1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

Transkript

1 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler 25 7 Nollmängder och uppdelning v integrler 3 8 Vribelbyten i dubbelintegrler Linjär vribelbyten Polärt vribelbyte Trippelintegrlen och rymdpolärt vribelbyte 48 A Generliserde teckenväxlnde integrler 59 B Hlvkontinuerlig funktioner 63

2 2 Andres Axelsson, Lund 26 1 Inledning ett kompendium utvecklr den grundläggnde integrtionsteorin för funktioner v er vribler med utgångspunkt från öppn mängder och ders mått. Vi behndlr här frmförllt dubbelintegrlen f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 v en kontinuerlig funktion f : R över en öppen mängd R 2 i plnet. I kpitel 9 betrktr vi även trippelintegrlen f(x 1, x 2, x 3 ) dx 1 dx 2 dx 3 över en kropp R 3. Men det är frmförllt steget från enkelintegrlen till dubbelintegrlen som innebär ny begrepp och tekniker. När mn behärskr dubbelintegrlen är steget till trippel- och multipelintegrler litet. Kom ihåg tt enkelintegrlen b f(x) dx, om f, geometriskt betyder ren under grfen till f, det vill säg under kurvn y = f(x) och över intervllet (, b) på x-xeln. Anlogt är den geometrisk betydelsen v dubbelintegrlen f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2, då f, volymen under grfen till f, det vill säg under ytn x 3 = f(x 1, x 2 ) och över mängden i x 1 x 2 -plnet. Vi kllr denn tredimensionell mängd för f:s subgrf över, och skriver G (f). Vi hr lltså f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = G (f), (1.1) där Ω betecknr måttet v en öppen mängd Ω. Är Ω en mängd i rummet R 3 betyder mått volym, är Ω en mängd i plnet R 2 betyder mått re och är Ω en mängd på linjen R betyder mått längd. Vi denierr måttet v öppn mängder Ω i kpitel 2, vilket genom (1.1) denierr dubbelintegrlen. För tt sedn h en nvändbr teori, måste vi h metoder för tt räkn ut f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2, givet en funktion f : R på ett område. För enkelintegrlen b f(x) dx hr mn som beknt insättningsformeln b f(x) dx = F (b) F () = [F (x)] b, där F (x) är en primitiv funktion till f(x). I kpitel 5 visr vi hur dubbelintegrlen beräkns med itererd (=upprepd) enkelintegrtion genom ( b ) β(x1 ) f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = f(x 1, x 2 ) dx 2 dx 1. För tt nn dubbelintegrlens värde behöver mn, givet området R 2, förutom tt beräkn två primitiv funktioner (med vseende på x 2 och x 1 respektive), även förstå hur mn nner gränsern (, b) för den yttre integrlen smt gränsern (α(x 1 ), β(x 1 )) för den inre integrlen, i vilken x 1 är xt. α(x 1 )

3 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 3 För enkelintegrlen ser områden mn integrerr över, det vill säg intervll, lltid i princip likdn ut. ett i kontrst med dubbelintegrlen, där mängder R 2 uppvisr en betydligt större vrition. Två integrtionstekniker vid sidn om itererd integrtion, kn här vr nvändbr. I kpitel 7 lär vi oss hur mn kn uppdel området i enklre delområden 1,..., k i Följdsts 7.7. Anlogt med envribelfllet kn mn också byt vribler i dubbelintegrler. ett är ämnet för kpitel 8 där vi fokuserr på de två mest nvändbr vribelbyten. ess är linjär vribelbyten, vilk nvänds då till exempel området är ett prllellogrm eller en tringel, och det polär vribelbytet, vilket mn frmförllt nvänder då området är cirkulärt. Ett viktigt specilfll v polärt vribelbyte är den så kllde rdilformeln som mn nvänder då området är cirkulärt och funktionen är rdiellt symmetrisk. Vi ger här två bevis v denn formel, där det först är en tillämpning v skivformeln i kpitel 5. Vi går slutligen i kpitel 9 upp i dimension och ser hur trippelintegrler nlogt kn beräkns med itererd integrtion och med den tredimensionell motsvrigheten till polärt vribelbyte: det rymdpolär vribelbytet. ett ger oss ytterligre tekniker för tt beräkn volymer. Kpitel 6 behndlr generliserde integrler. En integrl klls generliserd då området och/eller integrnden f tillåts vr obegränsd stor. I dett fll är mn oft intresserd v tt vet om integrlen är konvergent eller ej. I Sts 6.9 lär vi oss jämförelsekriterier med vilk mn kn vgör om integrlen är konvergent eller divergent utn tt behöv räkn ut dess exkt värde. I kpitel 6 betrktr vi enbrt fllet då f eftersom fllet då f tillåts växl tecken blir något mer komplicert och lämns till Bilg A. e två bilgorn är vsedd för den mer teoretiskt intresserde läsren. ett kompendium är en vidreutveckling och omrbetning v BöiersClessons kpitel om integrtion i [1], mer specikt vsnittet om generliserde integrler. et är tänkt tt nvänds tillsmmns med [1] och ersätt teorin på s ett kompendium innehåller någr få exempel som visr hur teorin nvänds i prktiken. et är dock tänkt tt läsren också sk studer exemplen i [1, s ]. Vi kommer här nvänd delmängdssymbolen på det prktisk sättet, det vill säg med A B menr vi tt A är en delmängd v B, inte nödvändigtvis strikt. Vill vi nge tt delmängden är strikt (vilket är ytterst sälln) skrivs dett A B. Vidre menr vi med tt f är positiv tt f. Vi vstår från tt nvänd den mer korrekt terminologin icke-negtiv. 2 Måttet v en öppen mängd Vårt mål i de två inlednde kpitlen är tt denier dubbelintegrlen f(x) dx 1 dx 2 v en kontinuerlig och begränsd funktion f : R över en öppen och begränsd mängd R 2 i plnet. Anmärkning 2.1. I kpitel 2-5 kommer vi genomgående tt nt tt ll funktioner är begränsde och tt ll mängder är begränsde. Eftersom vi senre i kpitel 6

4 4 Andres Axelsson, Lund 26 kommer tt generliser denn teori till obegränsde funktioner och mängder, kommer vi explicit skriv ut i stsern tt funktionen och mängden nts vr begränsde br om dett verkligen är ett nödvändigt ntgnde och inte senre ts bort. Vi ntr till tt börj med tt f(x) i vrje punkt x och betrktr den tredimensionell mängden G (f) := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; (x 1, x 2 ), < x 3 < f(x 1, x 2 )}, som vi kllr f:s subgrf över området. Subgrfen är lltså området under f:s grf, det vill säg ytn x 3 = f(x 1, x 2 ), och rkt över mängden i x 1 x 2 -plnet. Vi kommer ihåg tt en mängd Ω R 3 är öppen om vrje punkt x Ω är en inre punkt, det vill säg om det existerr ett litet r > så tt klotet B(x, r) := {y R 3 ; y x < r} är helt innehållet i Ω. Öppenhet v en pln mängd Ω R 2 och för mängder Ω R på linjen deniers på smm sätt med hjälp v cirkelskivor (2-klot) respektive intervll (1-klot). Övning 2.2. Låt Ω R 3 vr en öppen mängd och låt V vr en linje (eller ett pln) i R 3. Vis tt tvärsnittet Ω V är en öppen mängd, betrktd som delmängd v R (eller R 2 ). Vis också tt projektionen v Ω på V är en öppen mängd, betrktd som delmängd v R (eller R 2 ). Lemm 2.3. Låt f : R vr en positiv funktion. Om R 2 är en öppen mängd i plnet och om f är en kontinuerlig funktion, så är subgrfen G (f) R 3 en öppen mängd i rummet. Bevis. Låt x = (x 1, x 2, x 3 ) G (f) vr en punkt i subgrfen, så tt < x 3 < f(x 1, x 2 ). Låt ɛ > vr tillräckligt litet så tt < x 3 ɛ och x 3 + ɛ < f(x 1, x 2 ). Eftersom f är en kontinuerlig funktion och är en öppen mängd, nns δ > så tt (y 1, y 2 ) och f(y 1, y 2 ) f(x 1, x 2 ) ɛ/2, då (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) δ.

