MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
|
|
- Lars Olofsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd punkter i K, så har följden (minst) en hopningspunkt i K. Bevis. Enligt Bolzano Weierstrass sats har följden en hopningspunkt, och varje hopningspunkt ligger i K = K. En variant på detta, enligt [Vretblad, Sats 2.1], är följande: Sats 2. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd punkter i K, så finns en delföljd som konvergerar mot en punkt i K. Dessa satser har stor användning. En annan sats som också är mycket användbar, men är mer teknisk och mindre intuitiv, är följande. Definition. En övertäckning av en mängd A är en familj {U α } α A av mängder (med en godtycklig indexmängd A) så att A α A U α. Vi säger då också att familjen {U α } α A täcker K. Sats 3 (Heine Borel). Om K är en kompakt mängd i R n och {U α } α är en öppen övertäckning av K så finns en ändlig delövertäckning, dvs ett ändligt antal mängder U α1,..., U αn ur övertäckningen som (tillsammans) täcker K, alltså K N i=1 U α i. Bevis. Låt först n = 1 och antag dessutom att K är ett kompakt intervall [a, b]. Definiera E som mängden av alla x [a, b] så att [a, x] kan täckas med ett ändligt antal av mängderna {U α } α. Det är klart att a E, eftersom [a, a] = {a} kan täckas med en mängd, så E är inte tom. Vi vill visa att b E. Låt ξ = sup{x : x E}. Då gäller ξ [a, b]. Eftersom {U α } α är en övertäckning av [a, b] finns ett index α så att ξ U α. Eftersom U α är öppen finns en omgivning N(x, δ) U α. Enligt definitionen av supremum finns något t E med x δ < t. Vi kan alltså täcka [a, t] med en ändlig familj U α1,..., U αn. Lägger vi till U α ser vi att U α1,..., U αn, U α täcker [a, t] (ξ δ, ξ + δ) [a, z] för varje z < ξ + δ. Om ξ < b ger detta att z E för något z > ξ, vilket motsäger definitionen av ξ. Alltså måste ξ = b, och då följer istället b = ξ E, och beviset är klart i detta fall. Låt härnäst n = 2 och antag att K är en kompakt rektangel [a, b] [c, d]. Definiera nu E som mängden av alla x [a, b] så att [a, x] [c, d] kan täckas med ett ändligt antal av mängderna {U α } α. Vi vill återigen visa att b E. 30 januari
2 2 SVANTE JANSON Det är nu kanske inte uppenbart att E inte är tom, så för säkerhets skull definierar vi ξ = sup{x : x E} om E inte är tom, och ξ = a om E =. Som förut gäller ξ [a, b]. Vi betraktar nu det vertikala linjestycket L = {(ξ, y) : y [c, d]}. Eftersom L K täcks L av {U α } α. För varje y [c, d] finns alltså något α y A så att (ξ, y) U αy. Eftersom U αy är öppen finns då också något δ y > 0 så att (ξ δ y, ξ + δ y ) (y δ y, y + δ y ) U αy. Låt V y = (y δ y, y + δ y ). De öppna intervallen {V y } y [c,d] bildar en öppen övertäckning av [c, d], och enligt vad som nyss visats finns det en ändlig delövertäckning V y1,..., V yn. Låt δ = min δ y1,..., δ yn. Då gäller (ξ δ, ξ + δ) [c, d] N ) ((ξ δ, ξ + δ) V yi i=1 N ) ((ξ δ yi, ξ + δ yi ) V yi i=1 N U αyi. i=1 Det finns alltså en ändlig delfamilj av {U α } α som täcker (ξ δ, ξ + δ) [c, d]. Speciellt ser vi att om ξ = a så gäller a E. E kan alltså inte vara tom. Vi kan nu argumentera som för n = 1. Enligt definitionen av supremum finns något t E med ξ δ < t. Vi kan alltså täcka [a, t] [c, d] med en annan ändlig familj, och tillsammans bildar dessa en ändlig delfamilj av {U α } α som täcker [a, z] [c, d] för varje z < ξ + δ. Som ovan följer ξ = b och ξ E, vilket visar resultatet i detta fall. Med induktion över dimensionen n visas nu resultatet på samma sätt för godtyckligt n om K är ett rätblock [a 1, b 1 ] [a n, b n ]. Slutligen, låt K vara godtycklig sluten och begränsad i R n. Eftersom K är begränsad gäller K [ M, M] n för någon kub [ M, M] n. Låt V = R \ K vara komplementet till K; observera att V är öppen. Då gäller att familjen {U α } α A {V } är en öppen övertäckning av [ M, M] n, och det finns alltså, enligt vad som nyss visades, en ändlig delfamilj som täcker [ M, M] n och alltså K. Denna delfamilj är antingen av typen U α1,..., U αn eller U α1,..., U αn, V ; i det senare fallet kan vi stryka V och har fortfarande en övertäckning av K. I vilket fall som helst har vi lyckats täcka K med en ändlig delfamilj av {U α } α. Ofta använder man istället följande ekvivalenta sats. Sats 4. Låt K vara en kompakt mängd i R n och {F α } α en familj slutna delmängder av K så att varje ändlig delfamilj F α1,..., F αn har ett icketomt snitt N i=1 F α i. Då gäller α A F α. Bevis. Antag motsatsen, α A F α = och låt U α = R n \F α. Då är α A U α = R n K, så {U α } α är en öppen övertäckning av K.
