Om konvergens av funktionsföljder

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Om konvergens av funktionsföljder"

Transkript

1 Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om

2 Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet sk vi diskuter en skärpning v vd det innebär tt en funktionsföljd konvergerr mot en gränsfunktion. Vitsen med den skärpningen är tt om den är uppfylld så gäller tt gränsfunktionen v nödvändighet blir kontinuerlig. Dett konvergensbegrepp, som klls likformig konvergens, tillåter tt mn kstr om diverse gränsproesser. Att gränsfunktionen är kontinuerlig kn skrivs som lim lim f n(x) = lim lim f n (x), n x x n vilket i sig innebär en omkstning v gränsövergångr. Andr gränsövergångr tt kst om ordningen v är derivtion oh integrtion. Vi börjr diskussionen med diskuter ett sätt tt vis tt exponentilfunktionen e x verkligen finns, d.v.s. tt problemet u = u, u() = 1 verkligen hr en lösning. En konstruktion v exponentilfunktionen Som introduktion till innehållet i det här kpitlet sk försök konstruer exponentilfunktiononen som lösningen till begynnelsevärdesproblemet u (t) = u(t), u() = 1. För dett sk vi nvänd en metod med suessiv pproximtioner som bygger på tt vi först skriver om begynnelsevärdesproblemet som en integrlekvtion u(t) = 1 + u(s)ds. Att dett är ekvivlent med begynnelsevärdesproblemet följer ur nlysens huvudsts. Betrkt nu integrlekvtionen. Om vi hr en kontinuerlig funktion u(t) så kn vi bild en ny genom tt beräkn uttryket i högerledet v ekvtionen. Vi kn uppftt högerledet som en sorts funktion T (u) som vbildr kontinuerlig funktioner u på kontinuerlig funktioner v. Mer preist definierr vi v = T (u) som funktionen v(t) = 1 + u(s)ds. Integrlekvtionen innebär då tt den funktion u vi söker sk vr en fixpunkt till vbildningen T, lltså uppfyll u = T (u). Hur kn vi då hitt en sådn fixpunkt? Om u inte hde vrit funktioner utn tl, oh T en reellvärd funktion v en vribel, hde vi knske provt med tt rekursivt definier u n+1 = T (u n ) från någon strtlösning u. Dett diskuters i detlj i kpitlet Anlys v en sklär rekursion, en proess som fungerr om T är en kontrktion oh om vi strtr tillräkligt när fixpunkten. Vi sk försök gör likdnt här, även om vi nu sk iterer funktioner. Som strtvärde, eller snrre strtfunktion, tr vi en enkel sådn, nämligen den som är 1 i vrje punkt: u (t) = 1.

3 Om konvergens v funktionsföljder 2 (12) Sedn definierr vi u 1 (t) genom u 1 (t) = ds = 1 + t. Fortsätter vi på dett sätt oh suessivt definierr ny funktioner genom reltionen finner vi (gör någr itertioner) tt Vi ser lltså tt u n+1 (t) = 1 + u n (s)ds, u n (t) = 1 + t + t tn n!. u n (t) u(t) = k= t k k! då n. Dett är egentligen ett tomt påstående, eftersom vi först måste försäkr oss om tt serien i högerledet verkligen konvergerr. Dett är emellertid inte speiellt svårt. Vi kn börj med tt konstter tt för fixt t > är tlföljden u n (t) strängt växnde. Till dett t kn vi sedn välj ett heltl n sådnt tt n > t. Då gäller tt om k > n Det följer tt t k k! = tn t k n+1 n! (n + 1)(n + 2)... k tn n! ( t n )k n. u N (t) n 1 k= t k k! + tn n! N ( t n )k k= n 1 k= t k k! + tn n! 1 < för ll N, t < n. 1 t/n Här hr vi nvänt tt den geometrisk serien konvergerr när kvoten är < 1 till sitt bsolutbelopp. För vrje t hr vi lltså en växnde, uppåt begränsd tlföljd, vilket betyder tt u n (t) konvergerr för vrje t. Men det räker inte. För tt u(t) sk kunn vr en fixpunkt till vbildningen T måste u(t) okså vr en kontinuerlig funktion. Att serien definierr en kontinuerlig funktion följer emellertid inte med utomtik! Eftersom ll funktionern u n (x) är kontinuerlig funktioner kn vi lös dett problem tt hitt villkor på konvergensen v dess funktioner som säkerställer tt gränsfunktionen är en kontinuerlig funktion. Dett hndlr näst vsnitt om. Likformig konvergens v funktionsföljder I det här vsnittet är {f n } en följd v kontinuerlig funktioner, inte nödvändigtvis v en vribel. Vi säger då tt f n konvergerr punktvis mot f i en mängd S då n, om det gäller tt f n (x) f(x) då n för ll x S.