5 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 5 Låt nu r := min(δ, ɛ/2) >. Vi sk vis B(x, r) G (f), vilket innebär tt x är en inre punkt i G (f). Antg därför tt y ligger i klotet, det vill säg tt y x < r. Speciellt ligger då y i cylindern med centrum i x, med höjd ɛ och rdie δ, det vill säg (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) < δ, y 3 x 3 < ɛ/2. Eftersom x 3 > ɛ följer det v ndr ekvtionen tt y 3 >. Vidre följer v först ekvtionen tt (y 1, y 2 ) och f(y 1, y 2 ) f(x 1, x 2 ) ɛ/2. ärför är y 3 < x 3 + ɛ/2 f(x 1, x 2 ) ɛ + ɛ/2 = f(x 1, x 2 ) ɛ/2 f(y 1, y 2 ). Vi hr vist tt vrje y B(x, r) tillhör subgrfen G (f). Sålund är subgrfen en öppen mängd. Anmärkning 2.4. Vi ser från beviset ovn tt den egenskp hos f vi egentligen behöver för tt subgrfen G (f) sk vr öppen är tt för vrje (x 1, x 2 ) och vrje ɛ > nns ett δ > sådnt tt f(y 1, y 2 ) f(x 1, x 2 ) ɛ, då (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) δ. En funktion f som uppfyller dett villkor klls nedåt hlvkontinuerlig. Vi sk nu denier vd som mens med måttet (=volymen) Ω v en öppen mängd Ω R 3 och därefter denier dubbelintegrlen v f över som f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 := G (f), förutstt tt f är en positiv funktion och tt subgrfen G (f) är öppen. Speciellt gäller det sistnämnd om f är en kontinuerlig funktion på en öppen mängd enligt Lemm 2.3. enition 2.5. Låt Ω R 3 vr en öppen mängd. En följd Ω, Ω 1, Ω 2,... v öppn delmängder till Ω, kort skrivet (Ω j ) j=, klls en uttömmnde svit för Ω om Ω Ω 1 Ω 2... Ω och j= Ω j = Ω. En uttömmnde svit är lltså en växnde följd v öppn delmängder som uttömmer Ω. Vi säger tt Ω j växer mot Ω och skriver Ω j Ω. Låt Ω R 3 vr en öppen och begränsd mängd. För tt denier måttet v Ω sk vi nvänd oss v en speciell uttömmnde svit: den knonisk sviten (U j ) j= för Ω. Vi beskriver nu hur, givet mängden Ω, mn konstruerr mängdern U U 1 U 2... Ω. Vi bildr den först mängden U enligt följnde. (i) el upp hel rummet R 3 i kuber Q med sidlängder 1 och hörn i punkter med heltlskoordinter. En sådn kub kn lltså skrivs där n 1, n 2, n 3 är heltl. Q = (n 1, n 1 + 1) (n 2, n 2 + 1) (n 3, n 3 + 1),

6 6 Andres Axelsson, Lund 26 (ii) Välj ut de kuber Q från steg (i) sådn tt Q Ω. Observer tt vi kräver tt hel kuben, inklusive sidytor, knter och hörn, är en delmängd v Ω. (iii) Bild unionen Ũ v de slutn kubern Q vld i steg (ii) och låt U := (Ũ) o vr den öppn mängd som är det inre v Ũ. Anmärkning 2.6. Betrkt en punkt x på en gemensm sidyt till två kuber Q 1 och Q 2. Vi ser tt x är en inre punkt i Ũ, det vill säg tillhör U, om och endst om både Q 1 och Q 2 vldes i (ii). För kntlinjer gäller på smm sätt tt ll fyr ngränsnde kuber måste h vlts för tt kntlinjen sk ingå i U, och för hörnpunkter måste ll ått ngränsnde kuber vlts. Mängdern U j i den knonisk sviten bilds sedn nlogt genom tt nvänd kuber med sidlängd 1/2 j. Till exempel för tt bild U 1 delr vi i steg (i) in R 3 i kuber med sidlängd 1/2 och hörn i punkter med koordinter som är 1/2 gånger ett heltl. En sådn kub kn skrivs Q = (n 1 /2, (n 1 + 1)/2) (n 2 /2, (n 2 + 1)/2) (n 3 /2, (n 3 + 1)/2), där n 1, n 2, n 3 är heltl. (Vi hr lltså delt in vrje kub som vi nvände för U i 8 lik mindre kuber.) Genom tt välj de v dess kuber sådn tt Q Ω, bild unionen Ũ1 v ll dess slutn kuber och låt U 1 := (Ũ1) o vr det inre v denn union, hr vi konstruert U 1. På liknnde sätt bilds sedn ll de övrig öppn mängdern U j. Vi ser tt det slutn höljet U j, det vill säg Ũj, är unionen v ett ändligt ntl, säg N j, slutn kuber Q = [n 1 /2 j, (n 1 + 1)/2 j ] [n 2 /2 j, (n 2 + 1)/2 j ] [n 3 /2 j, (n 3 + 1)/2 j ], där n 1, n 2, n 3 är heltl. Eftersom ll dess kuber Q, vr och en med volym (1/2 j ) 3, är disjunkt är det nturligt tt denier måttet v U j som U j := N j (1/2 j ) 3. Anledningen till tt betrkt den knonisk sviten är just tt måttet U j är enkelt tt räkn ut. Anmärkning 2.7. All dess kuber (n 1 /2 j, (n 1 + 1)/2 j ) (n 2 /2 j, (n 2 + 1)/2 j ) (n 3 /2 j, (n 3 + 1)/2 j ), n 1, n 2, n 3, j Z, klls för dydisk kuber, v ordet dyd som är ssociert med tlet två, eftersom de kuber som nvänds för U j+1 fås genom tt hlver de som nvändes för U j i ll tre riktningr (vilket ger 8 stycken mindre kuber). Övning 2.8. Vis tt om Ω är en öppen mängd, så är den knonisk sviten (U j ) j=, bildd enligt ovn, en uttömmnde svit för Ω.

7 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 7 enition 2.9. Måttet v en öppen mängd Ω deniers som gränsvärdet Ω := lim j U j, där (U j ) j= betecknr den knonisk sviten för Ω. ett gränsvärde existerr eftersom U j Ω och U j därmed bildr en växnde följd v tl. Eftersom vi här ntgit tt Ω är en begränsd mängd är även ( U j ) j= en begränsd följd (vrför?) och hr därför ett ändligt gränsvärde. Vi hr ovn beskrivit hur måttet (=volymen) v en öppen mängd Ω R 3 i rummet beräkns. Måttet (=ren) v en öppen mängd R 2 i plnet och måttet (=längden) v en öppen mängd I R på linjen deniers helt nlogt, fst enklre. I plnet till exempel ersätter vi de dydisk kubern med dydisk kvdrter, och bildr nlogt den knonisk sviten (U j ) j= med hjälp v dess. End skillnden är tt måttet v en kvdrt med sidlängd 2 j är (2 j ) 2, inte (2 j ) 3 som för kubern. (Noter tt genom hlvering v en dydisk kvdrt i de två riktningrn bilds 4 mindre dydisk kvdrter.) Vi sätter lltså U j := N j (2 j ) 2 och Ω := lim j U j. Å ndr sidn, på linjen ersätter vi de dydisk kubern med dydisk intervll. Vi sätter här U j := N j 2 j och Ω := lim j U j. Vi noterr även följnde smbnd melln re och volymsmåtten. Sts 2.1. Låt R 2 vr en öppen mängd och låt > vr en positiv konstnt. å ges volymen v cylindern (, ) R 3 över med höjd v (, ) =. Enligt enitionen 3.1 v dubbelintegrlen betyder dett tt dx 1 dx 2 =. Bevis. Låt (Uj 2 ) j= och (Uj 3 ) j= beteckn de knonisk svitern för respektive (, ). Betrkt en v mängdern Uj 2 för och låt C vr en v kvdrtern som vldes i konstruktionen v Uj 2. Vid konstruktionen v motsvrnde tredimensionell mängd Uj 3 ser mn tt en stpel v kuber ovnför C kommer tt väljs. Höjden v denn stpel kommer vr högst och minst ( 2 j ) 2 j (vrför?). ett ger uppskttningen ( 2 1 j ) Uj 2 Uj 3 Uj 2. Låter vi nu j, följer per denition tt (, ), vilket skulle viss.

