SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript

1 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y 7}. (a) Avgör vilket eller vilka av områdena som är öppna. ( p) (b) Avgör vilket eller vilka av områdena som är slutna. ( p) (c) Ge ett exempel på en funktion som är kontinuerlig på något av de tre områdena men som varken har ett största eller ett minsta värde i området. ( p) (d) Är det något av områdena som är sådant att varje funktion som är kontinuerlig i området måste ha ett största och ett minsta värde i området? ( p) Lösningsförslag. (a) Det första området är öppet, eftersom randpunkterna till området är kurvorna x y = 4 och x y = 4 och inga punkter på dessa kurvor tillhör området på grund av den strikta olikheten. Båda de andra områdena innehåller randpunkter, tex är (, ) en randpunkt i både D och D 3. (b) D är inte slutet eftersom inga av randpunkterna tillhör området. Både D och D 3 är slutna eftersom de innehåller sina randpunkter, som är linjerna x + y = och x + y = för D och ellipsen 4x + 3y = 7 för D 3. (c) Eftersom D är öppet och obegränsat kan vi hitta en funktion som är kontinuerlig på D men som går mot ± när vi närmar oss randen. En sådan funktion är f(x, y) = x som går mot ± på linjen (x, y) = (t, t) som ligger helt i D. Området D är obegränsat och därmed kan vi hitta kontinuerliga funktioner som är obegränsade på D, exempelvis funktionen f(x, y) = x. (d) Området D 3 är slutet och begränsat och därmed finns enligt sats i boken alltid ett största och ett minsta värde för en funktion som är kontinuerlig på området.

2 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Svar. (a) D är öppet, men inte D och D 3. (b) D och D 3 är slutna, men inte D. (c) f(x, y) = x är kontinuerlig på D men saknar största och minsta värde. (d) D 3 har egenskapen att varje kontinuerlig funktion på D 3 måste ha ett största och ett minsta värde i D 3.

3 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Den vektorvärda funktionen f definieras genom f(x, y, z) = (x y, (y z), (z x) ). (a) Beräkna funktionalmatrisen f. ( p) (b) Beräkna funktionaldeterminanten d(f). ( p) d(x,y,z) (c) Vilken slutsats kan man dra från beräkningen i (b) när det gäller att använda f vid substitution i trippelintegraler? ( p) Lösningsförslag. (a) f = f x f x f 3 x f f f 3 f z f z f 3 z = y z y + z x z x + z (b) Vi kan beräkna determinanten av f exempelvis genom att genomföra radoperationer. Vi får det y z y + z = det y z y + z x z x + z x z x + z = (y z)(x z) det = (y z)(x z) det = där vi i första steget lagt z x gånger den första raden till den tredje och i det sista steget dragit den andra från den tredje. Determinanten är noll i och med att den reducerade matrisen har en nollrad. Därmed är funktionaldeterminanten noll. (c) Eftersom funktionaldeterminanten, eller Jacobideterminanten, är noll kan funktionen inte användas för substitution i trippelintegraler. Den avbildar områden alla områden i rummet på områden med volym noll. Svar. x z (a) f = y z y + z x + z d(f) (b) = d(x,y,z) (c) Vi kan inte använda f till variabelbyte i trippelintegraler eftersom funktionaldeterminanten är noll. 3

4 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta området D som ges av kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, ), (, ) och (, ). För att beräkna integralen I = D x y dxdy är det lämpligt att göra ett variabelbyte så att u = x + y och v = x y. Utför detta variabelbyte och beräkna därigenom integralens värde. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan först beräkna Jacobideterminanten. Vi har d(u, v) d(x, y) = u u x = = ( ) =. v x v Därmer har vi att ( ) d(x, y) d(u, v) d(u, v) = = d(x, y). Vi behöver finna integrationsgränserna i de nya variablerna. Linjerna som begränsar kvadraten är y = x, y = x, y = x, y = x. I de nya variablerna blir det v =, u =, u = och v =. Alltså kan vi beräkna vår integral som d(x, y) x y dxdy = uv dudv D = d(u, v) Vi beräknar de båda enkelitegralerna som [ t dt = t / dt = 3 t3/ och vi får I = ( uv dudv = ] ( ) ( u du = 3 3 = ) = v dv ). Svar. Integralens värde är 6/9. 4

