Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Transkript

1 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53

2 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl

3 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen kn t.ex. representer en punkts position i det 3-dimensionell rummet, där, och är punktens koordinter i ett givet koordint-system bestående v tre (oberoende) koordintriktningr, som t.ex. väst-öst, söder-norr, ner-upp, representerde v tre koordintxlr motsvrnde den reell tllinjen med ett gemensmt origo, se figur. g replcements. p.3/53

4 3D Linjär lgebr En sådn tripel kn också tänks representer smm punkts läge reltivt origo, och beskrivs då med fördel v en pil utgående från origo med utsträckning, resp i de tre koodintriktningrn. Vi noterr tt en sådn pil eller vektor hr sin spets i punkten. tillämpningr representerr punkter position och vektorer förskjutningr (reltivlägen), hstigheter, ccelertioner och krfter.. p.4/53

5 3D Linjär lgebr Sklning och ddition v vektorer: Vektorer/pilr kn (till skillnd från punkter) på ett nturligt sätt skls, dvs multiplicers med sklärer, dvs tl: och dders:. p.5/53

6 3D Linjär lgebr 2.5 b +b 1.5 Som vnligt skriver vi som och som. Vektorn klls nollvektorn. Noter de två olik typern v nollor här!. p.6/53

7 3D Linjär lgebr Följnde räknelgr kn nu verifiers: dvs dditionen kommuttiv! och ssocitiv # $ $ och distributiv lgrn # $ $,, %. p.7/53

8 ( ' (. p./53 3D Linjär lgebr En vektors norm, dvs Euclidisk längd ges enligt Längden v en vektor PSfrg Pythgors replcements v ' (. Mtlb: length() ger 3, norm() ger

9 * + ) * * ) ) *, + +, ) 3D Linjär lgebr Polär frmställning v vektorer: Vektorer kn även beskrivs med hjälp v s.k. (rymd)polär koordintern, och (se figur) som sin cos sin ) sin cos ) där lltså. eplcements -/. -/., ) * 2, 10 -/. + 2, 0) + *. p.9/53

10 3D Linjär lgebr Vi noterr speciellt tt riktning som med längd 3 354, dvs prllell med ger en vektor med smm, men normliserd, dvs. p.10/53

11 3D Linjär lgebr Bs Vektorern, och utgör (tills.) en bs för vektorern i rummet, dvs vrje vektor kn skrivs som en linjärkombintion v, och som ty PSfrg replcements p.11/53

12 3D Linjär lgebr Sklär produkt: Hr tidigre definiert sklning v en vektor genom multipliktion med ett (reellt) tl, och (i Mtlb) hr vi stött på komponentvis multipliktion v vektorer betecknd. Vi skll nu definier en ny typ v produkt v två vektorer där resulttet är sklärt, dvs ett tl, klld sklär produkten v och, och definerd som 7 9. p.12/53

13 * * 3D Linjär lgebr Hr tidigre sett tt signifiktivt för denn produkt är tt vektorern och är ortogonl, dvs vinkelrät mot vrndr, om och endst om. Mer llmänt gäller: 9 9 cos där är vinkeln melln och. b θ. p.13/53

14 : 3D Linjär lgebr Sklärprodukt och längd: Noterr speciellt tt, dvs, dvs det finns en nturlig koppling melln sklärprodukt och längd.. p.14/53

15 3D Linjär lgebr Projektion v en vektor på en vektor : En vektor s komponent i riktning klls projektionen v på, beteckns, och definiers ; 4 ; 4 b P (b). p.15/53

16 ( ( ( ( 3D Linjär lgebr Motivet för denn konstruktion är bl.. tt mn vill kunn del upp en vektor i en komponent prllell med och en komponent ortogonl mot, så tt. Klrt tt det här räcker tt bestämm eftersom sedn bestäms v. Komponenten prllell med ges v projektionen. ; 4 d b c = P (b). p.16/53

17 ( 3D Linjär lgebr skll vr ; 4 motivers v tt ; 4, dvs Formeln för prllel med ; 4 skll vr ortogonl mot ; 4, och tt som ju ger för något tl, dvs 9 dvs ; 4 9. p.17/53

18 3D Linjär lgebr Vektorprodukt v vektorer: och Denn produkt v 3d-vektorer definers då < < Vi noterr tt i specilfllet med vektorer i plnet, dvs med reducers denn produkt till < vilket vi tidigre tillåtit oss tt förkort till <. p.1/53

