Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Transkript

1 Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner Exempel Determinntregler Crmers regel Adjunktformeln Ett elkretsproblem Determinnter Historien bkom determinntbegreppet är lite brokig Den först gången determinntliknnde resultt upptäcktes vr v den tyske filosofen och mtemtikern Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) när hn kom frm till ett determinntvillkor för när ett - system hr en nollskild lösning Hn skrev också upp lösningsformler som i ll väsentlighet påminner om vd vi numer kllr Crmers regel Lösningsformlern återupptäcktes på -tlet v den Gottfried Wilhelm Leibniz engelske mtemtikern Colin Mclurin för system upp till storlek Den schweiziske mtemtikern Gbriel Crmer generliserde regeln år till tt gäll godtyckligt stor kvdrtisk system och gv en llmän metod för tt beräkn determinnter vi utveckling Den som först börjde studer determinnter som ett mer självständigt ämne vr den frnske mtemtikern Alexndre- Théophile Vndermonde och hn kn sägs vr den som grundde den modern determinntteorin Teorin utveckldes vidre och fick den först systemtisk frmställningen i ett viktigt rbete v lndsmnnen Augustin Cuchy år 8, men det vr först på 8-tlet som determinnter blev mer känd inom mtemtiken genom fler rbeten v den tyske mtemtikern Crl Jcobi

2 Vd är en determinnt? Vd krävs för tt ett kvdrtiskt linjärt ekvtionssystem x x n x n b x x n x n b n x n x nn x n b n sk h exkt en lösning? Med ndr ord, vd krävs llmänt för tt en kvdrtisk mtris sk h en invers? Egentligen vet vi redn svret: Det krävs tt mtrisen kn rdreducers till enhetsmtrisen E Men det svret ger oss inget direkt villkor för när en llmän mtris hr en invers Vi sk istället försök tt härled ett mer direkt svr -fllet Vi börjr med -fllet Ett llmänt -system kn skrivs { x x b, x x b Låt oss för enkelhets skull nt tt För tt lös systemet multiplicerr vi ndr rden med och dderr en multipel v först rden till ndr rden, Den ndr rden blir då { x x b - x x b ( ) x b b Här ser vi tt systemet hr exkt en lösning om Vänsterledets uttryck klls för koefficientmtrisens determinnt och beteckns Om ser vi också tt systemet hr exkt en lösning om determinnten

3 -fllet För -system blir det lite mer omständigt, men om mn utför mnipultionern rätt fås i slutänden tt ett -system hr exkt en lösning om x x x b x x x b x x x b Dett uttryck klls för koefficientmtrisens determinnt och beteckns På ett liknnde sätt kn vi gå vidre och definier determinnter för större kvdrtisk mtriser Snbbformler för små determinnter Det finns enkl minnesregler för hur mn beräknr små determinnter -determinnter Om determinnten är så ritr vi ut höger- och vänsterdigonlern c c Determinntens värde är nu högerdigonlprodukten minus vänsterdigonlprodukten c b d b d b d b c d d bc Den viktig egenskpen hos determinnter är lltså tt det A A inverterbr Vi sk nu lär oss någr olik tekniker för tt beräkn determinnter Övning Beräkn

4 -determinnter (Srrus regel) Kofktorutveckling Vi plcerr kopior v de två först kolumnern till höger om determinnten 8 och ritr ut höger- och vänsterdigonler, 8 Determinntens värde får vi genom tt lägg ihop högerdigonlproduktern och dr ifrån vänsterdigonlproduktern Observer tt denn regel gäller endst för -determinnter Övning Beräkn När vi kofktorutvecklr en determinnt uttrycker vi dess värde i determinnter v mindre storlek (sk minorer) och reducerr därmed problemet ett steg Minorer En minor M ij v en determinnt är den deldeterminnt vi får när rd i och kolumn j stryks i den stor determinnten Övning M 8 Bestäm minoren M till

5 Utveckling längs en rd Vi kn beräkn en determinnt genom tt utveckl den längs en rd Vi illustrerr med ett exempel, I determinnten kn vi nu välj en rd (vilken som helst), tex rd, som vi utvecklr längs Vrje element på denn rd kommer ge upphov till en term i kofktorutvecklingen Termen som svrr mot det först elementet får vi genom tt multiplicer :n med minoren som återstår när rden och kolumnen som :n ingår i stryks Termen hr också ett tecken frmför sig som ges v motsvrnde element i följnde teckentbell Denn tbell byggs upp med ett :tecken i övre vänstr hörnet och sedn förekommer tecknen växelvis Näst term i utvecklingen blir multiplicert med motsvrnde minor Här hr vi nu ett minustecken frmför termen eftersom motsvrnde position i teckentbellen hr ett minustecken