8 8 Andres Axelsson, Lund 26 Övning Formuler motsvrnde smbnd melln längd och remåtten. Vd säger dett om en rektngels re? Övning Vis tt om Ω 1 och Ω 2 är två öppn mängder sådn tt Ω 1 Ω 2 så är Ω 1 Ω 2. Följnde sts, som visr tt måttet är oberoende v vlet v uttömmnde svit, är den teoretisk grunden för hel dett kompendium. Vi kommer h mycket stor nvändning v den. Sts Låt Ω vr en öppen mängd och låt Ω j Ω vr en uttömmnde svit för Ω. å gäller tt Ω j Ω, då j. Bevis. Enligt övning 2.12 gäller tt Ω 1 Ω 2... Ω, eftersom (Ω j ) j= är en växnde följd v delmängder. Låt t vr ett godtyckligt tl sådnt tt t < Ω. Vi behöver vis tt det existerr en mängd Ω J, så tt Ω J t. För dett nvänder vi den knonisk sviten (U k ) k= för Ω. Per denition nns en mängd U K sådn tt U K t, ty t < Ω = lim k U k. Från konstruktionen v U K följer tt U K = ŨK är en begränsd och därmed kompkt mängd. Vi noterr nu tt U K Ω = Ω j, det vill säg (Ω j ) j= är en öppen övertäckning v den kompkt mängden U K. Enligt HeineBorels övertäckningssts kn vi därför välj ett ändligt ntl mängder Ω j1,..., Ω jn så tt även U K Ω j1... Ω jn. Låt J := mx(j 1,..., j N ) beteckn det störst v dess index. Eftersom följden (Ω j ) j= är växnde är Ω j1... Ω jn = Ω J, och därför är U K Ω J. Av övning 2.12 följer tt Ω J U K t, vilket visr stsen. Sts Låt Ω 1 och Ω 2 vr två öppn mängder. å är även unionen Ω 1 Ω 2 och snittet Ω 1 Ω 2 öppn mängder och j= Ω 1 Ω 2 + Ω 1 Ω 2 = Ω 1 + Ω 2. Bevis. Att vis tt unionen och snittet är öppn mängder lämns som övning åt läsren. Låt nu (U 1 j ) j= och (U 2 j ) j= vr de knonisk svitern för Ω 1 och Ω 2 respektive. et följer tt (U 1 j U 2 j ) j= och (U 1 j U 2 j ) j= är uttömmnde sviter (vrför?) för Ω 1 Ω 2 och Ω 1 Ω 2 respektive. (I själv verket är (U 1 j U 2 j ) j= den knonisk sviten för Ω 1 Ω 2, men motsvrnde för unionen är inte nödvändigtvis snt.) Vidre är U 1 j U 2 j + U 1 j U 2 j = U 1 j + U 2 j för vrje j. För tt se dett, låt N 1 j, N 2 j och N j beteckn ntlet kuber som bygger upp U 1 j, U 2 j och U 1 j U 2 j respektive. å är U 1 j U 2 j unionen v N 1 j + N 2 j N j kuber (vrför?). Alltså är U 1 j U 2 j = (N 1 j + N 2 j N j )(2 j ) 3 = U 1 j + U 2 j U 1 j U 2 j,

9 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 9 vilket skulle viss. Om vi nu låter j och nvänder Sts 2.13, följer tt Ω 1 Ω 2 + Ω 1 Ω 2 = Ω 1 + Ω 2. Följdsts Låt Ω 1 och Ω 2 vr två öppn mängder. å är Ω 1 Ω 2 Ω 1 + Ω 2. Om dessutom Ω 1 och Ω 2 är disjunkt så tt Ω 1 Ω 2 =, så är Ω 1 Ω 2 = Ω 1 + Ω 2. 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion Med hjälp v den knonisk sviten denierde vi i kpitel 2 måttet v en öppen mängd. Med hjälp v måttbegreppet kn vi nu denier dubbelintegrlen v en kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt betrkt positiv funktioner. enition 3.1. Låt f : R vr en positiv funktion med öppen subgrf denierd på en öppen mängd R 2. å deniers dubbelintegrlen v f över som volymen f(x) dx 1 dx 2 := G (f) v subgrfen. Noter tt speciellt hr f öppen subgrf om f är en kontinuerlig funktion enligt Lemm 2.3. Vi skriver här kortfttt x = (x 1, x 2 ) för punkter i plnet. enition 3.2. Låt f, f 1, f 2,..., f : R. Vi säger tt (f j ) j= växer mot f, vilket skrivs f j f, om f (x) f 1 (x) f 2 (x)... och f(x) = lim j f j (x) för ll x. Övning 3.3. Vis tt om f j hr öppn subgrfer så gäller tt f j f om och endst om G (f j ) G (f). Som ett specilfll v Sts 2.13 noterr vi nu följnde. Lemm 3.4. Låt R 2 vr en öppen mängd, och ntg tt (f j ) j= är en följd v positiv funktioner med öppn subgrfer på som växer mot f. å hr även f öppen subgrf och f j (x) dx 1 dx 2 f(x) dx 1 dx 2, då j. Bevis. Att f j f betyder i termer v subgrfern tt (Ω j ) j= är en uttömmnde svit för Ω, där Ω j := G (f j ) och Ω = G (f) är respektive subgrfer. Speciellt är Ω = j= Ω j en union v öppn mängder och därför öppen. Från Sts 2.13 följer vidre tt f j (x) dx 1 dx 2 = Ω j Ω = f(x) dx 1 dx 2, då j, vilket visr lemmt.

10 1 Andres Axelsson, Lund 26 Per denition nner vi lltså värdet v dubbelintegrlen f(x) dx 1dx 2 genom tt beräkn måttet v dess subgrf, som är en öppen mängd i R 3. Med följnde sts visr vi nu omvänt tt måttet v en godtycklig öppen mängd Ω R 3, inte nödvändigtvis en subgrf, kn beräkns med hjälp v en dubbelintegrl. Sts 3.5 (Stvformeln). Låt Ω R 3 vr en öppen mängd. Beteckn med := {(x 1, x 2 ) R 2 ; det existerr x 3 R sådnt tt (x 1, x 2, x 3 ) Ω}, projektionen v Ω på x 1 x 2 -plnet. Vidre, givet (x 1, x 2 ), låt Ω (x1,x 2 ) := {x 3 R ; (x 1, x 2, x 3 ) Ω} beteckn tvärtsnittet v Ω över (x 1, x 2 ) = x. å är mängdern R 2 och Ω x R öppn. Vidre, om l(x) := Ω x betecknr måttet (=längden) v Ω x, då hr funktionen l : R öppen subgrf och vi hr tt Ω = l(x) dx 1 dx 2. (3.1) Bevis. Enligt övning 2.2 är och Ω x öppn mängder. Betrkt en mängd U j i den knonisk sviten för Ω. enier för x = (x 1, x 2 ) motsvrnde tvärsnitt (U j ) (x1,x 2 ) := {x 3 R ; (x 1, x 2, x 3 ) U j } för mängdern U j och låt N j (x) beteckn ntlet intervll v längd 2 j som (U j ) x är unionen v. Vi hr lltså tt längden v (U j ) x är l j (x) := (U j ) x = 2 j N j (x). (i) Vi ser vidre tt funktionen l j är konstnt med värdet 2 j N j på det inre v vrje dydisk kvdrt C med sidlängd 2 j. Beteckn det konstnt värdet v N j (x) på C med N j (C). Genom tt summer över ll de dydisk kvdrtern ser vi tt det totl ntlet kuber i U j är C N j(c). en totl volymen v U j är därför ( ) U j = N j (C) (2 j ) 3 = (2 j N j (C))(2 j ) 2 = l j (x) dx 1 dx 2. (3.2) C C

