Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009"

Transkript

1 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis

2 Innehåll 1 Introduktion De reell tlen Induktionsprincipen Någr grundläggnde definitioner Tringelolikheten Medelvärden Kontinuitet och gränsvärden 17.1 Introduktion till kontinuerlig funktioner Definitioner; gränsvärdets entydighet Stser om kontinuitet och gränsvärden Höger- och vänstergränsvärden och -kontinuitet Gränsvärden i oändligheten; oändlig gränsvärden Gränsvärdesstser för tlföljder Tillägg till kpitel Någr egenskper hos reellvärd funktioner Stsen om mellnliggnde värden Supremum och infimum v en tlmängd Om numrerbrhet Monoton funktioner Bolzno-Weierstrss sts En sts om kontinuerlig funktioner på slutn och begränsde intervll Likformig kontinuitet Cuchyföljder och Cuchys konvergenskriterium

3 4 Differentilklkyl Definitioner; grundregler Kedjeregeln Stser om deriverbr funktioner L Hospitls regler Invers funktioner Högre derivtor Integrlklkyl Definitionen v Drbouxintegrlen Egenskper hos Drbouxintegrlen Om Riemnnintegrlen Om generliserde integrler Oändlig följder, oändlig serier Grundläggnde egenskper Serier med positiv och negtiv termer, potensserier Tylors formel

4 4

5 Kpitel 1 Introduktion 1.1 De reell tlen De reell tlen krkterisers v xiom (räkneregler, postult, grundntgnden). A. Axiomen för ddition M. Axiomen för multipliktion O. Ordningsxiomet C. Kontinuitetsxiomet Mång ndr strukturer uppfyller viss v xiomen, men mn kn vis tt de reell tlen väsentligen är den end struktur som uppfyller dem ll. Låt M vr en mängd, vrs element klls tl. (A) Axiomen för ddition Det existerr en opertion klld ddition, bet. +, i M, dvs. för vrje, b M existerr ett element + b M, summn v och b. Additionen uppfyller A(i) Associtionslgen,b,c M : ( + b) + c = + (b + c) A(ii) Kommuttionslgen,b M : + b = b + 5

6 A(iii) Det existerr ett tl i M, kllt 0, sådnt tt M : + 0 = A(iv) Till vrje M existerr ett tl, (:s motstt tl eller dditiv invers), kllt så tt + ( ) = 0 Exempel 1) N uppfyller A(i), A(ii) ) N 0 uppfyller A(i), A(ii), A(iii) 3) Z uppfyller A(i) (iv) 4) Q uppfyller A(i) (iv) 5) N 0 med opertionen b = mx(,b) uppfyller (i) (iii) Anmärkning Motstt tlet är entydigt bestämt om M uppfyller A(i)-A(iv): + x 1 = + x = 0 = ( ) + ( + x 1 ) = ( ) + ( + x ) A(i) = ( ( ) + ) + x1 = ( ( ) + ) + x A(iv) = 0 + x 1 = 0 + x A(iii) = x 1 = x Exempel Eftersom både ( ) + ( ) = 0 och + ( ) = 0 fås tt ( ) =. Sts 1.1 Antg tt M försedd med opertionen + uppfyller xiomen A. Då hr ekvtionen en entydig lösning x = b + ( ), bet. b. Bevis + x = b + ( b + ( ) ) A(ii) = + ( ( ) + b ) A(i) = ( + ( )) + b A(iv) = 0 + b A(iii) = b Alltså hr ekvtionen den ngivn lösningen. Antg tt x är en nnn lösning än x = b + x = b, + x = b 6

7 Då fås + ( + x ) = + ( + x) = A(i) ( ( ) + ) + x = ( ( ) + ) = x A(iv) = 0 + x = 0 + x A(iii) = x = x Anmärkning Observer tt ( b + ( ) ) = ( b) +, ty ( b + ( ) ) + ( b) + = 0, och ( ) =, ty ( ) + = 0. (M) Axiomen för multipliktion Det existerr en opertion klld multipliktion, bet., som tillordnr vrje pr,b M ett tl, produkten v och b, bet. b eller b. Multipliktionen uppfyller M(i) ssocitionslgen: M(ii) kommuttionslgen,b,c M : (b)c = (bc),b M : b = b M(iii) det existerr ett tl, bet. 1, sådnt tt M : 1 = M(iv) för vrje 0 existerr ett tl 1 (multipliktiv invers) sådnt tt 1 = 1 (lt.: för vrje 0 kn ekvtionen x = 1 löss.) M(v) distributionslgen,b,c M : (b + c) = b + c Exempel 1) Z med +, uppfyller (i), (ii), (iii), (v) men ej (iv) ) Mängden v -mtriser med mtrisddition och mtrismultipliktion uppfyller (i), (iii) med ( ) som ett, (v) men ej (ii) och (iv) 7

8 Sts 1. Antg tt M uppfyller xiomen för multipliktion. Då gäller (i) M : 0 = om M hr fler än ett element (ii),b M : b = 0 = 0 b = 0 (iii) 0, b M x M : x = b. Lösningen x är entydig (x = 1 b) (iv),b M : ( b) = b Bevis (i) Om M, 0, så 1 = men 0 = (0 + 0) M(v) Sts 1.1 = = 0 = 0 (ii) b = 0, 0 se ovn = 1 M(i) b = 0 = ( 1 M(iv) )b = 0 = 1 b = 0 M(iii) = b = 0 (iii) x 1 = x (= b) = 1 (x 1) = 1 (x ) = 1 x 1 = 1 x = x 1 = x entydig lösning 1 b = ( 1 )b = 1 b = b 1 b lösning (iv) ( b) + b M(v) = (( b) + b) A(iv) = 0 (i) = 0 Anmärkning Associtionslgrn kn utvidgs till 4, 5,... termer resp. fktorer: ( + b) + (c + d) A(i) = + ( b + (c + d) ) A(i) = + ( (b + c) + d ) etc. Prentesern spelr lltså ingen roll och kn bortlämns i ren dditionsuttryck, liksom i ren multipliktionsuttryck. Men: Opertionen är inte ssocitiv. (O) Ordningsxiomet Låt mängden M, som uppfyller (A) och (M), bestå v tre disjunkt delmängder M +, {0}, M sådn tt O(i) För vrje M gäller exkt ett v följnde lterntiv: M +, = 0, M +. 8

9 O(ii) För vrje,b M + : + b M +, b M +. M + klls de positiv tlen och M de negtiv tlen. Beteckningr M + > 0 M < 0 + ( b) > 0 > b + ( b) < 0 < b Anmärkning M + = M (Om ej så M + eller = 0 vilk båd leder till motsägelse.) 0 : M + (Om M = M + = ( )( ) M + och ( )( ) = ( ) = ( ) =.),b M : b M + Exempel 1) Betrkt de rtionell tlen Q = {p/q q N,p Z}. Nu hr vi Q + = {p/q q N, p N} och Q = {p/q q N,p < 0}. Q uppfyller (A), (M) och (O). ) De komplex tlen C uppfyller (A), (M) men ej (O). Motivering: Vd skulle C + i så fll vr? Enligt ovn är > 0 för ll 0. Alltså bör 1 = 1 tillhör C + och 1 C. Men i = 1. Motsägelsen visr tt C inte kn uppfyll (O). (C) Kontinuitetsxiomet Dett behndls senre i Kpitel, vsnitt.. 1. Induktionsprincipen Antg tt mängden R, de reell tlen, är given. Definition 1.1 En delmängd S v R säges vr induktiv om 9

10 (i) 1 S (ii) x R : x S = x + 1 S Definition 1. Ett reellt tl x klls ett nturligt tl om det hör till vrje induktiv delmängd v R. Mängden v de nturlig tlen beteckns med N. Anmärkning Vi kn också konstruer N genom tt säg tt N består v 1, (som beteckns ), + 1 (som beteckns 3) osv. Exempel N, N 0, Q, Q +, R är induktiv. Ingen ändlig mängd kn vr induktiv. Sts 1.3 N är en induktiv mängd. Bevis Vi verifierr tt N uppfyller (i) och (ii) i Definition 1.1: (i) 1 N ty 1 tillhör vrje induktiv mängd. (ii) Antg tt k N. Eftersom k tillhör vrje induktiv mängd fås tt k + 1 också tillhör vrje induktiv mängd, med ndr ord k + 1 N. Från Sts 1.3 fås nu omedelbrt: Sts 1.4 ( Principen för mtemtisk induktion ) Om S är en induktiv delmängd v R så är N S. Vi ger två exempel på induktionsbevis. Exempel Bevis tt för n N gäller n = Bevis: Låt S = {n N (1.1) gäller för n} n(n + 1) (1.1) (i) 1 S ty 1 = 1 10