6 Sedn får vi en term med gånger motsvrnde minor Denn gång med ett plustecken frmför Som synes växlr tecknet melln och Den sist termen hr därför ett minustecken Dett är kofktorutvecklingen v determinnten längs den tredje rden De mindre determinntern beräkns sedn med vlfri metod (tex med Srrus regel eller kofktorutveckling) Utveckling längs en kolumn Kofktorutveckling längs en kolumn går till på smm sätt som längs en rd Säg tt vi vill beräkn smm determinnt som tidigre längs den ndr kolumnen Precis som förut kommer vrje element i kolumnen ge en term i utvecklingen Elementet ger termen: gånger motsvrnde minor Tecknet frmför termen är eftersom teckentbellen hr ett minus där :n står

7 Vi fortsätter sedn med de ndr tre elementen som ger tre minortermer med lternernde tecken, Ovnstående formel är kofktorutvecklingen v determinnten längs den ndr kolumnen Övning ) Utveckl determinnten längs den ndr rden b) Utveckl determinnten längs den tredje kolumnen 8 Rd- och kolumnopertioner Den ndr tekniken som vi sk nvänd för tt beräkn determinnter är rd- och kolumnopertioner Tillväggångssättet liknr det vi nvänder vid gusseliminering Vi rd- och kolumnopertioner förenklr vi determinnten tills den blivit så enkel tt vi direkt kn beräkn dess värde Rdopertioner Om vi utför en rdopertion på en determinnt så förändrs dess värde enligt följnde regler: A A A A A A Övning Rätt eller fel? ) b) 8 8 c)

8 För prktisk räkning kn det vr enklre tt vänd på reglern och skriv A A A A, där A A Strtegin när vi beräknr en determinnt är tt vi med rdopertioner omvndlr determinnten till en speciellt enkel determinnt, tex en tringulär determinnt Värdet v en tringulär determinnt är nämligen lik med produkten v digonlelementen Sts t t t n t t n t nn t t t nn Beviset är tt kofktorutveckl determinnten hel tiden längs den först kolumnen, t t t n t t t t n n t t nn t nn t t n t t t t t nn t nn Exempel Vi illustrerr metoden med ett exempel, Först byter vi plts på rd och för tt få bort nolln i övre vänstr hörnet Dett steg gör tt determinnten byter tecken, Sedn vill vi h nollor under :n i först kolumnen, och det får vi genom tt dder två gånger först rden till den ndr rden Denn rdopertion ändrr inte determinntens värde Vi byter plts på rd och (Noter teckenbytet) 8

9 Till sist dderr vi tre gånger ndr rden till tredje rden för tt få en tringulär determinnt som vi direkt kn beräkn Kolumnopertioner På determinnter kn vi också utför kolumnopertioner, och då förändrs determinntens värde enligt reglern A A A A, där A A Övning Utför kolumnopertionern ) c) b) Exempel Vi sk beräkn determinnten Det först vi kn noter är tt den ndr och fjärde kolumnen är nästn lik, så om vi subtrherr den en kolumnen från den ndr så får vi en kolumn med mång nollor i vilket öppnr för en kofktorutveckling, Kofktorutveckl den fjärde kolumnen () Kofktorutveckl den ndr rden () ( ) Det är vnligt tt mn blndr olik tekniker på dett sätt

10 Exempel Vd är villkoret på tlet för tt ekvtionssystemet x y z v x y z v x y z v x y z v skll h precis en lösning? Skriver vi systemet i mtrisform x y z v så vet vi tt ekvtionen hr precis en lösning när koefficientmtrisen hr en invers och det är när dess determinnt inte är noll Vi beräknr lltså determinnten Vi börjr med tt utför någr rdopertioner - - När vi nu fått en kolumn med mång nollor i kofktorutvecklr vi längs den Sedn ser vi tt först och ndr kolumnen nästn är lik Kofktorutveckl den först kolumnen ( ) ( ) ( ( )() ( )() ) ( )( ) Determinnten är skild från noll när och