4 Om konvergens v funktionsföljder 3 (12) Förutstt tt gränsvärden f(x) finns, förstås. Gränsvärdet v en svit kontinuerlig funktioner behöver inte vr en kontinuerlig funktion som följnde exempel visr. Exempel 1 Funktionern f n (x) = x n är kontinuerlig i intervllet [, 1]. Om vi låter n ser vi tt { då x < 1 f n (x) f(x) =. 1 då x = 1 Gränsfunktionen är lltså inte kontinuerlig. Någr v funktionern i exemplet ovn är illustrerde i figuren till höger. Vi ser tt ju större n, desto längre blir kurvn nästn pln. Dett förnleder oss tt ställ följnde fråg: Hur kn vi grnter tt en följd v funktioner konvergerr mot en gränsfunktion som är kontinuerlig? Problemet består i tt lägg villkor på funktionsföljden som grnterr dett. Som vi snrt sk se är det nu vi verkligen behöver en ordentlig definition v gränsvärdesbegreppet. För tt se hur ett sådnt villkor kn se ut, ntg tt f n (x) f(x) då n y x för ll x i någon mängd. För tt vis kontinuitet måste vi vis tt det till vrje ɛ > finns ett δ > sådnt tt x < δ f(x) f() < ɛ. Triket här är tt gör följnde omskrivning f(x) f() = f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f(). Tringelolikheten medför då tt f(x) f() f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f(). Vi vet tt det till vrje x går tt välj ett N sådnt tt f n (x) f(x) < ɛ 3 då n N. Det är då frestnde tt först välj N så stor tt dett är snt för både x oh oh sedn, med dett vl v N, välj δ så litet tt f N (x) f N () < ɛ/3 då x < δ. Det skulle då följ tt f(x) f() < ɛ då x < δ, oh vi skulle lltså h sett tt f är kontinuerlig i punkten. Men exemplet ovn visr tt det är något i denn rgumentering som inte håller. Vd?

5 Om konvergens v funktionsföljder 4 (12) Exempel 2 Om vi tr exemplet ovn med f n (x) = x n så hr vi tt om x < 1 gäller tt f(x) f(x) = x n, så vi ser tt f n (x) f(x) < ɛ n > ln(ɛ)/ ln x. Problemet ligger i tt N beror v x! Ju närmre vi tr x, desto större kn vi tvings t N. Är det inte så, hr vi bevist tt gränsfunktionen är kontinuerlig. Vi inför ett speiellt konvergensbegrepp för de fll när mn kn välj N oberoende v x. Definition 1 Låt {f n } vr en svit funktioner definierde på en mängd S. Om det till vrje ɛ > finns ett N sådnt tt f n (x) f(x) < ɛ för ll x i S då n N, så sägs följden {f n } konvergerr likformigt mot gränsfunktionen f på S. Vi hr då vist följnde sts. Sts 1 Gränsfunktionen till en likformigt konvergent följd v kontinuerlig funktioner är en kontinuerlig funktion. När mn diskuterr likformig konvergens är det bekvämt tt inför en speiell betekning. Om E är en mängd oh f en reellvärd funktion definierd på E skriver vi f E = sup f(x). x E Om det är klrt vilken mängden är utelämns oft E:et från betekningen. Oft skrivs den dessutom f v skäl som vi inte går in på här. Vi ser nu tt (då n )) f n f likformigt på E f n f E Den grfisk innebörden v begreppet likformig konvergens är tt ll kurvor y = f n (x) ligger i bndet [f(x) ɛ, f(x) + ɛ] då n N. Exempel 3 Vi kn h en kontinuerlig gränsfunktion trots tt konvergensen inte är likformig. Betrkt t.ex. funktionern