11 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 11 Vi sk nedn i steg (iii) vis tt ll trppfunktionern l j hr öppn subgrfer, så vänsterledet i (3.2) är väldeniert. (ii) Eftersom (U j ) j= är en uttömmnde svit för Ω, är även ((U j ) x ) j= en uttömmnde svit för Ω x (vrför?). Sts 2.13 ger därför tt l j (x) = (U j ) x Ω x = l(x), för vrje x. Vidre är l j en växnde följd v funktioner. ärför visr Lemm 3.4 tt l(x) hr öppen subgrf och tt l j (x) dx 1 dx 2 l(x) dx 1 dx 2, då j. Vi hr även per denition gränsvärdet U j Ω, så stsen följer genom gränsövergång i (3.2). (iii) För tt vis tt l j hr öppen subgrf, låt x. Enligt nmärkning 2.4 räcker det tt vis tt det existerr δ > sådnt tt N j (y) N j (x), då y x δ. (3.3) Vi delr in x 1 x 2 -plnet i kvdrter med sidlängd 1/2 j och hörn i punkter med koordinter som är 1/2 j gånger ett heltl. Om x tillhör det inre v en v dess kvdrter ser vi tt för ll y inuti smm kvdrt är (U j ) y = (U j ) x, vrvid (3.3) ses gäll för små δ. Om i stället x ligger på en kntlinje melln två ngränsnde kvdrter följer det v nmärkning 2.6 tt för vrje y inuti någon v de ngränsnde kvdrtern är (U j ) y (U j ) x, smt tt (U j ) y = (U j ) x då y ligger på smm kntlinje. Även i dett fll följer lltså (3.3) för små δ. Situtionen då x ligger i hörnet v en v kvdrtern behndls nlogt. Smmnfttningsvis hr vi vist tt funktionen l j hr öppen subgrf. Anmärkning 3.6. Formeln U j = l j (x) dx 1 dx 2. i beviset ovn kn ses på följnde sätt: vi föryttr helt enkelt kubern som bygger upp U j vertiklt och stplr dom på x 1 x 2 -plnet. ett förändrr uppenbrligen inte volymen. Vänsterledet betecknr volymen innn medn högerledet är volymen efter. Vi noterr även tt vi på smm sätt kn bild projektionen v Ω på till exempel x 1 x 3 -plnet och mät längden l(x 1, x 3 ) v tvärsnittet v Ω prllellt med x 2 -xeln vid (x 1, x 3 ). Vi får då stvformeln Ω = l(x 1, x 3 ) dx 1 dx 3. På smm sätt kn vi även mät längden v tvärsnitten prllell med x 1 -xeln och få en tredje vrint v stvformeln. Följdsts 3.7. Låt R 2 vr en öppen mängd och låt f : R och g : R vr två positiv funktioner med öppn subgrfer. å hr även funktionen f +g öppen subgrf och (f(x) + g(x)) dx 1 dx 2 = f(x) dx 1 dx 2 + g(x) dx 1 dx 2.

12 12 Andres Axelsson, Lund 26 Bevis. Genom tt spegl subgrfen till g i x 1 x 2 -plnet och t unionen med f:s subgrf, bildr vi den öppn mängden Ω := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; (x 1, x 2 ) R 2, g(x 1, x 2 ) < x 3 < f(x 1, x 2 ), x 3 }. Längden v tvärsnittet Ω x ses vr l(x) = f(x) ( g(x)) = f(x) + g(x). Sts 3.5 visr därför tt f + g hr öppen subgrf och tt Ω = (f(x) + g(x)) dx 1 dx 2. Eftersom en mängd och dess spegelbild i x 1 x 2 -plnet hr smm mått (vrför?) ger vidre Följdsts 2.15 tt Ω = G (f) + G (g) och beviset är klrt. Vi betrktr nu en godtycklig (möjligen teckenväxlnde) begränsd kontinuerlig funktion f : R på en öppen mängd R 2. Från f kn vi konstruer två positiv funktioner: f:s positiv del och f:s negtiv del Vi ser (hur?) tt f + (x) = mx(f(x), ) = f (x) = min(f(x), ) = { f(x), då f(x) >,, då f(x), {, då f(x), f(x), då f(x) <. f(x) = f + (x) f (x), f(x) = f + (x) + f (x). Övning 3.8. Vis tt om g och h är kontinuerlig funktioner, så är även mx(g, h) och min(g, h) kontinuerlig. Speciellt om f är en kontinuerlig funktion, så är f + och f kontinuerlig funktioner.

13 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 13 enition 3.9. Låt f : R vr en begränsd funktion på en öppen, begränsd mängd R 2 och ntg tt det nns två positiv och begränsde funktioner f 1 : R och f 2 : R med öppn subgrfer sådn tt f(x) = f 1 (x) f 2 (x) för ll x. å denierr vi dubbelintegrlen f(x) dx 1 dx 2 := f 1 (x) dx 1 dx 2 f 2 (x) dx 1 dx 2 = G (f 1 ) G (f 2 ). Noter tt om f är en begränsd och kontinuerlig funktion, kn vi välj f 1 = f + och f 2 = f, för dess är positiv och är kontinuerlig, och hr därför öppn subgrfer enligt Lemm 2.3. Vi hr därför deniert dubbelintegrlen v vrje kontinuerlig och begränsd funktion över vrje öppen och begränsd mängd. För tt enition 3.9 sk vr meningsfull måste vi vis tt två olik representtioner v f, säg f(x) = f 1 (x) f 2 (x) = g 1 (x) g 2 (x), ger smm värde för f(x) dx 1dx 2. För tt vis dett nvänder vi Följdsts 3.7. Vi ser tt f 1 (x) + g 2 (x) = g 1 (x) + f 2 (x), vilket medför tt f 1 (x) dx 1 dx 2 + g 2 (x) dx 1 dx 2 = g 1 (x) dx 1 dx 2 + f 2 (x) dx 1 dx 2. ärmed är f 1 (x) dx 1 dx 2 f 2 (x) dx 1 dx 2 = g 1 (x) dx 1 dx 2 g 2 (x) dx 1 dx 2, vilket visr tt denitionen v f(x) dx 1dx 2 är oberoende v vlet v f 1 och f 2. Övning 3.1. Vis tt om f = f 1 f 2, där f 1 och f 2, så är f f 1 + f 2 med likhet om och endst om f 1 = f + och f 2 = f. Som tidigre betecknr f + och f den positiv och negtiv delen v f. I dett vseende är lltså f = f + f det miniml sättet tt skriv f som en skillnd melln två positiv funktioner. Noter tt i vrje punkt är ntingen f + (x) = eller f (x) =. Följdsts Låt f : R vr en kontinuerlig begränsd funktion (möjligen teckenväxlnde) på en öppen begränsd mängd. å gäller följnde tringelolikhet för integrler: f(x) dx 1 dx 2 f(x) dx 1 dx 2. Bevis. Vi delr upp f i sin positiv och negtiv del f + och f. å är f = f + f och f = f + + f som ovn och Sts 3.7 ger tt f(x) dx 1 dx 2 = f + (x) dx 1 dx 2 f (x) dx 1 dx 2 f + (x) dx 1 dx 2 + f (x) dx 1 dx 2 = f(x) dx 1 dx 2, genom en nvändning v tringelolikheten för reell tl.

14 14 Andres Axelsson, Lund 26 Vi noterr slutligen tt dubbelintegrlen är dditiv för godtycklig kontinuerlig funktioner. Sts Låt f : R och g : R vr kontinuerlig och begränsde funktioner (möjligen teckenväxlnde) på en öppen begränsd mängd. å är (f(x) + g(x)) dx 1 dx 2 = f(x) dx 1 dx 2 + g(x) dx 1 dx 2. Övning Vis Sts 3.12 genom tt nvänd Följdsts 3.7 och tt denitionen v f(x) dx 1dx 2 för en teckenväxlnde funktion f är oberoende v vlet v f 1 och f 2. 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen Syftet med dett kpitel är vis tt vår denition här v enkelintegrlen v en kontinuerlig och begränsd funktion med hjälp v ren v subgrfer ger smm resultt som Riemnnintegrlen. För tt skilj de båd integrlern åt, låt oss kll vår integrl från enition 3.9 (eller snrre den nlogt denierde enkelintegrlen) för H-integrlen. Givet en begränsd funktion f : (, b) R hr vi följnde två denitioner v dess integrl över intervllet I = (, b). (i) Antg tt f kn skrivs f = f 1 f 2, där f 1 och f 2 är två positiv funktioner med öppn subgrfer G I (f 1 ) och G I (f 2 ). å deniers H-integrlen v f över I som H b f(x) dx := G I (f 1 ) G I (f 2 ). (ii) Å ndr sidn, i envribelnlysen denierdes Riemnnintegrlen, vilken vi skriver här som R b f(x) dx, enligt följnde. enition 4.1. En funktion t : (, b) R klls en trppfunktion om det nns en intervllindelning = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b och tl c 1, c 2,..., c n så tt t(x) = c k, då x k 1 < x < x k, för k = 1, 2,..., n. Riemnnintegrlen v en trppfunktion deniers som R b t(x) dx := n c k (x k x k 1 ). k=1 Genom tt nvänd trppfunktioner denierr mn sedn Riemnnintegrlen v en mer llmän funktion f genom instängning. enition 4.2. Låt f : (, b) R vr en begränsd funktion. () Riemnns underintegrl v f över (, b) är sup R t 1 f b t 1 (x) dx,