11 (ii) Antg tt n S (induktionsntgndet). Visr tt n + 1 S: n + n + 1 ind. nt. = (n + 1)( n + + 1) = (n + 1)n = Alltså: n S = n + 1 S S induktiv och lltså S = N. (S N från börjn) (1.1) gäller för ll n N. n(n + 1) + n + 1 = (n + 1)((n + 1) + 1) Exempel Vis tt n! > n för ll n > 3. Låt S = {n N n = 1, eller 3 eller n! > n } (i) 1 S (ii) n S = n + 1 S? Impliktionen i (ii) är trivil för n = 1,. n = 3? 4 = 4! > 4 = 16 4 S Antg n S,n > 3 (n + 1) n! > n (ty n + 1 > ) (n + 1)! > n+1 ; n + 1 S 1.3 Någr grundläggnde definitioner definitionsmässigt lik med (i) Låt R : = R R := {(x,y) x,y R}. En delmängd M R klls en reltion från R till R. Mängden D M := {x (x,y) M} klls reltionens definitionsmängd och V M := {y (x,y) M} dess värdemängd. (ii) Reltionen f R är en funktion om för vrje x D f finns exkt ett y V f med (x,y) f. Mängden D f klls funktionens definitionsmängd (eng. domin) och V f funktionens värdemängd (eng. rnge). Om (x,y) f säger vi tt y är f:s värde i punkten x, beteckns y = f(x). f : R R betyder tt f är en funktion med D f R och V f R. (iii) Funktionen f är injektiv om det för vrje y V f finns exkt ett x D f med (x,y) f dvs. y = f(x). I dett fll ger föreskriften (y,x) f 1 (x,y) f upphov till en funktion f 1 (inversen till f) med D f 1 = V f och V f 1 = D f. 11

12 (iv) Funktionen f : R R klls en tlföljd (eng. sequence) om D f N. Om D f = N beteckns tlföljden oft {x n } n=1, { n } n=1 eller dyl., där x n, n är f(n). Beteckningr m n=1 m n=1 x n x n = x 1 + x + + x m = x 1 x x m Anmärkning Prenteser behövs ju inte pg ssocitiviteten. (iv) f : R R R med D f N N är en dubbel tlföljd. Bet. {x n,m } n,m=1 om D f = N N. Hr t.ex. 1 n N 1 m M x m,n = komm. = N M ( x n,m ) n=1 m=1 M N ( x n,m ) m=1 n=1 Exempel N =,M = 3 x 1,1 + x 1, + x 1,3 + x,1 + x, + x,3 = x 1,1 + x,1 + x 1, + x, + x 1,3 + x,3 1.4 Tringelolikheten Absolutbeloppet x v x definiers enligt { x om x 0 x = x om x < 0. För bsolutbeloppet gäller den s.k. tringelolikheten x,y R : x y x ± y x + y. Bevis Betrkt först påståendet x,y R : x + y x + y (1.) 1

13 Vi hr x y x x y y Addition ger ( x + y ) x + y x + y Härv x + y x + y, dvs. (1.). Sätt in y för y i (1.) x,y R : x y x + y = x + y Sätt in y x för y i (1.) x,y R : y x + y x, vrv x,y R : y x y x (1.3) Välj x y för x i (1.): x,y R : x y x y. (1.4) (1.3), (1.4) ger x,y R : ± ( y x ) x y x y x y Slutligen: Sätt in y för y ovn; då fås x,y R : x y x + y 1.5 Medelvärden Definition 1.3 Låt 1,,..., n vr givn reell tl. Tlet ā := 1 n k=1 klls det ritmetisk medelvärdet v 1,,..., n. Egenskper k (i) ā = om k =,k = 1,,...,n 13

14 (ii) ā [α,β] om k [α,β],k = 1,,...,n (iii) min( 1,,..., n ) ā mx( 1,,..., n ) Anmärkning (ii) = (i),(iii) Bevis v (ii): Enligt ntgndet k [α,β],k = 1,,...,n gäller α 1 β α β. α k β. α n β. Addition v olikhetern och division med n ger α ā β. Definition 1.4 Låt 1,,..., n R och tg t 1,t,...,t n [0,1] så tt t 1 +t + +t n = 1. Tlet v := t k k k=1 klls det vägd ritmetisk medelvärdet v 1,,..., n. Tlen t 1,t,...,t n klls vikter. [Om viktern är lik, 1 n vr, så blir v = ā.] Anmärkning v klls också en konvex kombintion v 1,,..., n. v uppfyller (i), (ii), (iii) ovn. Bevis v tt v uppfyller (ii): Eftersom t 1,t,...,t n är ickenegtiv fås t 1 α t 1 1 t 1 β. t k α t k k t k β. t n α t n n t n β. 14

15 Addition ger α v β. Definition 1.5 Låt 1,,..., n vr icke-negtiv reell tl. Tlet n ḡ := ( k ) 1 n k=1 klls det geometrisk medelvärdet v 1,,..., n. Anmärkning ḡ hr egenskpern (i) (iii) ovn. Sts 1.5 Om 1 0, 0,..., n 0, gäller det tt Likhet gäller br när 1 = =... = n. ḡ ā. 15

16 16

17 Kpitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerlig funktioner Kpitlet börjr med llmänn definitioner. Därefter utvidgr vi successivt fmiljen v kontinuerlig funktioner, genom specifik exempel: c kontinuerlig x kontinuerlig cx kontinuerlig x kontinuerlig. x n kontinuerlig, n N x n + bx n c (polynom) kontinuerlig rtionell funktioner är kontinuerlig smmnsättningr v kontinuerlig funktioner är kontinuerlig (senre: potensserier, funktionsserier) trigonometrisk funktioner, exponentilfunktioner, integrlfunktioner... Allmän teori behövs i synnerhet då funktionen är given implicit, som resultt v en lgoritm. x Algoritm f(x) Trigonometrisk olikheter, en informell härledning Nedn härleds olikheter som utnyttjs flitigt i fortsättningen. Härledningen är informell eftersom vi inte definiert de trigonometrisk funktionern exkt. (1) tn x > x > sin x, 0 < x < π 17

18 () 1 cos x > x sin x > 1, 0 < x < π (3) cos x < sin x x < 1, 0 < x < π enhetscirkeln x x 1 cosx sin x tn x x x 0 sin x 0 Figuren visr tt sin x sinx 0 x x 0 vilket medför tt sinus är kontinuerlig i x 0. x 0 i (3) ger: (4) lim x 0 sin x x = 1 p.g.. tt cosinus är kontinuerlig i 0.. Definitioner; gränsvärdets entydighet Definition.1 Låt f vr en reell funktion, d.v.s. D f R, V f R. f är kontinuerlig i x 0 D f om ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ x D f = f(x) f(x 0 ) < ε. f är kontinuerlig på mängden A om den är kontinuerlig för vrje x A. f är kontinuerlig betyder tt den är kontinuerlig i vrje x 0 D f. Om f inte är kontinuerlig i x 0 sägs den vr diskontinuerlig i x 0. f är diskontinuerlig i x 0 ε > 0 δ > 0 x D f : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ε Definition. För vrje δ > 0 klls intervllet (x 0 δ,x 0 + δ) := {x x x 0 < δ} en omgivning (eller öppen omgivning) v x 0 R, (x 0 δ,x 0 + δ) \ {x 0 } är en punkterd omgivning v x 0. 18

19 Definition.3 Låt f vr en reell funktion och x 0 R sådn tt vrje omgivning v x 0 innehåller någon punkt ur D f. (x 0 är en s.k. höljepunkt till D f ) f sägs h gränsvärdet A då x x 0 om ε > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ x D f = f(x) A < ε (.1) Om ett dylikt A ej finns säger vi tt f sknr gränsvärde då x x 0. Att f hr gränsvärdet A då x x 0 beteckns lim f(x) = A. x x 0 Vi kn också uttryck det sålund: f(x) A då x x 0. Sts.1 Antg tt x 0 D f. Då är f kontinuerlig i x 0 om och endst om f(x) f(x 0 ) då x x 0. Följer omedelbrt v definitionen på kontinuitet och Definition.3. Definition.4 Tlföljden {x n } n=1 sägs h gränsvärdet A, eller konverger mot A, då n om ε > 0 N : n > N = x n A < ε. Beteckning lim x n = A. n (C) Kontinuitetsxiomet Låt M vr en tlmängd som uppfyller (A), (M) och (O) (se kp. 1). M uppfyller (C) kontinuitetsxiomet om vi dessutom hr: Låt {x n } n=1 vr en tlföljd med (i) x n+1 x n, n = 1,,... (ickevtgnde) (ii) K : x n K, n = 1,,... (begränsd). Då existerr ett tl L M så tt lim n x n = L och x n L K för ll n=1,,... Mn kn vis tt (A), (M), (O) och (C) väsentligen krkteriserr de reell tlen, d.v.s. om vi hr en mängd M som uppfyller (A) (C) så är den entydigt bestämd (sånär som på såklld isomorfi). 19

