v ppperet Skrv TYDLIGT NAMN oh PERSONNUMMER på vrje l, speellt tylgt på försättslet, eftersom tentorn sknns oh utomtskt koppls tll nmn/personnummer som fnns på försättslet Inlämne uppgfter skll mrkers me kryss på försättslet Tentfrågor vs et här let sk lämns n tllsmmns me lösnngr Tll smtlg uppgfter krävs fullstäng lösnngr Uppgft p Stuent som är gokän på KS hoppr över uppgft p Beräkn volymen v en prllelleppe som spänns upp v vektorern,,,,, oh,, p Bestäm en ekvton för plnet som går genom punktern A,,, B,,, C,, Uppgft p För vlk vären på prmetern hr ekvtonssystemet x y x y x y exkt en lösnng oänlgt mång lösnngr ngen lösnng Vr go vän

2 Uppgft p Skrv et komplex tlet på formen re θ Uppgft p Lös ekvtonen 8 oh nge lösnngrn exkt på formen Uppgft p Låt A, B, C Lös följne mtrsekvtoner me vseene på X p AX BX C p XA BX C Uppgft p Bestäm egenvären oh egenvektorer tll mtrsen M Uppgft 7 p Gven är punkten C,, oh plnet α: x y Bestäm en ekvtonen för sfären som hr punkten C som meelpunkten oh som tngerr plnet α Uppgft 8 p Låt ABC vr en trngel V eteknr me A, B, C mttpunkter på BC, AC oh AB Låt vre T vr skärnngspunkten melln sträkorn AA oh BB Bevs tt AT AT Anmärknng: En smmnnnngssträk melln trngelns hörn oh motståene ss mttpunkt klls men Skärnngspunkten melln mener klls trngelns tyngpunkt Du sk fktskt evs tt tyngpunkten elr menen förhlnet : Lyk tll!

3 FACIT: Uppgft p Stuent som är gokän på KS hoppr över uppgft p Beräkn volymen v en prllelleppe som spänns upp v vektorern,,,,, oh,, p Bestäm en ekvton för plnet som går genom punktern A,,, B,,, C,, V En normlvektor tll plnet är n AB AC är AB,, oh AC,, V hr j k n AB AC j k j k,, Plnets ekvton: x y eller x y Svr: Volymen x y Rättnngsmll: Ett poäng för korrekt uppställnng v etermnnten V p om llt är korrekt Ett poäng för en korrekt normlvektor p om llt är korrekt

4 Uppgft p För vlk vären på prmetern hr ekvtonssystemet x y x y x y exkt en lösnng oänlgt mång lösnngr ngen lösnng Systemets etermnnt är et A Systemet hr exkt en lösnng om V unersöker systemet för : För får v systemet x y x y x y x y E E y y x y E E y Systemet är lösrt me lene oh en fr vrel Därför hr systemet oänlgt mång lösnngr om Systemet hr exkt en lösnng om Oänlgt mång lösnngr om Fllet ngen lösnng kn nte förekomm enn uppgft Rättnngsmll: p för korrekt etermnnten D p för vrje el, eller Uppgft p Skrv et komplex tlet på formen re θ Meto Först skrver v på potensform V hr oh θ rg rtn

5 Därme e Nu hr v e e e V kn skrv resultt på fler olk sätt l nnt e e 8 8 e e e Svr: e Alterntv: e eller e 8 Rättnngsmll för meto : Korrekt tll e ger p Allt korrekt p Meto Först skrver v på polär form vs trgonometrsk form, eräknr uttryket oh ärefter skrver resulttet på potensform form os sn os sn os sn os sn os sn os sn e 8 8 Rättnngsmll för meto : Korrekt tll os sn ger p Allt korrekt p Uppgft p Lös ekvtonen 8 oh nge lösnngrn exkt på formen Meto : V skrver högerleet på potensform / 8e / k / k / Härv 8 e e, är k,,