11 Determinntregler Om A och B är n n-mtriser och är en sklär då gäller tt det(a) n det A det(ab) det A det B det(a T ) det A det(a ) det A Dess determinntregler kn tex nvänds för tt förenkl determinntuttryck innn de beräkns Crmers regel Crmers regel säger tt om mtrisen A är inverterbr så hr det linjär ekvtionssystemet Ax b lösningen x i det A i det A, för ll obeknt x i, där A i är mtrisen A men med kolumn i erstt med högerledet b Exempel Bestäm x ur ekvtionssystemet x y z x y z x y z Eftersom vi br vill bestämm en vribel i systemet kn Crmers regel vr lämplig Nu vet vi visserligen inte om koefficientmtrisen är inverterbr men det märker vi när vi beräknr determinnten i nämnren Enligt Crmers regel är x I täljrdeterminnten hr vi erstt kolumnen som svrr mot x med högerledet Srrus regel ger, Alltså är x /

12 Bevis v Crmers regel ( -fllet) Ett llmänt -system kn skrivs x x x b x x x b x x x b eller mer kompkt som en mtrisekvtion Ax b Om vi börjr med tt betrkt uttrycket x det A x Enligt ekvtionssystemet är den ndr kolumnen lik med högerledet Vi hr lltså vist tt b b b det A x det A det A x det A det A På motsvrnde sätt får vi frm formlern för x och x så kn vi multiplicer in x i den ndr kolumnen (kolumnen som just svrr mot x ) x x x Adder nu lämplig multiplr v kolumn och till kolumn, x x x x x x x x x x x x x x

13 Säg tt vi hr en -mtris A Adjunktformeln och vill bestämm inversen till A, A x x x x x x x x x Ett sätt tt gör dett på är tt ställ upp AA E, x x x x x x x x x och försök bestämm x ij :n ur smbndet Om vi tittr på den först kolumnen i enhetsmtrisen i högerledet så ser vi tt den bestäms genom tt multiplicer rdern i A-mtrisen med först kolumnen i A -mtrisen, x x x x x x x x x Om vi br vore intresserde v denn först kolumn så skulle vi kunn skriv smbndet melln leden som x x x, Från dett smbnd kn vi lös ut x, x och x med Crmers regel x x x det A det A det A det A det A det A M det A, M det A, M det A Tittr vi sedn på de ndr kolumnern i enhetsmtrisen så kn vi på smm sätt bestämm de två ndr kolumnern i mtrisen A I slutänden fås formeln A det A Dett klls för djunktformeln M M M M M M M M M T

14 Exempel Bestäm inversen till Enligt djunktformeln ges inversen v A det A M M M M M M M M M Vi beräknr determinnten och minorern det A M M (), T,, M M M M M M M Inversen är A T,,,,,,

15 Bestäm hur mycket ström som går genom resistorn R i kretsen till höger Ett elkretsproblem Inför strömmr och spänningr I I U R R R R R U U ± Ohms lg ger U U U () U R I, U R I, U R I, U R I, U R I Stoppr vi in dess smbnd i () till () så får vi ekvtioner som br innehåller strömmr U I I I U U Kirchhoffs strömlg ger I I I I I I () I I I I () I I R I R I R I ( ) R I R I R I ( ) R I R I U ( ) Stoppr vi sedn in I och I enligt () och () in i ( ) till ( ) så får vi ekvtioner som br innehåller I, I och I, R I (R R )I R I R I (R R )I R I R I (R R )I U Kirchhoffs spänningslg U U U () eller i mtrisform R (R R ) R R R R R R (R R ) I I I U U U U ()

16 Eftersom vi br söker I och koefficientmtrisen innehåller mång symboluttryck är det enklst tt nvänd Crmers regel I R R R R U (R R ) R (R R ) R R R R R R (R R ) Svret är lltså I R R R R ( R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ) U Täljrdeterminnten räknr vi ut med en kofktorutveckling längs den ndr kolumnen, R R R R U (R R ) U(R R R R ), (U) R R R R och nämnrdeterminnten räknr vi ut med Srrus regel R (R R ) R R R R R R (R R ) R (R R )(R R ) R R R R R R R (R R )(R R ) R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