19 =?>?> B A 4 4 < < < < 3D Linjär lgebr Vilk egenskper hr då denn ny produkt? Jo, är ortogonl mot såväl som : Anlogt är. Vektorern, och bildr ett högersystem. Noterr också tt ntikommuttiv!, dvs kryssprodukten är. p.19/53

20 < =?> * 3D Linjär lgebr är proportionell mot. < Vidre klrt tt längden v vektorn såväl s längd som s längd, dvs Mer precist gäller tt < 3D 3B 3D 3 4 HDB E 4GF * sin ; 4 är ren v och <.. p.20/53 där är vilkeln melln och, dvs prllellogrmmen som spänns upp v

21 J 3D Linjär lgebr Rät linjens ekvtion: Ekvtionen genom punkten replcements representerr en rät linje prllell med :. p.21/53

22 J N P O 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Ekvtionen pln genom punkten ortogonlt mot representerr ett : < eplcements KM Q O KL. p.22/53

23 ( (. p.23/53 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Vi noterr tt plnets ekvtion även kn skrivs, dvs där. R9 R R9 med norml Exempel: Plnet genom punkten kn skrivs R dvs S

24 ( = = =?>?>?>?> T U T 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Ett pln givet på formen. Omvänt kn ett pln givet på formen och kn kn förstås lätt skrivs på formel eller genom tt t skrivs om på formen genom tt t som godtycklig vektor ortogonl mot sedn t som, t.ex Exempel: R R < R R9 < R V U, med skrivs som och. < < R. p.24/53

25 K 3D Linjär lgebr Skärning linje - pln: Skärningspunkten melln en linje och ett givet pln bestäms förstås genom insättning i ekvtionern för plnet. PSfrg replcements. p.25/53

26 >? >? >? S Y S. p.26/53 3D Linjär lgebr Exempel: Linjen UX UD = S S i punkten motsvrnde skär plnet, ty bestäms v. S

27 3D Linjär lgebr Skärning melln två pln ger en rät linje: frg replcements Exempel: Plnen och skär vrndr längs linjen, där punkten på linjen erhållits genom tt sök lösning till de två plnens ekvtioner med, och linjens riktningsvektor erhållits genom tt kryssmultiplicer de två plnens normler. <. p.27/53

28 Y Y S Y Y 3D Linjär lgebr Vi noterr tt en linje därför även kn ges som ett system v ekvtioner motsvrnde två pln. Två sådn pln-ekvtioner kn erhålls t.ex. genom tt eliminer prmetern i som följer: S kn skrivs t.ex. som motsvrnde två pln.. p.2/53

29 ( (. p.29/53 3D Linjär lgebr Avståndet melln två punkter: och melln punktern ges enligt Pythgors v Avståndet

30 ( 3D Linjär lgebr Avståndet från en punkt Söker först ger bestämms. till en given linje : sådn tt är ortogonl mot vrefter vståndet lätt kn Y. Dett g replcements Finns också en vståndsformel som bygger på kryssprodukt: <. p.30/53

31 R R 3D Linjär lgebr Avståndet från en punkt till ett pln R : Följer normlriktningen från till plnet, dvs bestämmer så tt ligger i plnet. Sedn fås vståndet lätt. R frg replcements R. p.31/53

32 $ 3D Linjär lgebr Avståndet linje-linje: Avståndet melln två givn linjer och ges v tt kortste sträckn melln de två linjern skll vr ortogonl mot både och. Dett bestämmer och vrefter vståndet kn beräkns. Exempel:.. $ Z,. p.32/53

33 R R R R 3D Linjär lgebr Projektion på ett plns norml: Ett elegntre sätt tt beräkn vståndet från en given punkt till ett pln genom med norml, är tt helt enkelt projicer vektorn på plnets norml, dvs beräkn R ; T och dess belopp ; T som ger det sökt vståndet. frg replcements ; T i figuren. p.33/53

34 R R R T B 3D F 3 T 3D Linjär lgebr Projektionen v en vektor på ett pln R : ges v (se figur) ; T frg replcements ; T ; T Klrt tt denn ortogonl mot R9 R9 R ; T, dvs ligger i plnet, ty. Vidre är ju ortogonl mot plnet, dvs är den ngivn projektionen. ; T ; T ; T. p.34/53

35 3D Linjär lgebr Alterntivt måste projektionen v på ett pln genom origo förstås ges v för något och. För tt skll bli ortogonl mot såväl som måste gäll: # # # dvs, och därmed projektionen. Noterr tt i ortonormerde gäller. och och vilket ger specilfllet. p.35/53