20 Sts. (Gränsvärdets entydighet) Gränsvärdet är entydigt (om det existerr), kn med ndr ord inte finns B A för vilket (.1) också gäller. (Smm slutsts för Definition.4) Bevis Antg tt (.1) gäller för B A. Sätt 0 < ε < A B. Då finns δ > 0 så tt och ett δ > 0 med Tg nu ett x D f sådnt tt 0 < x x 0 < δ x D f = f(x) A < ε 0 < x x 0 < δ x D f = f(x) B < ε. 0 < x x 0 < min(δ, δ ). det För dett x hr vi Emellertid ger olikheten f(x) A, f(x) B < A B. A B = f(x) A (f(x) B) f(x) A + f(x) B < A B. Alltså: A B < A B, vilket är en motsägelse. Dett bevisr tt gränsvärdet är entydigt. Sts.3 Låt f vr en reellvärd funktion definierd i en (punkterd) omgivning v x 0. Då gäller tt lim x x0 f(x) = L om och endst om lim n f(x n ) = L för ll tlföljder {x n } n=1, x n D f, lim n x n = x 0 och x n x 0, n N. Bevis ( = ) Tg ett ε > 0. Då existerr ett δ > 0 så tt Låt nu {x n } n=1, vr en tlföljd med 0 < x x 0 < δ = f(x) L < ε. n N : x n D f,x n x 0 och lim n x n = x 0. Enligt definition på gränsvärde för tlföljder existerr ett N sådnt tt n > N = 0 < x n x 0 < δ. (Förutstt tt x n x 0 ) (N beror v δ som i sin tur beror v ε.) Härv fås nu n > N = f(x n ) L < ε, lltså ε > 0 N så tt n > N = f(x n ) L < ε 0

21 lim n f(x n) = L. ( = ) Vi ntr nu tt lim n f(x n ) = L för ll tlföljder {x n } n=1 med x n D f, x n x 0,lim n x n = x 0. Antg också tt lim x x0 f(x) inte existerr eller är L. I så fll ε > 0 δ > 0 x : 0 < x x 0 < δ x D f f(x) L ε. Speciellt kn vi välj δ = 1 n och kll punkten x n: ε > 0 n x n : 0 < x n x 0 < 1 n x n D f f(x n ) L ε. Av dett ser vi tt lim n x n = x 0, x n D f, x n x 0 men lim n f(x n ) L, en motsägelse..3 Stser om kontinuitet och gränsvärden Sts.4 ) Låt c vr konstnt. Funktionen f definierd genom x R: f(x) = c är kontinuerlig på R. b) Den identisk funktionen ι definierd genom x R: ι(x) = x är kontinuerlig på R. c) Funktionen x 1 x, x 0, är kontinuerlig på R \ {0}. Bevis ) Tg ett x 0 R och ett godtyckligt ε > 0. Sätt δ = 1 (t.ex.). Det gäller trivilt tt x x 0 < 1 = f(x) f(x 0 ) < ε ty f(x) f(x 0 ) är ju c c = 0. I själv verket kn δ > 0 väljs godtyckligt. b) Tg ett x 0 R och ett godtyckligt ε > 0. Sätt δ = ε. Om nu x x 0 < δ så ι(x) ι(x 0 ) < ε eftersom ι(x) ι(x 0 ) = x x 0 < δ = ε. c) Låt f(x) = 1 x, x 0. Låt ε > 0 vr godtyckligt. Studerr f(x) f(x 0 ) = 1 x 1 = x 0 x x 0 x x 0 xx 0 x 0. Den sist olikheten gäller om x x 0 < x 0 ty då är x > x 0 ( -olikheten). Alltså x x 0 < x 0 ε, x x 0 < x 0 = f(x) f(x 0 ) < ε. Nu hr vi tt f är kontinuerlig i x 0 0; här kn vi lltså välj δ = min( x 0 ε, x 0 ). 1

22 Exempel Konkret kn vi fråg oss hur när x 0 = 1 vi måste välj x för tt skillnden melln f(x) = 1 x och f(x 0) = skll bli mindre än 0,001. Svret är tt 1 8 0,001 räcker. Men om x 0 = 1 10 är vårt svr ,001. Sts.5 Antg tt funktionern f och g är definierde i en punkterd omgivning v x 0 R och låt δ > 0 vr sådnt tt {x 0 < x x 0 < δ } D f D g = {x 0 < x x 0 < δ }. Antg tt lim x x0 f(x) = A och lim x x0 g(x) = B. Då gäller lim (f(x) + g(x)) = A + B x x 0 Korollrium.1 Om f och g är kontinuerlig i x 0 så är också f + g kontinuerlig i x 0. Bevis (v stsen). Låt ε > 0 och δ 1 > 0, δ > 0, båd mindre än δ med egenskpen tt (i) 0 < x x 0 < δ 1 = f(x) A < ε och (ii) 0 < x x 0 < δ = g(x) B < ε Betrkt nu (iii) ( f(x) + g(x) ) (A + B) -olikhet f(x) A + g(x) B Om lltså δ definiers som min(δ 1,δ ) hr vi 0 < x x 0 < δ = f(x) + g(x) (A + B) < ε + ε = ε. Alltså: lim x x0 (f(x) + g(x)) = A + B Sts.6 Under ntgnden i Sts.5 gäller också Bevis Betrkt först lim f(x)g(x) = AB. x x 0 (i) f(x)g(x) AB = f(x)g(x) Ag(x)+Ag(x) AB f(x) A g(x) + A g(x) B. Låt ε > 0 vr givet. Välj 0 < δ 1 < δ så tt

23 (ii) 0 < x x 0 < δ 1 = g(x) B < min( ε A,1 ). Vi ntr här tt A 0. Om A = 0 väljer vi till exempel δ 1 så tt g(x) B < 1, om 0 < x x 0 < δ 1. Vi ser tt för sådn x gäller också om A = 0. Nu väljs i sin tur 0 < δ < δ så tt (iii) 0 < x x 0 < δ = f(x) A < (också ε (1+ B ) om A=0) g(x) g(x) B + B < 1 + B ε (1+ B ) Smmnställer vi (i), (ii) och (iii) fås i fllet A 0, med δ = min(δ 1,δ ) : 0 < x x 0 < δ = f(x)g(x) AB (i) < g(x) För A = 0 hr vi: Härv ε (1 + B ) + A ε (ii), (iii) A ε < (1 + B ) (1 + B ) + ε = ε f(x)g(x) (i) ε < g(x) f(x) A < (1 + B ) (1 + B ) < ε. lim x x 0 f(x)g(x) = AB. Korollrium. Om f och g är kontinuerlig i x 0, så är även f g kontinuerlig i x 0. Beviset följer omedelbrt från Sts.6 eftersom A = f(x 0 ) och B = g(x 0 ). Anmärkning Resultten i Sts.5 och Sts.6 kn generlisers till summn respektive produkten v ett ändligt ntl funktioner. Sts.7 Låt f och g vr funktioner med D f = D g = R och definier x R : h(x) = (f g)(x) := f(g(x)) (smmnstt funktionen v f och g, smmnsättningen eller kompositionen v f och g). Antg tt lim x x0 g(x) = L och tt f är kontinuerlig i L. Då fås: ( lim h(x) = f(l) = lim f(x) ) x x 0 x L 3

24 Bevis Enligt ntgndet gäller: (i) ε > 0 δ : (ii) ε > 0 δ : 0 < x x 0 < δ = g(x) L < ε x L < δ = f(x) f(l) < ε Låt ε > 0 vr godtyckligt. Välj δ 1 så tt (ii) gäller. Välj därefter δ så tt (i) gäller för ε = δ 1, lltså 0 < x x 0 < δ = g(x) L < δ 1. Nu fås 0 < x x 0 < δ = g(x) L < δ 1 = f(g(x)) f(l) < ε. Sts.8 Om funktionern f och g uppfyller ntgnden i Sts.5 och om lim x x0 f(x) = A 0 så gäller g(x) lim x x 0 f(x) = B A 1 Bevis f(x) = h(f(x)) där h(x) = 1 x,x 0. Från Sts.7 (modifierd en ning då D h = R {0}) fås tt lim x x0 h(f(x)) = h(a) = 1 A. Sts.6 kn tillämps g(x) f(x) = g(x)h(f(x)) lim x x 0 g(x)h(f(x)) = B 1 A = B A Anmärkning I llmänhet är D f g = {x x D g, g(x) D f }. I den modifierde versionen v Sts.7 bör också D f g innehåll en punkterd omgivning v x 0 och D f en omgivning v L. Sts.9 Låt f och g vr funktioner med D f = D g = R. Antg tt lim x x0 g(x) = L och tt det existerr en punkterd omgivning v x 0 : S δ := {x 0 < x x 0 < δ } sådn tt g(x) L för x S δ. Om lim x L f(x) = A existerr gäller tt Bevis Genom tt välj δ < δ kn vi skriv lim (f g)(x) = A x x 0 ε > 0 0 < δ < δ : 0 < x x 0 < δ = 0 < g(x) L < ε och stsen kn nu beviss på smm sätt som Sts.7. 4