3 MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS 3 Enligt Heine Borels sats finns då en ändlig delövertäckning U α1,..., U αn. Vi kan anta N 1. Vi har N i=1 U α i K och alltså, om vi tar komplementen, N i=1 F α i R n \ K. Eftersom dessutom t.ex. F α1 K får vi N i=1 F α i K (R n \ K) =, i strid mot antagandet. Denna sats säger att om vi har en oändlig mängd villkor, och vet att varje villkor är uppfyllt av en sluten delmängd av någon kompakt mängd, så räcker det att visa att varje ändlig familj av villkor kan uppfyllas samtidigt för att det skall vara möjligt att hitta en punkt som uppfyller samtliga villkor. Vidare gäller att satserna 1 3 bara gäller för kompakta mängder; för sats 4 gäller detsamma efter en (lite klumpig) omformulering. Detta kan sammanfattas på följande sätt. Sats 5. Låt K vara en delmängd av R n. Då är följande egenskaper ekvivalenta: (i) K är kompakt. (ii) Varje följd av punkter i K har en hopningspunkt i K. (iii) Varje följd av punkter i K har en delföljd som konvergerar mot en punkt i K. (iv) Varje öppen övertäckning av K har en ändlig delövertäckning. (v) Om {F α } är en familj delmängder av K så att det finns slutna mängder G α med F α = G α K, och varje ändlig delfamilj F α1,..., F αn har ett icketomt snitt N i=1 F α i, så gäller α A F α. Bevis. Vi har visat att (i) medför övriga egenskaper. Vidare gäller (ii) (iii) enligt [Vretblad, Sats 2.1], och (iv) (v) genom att ta komplement på samma sätt som i beviset av sats 4. (Om U α = R n \ G α är {U α } en övertäckning av K om och endast om α F α = K α G α = ; detaljerna lämnas som övning.) Beviset fullbordas av följande två implikationer. (v)= (ii): Antag att (v) gäller och att {x i } är en följd punkter i K. Låt, för j = 1, 2,..., G j = {x j, x j+1,... } och F j = G j K. Eftersom x k F j för varje k j har varje ändlig delfamilj F j1,..., F jn har ett icketomt snitt, och alltså finns någon punkt x j=1 F j. Då är x en hopningspunkt till följden {x i } och x K. (iii)= (i): Antag att (i) inte gäller, dvs att K inte är kompakt. Om K inte är sluten, tag en punkt x K \ K. För varje i 1, välj en punkt x i N(x, 1/i) K. (En sådan punkt finns eftersom x K.) Då är {x i } en följd i K som konvergerar mot x, och detsamma gäller varje delföljd. Eftersom x / K gäller inte (iii). Om istället K inte är begränsad, välj, för varje i 1, en punkt x i K med x i > i. Då är {x i } en följd i K som inte har någon konvergent delföljd alls, och (iii) gäller inte nu heller. Anmärkning. Mer generellt gäller att egenskaperna (ii) (v) är ekvivalenta för delmängder i godtyckliga metriska rum. Man använder dessa som definition, och säger att en mängd K i ett metriskt rum är kompakt om (en av) dessa egenskaper gäller.
