Lektion 2. Funktioner av två eller flera variabler variabler
|
|
- Niklas Olofsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lektion 2 Funktioner av två eller flera variabler variabler
2 Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1)
3 Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1) 3. Gränsvärde ock kontinuitet (12.2)
4 Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1) 3. Gränsvärde ock kontinuitet (12.2)
5 1. Grundlägande topologi intervall: (a, b), [a, b], (a, ), etc. 1. Omgivning av en punkt P(a, b) är en öppen disk med centrummet i P och radie r, dvs {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 < r 2 }. 2. Punkten P kallas inre punkt till en mängd S om det finns en disk med centrummet i P som ligger helt i S. En mängd (i planet) kallas öppen om den består bara av sina inre punkter. Ex: hela planet, den öppna disken, {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < x < 2}, etc.
6 1. Grundlägande topologi intervall: (a, b), [a, b], (a, ), etc. 1. Omgivning av en punkt P(a, b) är en öppen disk med centrummet i P och radie r, dvs {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 < r 2 }. 2. Punkten P kallas inre punkt till en mängd S om det finns en disk med centrummet i P som ligger helt i S. En mängd (i planet) kallas öppen om den består bara av sina inre punkter. Ex: hela planet, den öppna disken, {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < x < 2}, etc. 3. Punkten P kallas randpunkt för en mängd S om varje disk centrerat i P innehller både punkter från mängden S och punkter som inte ligger i S. En mängd (i planet) kallas sluten om den innehåller alla sina randpunkter. Ex: hela planet, den slutna disken {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 r 2 }, {(x, y) : 0 x 1; 0 x 2}, komplementet till en öppen
7 1. Grundlägande topologi intervall: (a, b), [a, b], (a, ), etc. 1. Omgivning av en punkt P(a, b) är en öppen disk med centrummet i P och radie r, dvs {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 < r 2 }. 2. Punkten P kallas inre punkt till en mängd S om det finns en disk med centrummet i P som ligger helt i S. En mängd (i planet) kallas öppen om den består bara av sina inre punkter. Ex: hela planet, den öppna disken, {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < x < 2}, etc. 3. Punkten P kallas randpunkt för en mängd S om varje disk centrerat i P innehller både punkter från mängden S och punkter som inte ligger i S. En mängd (i planet) kallas sluten om den innehåller alla sina randpunkter. Ex: hela planet, den slutna disken {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 r 2 }, {(x, y) : 0 x 1; 0 x 2}, komplementet till en öppen
8 1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad.
9 1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad. 3. En mängd (i planet) kallas område om den är öppen och konex.
10 1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad. 3. En mängd (i planet) kallas område om den är öppen och konex. 4. En mängd (i planet) får vara varken sluten eller öppen eller både och.
11 1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad. 3. En mängd (i planet) kallas område om den är öppen och konex. 4. En mängd (i planet) får vara varken sluten eller öppen eller både och.
12 Uppgift: Undersök om mängden {(x, y) : xy 1, och x + y < 0} är öppen, sluten, begränsad, kompakt. Lösning: Skissera alltid mängden. Innehåller mängden alla sina randpunkter? Tillhör randen mängden? Ja! Då är mängden sluten. Mängden är obegränsad; den kan därför ej vara kompakt.
13 2- Funktioner av två eller flera variabler: Exempel
14 Definition: Låt E R n. En funktion f definerad på E kallas funktion av n- variabler. I många fall är E den största mängden som det går att definiera f på. Vi kommer att studera funktioner av två och tre variabler dvs n = 2, 3. Grafen till en funktion av två variabler är en yta i rummet R 3 medan grafen till en funktion av tre variabler är en hyperyta i R 4. De sista kan därför inte visualiseras.
15 Exempel: 1. z = f (x, y) = x + y, (x, y) R 2 (ett plan!). 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y (def. mängden är delen av planet som innehåller x-axeln, mellan de två bisekriserna, utan origo).