25 Anmärkning Antgndet i Sts.9 gäller speciellt då g växer (eller vtr) monotont mot L. Sts.10 Låt f och g vr funktioner sådn tt det finns en punkterd omgivning v x 0 S δ := {x 0 < x x 0 < δ } som är en delmängd v D f och D g och inom vilken f och g smmnfller, det vill säg: x S δ : f(x) = g(x). Antg tt lim x x0 f(x) = A. Då är också lim g(x) = A x x 0 Bevis Låt ε > 0 vr givet och bestäm δ 1 så tt 0 < x x 0 < δ 1 x D f = f(x) A < ε Eftersom f(x) = g(x) för x S δ fås för δ = min(δ 1,δ ) 0 < x x 0 < δ = g(x) A = f(x) A < ε, med ndr ord lim x x 0 g(x) = A. Sts.11 Låt S δ vr som i Sts.10 utom tt f(x) < g(x) då x S δ. Om lim x x0 f(x) = A och lim x x0 g(x) = B så gäller A B. Bevis Antg tt A > B. Vi visr tt dett leder till en motsägelse. Sätt ε = A B. Bestäm sedn δ 1 och δ så tt 0 < x x 0 < δ 1 x D f = f(x) A < ε 0 < x x 0 < δ x D g = f(x) B < ε Välj nu δ = min(δ 1,δ,δ ). För 0 < x x 0 < δ hr vi B ε < g(x) < B + ε, A ε < f(x) < A + ε Men B + ε = A ε (ε är ju A B ) vrför g(x) < f(x) Dett motsäger ntgndet tt f(x) g(x) på S δ. A B. 5

26 Anmärkning Även om f(x) < g(x) på S δ kn vi inte dr slutstsen A < B. Till exempel för funktionern x 4 och x gäller det tt x 4 < x på (0,1) men trots det hr de smm gränsvärden i ändpunktern. Sts.1 Låt f,g och h vr funktioner för vilk gäller f(x) g(x) h(x) i en punkterd omgivning S δ v x 0. Antg tt S δ D f D g D h. Om lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = A så är också lim x x0 g(x) = A. Bevis Låt ε > 0 vr godtyckligt och välj δ 1 och δ så tt 0 < x x 0 < δ 1, x D f = f(x) A < ε Sätt δ = min(δ,δ 1,δ ). Då gäller 0 < x x 0 < δ x D h = h(x) A < ε 0 < x x 0 < δ = A ε < f(x) g(x) h(x) < A + ε det vill säg g(x) A < ε. lim x x 0 g(x) = A.4 Höger- och vänstergränsvärden och -kontinuitet Definition.5 Funktionen f sägs vr höger- (vänster-) kontinuerlig i x 0 D f om ε > 0 δ > 0 : 0 x x 0 < δ, x D f = f(x) f(x 0 ) < ε. ( ε > 0 δ > 0 : 0 x 0 x < δ, x D f = f(x) f(x 0 ) < ε.) Definition.6 Funktionen f sägs h höger- (vänster-) gränsvärdet A då x x 0 om ε > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) A < ε. ( ε > 0 δ > 0 : 0 < x 0 x < δ, x D f = f(x) A < ε.) 6

27 Beteckning: eller lim f(x) = A x x + 0 lim f(x) = A xցx 0 ( lim f(x) = A) x x 0 ( lim xրx 0 f(x) = A) Sts.13 Antg tt δ > 0 : (x 0 δ,x 0 ) D f och (x 0,x 0 + δ) D f. Då gäller lim f(x) = A x x 0 lim f(x) = lim f(x) = A x x 0 x x + 0 Korollrium.3 f kontinuerlig i x 0 f är både höger- och vänsterkontinuerlig i x 0. Bevis ( = ) Tg ett ε > 0. Enligt ntgndet gäller tt det finns ett δ > 0 med 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) A < ε. Av dett följer dels och dels 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) A < ε 0 < x 0 x < δ, x D f = f(x) A < ε. Härv kn vi dr slutstsen tt både lim x x + 0 ( = ) Om lim x x + 0 δ > 0 så tt f(x) = A och lim x x 0 f(x) = A och lim x x 0 f(x) = A. f(x) = A så finns, för givet ε > 0,δ 1 > 0, och 0 < x x 0 < δ 1, x D f = f(x) A < ε 0 < x 0 x < δ, x D f = f(x) A < ε. Med δ = min(δ 1,δ ) hr vi då 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) A < ε. lim x x 0 f(x) = A Vi kn bevis vrinter v de övrig värdesstsern i vsnitt.3 för höger- och vänstergränsvärden. Bevis en sådn som övning! 7

28 .5 Gränsvärden i oändligheten; oändlig gränsvärden Definition.7 Funktionen f sägs h gränsvärdet A då x (x går mot oändligheten), beteckns lim x f(x) = A, om ε > 0 N : x > N, x D f = f(x) A < ε. f sägs h gränsvärdet A då x + (respektive x ) om ε > 0 N : x > N, x D f = f(x) A < ε. (respektive ε > 0 N : x < N, x D f = f(x) A < ε.) Stsern.5.1 (vsnitt.3) gäller efter uppenbr modifiktioner också då x. Anmärkning (, N) (N,+ ) klls iblnd en omgivning v oändligheten. Följnde sts är en motsvrighet till Sts.7: Sts.14 Låt f och g vr två funktioner med D f = D g = R. Antg tt lim x g(x) = L och tt f är kontinuerlig i punkten L. Då lim f(g(x)) = f(l) x Definition.8 Funktionen f sägs h gränsvärdet, beteckns lim x x0 f(x) =, då x x 0, om K > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) > K. Funktionen f sägs h gränsvärdet + ( ) om K > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) > K. ( K > 0 δ > 0 : 0 < x x 0 < δ, x D f = f(x) < K.) Anmärkning Vi kn enkelt modifier ovnstående definitioner till tt gäll höger- och vänstergränsvärden då x x 0. Anmärkning Mn visr lätt tt om lim x x0 f(x) = så finns det ej något A så tt lim x x0 f(x) = A. (Jämför beviset till Sts.) 8

29 Reglern för ddition, multipliktion v gränsvärden, gränsvärdet v en smmnstt funktion etc. måste modifiers. Exempelvis hr vi för f g: Sts.15 Antg tt lim x f(x) = A och lim x g(x) = och tt D f = D g = R. Då gäller lim(f g)(x) = lim f(g(x)) = A. x x Bevis Tg ett ε > 0. Då finns ett K så tt x > K = f(x) A < ε. Å ndr sidn existerr för dett K ett δ > 0 så tt x < δ = g(x) > K. Av dett följer x < δ = f(g(x)) A < ε. Sts.9 motsvrs v: Sts.16 Antg tt lim x f(x) = och lim x g(x) = och tt D f = D g = R. Antg vidre tt det finns ett M så tt g(x) för vrje x < M. Då gäller lim f(g(x)) = x Anmärkning Villkoret g(x), x < M är viktigt. Utn dett behöver ej gränsvärdet exister överhuvudtget. Sts.8 motsvrs v Sts.17 Antg tt f och g uppfyller (i) D f D g {x 0 < x x 0 < δ } = S δ för något δ > 0, (ii) f(x) 0 för vrje x S δ. Antg vidre tt lim x x0 g(x) = B 0 och lim x x0 f(x) = 0. Då gäller g(x) lim x x 0 f(x) =. Obs! B 0 nödvändigt: sätt f(x) = g(x) = x, x 0 = 0. Det gäller också tt lim f(x)g(x) = lim (f(x) + g(x)) = x x 0 x x 0 om lim x x0 g(x) = B 0 och lim x x0 f(x) =. (B får ej heller vr, + eller ) 9

30 .6 Gränsvärdesstser för tlföljder Jämför definition.4 i vsnitt.. Definition.9 {x n } sägs h gränsvärdet (+ respektive ) då n om M > 0 K : n > K = x n > M ( M > 0 K : n > K = x n > M resp. M > 0 K : n > K = x n < M) Genom tt till tillämplig delr utnyttj bevisen för stsern gällnde gränsvärden för funktioner kn vi bevis följnde: Sts.18 Låt {x n } och {y n } vr två tlföljder så tt A := lim n x n och B := lim n y n existerr. Då gäller (i) det finns ett M så tt: n N : x n < M d.v.s. {x n } är begränsd, (ii) om x n y n för vrje n, så är A B, (iii) om x n = y n för vrje n så är A = B, (iv) lim n (x n + by n ) = A + bb (där och b är godtycklig reell konstnter) (v) lim n x n y n = AB (vi) Om A 0 så lim n y n xn = B A. Bevis Här endst (i) och (vi). (i) Tg ε = 1. Då existerr ett N så tt Villkoret i (i) uppfylls om M väljs = n > N = x n A < 1. mx{ x 1, x,..., x n, A + 1, A 1 }. (vi) Välj ett ε > 0 godtyckligt. Undersöker y n B x n A = y n B + B B x n x n x n A y n B + B 1 x n 1 x n A = y n B + B x n A x n x n A N 1 : n > N 1 = x n A < A (.) 30