4 4 SVANTE JANSON 2. Utvidgade reella talen Det är i många sammanhang praktiskt att räkna med oändligheten. För att undvika paradoxer och motsägelser måste man då vara noga med definitioner och vad man kan och inte kan göra. Det visar sig att det är lämpligt att vara flexibel och behandla oändligheten på olika sätt i olika sammanhang. Ett sådant, som är naturligt i samband med reell analys är följande, där vi skiljer på + och. (Man skriver också = +, när inte plustecknet behövs för tydlighets skull.) Definition. Den utvidgade reella tallinjen R är { } R {+ }. Den utvdgade tallinjen är ordnad på det naturliga sättet; vi har t.ex. < x < + för varje reellt x. Vi kan därför definiera öppna, slutna och halvöppna intervall som vanligt, där nu en eller båda ändpunkterna kan vara oändlig. Observera skillnaden mellan [, ] = R och (, ) = R. Man kan delvis utvidga de vanliga räkneoperationerna till R, men inte så att alla fall täcks (utan att få konstigheter). Så är t.ex. för varje reellt x x+ =, x =, x + ( ) = och x ( ) =, vidare är + = medan + ( ) inte är definierat. För multiplikation gäller t.ex. att om 0 < x så är x = och x ( ) =, medan motsatsen gäller för x < 0. Det är (ofta) praktiskt att definiera 0 = 0 ( ) = 0. Däremot är 1/0 fortfarande odefinierat. Vi definierar omgivningar till ± på följande sätt. Definition. Om δ > 0 är N(+, δ) = {x R : x > 1/δ} och N(, δ) = {x R : x < 1/δ}. Man kan nu definiera konvergens, kontinuitet, hopningspunkter osv. med hjälp av dessa omgivningar. Om {x n } är en följd reella tal, ser man lätt att x n x där x är reellt får samma betydelse som vanligt (och kan alltså användas utan risk för förväxling), och att x n + och x n också får den vanliga betydelsen. Vidare gäller t.ex.: Sats 6. Låt {x n } vara en följd i R. Då gäller att + är en hopningspunkt om och endast om följden inte är uppåt begränsad. Symmetriskt gäller att är en hopningspunkt om och endast om följden inte är nedåt begränsad. Av detta och Bolzano Weierstrass sats följer lätt: Sats 7. Låt {x n } vara en följd i R. Då har följden en hopningspunkt i R, och det finns en delföljd som konvergerar. Med terminologin i 1 kan vi säga att R = [, ] är kompakt. Genom att betrakta R istället för R kan vi alltså eliminera villkoret om begränsning i Bolzano Weierstrass sats. Samma gäller flera andra resultat, t.ex. följande, som förhoppningsvis inses lätt: Sats 8. Låt {x n } vara en monoton (dvs antingen växande eller avtagande) följd i R. Då konvergerar följden mot något gränsvärde i R.
5 MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS 5 Anmärkning. R är ett metriskt rum, men inte med det vanliga avståndet mellan två reella tal. Man kan däremot definiera t.ex. d(x, y) = arctan x arctan y och allt fungerar. 3. lim sup och lim inf En icketom mängd E R har ett supremum sup E R, och symmetriskt ett infimum inf E R. Båda är entydigt bestämda. Eftersom inf E = sup{x : x E}, behandlas i fortsättningen mest sup; formuleringen av motsvarande resultat för inf lämnas som övning. Sats 9. Om E R är sup E det entydigt bestämda ξ R så att t ξ = {x E : x > t} = t < ξ = {x E : x > t} Observera att i allmänhet behöver inte sup E E. Om detta gäller kallas sup E även för maximum, max E. (Om sup E / E är max E inte definierat.) Om E är kompakt gäller alltid sup E E, så maximum existerar. Ibland definierar man dessutom sup = och inf = +. Sats 9 gäller då även för E =. Låt nu {x n } vara en föjd i R (eller i R). Följden y k = sup{x n : n k}, k = 1, 2,..., är en avtagande föjd i R och konvergerar därför mot något element i R. Gränsvärdet kallas övre limes eller limes superior och skrivs lim sup x n eller lim x n. Analogt definieras undre limes eller limes inferior som skrivs lim inf x n eller lim x n. Vi har alltså lim sup x n = lim lim inf För en godtycklig följd {x n } gäller och vidare lim inf sup k n k x n, x n = lim k inf n k x n. Analogt med sats 9 ser man lätt följande: x n lim sup x n + lim inf ( x n) = lim sup x n, (3.1) lim sup( x n ) = lim inf x n. (3.2) Sats 10. Om {x n } är en följd i R så är lim sup x n det entydigt bestämda ξ R så att t > ξ = {n : x n > t} är ändlig t < ξ = {n : x n > t} är oändlig.
6 6 SVANTE JANSON Samma gäller {n : x n t}. Vi kan inte säga något i allmänhet om {n : x n > ξ} eller {n : x n ξ}. Motsvarande karakterisering av lim inf lämnas som övning. Ur detta följer vidare den egenskap som används som definition i [Vretblad]. Sats 11. Om {x n } är en följd i R så är lim sup x n den största och lim inf x n den minsta hopningspunkten till {x n }. Ur t.ex. sats 11 följer lätt: Sats 12. Låt {x n } vara en följd i R. Då gäller lim inf x n = lim sup x n om och endast om {x n } konvergerar (i R). I detta fall är lim inf x n = lim sup x n = lim x n. Referens [Vretblad] A. Vretblad, Topologi och konvergens. Kompendium, Uppsala, Mathematiska institutionen, Uppsala universitet, Box 480, Uppsala
Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs mer1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merOm kontinuerliga funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merOm existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merSerier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merGrundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.
5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merLektion 2. Funktioner av två eller flera variabler variabler
Lektion 2 Funktioner av två eller flera variabler variabler Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1) Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merMetriska rum, R och p-adiska tal
Metriska rum, R och p-adiska tal Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 När vi säger avståndet mellan punkt X och punkt Y där X och Y är punkter i planet (säg) är
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merOm ordinaltal och kardinaltal
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall
Läs merExistens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
Läs merLite Kommentarer om Gränsvärden
Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 17 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 1 / 26 Dagens program Konvexa och
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm. Axiom som är ekvivalenta med urvalsaxiomet
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm Vi har tidigare nämnt Zermelo-Fraenkels axiom för mängdläran, de upprepas på sista sidan av dessa
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs merKonvergens och Kontinuitet
Kapitel 7 Konvergens och Kontinuitet Gränsvärdesbegreppet är väldigt centralt inom matematik. Som du förhoppningsvis kommer ihåg från matematisk analys så definieras tex derivatan av en funktion f : R
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merKTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom
KTHs Matematiska Cirkel Reella tal Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Mängdlära 7 1.1 Mängder...............................
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs mer1 Suddig logik och gitter
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merInduktion och rekursion
Matematik, KTH Bengt Ek november 2016 Material till kursen SF1679, Diskret matematik för F: Induktion och rekursion 1. Om välgrundade binära relationer Låt R vara en binär relation på en mängd D. Vi skriver
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merx = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten
DERIVATOR AV STYCKVIS DEFINIERADE FUNKTIONER När vi beräknar derivatan av en styckvis definierade funktioner gör vi oftast enligt följande: Vi bestämmer derivatan i inrepunkter av delintervall enligt vanliga
Läs merFör teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna.
Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 01 17, f V Telefon: Christoffer Cromvik, 0762 721860 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merLebesgueintegralen. Bengt Ove Turesson oktober Matematiska institutionen, Linköpings universitet, SE Linköping, Sverige
Lebesgueintegralen Bengt Ove Turesson 25 oktober 2009 Matematiska institutionen, Linköpings universitet, SE-58 83 Linköping, Sverige Förord Föreliggande kompendium innehåller en kortfattad introduktion
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs mer1 Bevis och definitioner
1 Läsanvisningar till Analysens grunder 1 Bevis och definitioner Det viktigaste målet med kursen är att lära sig läsa och förstå matematik. Detta är ingen lätt sak och kursen betraktas som rätt "tung".
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merLösning till fråga 5 kappa-06
Lösning till fråga 5 kappa-06 Figurer till uppgift a) ligger samlade efter uppgiften. Inledning Betrakta först N punkter som tillhör den slutna enhetskvadraten inlagd i ett koordinatsystem enligt figur
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs
Läs merKompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
Läs mer