17 Avsnitt Determinnter L Använd determinnter för tt vgör om följnde mtriser är inverterbr ( ) ) b) 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En mtris A är inverterbr om och endst om det A Vi beräknr därför determinnten v respektive mtrisern och kontrollerr om den är noll ) Med minnesregeln får vi c b d Alltså är mtrisen inverterbr b c d d bc b) Vi beräknr -determinnten med Srrus regel Tg de två först kolumnern i determinnten och plcer kopior v dess till höger om determinnten, 8 8 Determinntens värde får vi genom tt lägg ihop högerdigonlproduktern och dr ifrån vänsterdigonlproduktern 8 8 Mtrisen är inte inverterbr c) Srrus regel ger () () () () () () 8 8 Dett visr tt mtrisen är inverterbr d) Vi får tt determinnten är cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ ( sin ϕ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ b) Mtrisen är därför inverterbr (för ll värden på ϕ) L Hur mång lösningr hr ekvtionssystemen? c) x x x x x x x x x x x x x x x x x x b) Ett sätt tt vgör hur mång lösningr systemet hr är tt gusseliminer till ett slutschem och där vläs svret I dett fll kn vi dock få ett snbbre svr genom tt beräkn koefficientmtrisens determinnt Om det så vet vi tt systemet måste h exkt en lösning Om det hr slutschemt en nollrd vilket vnligtvis betyder tt vi ntingen hr en prmeterlösning eller tt systemet sknr lösning

18 Men i dett fll hr vi ett homogent system (högerledet består br v nollor) och då kommer ll nollrder vr v typen Vi kommer lltså h en prmeterlösning Om vi summerr så hr vi lltså determinnt exkt en lösning, determinnt prmeterlösning Vi bestämmer nu determinntens värde L För vilk värden på konstnten är mtrisen inverterbr? ( Vi kn bestämm exkt när mtrisen är inverterbr genom tt beräkn dess determinnt Br när determinnten är skild från noll är mtrisen inverterbr Vi hr ) ( )( ) och vi ser tt när inte är en rot till polynomet så är mtrisen inverterbr, dvs när och är mtrisen inverterbr Systemet hr därför en prmeterlösning c) Vi kn nvänd smm resonemng som i b-uppgiften, men denn gång kn vi inte uteslut tt systemet sknr lösning om determinnten är noll eftersom vi inte hr ett homogent system Vi hr därför tt determinnt exkt en lösning, determinnt prmeterlösning eller sknr lösning Skulle det vis sig tt determinnten är noll får vi gå den lång vägen och gusseliminer Koefficientmtrisens determinnt är { Se uppgift Lc } Svret är tt systemet hr exkt en lösning L Beräkn determinnten Vi sk lös uppgiften med två metoder Metod (Kofktorutveckling) Vi kn välj tt kofktorutveckl längs en rd eller en kolumn i determinnten Förslgsvis väljer vi en rd/kolumn med mång nollor i sig så tt så mång termer som möjligt blir noll i utvecklingen I vår determinnt spelr det ingen roll vd vi väljer så vi väljer rd,

19 Vrje element i rden ger upphov till en term i utvecklingen Vrje term är elementet gånger motsvrnde minor och tecknen frmför termern ges v motsvrnde rd i teckentbellen Minorern i utvecklingen kn vi räkn ut på vlfritt sätt, tex med kofktorutveckling I determinnten väljer vi tt utveckl längs den ndr kolumnen (eftersom vi br hr ett nollskilt element där) Vi utvecklr determinnten ( () () ) längs den först rden ( ) ( ) ( () () ) Om vi smmnställer uträkningen hr vi ( ) ( ) () Metod (Rdopertioner) Med hjälp v rdopertioner kn vi reducer en determinnt till en tringulär determinnt vrs värde är produkten v digonlelementen Vid vrje rdopertion ändrs determinntens värde enligt reglern A A A A, där, A A När vi rdreducerr nvänder vi smm strtegi som vid gusseliminering Vi börjr med (, )-elementet och ser till tt få nollor under, -

20 Noter tt rdopertionen inte ändrde determinntens värde Vi går vidre till (, )-elementet och utför en rdopertion så tt vi får nollor därunder, Nu hr vi fått en tringulär determinnt och dess värde är produkten v digonlelementen () - Lb Beräkn determinnten Den först frågn vi ställer är: sk vi kofktorutveckl eller nvänd rdopertioner? I dett fll är nog rdopertioner tt föredr eftersom kofktorutveckling brukr mn normlt nvänd när determinnten innehåller någon rd eller kolumn med mång nollor Vi får () Lägg märke till tt strtegin vid rdreduceringen inte är identisk med vnlig gusseliminering Vi struntr i tt rdreducer uppåt eftersom det räcker med tt vi når en tringulär determinnt på slutet

