Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Transkript

1 Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol

2 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten för linjen genom punktern (x, f(x)) oc (x +, f(x + )). y=f(x) (x+,f(x+)) (x,f(x)) Figur 1: Differenskvoten kn tolks som riktningskoefficienten för linjen melln punktern (x, f(x)) oc (x +, f(x + )). Derivtn f (x) v funktionen f(x) i punkten x fås som gränsvärdet v differenskvoten då går mot noll oc tolks geometriskt som riktningskoefficienten till funktionens tngent i punkten x. 2 Derivtn för f(x) = x 2 Vi börjr med tt titt på funktionen f(x) = x 2. Differenskvoten blir (x + ) 2 x 2 Utveckling med kvdreringsregeln oc förenkling ger 2x + 2 = 2x + Gränsvärdet blir 2x då går mot noll oc vi r vist tt f (x) = 2x. 2

3 3 Derivtn för f(x) = x n Vi sk nvänd Mxim för tt ärled en llmän deriveringsregel för f(x) = x n där n är ett eltl. Vi börjr med f(x) = x 3. Strt Mxim oc skriv in f(x) := x^3 d : (f(x+) - f(x))/ Förenkl differenskvoten d genom tt ge kommndot rtsimp(d) Skriv ner det förenklde uttrycket oc bestäm derivtn genom tt låt gå mot noll. Upprep proceduren för funktionern f(x) = x 4, x 5, x 6. Vi tittr nu på funktionen f(x) = x 1 = 1/x. Skriv in f(x) := x^-1 d : (f(x+)-f(x))/ Förenkl differenskvoten d genom tt ge kommndot rtsimp(d) Skriv ner det förenklde uttrycket oc bestäm derivtn genom tt låt gå mot noll. Upprep proceduren för funktionern f(x) = x 2, x 3, x 4. Smmnftt det du r gjort oc skriv upp en llmän regel för derivtion v funktionen f(x) = x n där n är ett eltl. 3

4 4 Definition v integrl Låt f(x) vr en kontinuerlig funktion i ett intervll [, b]. Vi delr in intervllet i n stycken lik stor delintervll med jälp v indelningspunktern = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = b. Om vi betecknr mittpunkten i intervllet [x i 1, x i ] med ξ i oc låter x i = (b )/n stå för bredden v intervllet så fås integrlen b f(x)dx som gränsvärdet v den så kllde Riemnnsummn n f(ξ i ) x i i=1 då n går mot oändligeten. Riemnnsummn kn geometriskt tolks som ren (med tecken) v stplrn med bredden x i oc öjden f(ξ i ) oc då n går mot oändligeten övergår summ v stpelreorn till ren under grfen. y=f(x) =x x x x ξ x i 1 i i x x =b n 1 n Figur 2: Integrlen b f(x)dx fås som gränsvärdet v Riemnnsummn då ntlet intervll n går mot oändligeten. 5 Smbnd melln integrler oc derivt Leibniz oc Newton fnn ett smbnd melln integrler oc derivtor oc vi r den så kllde insättningsformeln b f(x)dx = F(b) F() 4

5 där F(x) är den primitiv funktionen till f(x), dvs F(x) är sådn tt F (x) = f(x). Insättningsformeln innebr ett mycket stort steg frmåt oc integrlen v t.ex. prbeln y = x 2 som under ntiken de beräknts v Arkimedes med ytterligt komplicerde summtionsmetoder kunde nu enkelt beräkns på en rd. 6 Integrl för f(x) = x n Vi sk nvänd Mxim för tt komm frm till insättningsformeln för f(x) = x n där n är ett positivt eltl. Vi börjr med f(x) = x 2. Sätt upp oc beräkn Riemnnsummn genom tt ge kommndon dx : (b-)/n f(x) := x^2 s : sum(f(+(i-1/2)*dx)*dx,i,1,n), simpsum Förenkl summn med rtsimp(s) Skriv ner det förenklde uttrycket för Riemnnsummn oc bestäm integrlen genom tt låt n gå mot oändligeten. Upprep proceduren för funktionern f(x) = x 3, x 4, x 5. Smmnftt det du r gjort oc skriv upp en llmän regel för integrtion v funktionen f(x) = x n där n är ett positivt eltl. Vis tt formeln är i överensstämmelse med insättningsformeln. 7 Redovisning v uppgiftern Uppgiftern skll redoviss i en skriftlig rpport skriven i Word eller Open Office som lämns in gruppvis. I rpporten skll det finns en smmnfttnde teoribkgrund. Resultt oc uttryck från Mxim skll redoviss. Förslgsvis kopierr ni utskriftern från Mxim direkt in Word med jälp v Edit oc Copy s imge (se vsnitt 1.8 i Mtemtik med dtorlgebrsystem). Slutsts oc smmnfttning skll också finns med i rpporten. Som frivillig extruppgift kn gruppen skp en egen Mximuppgift som lämpr sig för någon v gymnsiets kurser A-E. Det kn ndl om llt från differentilekvtioner till ur mn sätter summor v bråktl på minst gemensmm nämnre. En väl genomtänkt oc br formulerd uppgift vikts in positivt i kursens slutbetyg. 5