31 För dess x n gäller också x n > A och, från (.), y n A y n B + B A x n A x n Om vi nu väljer N och N 3 så tt n > N = y n B < ε A 4 och så ger n > mx(n 1,N,N 3 ) = n > N 3 = x n A < ε A 4 B y n B x n A < ε A A 4 + A ε B 4 B A = ε. Sts.19 Låt {x n }, {y n }, {z n } vr tlföljder som uppfyller (i) x n y n z n för vrje n (ii) lim n x n = lim n z n =: A Då är lim y n = A. n I Sts.3 bevisdes bl.. dett resultt: Sts.0 Antg tt funktionen f är kontinuerlig i punkten och tt tlföljden {x n } konvergerr mot då n. Då gäller lim f(x n) = f(). n Anmärkning Flytt in limes lim f(x n) = f( lim x n) n n Terminologi Om {x n } hr gränsvärdet A R då n sägs tlföljden {x n } vr konvergent. En tlföljd som inte är konvergent är divergent. OBS! Om A =,+, så är följden divergent! 31

32 .7 Tillägg till kpitel Existensen v kvdrtroten v två Vi börjr med tt konstter tt inget rtionellt tl hr kvdrten. Dett visste redn de gml grekern och det vr i själv verket ytterst bekymmersmt för ders mtemtisk tänknde. Påstående För ll r Q är r. (Hippsos 1 ) Bevis Vi visr tt ntgndet r Q, r =, leder till en motsägelse. Låt lltså r = m n Q där m, n är positiv heltl. Vi väljer m och n så tt bråket är slutförkortt, dvs m och n sknr gemensmm fktorer > 1. Om nu ( m n ) =, är m = n. m är ett jämnt tl ty är fktor i m. Härv följer tt m är jämnt (ty om m vore udd skulle m vr udd). m är lltså v formen p, där p är ett heltl. Vi hr 4p = n och lltså p = n. På smm sätt som ovn inses tt n är jämnt. m och n är båd jämn, dvs innehåller en fktor. Dett är en motsägelse ty vi ntog från börjn tt m och n sknr gemensmm fktorer. Nedn konstruers en tlföljd pn q n som hr ett gränsvärde L R med egenskpen L =. Låt q n = 10 n och p n = mx{p N p < 10 n } = mx{p N ( p q n ) < } Vi ser tt p 1 = 14, p = 141,... och pn q n p n+1 q n+1,n = 1,,... ty 10 p n p n+1. Dessutom: pn q n, n = 1,,... Påstående Om L = lim n p n qn (vilket existerr i R enligt kontinuitetsxiomet (C)) så gäller L = Bevis Enligt konstruktionen är ( pn 10 ) <. (Likhet kn inte gäll ty pn n 10n är rtionellt!) Följdens gränsvärde är då. (Axiom (C)) Å ndr sidn är lim ( p n n 10 n ) (.18) d.v.s. lim n ( pn 10 n ) = L. Härv: L. 1 Hippsos, 400-tlet f Kr = lim ( p n n 10 n ) lim ( p n n 10 n ) 3

33 Om L < så existerr ett n N med 5 10 n < L. Vi bevisr tt dett leder till tt ( pn+1 10 n ) < vilket motsäger definitionen på p n ovn: ( p n 10 n n ) = ( p n 10 n ) n + p n 10 n 1 10 n < < L n n = = L n <. Om tlföljden x n := (1 + 1 n )n, n = 1,,... Påstående 1 {x n } är begränsd uppåt. Bevis (1 + 1 n )n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n ( ) n n n ( 1 = n 1! n + n(n 1) 1! ! + 1! k! n! n )n = + + n(n 1) (n k+1) n k! ( 1 n )k + + n! n! ( 1 n )n (1 ) ( 1 )k ( 1 )n ( (1 )n 1 ) = (1 )n = 3 Påstående {x n } är växnde. Bevis För > 1 gäller (1 + ) n 1 + n, n = 1,,... Beviss genom induktion: (1 + ) p+1 = (1 + ) p (1 + ) (1 + p)(1 + ) = 1 + p + + p 1 + (p + 1) Speciellt för = 1 n fås (1 1 n ) n 1 1 n (1+ 1 n )n (1 1 n )n 1 1 n (1+ 1 n )n (1 1 n ) (n 1) = ( n n 1 )n 1 = (1 + 1 n 1 )n 1, vilket ju är liktydigt med tt x n x n 1,n =,3,... Påstående 1 & smt xiom (C) ger tt lim n x n existerr. Dett tl klls e (Nepersk tlet ). Definition.10 lim n (1 + 1 n )n = e (,718) John Neper (Npier), ( ), skotsk mtemtiker 33

34 Nedn nvänder vi konventionen tt n är heltl och x reellt. Påstående 3 lim x + (1 + 1 x )x = e Påstående 4 lim n ± (1 + n )n = e Påstående 5 Om lim n b n = b så gäller lim n (1 + bn n )n = e b Bevis Vi utnyttjr jämförelseföljder (jämför sts.19). För givet ε > 0 bilds följder y n och z n Det finns ett N så tt (1 + b ε n )n =: y n och (1 + b + ε n )n =: z n. n > N = b ε < b n < b + ε För n > N fås då y n (1 + b n n )n z n Då n, konvergerr y n mot e b ε och z n mot e b+ε. Eftersom exponentilfunktionen är kontinuerlig (nts!) kn vi för givet ε > 0 välj ε så tt e b ε e b < ε och e b+ε e b < ε Av dett fås tt ε > 0 N (beror v ε ) så tt n > N = (1 + b n n )n e b < ε. d.v.s. lim n (1 + b n n )n = e b. Påstående 6 lim x (1 + b x )x = e b Andr konsekvenser v (C) Av (C) följer tt N är obegränsd och tt Q ligger tätt i R. (i) Antg M R n N : n < M. Då är 1,,3,...,n,... en växnde följd som är begränsd. Enligt (C) finns ett L så tt lim n n = L. Då finns t.ex. ett N 1 med n > N 1 = L 1 < n L. För n + 1 N hr vi då L + 1 < n + 1 L + 1, en motsägelse ty n + 1 > N 1. 34

35 (ii) All icke-tomm intervll (, b) R, < b, innehåller punkter ur Q ( Q ligger tätt i R). (För > 0) Sätt b = ε > 0. Då existerr N N, N > 1 ε. Betrkt M = min{m Z m N > } = = min{m Z m > N}. M N >. Om M N vore b = + ε skulle M N 1 N på M. M N (,b). >, vilket skulle motsäg definitionen 35

36 36

37 Kpitel 3 Någr egenskper hos reellvärd funktioner 3.1 Stsen om mellnliggnde värden Stsen, som är intuitivt uppenbr åtminstone då mn ser på sken grfiskt, är v fundmentl betydelse i mtemtisk nlys. Sts 3.1 Antg tt funktionen f är kontinuerlig på det slutn intervllet [,b] och tt f() < f(b). Låt c vr ett tl så tt f() < c < f(b). Då finns åtminstone en punkt x 0 (,b) så tt f(x 0 ) = c. Anmärkning Med ndr ord hr ekvtionen f(x) = c en lösning i [,b]. Exempel f är kontinuerlig på [0,1] och f(0),f(1) [0,1]. Då kn ekvtionen f(x) = x löss i [0,1]. Dett följer direkt från Sts 3.1. Bevis: Sätt g(x) = f(x) x. Då är g(0) 0 och g(1) 0. Härv x 0 [0,1] : g(x 0 ) = 0. Anmärkning Om x 0 hr egenskpen f(x 0 ) = x 0, så klls x 0 fixpunkt för f. Sts 3.1 beviss med hjälp v följnde sts som kommer till nvändning också senre: Sts 3. Låt {I n },I n = [ n,b n ], vr en följd v slutn intervll sådn tt n N : I n+1 I n. 37