16 Exempel: 1. z = f (x, y) = x + y, (x, y) R 2 (ett plan!). 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y (def. mängden är delen av planet som innehåller x-axeln, mellan de två bisekriserna, utan origo). 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0 (grafen är en halv sfär, definitionsmängden är en disk i planet 0xy).
17 Exempel: 1. z = f (x, y) = x + y, (x, y) R 2 (ett plan!). 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y (def. mängden är delen av planet som innehåller x-axeln, mellan de två bisekriserna, utan origo). 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0 (grafen är en halv sfär, definitionsmängden är en disk i planet 0xy).
18 Exempel:
19 Exempel:
20 Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2
21 Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2 2. f (x, y) = x 2 + y 2
22 Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2 2. f (x, y) = x 2 + y 2 3. f (x, y) = 1 x 2 + y 2.
23 Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2 2. f (x, y) = x 2 + y 2 3. f (x, y) = 1 x 2 + y 2.
24 Operationer med funktioner av flera variabler 1. addition 2. multiplikation
25 Operationer med funktioner av flera variabler 1. addition 2. multiplikation 3. sammansättning ; f (x, y) = x + y, x = sin t = g(t), y = arcsin t = h(t) eller. x = s t, y = arcsin(s/t)
26 Operationer med funktioner av flera variabler 1. addition 2. multiplikation 3. sammansättning ; f (x, y) = x + y, x = sin t = g(t), y = arcsin t = h(t) eller. x = s t, y = arcsin(s/t)
27 Nivåkurvor 1. z = f (x, y) = x + y, z = f (1, 2) = = 3. Skärningen mellan planet z = 3 och z = x + y är linjen x + y = 3. Projektionen av denna linje på planet x0y kallas nivåkurva. 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y. (a, b) = (1, 1), f (1, 1) = π/4. Kurvan arcsin(x/y) = π/4 är nivåkurvan till f.
28 Nivåkurvor 1. z = f (x, y) = x + y, z = f (1, 2) = = 3. Skärningen mellan planet z = 3 och z = x + y är linjen x + y = 3. Projektionen av denna linje på planet x0y kallas nivåkurva. 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y. (a, b) = (1, 1), f (1, 1) = π/4. Kurvan arcsin(x/y) = π/4 är nivåkurvan till f. 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0. x = 3/4, y = 1/4, ( 5 ) f (2/4, 1/4) = 11 2, 4, 1 x 2 y 2 = 11 4, eller x 2 + y 2 = 4 dvs en nivåkurvan som går genom punkten (3/4, 1/4) är en cirkel.
29 Nivåkurvor 1. z = f (x, y) = x + y, z = f (1, 2) = = 3. Skärningen mellan planet z = 3 och z = x + y är linjen x + y = 3. Projektionen av denna linje på planet x0y kallas nivåkurva. 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y. (a, b) = (1, 1), f (1, 1) = π/4. Kurvan arcsin(x/y) = π/4 är nivåkurvan till f. 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0. x = 3/4, y = 1/4, ( 5 ) f (2/4, 1/4) = 11 2, 4, 1 x 2 y 2 = 11 4, eller x 2 + y 2 = 4 dvs en nivåkurvan som går genom punkten (3/4, 1/4) är en cirkel.
30 3.Gränsvärde och kontinuitet Definition:1. Anta att (a, b) är en hoppningspunkt till definitionsmängden av f. Funktionen har gränsvärdet L i punkten (a, b) om oavsett omgivning av L man kan hitta en omgivning av (a, b) sådan att f (x, y) ligger i omgivningen av L, för alla (x, y)i omgvningen av (a, b). 2. Man säger att f har gränsvärdet L, när (x, y) (a, b) om f ligger godtyckligt nära L, om (x, y) är tillräckligt nära (a, b). Man skriver lim (x,y) (a,b) f (x, y) = L. 3. lim (x,y) (a,b) f (x, y) = L om för varje ε existerar en δ sådan att f (x, y) f (a, b) < ε om (x, y) (a, b) < δ.