6 För k hr v / e e os sn För k hr v / e e os sn / e e Svr: 9 9 os sn os sn,, Rättnngsmll meto : p för korrekt tll / 8e p för vrje korrekt lösnng,, Meto : Omskrvnng v å leen tll polärform: r Lkheter gäller om: osv sn v 8 os sn r 8 r oh Ekvtonens tre rötter estäms för n,, : os sn v n är n Ζ v n os sn os sn os sn os sn Svr:,, Rättnngsmll meto : p för korrekt tll r osv sn v 8 os sn p för vrje korrekt lösnng,, Uppgft p Låt A, B, C Lös följne mtrsekvtoner me vseene på X p AX BX C p XA BX C Noter tt v X står tll höger om A oh B å termer vänsterleet v ekvtonen

7 C BX AX Därför kn v fktorser vänsterleet V får C X B A Alltså X * Mtrsen D är nverterr eftersom etd V hr D Från * hr v X Svr 9 9 X Rättnngsmll : p för korrekt nversmtrsen B A Noter tt v X står på olk sor om A oh B termern vänsterleet v ekvtonen C BX XA Därför kn v INTE fktorser vänsterleet V nväner följne nsts X som v susttuerr ekvtonen C BX XA V får,,

8 Härv får v följne system: sys * Från först två ekv får v oh Dett susttuers ekv oh oh fås 9 Sst två ekv ger oh Därme X Svr: X Rättnngsmll : p för korrekt tll oh me systemet sys * Uppgft p Bestäm egenvären oh egenvektorer tll mtrsen M Steg V får mtrsens egenvären genom tt lös en krkterstsk ekvtonen et I A EKV V hr: Härv oh Steg För vrje egenvären vs lösnng tll EKV k susttuerr v k v I A EKV

9 oh estämmer motsvrne egenvektor x ger y oh följne system x y x y x y Härv y t oh egenvektorer t, oh ärme är v, är t R, t tllhörne t y t ger x y oh följne system x y x y x y t Härv y t oh y t, oh ärme är v, är t R, t tllhörne t egenvektorer Anmärknng: Nollvektorn räkns nte som en egenvektor, ärför t Svr: egenvären oh me tllhörne egenvektorer t v t resp v t t är t R, t Rättnngsmll: Korrekt två egenvären ger p Korrekt ett egenväre me tllhörne egenvektor ger p Allt korrektp Uppgft 7 p Gven är punkten C,, oh plnet α: x y Bestäm en ekvtonen för sfären som hr punkten C som meelpunkten oh som tngerr plnet α Sfärens re är lk lång som vstånet melln punkten C oh plnet α r C, α Sfären estår v ll punkter R vrs vstån tll punkten C är lk me r

10 Sfärens ekvton me ren r oh meelpunkten C,, lr: x y, eller y x x y Rättnngsmll p för korrekt ren Svr: Uppgft 8 p Låt ABC vr en trngel V eteknr me A, B, C mttpunkter på BC, AC oh AB Låt vre T vr skärnngspunkten melln sträkorn AA oh BB Bevs tt AT AT Anmärknng: En smmnnnngssträk melln trngelns hörn oh motståene ss mttpunkt klls men Skärnngspunkten melln mener klls trngelns tyngpunkt Du sk fktskt evs tt tyngpunkten elr menen förhlnet : C B T A A C B V söker tlet x så tt AT x AA oh tlet y så tt BT y BB Vre eteknr v AB, AC oh på två olk sätt: oh uttryker x x AT x AA x AB BA x * Anr sätt tt eräkn vektorn AT : V går genom punkten B AT som en lnjär komnton v

11 AT AB BT AB y BB y BA AB y y Från * oh ** hr v x x y y eller om v skrver, på vr sn s y ** x y x y *** Eftersom, är ke prllell vektorer är *** möjlg enst om följne två vllkor är uppfyll x y oh y x Från y x hr v x y x som v susttuerr y oh får x x x x Därför y x Alltså, v hr fått AT x AA AA oh BT y BB BB Därme / elr v menen AA lgger melln hörnet A oh T oh / melln T oh sns mttpunkt A Alltså T elr AA förhållnet : Rättnngsmll p för korrekt evs me ålg förklrng p om evset är korrekt me r förklrng

Relevanta dokument

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: 115-1715,