6 Om konvergens v funktionsföljder 5 (12) nx x 1/n f n (x) = 2 nx 1/n x 2/n. 2/n x 1 Denn funktionssvit konvergerr mot noll punktvis överllt, men 1 y f n f = f n = f n ( 1 ) = 1 för ll n, n så konvergensen är uppenbrligen inte likformig. 1 n x 2 n 1 För tt bli riktigt nvändbrt behöver vi okså en sts som grnterr tt en funktionsföljd är likformigt intervll i ett område. En sådn är Sts 2: Weierstrss Mjorntsts Låt tlföljden { n } vr sådn tt f n+1 (x) f n (x) n för ll x i S oh sådn tt k <. k=1 Om det då gäller tt f n f punktvis då n i S, så är konvergensen likformig. Bevis. Dett följer mer eller mindre direkt v observtionen [1] tt f(x) f n (x) = (f k+1 (x) f k (x)). k=n Med hjälp v tringelolikheten får vi nämlgen tt f f n S k. k=n Genom tt välj n tillräkligt stort kn vi få högerledet här hur litet vi vill h det. Vi kn nu fullfölj konstruktionen v exponentilfunktionen som diskuterdes i föregående vsnitt.

7 Om konvergens v funktionsföljder 6 (12) Exempel 4 Låt f n (x) = 1 + x + x xn n! = n Vi vill vis tt denn funktionsföljd är likformigt konvergent på vrje intervll v formen x K genom tt nvänd Weierstrss mjorntsts. Dett görs i prinip på smm sätt som vi tidigre visde den punktvis konvergensen om vi håller lite koll på detljern. Först hr vi tt f n (x) f n 1 (x) = xn n! x n n! Tg nu ett heltl N > K. För n > N gäller då tt K n n! C( K N )n N, k= C = KN N!, v smm skäl som tidigre. Definier tlen { C då n N n = C( K N )n N då n > N. x k k!. Kn n!. Från oh med det N:te indexet utgör dess en geometrisk tlföljd, så summn v dem är konvergent. Förutsättningrn i Weierstrss mjorntsts är därför uppfylld, så funktionsföljden är likformigt konvergent. En konsekvens v dett är tt gränsfunktionen är kontinuerlig, d.v.s. funktionen f(x) = k= x k k! är en kontinuerlig funktion. Är vi därmed klr med tt vis tt differentilekvtionen vi strtde med hr en lösning? Nej, vi vet nämligen inte tt u verkligen uppfyller integrlekvtionen. För tt se det måste vi vis följnde: u(t) = lim n u n+1 (t) = 1 + lim n u n (s)ds = 1 + ( lim n u n (s))ds = 1 + u(s)ds. Den v dess likheter som vi ännu inte vist är den tredje, men den får vi ur följnde sts. Sts 3 Om funktionern f n ll är kontinuerlig på ett intervll [, b] oh f n f likformigt på [, b] då n, så gäller tt b f n (x)dx b f(x)dx då n.

8 Om konvergens v funktionsföljder 7 (12) Bevis. Givet ɛ > kn vi enligt förutsättningen om likformig konvergens finn ett N sådnt tt det för ll x som uppfyller x b gäller tt Men då hr vi tt b f n (x)dx Dett är beviset. b f n (x) f(x) < ɛ då n N. b f(x)dx = b (f n (x) f(x))dx f n (x) f(x) dx < (b )ɛ. Exempel 5 Betrkt funktionssviten nf n (x) där f n (x) är tringelfunktionern i Exempel 3. Då är ll integrler 1 f n(x)dx = 1, men integrlen v gränsfunktionen nturligtvis noll. Men så hr vi inte likformig konvergens heller. Anmärkning Stsen generlisers direkt till flerdim så tt om f n f likformigt på en kompkt mängd K, så gäller tt integrlern f K n(x)dx f(x)dx. Beviset är K detsmm! Ett närbesläktt oh viktigt resultt är i näst sts. Sts 4 Låt f n vr kontinuerlig på ett intervll [, b] oh deriverbr i det inre. Antg tt f n f punktvis på [, b] oh tt f n g likformigt i (, b). Då är f deriverbr i (, b) oh det gäller tt g = f. Bevis. Vi vet tt g är kontinuerlig i (, b) oh enligt föregående sts gäller tt x g(t)dt = lim n x Anlysens huvudsts ger nu resulttet. f n(t)dt = lim n (f n (x) f n ()) = f(x) f(). En följdsts till dett är tt en oändlig serie kn derivers termvis om den deriverde serien är likformigt konvergent. Även denn sts hr nturligvis en direkt motsvrighet i flerdim: Sts 5 Antg tt f n C 1 (Ω, R m ) är en svit funktioner sådn tt f n f punktvis på Ω oh tt j f g j likformigt på kompkt delmängder v Ω då n, j = 1,..., n. Då följer tt f C 1 (Ω, R m ) oh tt j f = g j, j = 1,..., n.