36 [ R R R [ 3D Linjär lgebr En punkts spegelbild i ett pln: Spegelbilden v en punkt beräkns enligt (se figur) i ett givet pln R kn nu R frg replcements. p.36/53

37 R 3D Linjär lgebr En stråles reflektion i ett pln: nfllnde ljus (?) med riktning i riktning (se figur) reflekters i plnet R9 ; T replcements ; T. p.37/53

38 T _ \ T T T bbcbb d bbcbb. p.3/53 3D Linjär lgebr Linjär ekvtionssystem: ` \ \^] med skrivs på kompkt form som bbcbb bbcbb och bbcbb bbcbb T ed ed ed

39 R ` 3D Linjär lgebr Geometrisk tolkning: pln i -dimensionellt -rum:. p.39/53

40 \ \ \ \ \. p.40/53 3D Linjär lgebr Noterr tt \ \ \ \ är en (linjär)kombintion v dvs betyder tt kolonnern i.

41 f Mtris-vektor multipliktion Exempel: S med lösning och. Ekvtionssystemet hr lösning om ingår i s kolonnrum.. p.41/53

42 3D Linjär lgebr Geometrisk tolkning: och. hr två 3-dimensionell kolonner PSfrg replcements ingår i s kolonnrum, gör det inte.. p.42/53

43 3D Linjär lgebr och spänner upp en prllellogrm med volym (re) skild från noll, och därmed ett helt pln! Säger tt och är oberoende och bildr en bs för vektorern i plnet. bs = oberoende och spänner upp PSfrg replcements g och däremot är beroende, spänner (endst) upp en prllellogrm med volym, och därmed inte hel plnet! g. p.43/53

44 =?>?> * 3D Linjär lgebr Anlogt spänner tre 3-dimensionell vektorer upp en prllellogrm med volym, och < < bsre cos höjd PSfrg replcements <. p.44/53

45 _ h k j h j h j h Mtrislgebr Volymen v den prllellogrm som kolonnern i en kvdrtisk mtris spänner upp, räknd med tecken, klls mtrisens determinnt och beteckns det : det R Erinrr oss tt dett ger volymen (ren) v prllellogrmmen: k j i h j i i Sfrg replcements i i. p.45/53

46 l 4 X det. p.46/53 Mtrislgebr Anlogt: det det det det Noterr tt D A4 4 W

47 m Mtrislgebr För determinnter gäller vidre det det om två kolonner byter plts byter determinnten tecken om två kolonner är lik (eller prllell) är determinten om en kolonn skls skls determinten lik mycket två rd/kolonnekvivlent mtriser hr smm determinnt. p.47/53

48 p = =?>?>?> n o Mtrislgebr Mtrislgebr: \ bcbbb bcbbb bcbbb \ r Tqp \ p bcbbb bcbbb bcbbb \ T o n. t s s u. s u s och u Observer: llmänhet gäller tt Däremot gäller s u s. p.4/53

49 x j j h v w y \ \ ) \ \ ) Mtrislgebr Guss elimintionsmetod: Om kvdrtisk och det : t hw i mtlb där betecknr en enhetsmtrisen, med ettor på digonlen och nollor för övrigt. Noterr tt ) ) ). p.49/53

50 h v w w Mtrislgebr Anlogt: Jcobis metod: j w j z hw inv i mtlb där inversmtrisen. {z z hr egenskpen z och. p.50/53

51 Mtrislgebr Crmers regel: det det _ }. p.51/53

52 @ =?> ~ u w u u u u u Mtrislgebr För kvdrtisk mtriser gäller lltså: Om det så är entydigt lösbrt för ll, då ju z t, och z z Omvänt, om är entydigt lösbrt för ll så finns mtris sådn tt vrv måste gäll tt det (ty kn även viss tt det det det ) vrv följer tt är inverterbr med invers. {z t. p.52/53

53 R ` ` R m m R m m Minst kvdrtmetoden Överbestämd ekvtionssystem: Ett överbestämt ekvtionssystem med i llmänhet exkt lösning, eftersom kolonnern i till ntlet i ett -dimensionellt rum. Minst kvdrtmetoden: sknr br är ger den (linjär)kombintion v de kolonnern i som ligger närmst, dvs är projektionen v på det pln som spänns upp v kolonnern i. Dett frmgår v tt dvs residulen (rdern i ). är ortogonl mot s kolonner. p.53/53