15 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 15 där supremum ts över ll trppfunktioner t 1 sådn tt t 1 f. Anlogt deniers Riemnns överintegrl v f över (, b) som b inf R t 2 (x) dx, t 2 f där inmum ts över ll trppfunktioner t 2 sådn tt t 2 f. (b) et gäller lltid tt underintegrlen är mindre än eller lik med överintegrlen. Om de är lik, det vill säg om sup R t 1 f b b t 1 (x) dx = inf R t 2 (x) dx, t 2 f sägs f vr Riemnnintegrerbr. ett gemensmm värde deniers då som Riemnnintegrlen v f över (, b): R b f(x) dx := sup R t 1 f b b t 1 (x) dx = inf R t 2 (x) dx. t 2 f Övning 4.3. Låt t : (, b) R vr en positiv trppfunktion sådn tt t(x) = c k då x k 1 < x < x k, för k = 1, 2,..., n. Vis tt t hr öppen subgrf om och endst om t(x k ) min(c k, c k+1 ), k = 1, 2,..., n 1. Betrkt nu en kontinuerlig och begränsd funktion f : (, b) R. Enligt Lemm 2.3 (i fllet f ) och övning 3.8 (då f växlr tecken) följer tt H-integrlen v f existerr. Vidre kommer vi ihåg från envribelnlysen tt en kontinuerlig och begränsd funktion är Riemnnintegrerbr. Sts 4.4. Antg tt funktionen f : (, b) R är kontinuerlig och begränsd. å är H b f(x) dx = R b f(x) dx. Bevis. (i) Vi visr först tt H-integrlen och Riemnnintegrlen överensstämmer för positiv trppfunktioner med öppen subgrf. Låt därför t : (, b) R vr en sådn, säg t(x) = c k, då x k 1 < x < x k,

16 16 Andres Axelsson, Lund 26 för k = 1, 2,..., n, där = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b är en given intervllindelning och c 1, c 2,..., c n är positiv tl. Betrkt nu den knonisk sviten (U j ) j= för subgrfen G I (t). Vi ser tt i rektngeln (x k 1, x k ) (, c k ) täcks åtminstone den något mindre rektngeln (x k j, x k 2 j ) (2 j, c k 2 j ) helt v kvdrtern med sidlängd 2 j som bygger upp U j. Vi hr lltså reuppskttningen n (c k 2 1 j )(x k x k j ) U j k=1 n c k (x k x k 1 ). k=1 Låter nu här j följer tt R b t(x) dx G I(t) R b t(x) dx, det vill säg H b t(x) dx = R b t(x) dx. (ii) För tt vis stsen noterr vi först tt vi kn nt tt f, ty nnrs delr vi upp f = f + f i positiv och negtiv del. Eftersom stsen nts visd för positiv funktioner är den speciellt visd för f + och f. Men per denition är H b f(x) dx = H b f + (x) dx H och v lineriteten för Riemnnintegrlen följer tt R b f(x) dx = R b f + (x) dx R b b f (x) dx, f (x) dx. Eftersom båd högerleden är lik följer stsen för f. Antg nu tt f. Eftersom f är Riemnnintegrerbr nns det trppfunktioner t j f sådn tt R b t j (x) dx R b Vi kn även nt tt dess trppfunktioner t j (1) hr öppn subgrfer, f(x) dx, då j. (2) tt vrje t j är mximl, det vill säg i vrje intervll är c k = inf (xk 1,x k ) f(x), och (3) tt indelningen för t j+1 är nre än den för t j, det vill säg vrje indelningspunkt x k för t j är även en indelningspunkt för t j+1. et följer v dett tt t j växer mot f, det vill säg t j (x) f(x) (vrför?), och Lemm 3.4 (motsvrnde enkelintegrlvrint härv) ger nu tt H b t j (x) dx H b f(x) dx, då j. Men i steg (i) visde vi tt R b t j(x) dx = H b t j(x) dx för ll j, så genom gränsövergång följer stsen.

17 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 17 Eftersom H-integrlen H b f(x) dx = b f(x) dx v en kontinuerlig och begränsd funktion f överensstämmer med Riemnnintegrlen, kn vi nu utn vidre nvänd viktig stser som vi lärde oss i envribelnlysen, till exempel insättningsformeln som säger tt om vi känner till en primitiv funktion F (x) till f(x) så kn vi beräkn integrlen genom insättning v gränsern i F (x), det vill säg b f(x) dx = F (b) F (). Vi kn även nvänd prtiell integrtion enligt den välkänd formeln b f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b b F (x)g (x) dx, och utför vribelbyte x = t(y) med en vribelbytesfunktion t : (α, β) (, b) enligt formeln b t 1 (b) f(x) dx = f(t(y)) dt dy. (4.1) dy t 1 () Kom ihåg tt om t är växnde är t 1 () = α och t 1 (b) = β, och om t är vtgnde är t 1 () = β och t 1 (b) = α. 5 Skivformeln och itererd integrtion I dett kpitel visr vi huvudtekniken för tt beräkn en dubbelintegrl, nämligen itererd integrtion, med vilken dubbelintegrlen skrivs om som två enkelintegrler. ett är ett specilfll v följnde formel (5.1), som på grund v sin geometrisk tolkning brukr klls skivformeln. en är snrlik stvformeln (3.1) och beviset är helt nlogt. Sts 5.1 (Skivformeln). Låt Ω R 3 vr en öppen mängd. Beteckn med I := {x 1 R ; det existerr (x 2, x 3 ) R 2 sådn tt (x 1, x 2, x 3 ) Ω} projektionen v Ω på x 1 -xeln. Vidre, givet x 1 I, låt Ω x1 := {(x 2, x 3 ) R 2 ; (x 1, x 2, x 3 ) Ω} beteckn tvärtsnittet v Ω prllellt med x 2 x 3 -plnet vid x 1. å är mängdern I R och Ω x1 R 2 öppn. Vidre, om A(x 1 ) := Ω x1 betecknr måttet (=ren) v Ω x1, då hr funktionen A : I R öppen subgrf och vi hr tt Ω = A(x 1 ) dx 1. (5.1) I Bevis. Enligt övning 2.2 är I och Ω x1 öppn mängder. Betrkt en mängd U j i den knonisk sviten för Ω. enier för x 1 I motsvrnde tvärsnitt (U j ) x1 := {(x 2, x 3 ) R 2 ; (x 1, x 2, x 3 ) U j }

18 18 Andres Axelsson, Lund 26 för mängdern U j och låt N j (x 1 ) beteckn ntlet kvdrter med sidlängd 2 j som (U j ) x1 är unionen v. Vi hr lltså tt ren v (U j ) x1 är A j (x 1 ) := (U j ) x1 = (2 j ) 2 N j (x 1 ). (i) Vi ser vidre tt funktionen A j är konstnt med värdet (2 j ) 2 N j på det inre v vrje dydiskt intervll J v längd 2 j. Beteckn det konstnt värdet v N j (x 1 ) på J med N j (J). Genom tt summer över ll de dydisk intervllen ser vi tt det totl ntlet kuber i U j är J N j(j). en totl volymen v U j är därför ( ) U j = N j (J) (2 j ) 3 = ((2 j ) 2 N j (J))2 j = A j (x 1 ) dx 1. (5.2) J J I Vi sk nedn i steg (iii) vis tt ll trppfunktionern A j hr öppn subgrfer, så vänsterledet i (5.2) är väldeniert. (ii) Eftersom (U j ) j= är en uttömmnde svit för Ω, är även ((U j ) x1 ) j= en uttömmnde svit för Ω x1 (vrför?). Sts 2.13 ger därför tt A j (x 1 ) = (U j ) x1 Ω x1 = A(x 1 ) för vrje x 1 I. Vidre är A j en växnde följd v funktioner. ärför visr Lemm 3.4 tt A(x 1 ) hr öppen subgrf och tt A j (x 1 ) dx 1 A(x 1 ) dx 1, då j. I I Vi hr även per denition gränsvärdet U j Ω, så stsen följer genom gränsövergång i (5.2). (iii) För tt vis tt A j hr öppen subgrf, låt x 1 I. Enligt nmärkning 2.4 (motsvrnde envribelvrint härv) räcker det tt vis tt det existerr δ > sådnt tt N j (y 1 ) N j (x 1 ), då y 1 x 1 δ. (5.3) Vi delr in x 1 -xeln i intervll v längd 1/2 j och med ändpunkter som är 1/2 j gånger ett heltl. Om x 1 tillhör det inre v ett v dess intervll ser vi tt för ll y 1 inuti