9 Om konvergens v funktionsföljder 8 (12) Anmärkning Vi kn lterntivt skriv villkoren som tt f n f punktvis oh df ω likformigt, där ω är en differentilform, oh dr slutstsen tt då gäller tt df = ω. Sts 6 Låt f(x, y) oh dess prtiell derivt 1 f(x, y) vr kontinuerlig på rektngeln R = [, b] [, d]. Då gäller tt d dx d f(x, y)dy = d Speiellt är integrlen i vänsterledet deriverbr. 1 f(x, y)dy. Bevis. Eftersom R är en kompkt mängd oh funktionern f oh 1 f är kontinuerlig blir de likformigt kontinuerlig där, oh därmed blir integrlern Φ(x) = d f(x, y)dy, Ψ(x) = d 1 f(x, y)dy kontinuerlig funktioner på intervllet [, b]. I vrje punkt i [, b] hr vi därför tt x Ψ(t)dt = x ( d 1 f(t, y)dy)dt = d x 1 f(t, y)dtdy = d (f(x, y) f(, y))dy = Φ(x) Φ(x). Det följer tt Φ (x) = Ψ(x) oh stsen är bevisd. Anmärkning Smm bevis fungerr för generliserde integrler (d = ) under förutsättning tt vi dessutom ntr tt integrlen f(x, y)dy konvergerr punktvis oh integrlen 1 f(x, y)dy konvergerr likformigt på [, b]. Slutligen hr vi följnde observtion. Om det för funktionsföljden f n (x) gäller tt det till vrje ɛ > går tt finn ett N sådnt tt f n f m E < ɛ då n, m N, så gäller tt det finns en kontinuerlig funktion f på E sådn tt f n f likformigt på E. En svit som uppfyller dett villkor utgör en Cuhy-svit. Beviset för påståendet följer v tt vi för vrje x E hr tt f n (x) är en Cuhy-svit, oh lltså konvergerr mot något gränsvärde f(x). Låt sedn m i villkoret ovn för tt få den likformig konvergensen.

10 Om konvergens v funktionsföljder 9 (12) Konvergens v monoton funktionsföljder Sts 7: Dini s sts Om en följd {f n } 1 v kontinuerlig funktioner är monoton i en kompkt mängd K R n oh går mot en kontinuerlig gränsfunktion f, så är konvergensen likformig. Bevis. Genom tt betrkt f n f, som är kontinuerlig, inser mn tt det räker tt vis stsen då gränsfunktionen är. Genom tt eventuellt gå över till f n kn vi okså nt tt följden vtr mot. Låt vr en punkt i K. Den punktvis konvergensen i ger då tt det till vrje ɛ > finns ett n = n() sådnt tt f n() () < ɛ. Av kontinuiteten hos dett f n() följer tt det finns en omgivning ω() till sådn tt f n() (x) < ɛ då x ω(). Utnyttjr vi nu tt följden är vtgnde får vi v dett tt f n (x) < ɛ då x ω() oh n n(). Eftersom den kompkt mängden K enligt Heine-Borels lemm kn täks med ändligt mång omgivningr ω( i ), i = 1..., m gäller därför tt f n (x) < ɛ då x K oh n N, där N är det störst v n( i ). Dett visr tt f n K ɛ då n N, oh därmed tt konvergensen är likformig. Exempel 6 Sätt f n (x) = (1 + x n )n, n = 1, 2,... y Dess funktioner är kontinuerlig oh följden konvergerr som beknt mot den kontinuerlig funktionen e x. Kn vi vis tt följden är monoton följer v Dinis sts tt konvergensen är likformig på vrje kompkt intervll. För tt se tt den är monoton ersätter vi n med en kontinuerlig vribel t oh håller x fixt. Logritmerr vi får vi 2 1 ln(1 + x t )t = t ln(1 + x t ), x oh deriverr vi det m..p. t får vi ln(1 + x t ) x t + x = ln(t + x) ln t x = x t + θx x t + x = x 2 (1 θ) (t + θx)(t + x) t + x