38 Om lim n (b n n ) = 0 finns det ett och endst ett tl A som ligger i vrje I n : {A} = I n. Bevis Eftersom [ n+1,b n+1 ] [ n,b n ] så gäller n n+1 b 1 och 1 b n+1 b n ; dvs { n } är icke-vtgnde och begränsd medn {b n } är icke-växnde och begränsd. Enligt (C) gäller då tt A och B med lim n n = A b 1 och lim n b n = B 1. Då n b n för vrje n hr vi tt A B. Dessutom n N: n=1 0 A B A n + n b n + b n B. Enligt ntgndet går n b n 0 och enligt definitionen på gränsvärde A n, b n B 0 då n. Härv fås (jämför vsnitt.3) A B = 0, dvs A = B. Eftersom n A = B b n för ll n N, är A [ n,b n ] = I n för ll n: A I n. n=1 Antg tt A också n=1 I n, A > A (fllet A < A behndls nlogt). Eftersom I n är ett intervll betyder A,A I n också tt [A,A ] I n vrv följer 0 < A A b n n, längden v I n. Men b n n 0 då n. A A > 0 är därför inte möjligt. Alltså: n=1 I n består v exkt en punkt. Bevis v sts 3.1: Låt 1 := och b 1 := b. Vi hr tre möjligheter: ( ) 1 + b 1 f = c, > c eller < c. ( ) ( ) 1 + b b 1 Om f = c, sätt x 0 =, den sökt lösningen. I det ndr fllet sätt ( ) ( ) 1 + b b 1 := 1 och b :=. I det tredje fllet sätt :=, b := b 1. Vi( noterr ) tt i de två sistnämnd fllen ( är f( ) ) < c och f(b ) > c. Då kn vi åter bild + b + b f. Vi hr tre lterntiv: f = c, > c, < c. I det först fllet sättes x 0 = + b 3 :=, b 3 := + b (och processen kn vbryts), i det ndr definiers och i det tredje 3 := + b, b 3 := b. På dett sätt fås ntingen 38

39 x 0 med f(x 0 ) = c eller så en följd [ n,b n ] v intervll som uppfyller inkpslingsvillkoret i ( ) 1 n 1 Sts 3., ty b n n = (b ). Vi hr då lim n b n = lim n n = A (enligt Sts 3.). Vi påstår nu tt f(a) = c. Dett följer v f( n ) < c < f(b n ),n N, vrv på grund v f:s kontinuitet (Sts.0) f(a) = lim n f( n) c lim n f(b n) = f(a). 3. Supremum och infimum v en tlmängd Definition 3.1 Tlmängden S sägs vr begränsd uppåt v tlet M om x M för vrje x S [M mjornt till S]. S är begränsd nedåt v tlet m om x m för vrje x S [m minornt till S]. Tlmängden S sägs vr begränsd om den är både uppåt och nedåt begränsd, dvs m,m : m x M för ll x S. Anmärkning S är begränsd M > 0 : x M, för ll x S. (Vi kn välj M som m i definitionen.) Sts 3.3 (i) Antg tt tlmängden S är icke-tom och begränsd uppåt. Då finns det ett och endst ett tl U sådnt tt x S : x U [dvs U är mjornt till S] och ε > 0 x S : U ε < x U (3.1) [dvs U minst mjornt till S]. (ii) Antg tt tlmängden S är icke-tom och begränsd nedåt. Då finns det ett och endst ett tl L så tt x S : L x och ε > 0 x S : L x < L + ε 39

40 Terminologi U klls S:s supremum och beteckns sup S [Engelsk även: lest upper bound, lub]. L klls S:s infimum, beteckns inf S [gretest lower bound, glb]. L är den störst minornten till S. Bevis Br (i) beviss, (ii) går nlogt. Eftersom S är uppåt begränsd finns ett M så tt x M för ll x S. Om M S så kn M uppenbrligen väljs till U (M är mjornt som uppfyller (3.1) ). Antg därför tt M / S och sätt b 1 = M. Då finns ett 1 S med 1 < b 1. Bild 1 + b 1. Det finns två möjligheter: (1) 1 + b 1 är mjornt till S, () 1 + b 1 är inte mjornt till S (dvs x S : x > 1 + b 1 ). Ifll (1) sätt := 1, b := 1 + b 1 och ifll () := 1 + b 1, b := b 1. Vi fortsätter på smm sätt. Det finns två möjligheter: (1) + b är mjornt till S, () + b är inte mjornt till S. Igen väljs 3 :=, b 3 := + b i fll (1), 3 := + b, b 3 := b i fll (). Fortsättes på smm sätt fås inkpslde intervll [ 1,b 1 ] [,b ] [ 3,b 3 ]... där b n n = n+1 (b 1 1 ). Följden { n } växer och {b n } vtr mot ett gemensmt gränsvärde Eftersom U = lim n n = lim n b n. () n N x S : x b n och (b) n N x S : n x 40

41 så hr U de önskde egenskpern: Ekvtionen (3.1) följer v tt ε > 0 N ε : n > N ε = U ε < n U och (b). Men finns det U U som också är mjornt och uppfyller (3.1)? Låt t ex U < U och sätt ε = U U. Eftersom U uppfyller (3.1) finns det x S med U ε < x U. Men dett x > U så U kn inte vr mjornt till S, vilket motsäger ntgndet. I och med dett är stsen bevisd. Sts 3.4 Delmängden S v R är ett intervll med ändpunktern,b, där < b om och endst om (i) S hr mer än en punkt och (ii) x 1,x S : x (x 1,x ) = x S [S konvex]. Bevis ( = ) Om S är ett intervll v formen (,b),(,b],[,b),[,b] där < b och = och b = + möjlig i (,b),(,b],[,+ ),(,+ ),(, ). (i) och (ii) är uppenbr. ( = ) Antg först tt S är begränsd. Låt = inf S och b = sup S. Antg tt x (,b). Vi visr nedn tt x S, vrför S måste vr (,b),(,b],[,b) eller [,b]. Om x (,b) så existerr x 1,x S så tt x 1 < x < x b (enligt Sts 3.3). Enligt ntgndet (ii) följer nu x S. Om nu S är begränsd nedåt och obegränsd uppåt sättes = inf S. Välj x >. Då finns x 1,x S med x 1 < x < x. Enligt (ii) hr vi igen x S. Härv följer: S är (,+ ) eller [,+ ). De övrig fllen beviss nlogt. Sts 3.5 Antg tt funktionen f är kontinuerlig på intervllet I. Då är mängden f(i) ett intervll. Om f är konstnt är f(i) en enpunktsmängd [,] := {x : x } = {}. Bevis Om f inte är konstnt hr f(i) minst två element. Antg nu tt y 1,y f(i), dvs x 1,x I med f(x 1 ) = y 1, f(x ) = y, y 1 < y. Eftersom f är kontinuerlig på (I) är den också kontinuerlig på [x 1,x ] (om x 1 < x, om x 1 > x betrktr vi [x,x 1 ]). Låt nu y 1 < c < y. Vi vill vis tt c f(i), dvs x I : f(x) = c. Men dett följer direkt v stsen om mellnliggnde värden (Sts 3.1): Eftersom f(x 1 ) = y 1, f(x ) = y och y 1 < c < y så finns det ett x 0 (x 1,x ) så tt f(x 0 ) = c. Enligt Sts 3.4 uppfyller f(i) (i) och (ii), dvs f(i) är ett intervll. 3.3 Om numrerbrhet Definition 3. Tlmängden S sägs vr numrerbr eller uppräknelig (eng.: countble, denumerble) om den är ändlig eller kn vbilds bijektivt på de nturlig tlen N. (Bijektionen klls en uppräkning v S.) En mängd som inte är numrerbr klls ickenumrerbr (eng.: uncountble). 41

42 Sts 3.6 (Välordningsprincipen) Vrje icke-tom delmängd T v de nturlig tlen hr ett minst element. Bevis Låt k vr vr ett element i T. Betrkt mängden S = {p p T, p k}. S är en icke-tom ändlig delmängd v T och hr lltså ett minst element s. Visr tt s också är minst elementet i T. Tg ett t T. Om t > k så följer v k s tt t > s. Om däremot t k så t S och vi hr t s pg. definitionen på s. Sts 3.7 () Vrje icke-tom delmängd v N är numrerbr. (b) Vrje icke-tom delmängd v en numrerbr mängd är numrerbr. Bevis () Låt S vr en oändlig delmängd v de nturlig tlen. (En ändlig mängd är ju definitionsmässigt numrerbr.) S hr ett minst element (enligt välordningsprincipen) som vi betecknr med k 1. Eftersom S \ {k 1 } är en oändlig delmängd v de nturlig tlen hr den mängden ett minst element k > k 1. Processen fortsätter och vi bildr successivt k 3 = min{s S s > k } = min(s \ {k 1,k }), sedn k 4,... k n,... Påstår nu tt S = {k 1,k,k 3,...}. Betecknr mängden S \ {k 1,k,k 3,...} med U. Om nu U S N är icke-tom så hr den ett minst element u. k 1 < u eftersom k 1 är minst elementet i hel S. Låt T beteckn mängden {k n n N,k n u}. Då är T ändlig och vi hr tt k i < u < k i+1 för något nturligt tl i. Dett är en motsägelse för k i+1 är definiert som det minst elementet i {s S s > k i }. Motsägelse visr tt U är tom och lltså S = {k 1,k,k 3,...}. Avbildningen n k n är en injektiv och surjektiv vbildning från N till S. k 1,k,k 3,... är en uppräkning v S. (b) Låt f vr en bijektion melln S och N (eller en delmängd v N). Låt A vr en delmängd v S. f:s restriktion f A är en bijektion melln A och en delmängd v N: f A (x) = f(x), x A f A : A V fa N f A är bijektiv eftersom D fa = A, V fa = f A (A) och f A är injektiv på grund v tt f är injektiv. 4