19 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 19 smm intervll är (U j ) y1 = (U j ) x1, vrvid (5.3) ses gäll för små δ. Om i stället x 1 ligger i en ändpunkt melln två ngränsnde intervll följer det v nmärkning 2.6 tt för vrje y 1 inuti någon v de ngränsnde intervllen är (U j ) y1 (U j ) x1. Även i dett fll följer lltså (5.3) med δ = 2 j. Smmnfttningsvis hr vi vist tt funktionen A j hr öppen subgrf. Anmärkning 5.2. Formeln U j = I A j (x 1 ) dx 1. i beviset ovn kn ses på följnde sätt: vi föryttr helt enkelt kubern som bygger upp U j prllellt med x 2 x 3 -plnet och stplr dom på x 1 -xeln. ett förändrr uppenbrligen inte volymen. Vänsterledet är volymen innn medn högerledet är volymen efter (efter lämplig omsklning). Vi noterr även tt vi på smm sätt kn bild projektionen I v Ω på till exempel x 3 -xeln och mät ren A(x 3 ) v tvärsnittet v Ω ortogonlt mot x 3 -xeln vid x 3. Vi får då skivformeln Ω = A(x 3 ) dx 3. (5.4) I På smm sätt kn vi även mät ren v tvärsnitten ortogonl mot x 2 -xeln och få en tredje vrint v skivformeln. Exempel 5.3. Skivformeln, det vill säg formeln (5.1), kn inte br nvänds för tt räkn ut volymen Ω genom tt beräkn ren v ll tvärsnitt och integrer ihop dess. Som specilfll v skivformeln följer tt om två öppn mängder Ω 1 och Ω 2 är sådn tt vrje tvärsnitt prllellt med ett givet koordintpln hr smm re för båd områden så hr Ω 1 och Ω 2 smm volym. ett resultt klls Cvlieris princip, efter en itliensk 16-tlsmtemtiker, även om denn teknik vr känd långt tidigre. Som exempel, låt vr en cylinder och låt Ω 1 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; x x 2 2 < 1, x 3 < 1}, Ω 2 := {x R 3 ; x (17, 19, ) < 1} {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; x x 2 2 < x 2 3, x 3 < 1}, vr en disjukt union v ett klot och en kon. Mn ser tt ren v de horisontell tvärsnitten (Ω i ) x3 är (Ω 1 ) x3 = π respektive (Ω 2 ) x3 = π(1 x 2 3) + πx 2 3 = π, då x 3 < 1 och nnrs. Av Cvlieris princip följer därför tt cylinderns volym är precis klotets plus konens volym.

20 2 Andres Axelsson, Lund 26 Genom tt tillämp skivformeln på subgrfen v en funktion får vi nu följnde resultt som klls itererd integrtion. Följdsts 5.4 (Itererd integrtion). Låt f : R vr en kontinuerlig och begränsd funktion på en öppen och begränsd mängd R 2. Beteckn med I := {x 1 R ; det existerr x 2 R sådn tt (x 1, x 2 ) } projektionen v på x 1 -xeln. Vidre, givet x 1 I, låt x1 := {x 2 R ; (x 1, x 2 ) } beteckn tvärtsnittet v prllellt med x 2 -xeln vid x 1. å är mängdern I R och x1 R öppn. Vidre, om f x1 (x 2 ) := f(x 1, x 2 ) betecknr restriktionen v f till linjen x1 och om A(x 1 ) := f x1 (x 2 ) dx 2, x1 så hr vi tt f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = A(x I 1) dx 1, det vill säg ( ) f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = f(x 1, x 2 ) dx 2 dx 1. (5.5) I x1 e båd integrlern i högerledet existerr: den inre på grund v tt f x1 är kontinuerlig och den yttre på grund v tt A uppfyller förutsättningrn i enition 3.9 (även om A ej nödvändigtvis är kontinuerlig). Bevis. (i) Vi ntr först tt även f. Enligt övning 2.2 är I och x1 öppn mängder. För tt se tt (5.5) är ett specilfll v skivformeln (5.1) låter vi Ω := G (f) så tt f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = Ω. Vi ser tt tvärsnitten prllell med x 2 x 3 - plnet är Ω x1 = G x1 (f x1 ) och sålund är x1 f x1 (x 2 ) dx 2 = Ω x1 = A(x 1 ). Sts 5.1 visr därför tt A : I R hr öppen subgrf och tt f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = Ω = A(x 1 ) dx 1. I

21 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 21 (ii) Betrkt nu det llmänn fllet då f möjligen är teckenväxlnde. Vi delr upp f i sin positiv och negtiv del f = f + f som i kpitel 3. Eftersom f + och f är positiv kontinuerlig funktioner hr vi enligt steg (i) tt f ± (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = A ± (x 1 ) dx 1, där A ± (x 1 ) := x1 f ± x 1 (x 2 ) dx 2 hr öppn subgrfer över I. Enligt enition 3.9 hr vi tt A(x 1 ) = A + (x 1 ) A (x 1 ) eftersom f x1 = f + x 1 f x 1, och tt f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = vilket visr stsen om itererd integrtion. I f + (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 f (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = A + (x 1 ) dx 1 A (x 1 ) dx 1 = A(x 1 ) dx 1, I Anmärkning 5.5. Vi noterr tt vi även kn genomför itererd integrtion i omvänd ordning, det vill säg integrer med vseende på x 1 innerst (först) och med vseende på x 2 ytterst (sist). Formeln för itererd integrtion får då utseendet f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = I ( x2 f(x 1, x 2 ) dx 1 I ) I dx 2, (5.6) där I nu är projektionen v på x 2 -xeln och x2 är tvärsnittet v prllellt med x 1 -xeln vid x 2. För tt nvänd formeln (5.5) för itererd integrtion behöver mn lär sig tekniken tt, för ett givet område, ställ upp gränsern i de båd enkelintegrlern i högerledet. Metoden är som följer. (i) et rekommenders strkt tt du först ritr upp området, om du inte är helt på det klr med hur ser ut. (ii) Välj vilken vribel du vill integrer med vseende på först (innerst). Vilken som bör vr bäst lär mn sig genom erfrenhet. Blir integrlern svår, pröv då helt enkelt tt integrer med vseende på den ndr vribeln istället först. Väljer du x 2 nvänder du formeln (5.5) och väljer du x 1 nvänder du formeln (5.6). (iii) Antg tt vi vlt x 2 i steg (i). Skär då området med linjer prllell med x 2 -xeln. Vrje sådn linje bestäms v sin x 1 koordint. Gränsern i den yttre integrlen sk nge x 1 -värden för de linjer som skär området. (iv) Slutligen, för tt bestämm gränsern i den inre integrlen, xerr du en linje, det vill säg ett x 1 -värde i den yttre integrlen. Gränsern i den inre integrlen sk nu nge vr linjen skär området. Till skillnd från gränsern i den yttre integrlen, som är x tl, är i llmänhet gränsern i den inre integrlen uttryck i x 1 : olik linjer kn ju skär området olik mycket!