11 Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Här nvänder vi medelvärdesstsen, oh eftersom < θ < 1 ser vi tt logritmens derivt är positiv, så den är växnde om t > x. På vrje kompkt intervll är följden f n (x) därför växnde, åtminstone för tillräkligt stor n. Anmärkning På intervllet [X, ) är konvergensen däremot inte likformig ty f n f [X, ) =. Det beror på tt exponentilfunktionen växer snbbre mot än ll polynom, speiellt då f n. Ett motsvrnde rgument visr tt konvergsen inte heller är likformig på ett intervll (, X]. Följnde exempel är en viktig konsekvens v Dini s sts. Exempel 7 Låt f n, f vr ike-negtiv funktioner som är integrerbr oh ntg tt f n f monotont då n. Då gäller tt f n (x)dx = f(x)dx. lim n För tt vrför kn vi nt tt f n är växnde. Till givet ɛ > kn vi då t ett tl X sådnt tt Dett medför tt X X f(x)dx + f(x) f n (x) dx + X X f(x)dx < ɛ/2. f(x) f n (x) dx < ɛ för ll n. Men Dini s sts visr tt f n f likformigt på [ X, X],så det följer tt X X f(x) f n (x) dx < ɛ/2 om n är tillräkligt stort, oh dderr vi dem får vi tt totlintegrlen är < ɛ. Speiellt får vi tt om u n (x) är kontinuerlig, ike-negtiv oh integrerbr oh om serien n u n(x) konvergerr punktvis mot en integrerbr funktion s(x), så gäller tt s(x)dx = u n (x)dx. n

12 Om konvergens v funktionsföljder 11 (12) Ekvikontinuitet Bolzno-Weierstrss sts säger tt vrje begränsd tlföljd hr en konvergent delföljd. En lterntiv formulering är tt om S är en begränsd mängd reell tl så finns minst en punkt sådn tt det finns en oändlig svit k S sådn tt k då k. I mång smmnhng behöver mn en motsvrnde sts för funktioner: gäller det tt en begränsd följd funktioner lltid hr en konvergent delföljd? Inte utn vidre, men låt oss försök oss på ett bevis för en sådn sts. Vi utgår från en följd v kontinuerlig funktioner f n sådn tt det finns en konstnt M för vilken vi hr tt f n (x) M för ll x [, b]. En sådn funktionsföljd sägs vr likformigt begränsd. Låt nu r i vr en uppräkning v ll rtionell tl i intervllet [, b]. Vi kn då hitt en delföljd f m v f n sådn tt f m (x i ) konvergerr för vrje r i. Triket är Cntors digonlrgument. Vi vet tt f n (r 1 ) är en begränsd följd v reell tl, vilket betyder tt den hr en konvergent delföljd f n1 (r 1 ). För f n1 (r 2 ) gäller i sin tur tt den okså är begränsd, oh därför hr en konvergent delföljd f n2 (r 2 ). På det här sättet kn vi fortsätt tt välj ut delföljder f nk sådn tt f nk (r k ) konvergerr. Om vi nu definierr f k ( som det k:te elementet i delsviten f nk, så hr vi konstruert en delsvit f k v f n sådn tt f k (x) är konvergent för vrje rtionellt tl x. Men tt vi hittt en delsvit som konvergerr för ll rtionell tl är ett långt steg ifrån tt den konvergerr för ll reell tl. De rtionell tlen utgör ju en försvinnnde liten del blnd de reell tlen. Så vd mer behöver vi för tt sviten okså sk konverger för ll irrtionell tl? Triket är tt inför ett begrepp snrlikt likformig kontinuitet, fst där likformigheten nu gäller en mängd v funktioner. Definition 2 En mängd F v kontinuerlig funktioner sägs vr ekvikontinuerlig på mängden E om det gäller tt mn till vrje ɛ kn hitt ett δ sådnt tt för ll f F. f(x) f(y) < ɛ om x, y E oh x y < δ Ekvikontinuiteten gör tt vi kn trnsporter konvergensen i rtionell punkter till närliggnde, reell punkter. Innn vi slutför beviset formulerr vi stsen ordentligt. Sts 8: Arzèl-Asolis sts Om en oändlig följd v reellvärd funktioner {f n } definierd på ett kompkt intervll [, b] är likformigt begränsd oh ekvikontinuerlig, så finns en delsvit {f nk } som konvergerr likformigt (mot en kontinuerlig funktion).