43 Sts 3.8 Om S i, i= 1,,..., är numrerbr mängder så är i=1 S i också numrerbr. Bevis Vi betrktr först fllet då S i, i = 1,,..., smtlig är oändlig numrerbr mängder. Eftersom S i är numrerbr kn den vbilds bijektivt på {(i,1),(i,),(i,3),...}. Mängden i=1 S i kn således vbilds på {(i,j) : i = 1,,..., j = 1,,...}. Elementen i denn mängd kn uppräkns t ex enligt följnde schem: (1,1) (1,) (1,3)... ր ր ր (,1) (,) (,3)... ր ր ր (3,1) (3,) (3,3)... ր ր ր (4,1) (4,) (4,3).... ր. ր. Tlpret (p,q) vbilds på (p+q 1)(p+q ) + q. Denn blir injektiv om ett element ts med br då det förekommer först gången. Vi får då en bijektion melln i=1 S i och en delmängd v N [om vi lämnr hål i uppräkningen]. Om S i n är disjunkt förekommer vrje element br en gång i uppräkningen. I det fll tt någon v mängdern S i är ändlig kn vi nvänd ovn beskrivn injektiv vbildning melln S i och en delmängd v N. Vi lämnr helt enkelt bort (p+q 1)(p+q ) + q ur uppräkningen om q är större än ntlet element i S p. Sts 3.9 Mängden v rtionell tl är numrerbr. Bevis Q = { p q = { p q p Z, q = 1,,...} p Z, q N, p,q reltivt prim} reltivt prim sknr gemensmm fktorer > 1. Q kn lltså vbilds bijektivt på: M = {(p,q) p Z, q N, p,q reltivt prim} M S = {(p,q) p Z, q N} 43

44 som är numrerbr enligt Sts 3.8 (se beviset till Sts 3.8). M är då numrerbr enligt Sts 3.7. Sts 3.10 Vrje fmilj v disjunkt intervll (innehållnde mer än en punkt) är numrerbr. Bevis Låt F vr en fmilj bestående v dylik disjunkt intervll. Vrje intervll innehåller en punkt r Q (se kpitel ). Vrje intervll I F kn således tillordns ett r Q. För I J är motsvrnde rtionell tl olik (ty I J = ). F kn vbilds bijektivt på en delmängd v Q. F är då numrerbr. Sts 3.11 R är ickenumrerbr. Bevis (Cntors 1 digonlförfrnde.) Det är tillräckligt tt bevis tt [0,1) inte är numrerbr. Antg tt elementen i [0,1) kn numrers. Låt x 1,x,x 3,... vr en uppräkning v tlen i [0,1). Betrkt ders decimlutveckling: x 1 = 0,d 11 d 1 d x = 0,d 1 d d 3... x 3 = 0,d 31 d 3 d x n = 0,d n1 d n d n3... där d ij {0,1,...,9}. Där decimlutvecklingen slutr på,... d nk (d nk 9) väljs (stndrd)formen,...(d nk + 1) Då är decimlutvecklingen v x i :n entydig. Bildr nu följden { i } i=1 enligt följnde: i = { 1 om d ii 1, i=1,,... 0 om d ii = 1 Tlet y = 0, skiljer sig från ll tl i uppräkningen x 1,x,x 3,..., ty y x n eftersom x n :s n te deciml är d nn som skiljer sig från y:s n te deciml som är n. y [0,1) men y / {x 1,x,...}. [0,1) är inte uppräknelig. 1 Georg Cntor,

45 3.4 Monoton funktioner Definition 3.3 Funktionen f definierd på intervllet I sägs vr monoton om den hr följnde egenskper: (i) f(x 1 ) < f(x ) för vrje x 1,x I, x 1 < x, (f strängt växnde på I), eller (ii) f(x 1 ) f(x ) för vrje x 1,x I, x 1 < x, (f icke-vtgnde), eller (iii) f(x 1 ) f(x ) för vrje x 1,x I, x 1 < x, (f icke-växnde), eller (iv) f(x 1 ) > f(x ) för vrje x 1,x I, x 1 < x, (f strängt vtgnde). Sts 3.1 Antg tt f är icke-vtgnde på (,b), < b, och uppåt begränsd. Då gäller tt lim x b f(x) existerr och är lik med sup x (,b) f(x). Mer llmänt: Sts 3.13 Antg tt f är begränsd och monoton på intervllet (,b), < b. Låt x 0 (,b). Då existerr gränsvärden lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x). x + x x 0 x x + x b 0 Bevis v Sts 3.1: S = {f(x) x (,b)}. Enligt ntgndet är S uppåt begränsd v ett tl M. Då existerr sup S = sup x (,b) f(x). Beteckn dett supremum med U (jämför Sts 3.3). Enligt Sts 3.3 existerr, för vrje ε > 0, ett y(ε) S så tt U ε < y(ε) U. Eftersom y(ε) S finns ett x(ε) (,b) så tt f(x(ε)) = y(ε). Om nu 0 < b x < b x(ε) [dvs x(ε) < x < b] U ε < y(ε) = f(x(ε)) f(x) U eftersom f är ickevtgnde och U = sup x (,b) f(x). Vi hr lltså hittt ett δ(= b x(ε)) så tt 0 < b x < δ = U ε < f(x) U. lim x b f(x) = U. Sts 3.13 beviss nlogt. Sts 3.14 Mängden v diskontinuitetspunkter hos en monoton funktion är numrerbr. 45

46 Bevis Antg tt f är icke-vtgnde på R. x 0 är en diskontinuitetspunkt om l x0 := lim f(x) < x x 0 lim f(x) =: r x0 x x + 0 [vänstr ledet högr ledet ty om y < x 0 < z så f(y) f(z), vrv omedelbrt följer lim x x f(x) lim 0 x x + f(x)]. 0 Vrje diskontinuitetspunkt x ger således upphov till ett öppet intervll (l x,r x ). Om x är en nnn diskontinuitetspunkt med x > x, säg, så är r x l x (l x,r x ) är disjunkt. < r x. Intervllen (l x,r x ) och Fmiljen F = {(l x,r x ) x diskontinuitetspunkt för f} är en fmilj disjunkt intervll (med fler än ett element). F är numrerbr, enligt Sts Mängden diskontinuitetspunkter är lltså högst numrerbr (kn nturligtvis vr ändlig eller tom). Om f är icke-växnde är beviset nlogt. 3.5 Bolzno-Weierstrss sts Betrkt tlföljden {x n } n=1 och låt 1 k 1 k... vr en växnde följd v heltl. Tlföljden {x kn } n=1 är då en delföljd v {x n } n=1. [Fås genom uttunning v {x n} och omnumrering.] Sts 3.15 (Bolzno-Weierstrss sts) Vrje begränsd oändlig tlföljd innehåller åtminstone en konvergent delföljd. Bevis Låt {x n } n=1 vr en begränsd tlföljd. Då,b så tt < x n < b för vrje n N. Del I 1 := [,b] i två lik lång slutn intervll. Åtminstone ett v dess innehåller oändligt mång element ur {x n }. Låt I = [, +b ] om dett innehåller oändligt mång element ur {x n }, i nnt fll sätt I = [ +b,b]. Intervllet I dels igen i två lik lång slutn intervll v vilk minst ett innehåller oändligt mång element ur {x n }. Definier I 3 på motsvrnde sätt som I ovn, dvs I 3 är vänstr hlvn v I om denn innehåller oändligt mång element, nnrs är I 3 den högr hlvn v I. På dett sätt definiers en fmilj inkpslde intervll {I n }, I 1 I I 3..., där längden {I n } = n (b ). Det finns exkt ett tl x 0 n=1 I n (Sts 3.). Visr nu tt x kn, delföljd v x n, så tt lim n x kn = x 0. Tg ett x k1 I 1, därefter x k med k > k 1 så tt x k I, sedn x k3 I 3 sådn tt k 3 > k, etc. Dett är möjligt eftersom I 1,I,...innehåller oändligt mång element ur {x n }. Klrt tt x kn x 0 < n (b ), dvs lim n x kn = x 0. Bernrd Bolzno, (Prg) och Krl Weierstrss, (Berlin). 46