22 22 Andres Axelsson, Lund 26 Exempel 5.6. Låt oss beräkn dubbelintegrlen e x 1 dx 1 dx 2, där = {(x 1, x 2 ) R 2 ; < x 2 < 2x 1 < 2}. (Vår funktion f(x 1, x 2 ) = e x 1 här råkr vr oberoende v x 2.) För tt rit upp, noter tt består v de punkter sådn tt < x 2, x 2 < 2x 1 och x 1 < 1. Genom tt rit upp x 1 -xeln ( = x 2 ), linjen x 2 = 2x 1 och den vertikl linjen x 1 = 1, och tänk igenom på vilken sid linjern vr och en v olikhetern gäller, ser mn tt är det inre v en tringel. Välj till exempel tt integrer först med vseende på x 2 (dett hr fördelen tt den inre integrlen blir enkel tt beräkn: e x 1 är ju konstnt med vseende på x2!). Vi ser tt en vertikl linje skär om och endst om < x 1 < 1. För ett sådnt xt x 1 ser vi vidre tt linjen skär ut intervllet (, 2x 1 ) ur. ett ger räkningen e x 1 dx 1 dx 2 = 1 ( 2x1 = [2x 1 ( e x 1 )] 1 1 ) e x 1 dx 2 dx 1 = 1 2x 1 e x 1 dx 1 2( e x 1 ) dx 1 = ( 2e 1 ) + 2[ e x 1 ] 1 = 2e 1 + 2( e 1 + 1) = 2 4/e. Låt oss istället välj tt integrer med vseende på x 1 först. Vi skär nu tringeln med horisontell linjer och ser tt en sådn skär om och endst om < x 2 < 2. För ett xt sådnt x 2 skär linjen ut intervllet (x 2 /2, 1) ur. (Hr du inte ritt upp kn dett vr svårt tt se!) ett ger räkningen e x 1 dx 1 dx 2 = = 2 2 ( 1 ) e x 1 dx 1 dx 2 = x 2 /2 2 [ e x 1 ] 1 x 1 =x 2 /2 dx 2 ( e 1 + e x 2/2 ) dx 2 = [ e 1 x 2 2e x 2/2 ] 2 = ( 2e 1 2e 1 ) ( 2) = 2 4/e. I dett exempel ger de två olik integrtionsordningrn ungefär lik lång räkningr. ett är emellertid inte lltid fllet, det kn iblnd till och med vr omöjligt tt genomför den en integrtionsordningen medn den ndr ordningen ger reltivt smärtfri räkningr. Vi vslutr dett kpitel med tt härled ytterligre en beräkningsformel för dubbelintegrler. enn är dock br tillämpbr på rdiell funktioner på cirkulärt symmetrisk områden, och klls därför rdilformeln. Vi härleder den här som ett specilfll v skivformeln, där vi skivr med horisontell pln som i (5.4). ett är dock inte det vnlig sättet tt vis rdilformeln: det nturlig är tt se rdilformeln som ett specilfll v polärt vribelbyte (Sts 8.9) som vi beskriver i kpitel 8.

23 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 23 enition 5.7. Betrkt en funktion f(x 1, x 2 ) denierd på en cirkelring 2 < x x 2 2 < b 2. Inför polär koordinter { x 1 = r cos ϕ, x 2 = r sin ϕ. Vi hr på grund v trigonometrisk ettn tt r 2 = x x 2 2, så cirkelringen < r < b består v de punkter (x 1, x 2 ) för vilk vståndet r till origo är större än och mindre än b. Byt nu ut de crtesisk koordintern (x 1, x 2 ) i funktionen f mot polär koordinter (r, ϕ). Om den resulternde funktionen f(r, ϕ) inte beror på ϕ, skriver vi f(r) och säger tt f rdiellt symmetrisk eller tt f är en rdiell funktion. Exempel på rdiell funktioner är f(x 1, x 2 ) = e x2 1 x2 2 = e r2 = f(r) och f(x 1, x 2 ) = 1/ x x 2 2 = 1/r = f(r). äremot är till exempel f(x 1, x 2 ) = e x 1 = e r cos ϕ = f(r, ϕ) inte rdiellt symmetrisk så vi kn inte nvänd rdilformeln i exempel 5.6. Omvänt, givet en envribelfunktion f(r) denierd för r kn vi konstruer motsvrnde rdiell funktion genom tt sätt f(x 1, x 2 ) := f ( x x 2 2 ). Till exempel genererr envribelfunktionen ) f(r) = e r2 den rdiellt symmetrisk 2 ( x tvåvribelfunktionen f(x 1, x 2 ) = e 2 1 +x2 2 = e x2 1 x2 2. Funktionsytn till tvåvribelfunktionen f(x 1, x 2 ) fås därför från funktionskurvn till f(r) genom tt roter denn runt den vertikl xeln. Vi ser speciellt tt nivåkurvorn f(x 1, x 2 ) = C är cirkelformde om f är en rdiell funktion. Sts 5.8 (Rdilformeln). Låt f(x 1, x 2 ) = f(r) vr en kontinuerlig och begränsd funktion som är rdiellt symmetrisk och denierd på cirkelringen = {(x 1, x 2 ) R 2 ; 2 < x x 2 2 < b 2 }. å är f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = 2π b där den så kllde Jcobifktorn r ej är tt förglömm. f(r)r dr, (5.7) Bevis. Vi ntr för enkelhets skull tt envribelfunktionen f(r) : (, b) R är en strikt växnde och positiv funktion, och tt både f och f 1 är kontinuerligt deriverbr funktioner. Vi gör ntgndet tt f är strikt växnde eftersom vi i beviset här med hjälp v skivformeln behöver h tillgång till den invers funktionen f 1 : (f(), f(b)) (, b). Rdilformeln (5.7) gäller dock utn dett ntgnde, vilket kn viss genom uppstyckning v området i mindre cirkelringr där f(r) är monoton och genom pproximtion v en llmän kontinuerlig funktion med en kontinuerligt deriverbr sådn. Vi vstår dock från dess detljer här eftersom vi sk vis rdilformeln i det llmänn fllet i kpitel 8 med ndr metoder. Betrkt subgrfen Ω := G (f) = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; 2 < x x 2 2 < b 2, < x 3 < f(x 1, x 2 )}.

24 24 Andres Axelsson, Lund 26 Enligt skivformeln (5.4) är f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = Ω = f(b) A(x 3 ) dx 3, där A(x 3 ) betecknr ren v tvärsnittet Ω x3 på höjden x 3. Vi ser tt vrje sådnt tvärsnitt är en cirkelring och dess re är { πb 2 π 2, A(x 3 ) = πb 2 π(f 1 (x 3 )) 2, då < x 3 f(), då f() < x 3 < f(b). ett ger tt f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = f() = πb 2 f(b) π 2 f() π π(b 2 2 ) dx 3 + f(b) f() = πb 2 f(b) π 2 f() π ( = πb 2 f(b) π 2 f() π [r 2 f(r)] b f(b) f() (f 1 (x 3 )) 2 dx 3 = b b vilket visr rdilformeln under de extr ntgnden. Exempel 5.9. Betrkt den rdiell funktionen f(x 1, x 2 ) = sin ( x x 2 2 x x 2 2 Enligt rdilformeln är f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = 2π ) π ( b 2 (f 1 (x 3 )) 2) dx 3 / / x 3 = f(r) r 2 f (r) dr ) 2rf(r) dr = 2π b f(r)r dr,, = {(x 1, x 2 ) R 2 ; x x 2 2 < (2π) 2 }. 2π sin(r) r dr = 2π[ cos(r)] 2π =. r

25 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 25 Alltså, om vi ser f:s grf som en mexiknrhtt, så är vttenvolymen som kn nsmls uppe på brättet {π < r < 2π, f(r) < x 3 < } lik stor som volymen uppe i övre delen v det inre v htten { r < π, < x 3 < f(r)}. Anmärkning 5.1. Rdilformeln är ett specilfll v en mer llmän teknik som klls integrtion med vseende på nivåkurvor. I denn betrktr mn en mer llmän funktion r(x) än r(x) = x x 2 2 som nvändes i rdilformeln. Mn får då formeln f(r(x)) dx 1 dx 2 = b f(r)v (r) dr, där v(r) := r och r := {x ; r(x) < r} och det nts tt = och b =. enn formel nvänds för tt integrer funktioner som är konstnt på på vrje nivåkurv till r(x), precis som rdilformeln nvänds för tt integrer funktioner som är konstnt på cirklr kring origo. I rdilformeln vr r = {x ; 2 < x 2 1 +x 2 2 < r 2 } och därmed v (r) = 2πr. 6 Generliserde positiv integrler I dett kpitel betrktr vi generliserde integrler f(x) dx 1dx 2, det vill säg vi kräver nu inte längre tt funktionen f sk vr begränsd och tt mängden sk vr begränsd. Vi kräver dock fortfrnde tt mängden sk vr öppen och tt funktionen f sk vr positiv och kontinuerlig (eller åtminstone h öppen subgrf). et visr sig nämligen tt teorin för generliserde integrler blir något mer komplicerd i fllet då f tillåts växl tecken. Teckenväxlnde generliserde integrler behndls därför enbrt i Bilg A. Till skillnd från enkelintegrler kn dubbelintegrler vr generliserde på ett ertl olik sätt. Exempel 6.1. Betrkt följnde generliserde integrler. (i) 1 x dx 1dx 2, = {x R 2 ; < x < 1}, där >. enn är generliserd i rndpunkten på grund v tt funktionen ej är begränsd vid denn punkt. (ii) 1 dx 1 dx 2, = {x R 2 ; < x 1 < 1, < x 2 < 1}, x 1 där >. enn är generliserd på hel rndlinjen x 1 =, x 2 1 på grund v tt funktionen ej är begränsd vid denn linje. (iii) 1 x dx 1dx 2, = {x R 2 ; x > 1}. enn är generliserd på grund v tt integrtionsområdet ej är begränst. (iv) 1 dx 1 dx 2, = {x R 2 ; x 1 > 1, < x 2 < 1/x 2 1}. x 1