13 Om konvergens v funktionsföljder 12 (12) Anmärkning Omvändingen är okså snn, oh ingår egentligen i stsen: om vrje delsvit hr en konvergent delsvit, så är den ursprunglig sviten likformigt begränsd oh ekvikontinuerlig. Bevis. Vi fortsätter på beviset v tillräkligheten. Vi beteknr nu den utvld delsviten f n. Vd vi hr kommit frm till ovn är tt ovsett vilket ɛ > vi tr oh vilket rtionellt tl x k vi tr i [, b], så finns ett N = N(x k, ɛ) sådnt tt f n (x k ) f m (x k ) < ɛ 3 för ll m, n N. Vidre följer v ekvikontinuiteten tt det till vrje x [, b] finns en öppen omgivning I(x) v x sådn tt f n (x) f n (y) < ɛ/3 för ll n. Dess I(x) utgör en öppen övertäkning v [, b], oh vi kn då hitt en ändlig delövertäkning I(x 1 ),..., I(x m ) enligt Heine-Borels lemm. Tg nu ett x [, b]. Det ligger i något I(x k ) oh i smm omgivning kn vi hitt ett rtionellt tl r k. Vi hr då följnde uppskttning f n (x) f m (x) f n (x) f n (r k ) + f n (r k ) f m (r k ) + f m (x) f m (r k ). Men här är först oh sist termen i högerledet < ɛ/3 p.g.. ekvikontinuiteten. Smtidigt kn vi få mellntermen okså < ɛ/3 ur konstruktionen v delsviten, om vi br tr n, m N där N är det störst v N(r k, ɛ). Vi hr lltså tt f n f m [,b] < ɛ då n, m N, vilket betyder tt f n är en (likformig) Cuhy-svit. Den konvergerr därför mot en kontinuerlig funktion, vilket visr stsen. Anmärkning Vi hr formulert oh bevist stsen för en funktion v en vribel. Den utvidgs lätt till kontinuerlig funktioner på kompkt mängder i llmännre rum. Beviset är i llt väsentligt detsmm. Noteringr 1. Summn är teleskopernde: en ändlig delsumm är N (f k+1 (x) f k (x)) = f N (x) f n (x) i vilken vi låter N. k=n

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Topologi och konvergens

Topologi och konvergens Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Polynominterpolation av kontinuerliga

Polynominterpolation av kontinuerliga Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) Contents 1. En differentilekvtion 2 2. Epsilon och delt 4 3. Den logritmisk integrlen och primtl 6 4. Fltning och tt tämj gln funktioner 8 5. Tlet e 11 6. Anlytisk

Läs mer

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik 3 oktober 08 Innehåll Att läs innn vi börjr 7. Vrför läs mtemtik?..................... 7. Uppmning till läsren v dett häfte............. 7.3 Lärndemål

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

Om konvergens av serier

Om konvergens av serier Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Mat Grundkurs i matematik 1, del III Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3 Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill 6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1. KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger

Läs mer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t. Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ

Läs mer

Γ-funktionen En kort introduktion

Γ-funktionen En kort introduktion Institutionen för nturvetenskp och teknik Γ-funktionen En kort introduktion Rickrd Edmn och Mrkus Östberg Örebro universitet Institutionen för nturvetenskp och teknik Mtemtik C, 76 9 högskolepoäng Γ-funktionen

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

I Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja

I Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja Förord Boken är vsedd för nvändning som kursmteril till kursern Anlys I och II vid Helsingfors och Åbo Universitet. Den lämpr sig även som mteril för ndr högskolors förstårskurser i mtemtisk nlys, och

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer