SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018

2 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten mängd 2. Andragradskurvor i R 2 a. Parabel b. Ellips c. Hyperbel 3. Andragradsytor i R 3 a. Paraboloid b. Ellipsoid c. Kon d. Cylinder e. Med mera 4. Polära, Cylindriska och Sfäriska koordinater

3 Previously on Flervariabel 2 Tentaproblem på det: Rita nedanstående mängder i R 2 och avgör om de är öppna eller slutna eller varken eller. M 1 = {(x, y) : x + y 2} M 2 = {(x, y) : 0 x 2y 3} M 3 = {(x, y) : 4x 2 + 3y 2 7} Kluring. Många mängder är ju varken öppna eller slutna, men finns det några mängder som är både öppna och slutna?

4 Previously on Flervariabel 3 Vektorvärda funktioner av en reell variabel, kap Värdemängden en kurva (om funktionen är kontinuerlig) 2. Tolkningar: kinematik (partikel), geometri (själva kurvan) 3. Derivata koordinatvis: tangentvektor, hastighet 4. Längd av kurva: L = b a r (t) dt

5 Previously on Flervariabel 4 Tentaproblem på det: Låt r(t) beskriva en partikels position i xy-planet där den rör sig med en konstant vinkelhastighet ω radianer per sekund i en cirkel med radie R kring origo. A. Skriv upp uttrycket för r(t) om partikeln vid tiden t = 0 sekunder befinner sig i punkten (R, 0). B. Beräkna hastigheten r (t) och accelerationen r (t) av partikeln med hjälp av uttrycket från del A. C. Rita en figur av partikelns bana och rita i figuren in hastigheten och accelerationen i en valfri tidpunkt.

6 5 Program för idag Funktioner från R n till R (kap ) 1. Definitionsmängd, Värdemängd, Funktionsgraf 2. Nivåkurvor, nivåytor 3. Gränsvärde 4. Kontinuitet

7 Funktioner från R n till R 6 Inledande exempel 1: Temperaturen T i vår föreläsningssal varierar med tiden och den varierar också beroende på var i rummet vi är. Den är en funktion av fyra variabler, tre rumsvariabler och en tidsvariabel: T = T (x, y, z, t)

8 Funktioner från R n till R 7 Inledande exempel 2: Arean av begränsningsytan av en papperskorg i form av en rät cirkulär cylinder utan lock beror på höjden h och radien a enligt formeln A = πa 2 + 2πah där a > 0 och h > 0. Arean beskrivs alltså av funktionen A av två variabler given genom A(a, h) = πa 2 + 2πah, a > 0, h > 0 Mängden {(a, h) : a > 0 och h > 0} kallas definitionsmängden. Värdemängden består av alla positiva tal.

9 Funktioner från R n till R 8 Definition: En reellvärd funktion f av n variabler är en regel som ordnar ett entydigt bestämt reellt tal f (x 1, x 2,..., x n ) till varje punkt (x 1, x 2,..., x n ) i någon mängd D(f ) R n. Mängden D(f ) kallas definitionsmängd (eng: domain) och mängden av alla funktionsvärden kallas värdemängd (eng: range). Konvention: Om inget sägs angående definitionsmängden antar man alltid att den är den största mängd i R n för vilken f (x 1, x 2,..., x n ) är ett väldefinierat reellt tal.

10 Funktioner från R n till R 9 Definition: Funktionsgrafen till en reellvärd funktion f av 2 variabler består av alla punkter i R 3 sådana att den tredje koordinaten är funktionsvärdet av de båda första. Dvs alla (x, y, z) sådana att z = f (x, y) På samma sätt definierar man funktionsgraf för en funktion av n variabler (fast den är svårare att rita). Den blir då en n-dimensionell hyperyta i R n+1. Exempel: f (x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = 2x + y + 1

11 Funktioner från R n till R 10 Definition: En nivåkurva till en reellvärd funktion f av 2 variabler består av alla punkter (x, y) i definitionsmängden till f som uppfyller en ekvation f (x, y) = C för något fixt tal C. Tänk på topografiska kartor! Exempel! f (x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = 2x + y + 1

12 Funktioner från R n till R 11 Arbete: 1. Låt f (x, y) = x 2 y. Rita nivåkurvan f (x, y) = Låt f (x, y) = x 2 + y 2. Bestäm definitionsmängden till f, rita två valfria nivåkurvor till f samt skissa funktionsgrafen till f.

13 Funktioner från R n till R 12 Observera: Samma kurva i R 2 kan beskrivas på flera olika sätt: som nivåkurva, funktionskurva, parameterkurva... Exempel: parabeln. Hur blir det i R 3? Nivåyta, funktionsyta, parameteryta... Exempel: paraboloiden

14 Funktioner från R n till R 13 Definition: En reellvärd funktion f av n variabler sägs ha gränsvärdet L när x går mot a, skrivet lim f (x) = L, x a om det för varje tal ɛ > 0 finns ett tal δ > 0 så att f (x) L < ɛ för alla x sådana att 0 < x a < δ (förutsatt att x tillhör definitionsmängden för f ). I ovanstående definition förutsätter vi att varje omgivning av a innehåller punkter från definitionsmängden till f (skilda från a).

15 Funktioner från R n till R 14 De vanliga räknereglerna för gränsvärden gäller: Om lim x a f (x) = L och lim x a g(x) = M (och varje omgivning till a innehåller punkter som ligger i båda funktionernas definitionsmängder) så gäller att lim x a (f (x) + g(x)) = L + M lim x a (f (x)g(x)) = LM lim x a (f (x)/g(x)) = L/M (om M 0) För sammansättning gäller: om H(t) är kontinuerlig i t = L så är lim x a H(f (x)) = H(L)

16 Funktioner från R n till R 15 Definition: En reellvärd funktion f av n variabler är kontinuerlig i en punkt a om lim f (x) = f (a) x a Om detta gäller för alla punkter i definitionsmängden sägs f vara en kontinuerlig funktion. Om n = 2 och punkten har koordinater (a, b) betyder detta lim f (x, y) = f (a, b) (x,y) (a,b)

17 Funktioner från R n till R 16 Faktum: Kontinuitet bevaras av de fyra räknesätten och sammansättning. Elementära uttryck är kontinuerliga överallt där de är definierade. Exempel: I vilka punkter är funktionen f som ges av f (x, y) = y x kontinuerlig? Hur räknar man ut lim f (x, y) för denna funktion? (x,y) (1,2)

18 Funktioner från R n till R 17 Exempel: Beräkna gränsvärdena: x 2 + y lim (x,y) (0,0) x + y x 2 + xy + y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 4 4x 2 + 4y 2 sin x lim 2 + y 2 (x,y) (0,0) 4x 2 + 4y 2

19 Funktioner från R n till R 18 Exempel: I vilka punkter är nedanstående funktioner kontinuerliga? f (x, y) = g(x, y) = { x 2 +y 4, x 2 +y 2 då (x, y) (0, 0) 0, då (x, y) = (0, 0) { x 4 +y 4, x 2 +y 2 då (x, y) (0, 0) 0, då (x, y) = (0, 0)

20 Läxa till nästa gång 19 Gör detta: Förbered er för seminariet! Gå till rätt grupp! Se film och svara på frågor i filmen till föreläsning 4 Gränsvärden: exempel 1, 2, 3 och 4 i boken är illustrativa Rekommenderade uppgifter i kap 12.1: 5, 9, 13,15, 17, 19, 23, 27, 33 Rekommenderade uppgifter i kap 12.2: 5, 7, 9, 11, 14, 15