47 Anmärkning x 0 är ej lls entydigt. Det kn finns mssor v olik punkter som någon delföljd konvergerr emot. (Ex: Låt {x n } vr en uppräkning v Q [0,1].) Anmärkning B = lim n (sup k n x k ) är också gränsvärde v en delföljd. Sätt y n = sup k n x k. Då är y n en vtgnde följd, y n b. Likså är A = lim n (inf k n x k ) gränsvärde för en delföljd. Vidre gäller A B. 3.6 En sts om kontinuerlig funktioner på slutn och begränsde intervll Anmärkning Ett slutet och begränst intervll [,b] klls kompkt intervll. Sts 3.16 Antg tt f är en kontinuerlig funktion på det slutn intervllet I = [,b]. Då existerr x 0,x 1 I så tt f(i) = [f(x 0 ),f(x 1 )], dvs f ntr sitt infimum (som är lik med f(x 0 )) och sitt supremum (som är lik med f(x 1 )) på I. Bevis Visr först tt f(i) är begränsd. Antg tt f(i) vore obegränsd. Då existerr x n I med f(x n ) > n. Enligt Bolzno-Weierstrss sts existerr en delföljd {x kn } så tt lim n x kn = x I. Eftersom f är kontinuerlig på I gäller då tt lim f(x k n n ) = f( x). Men dett är ej möjligt ty f(x kn ) > k n vrför lim n f(x kn ) =. f(i) är begränsd. Vet tt M = sup f(i) och m = inf f(i) existerr. Visr nu tt x 1 : f(x 1 ) = M (beviset för x 0 : f(x 0 ) = m är nlogt). Enligt definitionen på supremum existerr, för vrje n, ett z n I så tt M 1 n < f(z n) M. En delföljd {z kn } v {z n } konvergerr mot ett x 1 I. Då hr vi M 1 n < M 1 k n < f(z kn ) M (då k n n). Härv inses tt lim n f(z kn ) = M. Å ndr sidn vet vi tt lim n f(z kn ) = f(x 1 ). 47

48 f(x 1 ) = M Anmärkning Om intervllet ej är slutet gäller stsen inte. Exempel f(x) = x, 0 < x < 1. M = 1, m = 0. Om intervllet är oändligt gäller stsen inte heller. Exempel f(x) = 1 + e x, x 0. M =, m = 1. Anmärkning Stsen hr stor betydelse i tillämpningr där mximum eller minimum för f skll bestämms. Om mn enkelt kn uteslut viss oändlig intervll kn vi också klr v fll som inte direkt uppfyller krven i Sts Exempel Sök sup x R e x sin x. Eftersom värdet v funktionen i π är e π > e och eftersom x > medför tt e x sin x e 1, får vi sup x R e x sin x = sup x e x sin x (Löses genom differentilklkyl) Svr: Mximet är e π 4 som nts i punkten π 4. Sts 3.16 = mx x e x sinx. 3.7 Likformig kontinuitet Definition 3.4 Funktionen f sägs vr likformigt kontinuerlig om ε > 0 δ > 0 x 1,x D f : x 1 x < δ = f(x 1 ) f(x ) < ε Vritionen i funktionsvärden är < ε i vrje intervll v längden < δ. Sts 3.17 (Heines 3 sts) Om funktionen f är kontinuerlig på det slutn intervllet I = [,b] så är den likformigt kontinuerlig på I. 3 Heinrich Edurd Heine, , (Hlle) 48

49 Bevis Antg motstsen: ε > 0 δ > 0 x 1,x I : x 1 x < δ och f(x 1 ) f(x ) ε Speciellt, om vi tr δ = 1 n, n = 1,,..., kn vi finn {x 1n}, {x n } med x 1n x n < 1 n, f(x 1n) f(x n ) ε. Följden x 1n I hr en konvergent delföljd: x 0 I: lim n x 1kn = x 0. Men lim n x kn existerr också och är = x 0 : då n x kn x 0 = x kn x 1kn + x 1kn x 0 x kn x 1kn + x }{{} 1kn x 0 0 }{{} 1 kn < 1 0, då n n lim n x kn = x 0. Vi hr lltså lim n x kn = x 0 och lim n x 1kn = x 0 vrför, eftersom f är kontinuerlig i x 0, lim f(x k n n ) = lim f(x 1k n n ) = f(x 0 ). (3.) Dett motsäger vlet v x 1n och x n, ty (3.) innebär tt det finns N sådnt tt n > N = f(x kn ) f(x 0 ) < ε och f(x 1k n ) f(x 0 ) < ε, lltså f(x 1kn ) f(x kn ) f(x 1kn ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(x kn ) < ε + ε < ε. Antitesen är lltså flsk. f är likformigt kontinuerlig. Exempel Bevis tt x, x 0, är likformigt kontinuerlig. Enligt stsen är x, 0 x, likformigt kontinuerlig. ε > 0 δ : x 1 x, x 1,x [0,] = x 1 x < ε. För x 1,x 1 hr vi Om nu ε väljs < 1 så hr vi x 1 x = x 1 x x1 + x x 1 x x 1 x < min(δ,ε), x 1,x 0 = f(x 1 ) f(x ) < ε.. Exempel f(x) = x, x R, är ej likformigt kontinuerlig, ty x 1 x = x 1 x x 1 +x, vilket innebär tt om t.ex. x 1n = n, x n = n + 1 n så är x 1n x n < 1 n men x 1n x n 1, n = 1,... 49

50 3.8 Cuchyföljder och Cuchys konvergenskriterium Definition 3.5 Tlföljden {x n } n=1 sägs vr en Cuchyföljd4 (C-följd eller fundmentlföljd) om ε > 0 N : m,n > N = x m x n < ε Sts 3.18 (Cuchys konvergenskriterium) Tlföljden {x n } n=1 endst om den är en Cuchyföljd. är konvergent om och Bevis ( = ) Antg tt lim n x n := x 0 existerr. Låt ε > 0 vr givet och välj N så tt n > N = x n x 0 < ε. Då gäller för n,m > N x n x m = x n x 0 + x 0 x m x n x 0 + x 0 x m < ε + ε = ε. {x n } n=1 är en Cuchyföljd. ( = ) Antg tt {x n } n=1 är en Cuchyföljd. Påstår tt lim n x n existerr. Först viss tt {x n } n=1 är begränsd. Låt ε = 1 och välj N så tt n,m > N = x n x m < 1. Då är {x n } n=1 begränsd v mx{ x 1, x, x 3,..., x N, x N+1 + 1}. Eftersom {x n } n=1 är begränsd hr den en konvergent delföljd {x nk } k=1 (Sts 3.15, Bolzno- Weierstrss) vrs gränsvärde sätts = x 0. Vi bevisr nu tt lim n x n = x 0. Tg ett ε > 0 och observer tt (1) N 1 : m,n > N 1 = x n x m < ε () K : k > K N 1 = x nk x 0 < ε. För n > n K+1 gäller, eftersom n K+1 K + 1, tt x n x 0 = x n x nk+1 + x nk+1 x 0 x n x nk+1 + x nk+1 x 0 < ε + ε = ε. 4 Augustin Louis Cuchy, (Pris) 50

51 Anmärkning Cuchys kriterium grnterr existens v gränsvärde utn tt vi behöver h en kndidt. Dett är en mycket viktig egenskp hos R. Sts 3.19 Antg f : R = R är en kontrktion, dvs c (0, 1) x 1,x : f(x 1 ) f(x ) c x 1 x. Då existerr en fixpunkt för f, dvs ett x 0 med f(x 0 ) = x 0. Anmärkning Fllet c = 0 kn också tillåts. I dett fll ntr funktionen f br ett end värde, dvs. är konstnt. Fixpunkten är denn konstnt. Bevis Definier x 1 R, x n+1 = f(x n ), n = 1,,... Då är {x n } n=1 (induktionsbevis): x 3 x = f(x ) f(x 1 ) c x x 1 en Cuchyföljd, ty x 4 x 3 c x 3 x c x x 1. x n+ x n+1 c n x x 1. Nu gäller x n+k+ x n+1 x n+k+ x n+k+1 + x n+k+1 x n+k x n+ x n+1 (c n+k + c n+k c n ) x x 1 Om N uppfyller cn 1 c x x 1 < ε så får vi tt cn 1 c x x 1. n,m > N = x n x m < ε. {x n } n=1 är en Cuchyföljd och f kontinuerlig (t.o.m. likformigt kontinuerlig) x 0 = lim n x n = lim n x n+1 = lim n f(x n) = f(x 0 ). Anmärkning Fixpunkten är entydig. (Lätt!) 51

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Topologi och konvergens

Topologi och konvergens Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik 3 oktober 08 Innehåll Att läs innn vi börjr 7. Vrför läs mtemtik?..................... 7. Uppmning till läsren v dett häfte............. 7.3 Lärndemål

Läs mer

Om konvergens av funktionsföljder

Om konvergens av funktionsföljder Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

I Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja

I Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja Förord Boken är vsedd för nvändning som kursmteril till kursern Anlys I och II vid Helsingfors och Åbo Universitet. Den lämpr sig även som mteril för ndr högskolors förstårskurser i mtemtisk nlys, och

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Mat Grundkurs i matematik 1, del III Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7. Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1. KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd

Läs mer

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018 Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån

Läs mer