31 Egenskaper: 1. Gränsvärdet är entydigt. 4. Instängningssatsen: Om (f (x, y) L) h(x, y) för alla (x, y) i en omgivning av (a, b) och h(x, y) 0, då (x, y) (a, b) så är lim f (x, y) = L. 5. lim f + g = lim f + lim g; lim f g = lim f lim g
32 Problem 1: Att beräkna gränsvärdet till en funktion i en punkt: Metod 1: Standard gränsvärde: Beräkna gränsvärdet sin(x y) lim = 1 (x,y) (0,0) x y Metod 2: Instängningssatsen (MYCKET VIKTIGT!!!!) Ex. 5 sid 679.
33 Problem 2: Att visa att funktionen saknar gränsvärde i en punkt: Ex. 3 och 4 sid Förklara varför gränsvärdet inte existerar: lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4. Funktionen är definierat i hela planet utom origo (0, 0). Om (x, y) (0, 0) längst linjen y = 0 så är f (x, y) = f (x, 0) = 0, dvs lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4 = 0. Om (x, y) (0, 0) längst linjen y = x så är f (x, y) = f (x, x) = x2 x 2 x 4 +2x 4, dvs lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4 = 1/3. Efersom gränsvärdet är entydigt kan vi dra slutsatsen att funktionen saknar gränsvärde.
34 Kontinuitet Anta att (a, b) tillhör definitionsmängden till en funktion av två (eller flera variabler). Funktionen kallas kontinuerlig i punkten (a, b) om lim f (x, y) = f (a, b). (x,y) (a,b) En funktion som är kontinuerlig i varje punkt av sin definitionsmängd kallas kontinuerlig.
35 Uppgift Är funktionen f (x, y) { x 2 ln(1+x 2 +y 2 ) om (x, y) (0, 0) 1 om (x, y) = (0, 0) kontinuerlig i punkten (0, 0)?
36 Efter denna lektion bör ni bestämma om en mängd är öppen, sluten, begränsad, kompakt. beräkna gränsvärdet till en funktion av tvåvariabler eller visa att det inte existerar skissera grafen till enkla funktioner av två variabler och skissera deras nivåkurvor bestämma om en funktion är eller inte kontinuerlig i en punkt.
Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merExistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.
OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma
Läs mer1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.
Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merAntag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Flervariabelanalys 1. Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merKapitel Gränsvärden: inledande exempel. Example 2.1. Tänkpåattdubehöverskissautseendetfört.ex.funktionenf(x,y) = xy. kx 2 x 2 +k 2 x 2 = k
Kapitel Gränsvärden.. Gränsvärden: inledande eempel Eample.. Tänkpåattduehöverskissautseendetfört.e.funktionenf(,) = +.Definitionsmängden av f är D f = R \. Eftersom funktionen f saknar värde i origo,
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merOm att rita funktioner av två variabler
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merSätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3
Lektion 7, Flervariabelanalys den februari 000 9 Bestäm Taylorserien till funktionen log( + x + y + xy) i punkten (0, 0) Vi kan faktorisera argumentet till logaritmen och förenkla funktionen log( + x +
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys 5 hp, för STS 2010-03-19 Genomgånget på föreläsningarna 1-5. Här sammanfattar vi det som genomgåtts på de olika föreläsningarna.
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merKap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.
Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.06. 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merLåt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.
UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 1 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 21 SF1626 Flervariabelanalys Välkomna till kursen! Föreläsare: Henrik Shahgholian,
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merTMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH VT 2018 1 Dagens program Extremvärdesproblem (största och minsta värde) kap 13.2 Extremvärdesproblem med bivillkor Lagranges multiplikatormetod kap 13.3 (+ev
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström
Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24 . Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs mer