26 26 Andres Axelsson, Lund 26 Även denn är generliserd på grund v tt integrtionsområdet ej är begränst. (Men noter tt hr ändlig re!) En v fördelrn med vår integrldenition jämförfört med Riemnnintegrlen är tt tt teorin här i kpitel 2, 3 och 5 går igenom i princip oförändrd även för generliserde integrler. Låt oss pek ut vd som är nytt vd gäller mått och integrl. Mått: Givet en öppen mängd Ω R 3 (möjligen obegränsd) sk vi denier dess mått. Som tidigre gör vi dett med hjälp v en speciell uttömmnde svit för Ω, den knonisk sviten (U j ) j=. enn konstruers som tidigre, med ett tillägg. Vi vill, även om Ω är obegränsd, tt vrje mängd U j i den den knonisk sviten sk bestå v ett ändligt ntl kuber. ett hr till följd tt det slutn höljet U j blir en kompkt mängd (vilket till exempel nvändes i beviset för vår grundläggnde Sts 2.13). Låt till exempel Ω = R 3 vr hel rummet. å kommer i steg (ii) i konstruktionen v U j uppenbrligen ll kubern väljs och vi får U j = R 3. För tt förhindr dett, nvänder vi för obegränsde mängder Ω istället följnde urvlskriterium: (ii') För tt bild U j, välj ut de kuber Q med sidlängd 2 j från steg (i) som ligger i kuben {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; x 1 < j, x 2 < j, x 3 < j} och som är sådn tt Q Ω, inklusive sidytor, knter och hörn. Observer tt det extr krvet blir svgre och svgre ju större j blir (vi kunde här nvänt vilket växnde följd j sådn tt lim j j = som helst istället för j = j), och mn inser tt den knonisk sviten, konstruerd på dett modierde sätt, också är en uttömmnde svit för Ω. Som tidigre denierr vi måttet v Ω som Ω := lim j U j. Observer tt det nu är fullt möjligt tt Ω =. Integrl: En generliserd integrl v en positiv funktion kn nu deniers som tidigre. enition 6.2. Låt R 2 vr öppen och låt f : R vr en positiv funktion med öppen subgrf G (f). å deniers integrlen v f över som f(x) dx 1 dx 2 := G (f). Om f(x) dx 1dx 2 < säger vi tt integrlen är konvergent. Är integrlen inte konvergent säger vi tt den är divergent. Vi tillåter här även vår funktion f tt nt värdet. För dess subgrf G (f) innebär f( 1, 2 ) = tt hel hlvlinjen {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 > } G (f).

27 Integrtionsteori för kontinuerlig funktioner v er vribler 27 Exempel 6.3. en öppn och obegränsde mängden {(x 1, x 2 ) R 2 ; x 1 < 1, < x 2 < 1/ x 1 } är subgrf för envribelfunktionen f(x 1 ) = { 1/ x 1, < x 1 < 1,, x 1 =, denierd på intervllet ( 1, 1). Tvåvribelfunktionen som är konstnt på hel R 2 hr som subgrf hlvrummet {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 ; x 3 > }. Teorin i kpitel 2, 3 och 5 går nu igenom för godtycklig öppn mängder och positiv funktioner med öppen subgrf. Eftersom vi i dett kpitel br betrktr positiv funktioner är det br teorin till och med Följdsts 3.7 i kpitel 3 som är relevnt här. Sts 3.5 (stvformeln) och Sts 5.1 (skivformeln) gäller som de står för godtycklig öppn mängder. Följdsts 5.4 (itererd integrtion) gäller om förutsättningen f kontinuerlig och begränsd byts ut mot f och kontinuerlig (eller mer llmänt om f hr öppen subgrf). Vidre förenkls beviset genom tt del (ii) stryks. Vi får lltså följnde sts för generliserde integrler v positiv funktioner. Sts 6.4 (Tonelli). Låt f : R vr en positiv och kontinuerlig funktion på en öppen mängd R 2. enier de öppn mängdern I R och x1 R smt envribelfunktionern f x1 och A som i Följdsts 5.4. å är f x1 kontinuerlig och A hr öppen subgrf, och f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = A(x I 1) dx 1, det vill säg f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = I ( x1 f(x 1, x 2 ) dx 2 ) dx 1. (6.1) enn formel för itererd integrtion v positiv funktioner gäller ovsett om integrlern är konvergent eller ej: integrlen i högerledet är konvergent om och endst om integrlen I A(x 1) dx 1 i högerledet är konvergent. ett kn gäll trots tt A(x 1 ) är oändlig i viss punkter! Även Sts 5.8 (rdilformeln) gäller under förutsättningen tt f är positiv och kontinuerlig (men givetvis fortfrnde rdiell och denierd på en, möjligen obegränsd, cirkelring). Förutstt tt f kn vi nu räkn som vnligt med itererd integrtion och rdilformeln trots tt integrlen är generliserd. Blir resulttet ändligt är integrlen konvergent, och blir resulttet är integrlen divergent. Exempel 6.5. Vi vill beräkn den generliserde integrlen 1 ( x 1 + x 2 dx ) 3/2 1 dx 2, där = {(x 1, x 2 ) R 2 ; x 1 < 1, x 2 < 1, (x 1, x 2 ) (, )}. Med itererd integrtion får vi 1 1 ( x 1 + x 2 ) dx 1dx 3/2 2 = 1 ( ) 1 x1 ( x 1 + x 2 ) dx 3/2 2 dx 1,

28 28 Andres Axelsson, Lund 26 där x1 = ( 1, 1) om < x 1 < 1 och x1 = ( 1, ) (, 1) om x 1 =. På grund v symmetri blir den inre integrlen 1 A(x 1 ) = 2 1 ( x 1 + x 2 ) dx 3/2 2 = 2[ 2( x 1 + x 2 ) 1/2 ] 1 x 2 = = { 4( x 1 1/2 ( x 1 + 1) 1/2 ), < x 1 < 1,, x 1 =. Återigen på grund v symmetri får vi genom tt beräkn den yttre integrlen 1 ( x 1 + x 2 ) 3/2 dx 1dx 2 = 2 1 4(x 1/2 1 (x 1 + 1) 1/2 ) dx 1 = 8[2 x 1 2 x 1 + 1] 1 = 16(2 2). enn räkning visr tt en dubbelintegrl kn vr konvergent trots tt den inre integrlen vid itererd integrtion ntr värdet i enstk punkter. (et är också exempel som dett som är huvudnledningen till tt tillåt som funktionsvärde.) Om det känns olustigt tt integrer funktionen A(x 1 ), som ntr värdet i x 1 =, kn mn motiver räkningen ovn på följnde sätt. Trunker funktionen kring x 1 = genom tt sätt A j (x 1 ) := min(a(x 1 ), j) (vi hugger lltså v toppen v A:s grf). Vi beräknr sedn 1 A 1 j. Eftersom A j A följer v Lemm 3.4 tt 1 A 1 j 1 A. 1 Övning 6.6. Vis tt de generliserde integrlern i exempel 6.1 är konvergent för följnde värden på och då hr följnde värde. (i) Är konvergent då < 2 med värde 2π/(2 ). (ii) Är konvergent då < 1 med värde 1/(1 ). (iii) Är konvergent då > 2 med värde 2π/( 2). (iv) Är konvergent då > 1 med värde 1/(1 + ). Om det känns olustigt tt räkn med generliserde integrler kn mn med följnde tvilling till Lemm 3.4 beräkn den generliserde integrlen genom tt först trunker området till mindre områden j som bildr en uttömmnde svit för och som är sådn tt integrlern j f(x) dx 1 dx 2 ej är generliserde, vrpå mn låter j. Lemm 6.7. Låt R 2 vr en öppen mängd och låt ( j ) j= vr en uttömmnde svit för. Antg tt f : R är en positiv funktion som hr öppen subgrf över vrje j. å hr även f öppen subgrf över och f(x) dx 1 dx 2 j f(x) dx 1 dx 2, då j.