21 Lc Beräkn determinnten 8 L Är mtrisen inverterbr? Här ser vi tt den tredje kolumnen hr mång nollor i sig, så vi börjr med tt utveckl längs den Eftersom det br finns ett nollskilt element i kolumnen hr utvecklingen br en term, 8 I den ny determinnten hr den fjärde kolumnen endst ett nollskilt element så vi utvecklr längs den () 8 Att vi får ett minustecken frmför :n kn vi se genom tt strt vid (, )- elementet med ett :tecken och sedn gå stegvis mot :ns position och vid vrje steg byt tecken Vi vet tt mtrisen är inverterbr om och endst om determinnten När vi sk beräkn determinnten ser det ut tt vr ett gränsfll melln om vi sk kofktorutveckl eller rdreducer Vi kn börj med en rdopertion, Här kn det vr lämpligt tt utveckl längs den ndr rden, Vi hr nu en tringulär determinnt och får värdet som produkten v digonlelementen, Mtrisen är lltså inverterbr Den determinnt vi nu hr fått är en -determinnt och den skulle vi kunn räkn ut med Srrus regel men smtidigt ser vi tt den först kolumnen br hr ett nollskilt element, så vi utvecklr längs kolumnen istället, () 8 () (8 )

22 L Hur mång lösningr hr ekvtionssystemet? x x x x x x x x x x x x x x x x Först och främst hr systemet exkt en lösning om koefficientmtrisens determinnt är skild från noll Eftersom systemet är homogent så kommer det i fllet tt determinnten är noll tt h en prmeterlösning Vi hr lltså determinnt exkt en lösning determinnt oändligt mång lösningr Determinnten är Det verkr inte finns någon öppning för en kofktorutveckling så vi rdreducerr istället, Här kn det vr lämpligt tt utför en kolumnopertion för tt flytt nollorn från tredje kolumnen till den ndr kolumnen - L Mtrisern A, B 8 är inverterbr Beräkn det ( C AB(B AC ) ) och C 8 8 Istället för tt först beräkn den komplicerde mtrisprodukten och sedn t determinnten v llt sk vi nvänd determinntreglern det(ab) det A det B det(a ) (det A) smt mtrisräknereglern och förenkl uttrycket innn vi sätter igång tt räkn Först delr vi upp uttrycket i fktorer det ( C AB(B AC ) ) det C det A det B det(b AC ) Den sist fktorn kn förenkls med regeln för inverser, det C det A det B det(b AC ) och vi utvecklr nämnren i determinntfktorer det C det A det B det B det A det C det B det B det B det B det B det B Determinnten v B är enkel tt beräkn eftersom B är en tringulär mtris, 8 det B Vi hr därmed tt det ( C AB(B AC ) ) det B Alltså hr systemet oändligt mång lösningr

23 ( L Skriv upp inversen till mtrisen Adjunktformeln säger tt A ( M M det A M M ) med djunktformeln ) T, där M, M, M och M är mtrisens minorer Minoren M ij till mtrisen får vi genom tt stryk rd i och kolumn j i mtrisen och t determinnten v delmtrisen I vårt fll är M M och determinnten är det A Inversen är Kontroll: A A A ( ( M M () ) ( ) T ( ) ( ) ) Lb Skriv upp inversen till mtrisen med djunktformeln Vi nvänder djunktformeln återigen A det A M M M M M M M M M Minorern och determinnten får vi till det A Här ser vi tt en invers skns eftersom determinnten är noll L Lös systemet { x y x y 8 med Crmers regel Vi skriver först ekvtionssystemet i mtrisform ( ) ( ) ( x y 8 För tt vi sk kunn nvänd Crmers regel måste koefficientmtrisen vr inverterbr, dvs determinnten vr skild från noll, Enligt Crmers regel är vrje obeknt lik med kvoten v två determinnter 8 8 x och y ) T

24 Nere i nämnren hr vi koefficientmtrisens determinnt I täljren tr vi determinnten v den mtris vi får när den kolumn i koefficientmtrisen som svrr mot vribeln ersätts med högerledet x y Vi kontrollerr också svret x y,, x y () 8 De fyr determinntern beräknr vi med de vnlig metodern { Srrus } () (), { Utveckl först kolumnen }, { Utveckl ndr kolumnen }, { Utveckl tredje kolumnen } Lösningen är lltså Lb Lös systemet med Crmers regel x y z x y z x y z Vi kontrollerr svret x, y, z x y z ( ), x y z ( ) ( ) x y z ( ) ( ), Crmers regel ger tt lösningen (förutstt tt vi hr exkt en lösning) ges v x, y, z 8