5 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x, y) = 3xy i det kompakta området som ges av olikheten x + xy + y. (4 p) Lösningsförslag. Eftersom området är slutet och begränsat finns säkert ett största och ett minsta värde för den kontinuerliga funktionen f(x, y) = 3xy. Eftersom randen är en sluten C -kurva ska vi undersöka inre stationära punkter och sedan randpunkter med hjälp av Lagranges metod. Gradienten för f(x, y) ges av grad f(x, y) = (3y, 3x) och det finns bara en stationär punkt som ges av x = y =. Denna punkt ligger i det inre av området och värdet för funktionen är f(, ) =. Lagranges metod går ut på att se när gradienten till funktionen är parallell med gradienten till bivillkoret. Vi skriver bivillkoret som g(x, y) = där g(x, y) = x + xy + y och får gradienten grad g(x, y) = (x+y, x+y). Vi kan se när gradienterna är parallella genom att beräkna determinanten [ ] 3y x + y det = 3y(x + y) 3x(x + y) = 6(y 3x x + y x ) = 6(y x)(y + x). Därmed är gradienterna parallella precis när y = ±x. Om x = y ger bivillkoret att x + x + x =, dvs x = ±/ 3 och f(x, x) = 3x =. Om x = y ger bivillkoret x x + x =, dvs x = ± och f(x, x) = 3x = 3. Slutligen jämför vi de tre kandidaterna till största och minsta värden för funktionen och finner att 3 är det minsta värdet och antas i punkterna (, ) och (, ). Det största värdet är och antas i punkterna (/ 3, / 3) och ( / 3, / 3). Svar. Största värdet är f(, ) = f(, ) = 3 och minsta värdet är f(/ 3, / 3) = f( / 3, / 3) =. 5

6 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna integralen + x3 dxdy D där D är området som ges av olikheterna x och y x. (4 p) Lösningsförslag. Vi kan beräkna integralen genom upprepad integration och vi behöver välja vilken variabel vi ska integrera med avseende på först. Vi ställer upp båda möjligheterna ( ) x ( 4 ) + x3 dxdy = + x3 dy dx = + x3 dx dy y D Den andra versionen är svår i och med att vi inte känner någon primitiv funktion till + x3. Däremot kan vi beräkna integralen genom den första versionen som ( ) x + x3 dy dx = = ( [ y ] ) x + x 3 dx ( x ) + x 3 = ( 9 dx = [ 3 ] 3 ( + x3 ) 3 ( + 8) 3 ( + ) 3 ) = 9 (7 ) = 5 9 Svar. D + x3 dxdy =

7 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta grafytan z = f(x, y) till funktionen f(x, y) = x y. (a) Vilket blir funktionens naturliga definitionsområde? ( p) (b) Bestäm ett uttryck för den normaliserade normalvektorn N längs grafen om vi antar att N har en positiv z-komponent. (3 p) Lösningsförslag. (a) Kvadratroten är definierad för icke-negativa tal och därför ges det naturliga definitionsområdet av x y, dvs x +y. Detta är en ellips med halvaxlarna och. (b) Vi kan bilda funktionen g(x, y, z) = z f(x, y) och funktionsgrafen är då lösningen till g(x, y, z) = och dess normalvektor ges av gradienten till g(x, y, z). Vi beräknar gradienten som grad g(x, y, z) = ( f x, f, ) ( = 4x ) x y, y x y,. För att kunna normalisera denna behöver vi beräkna beloppet som ges av kvadratroten ur denna vektor skalärmultiplicerad med sig själv, dvs av (x) + y x y + = x + x y. När vi delar normalvektorn med sin längd får vi den normaliserade normalvektorn N = ( x x +, y x +, x y x + ). Svar. (a) Funktionens definitionsområde ges av ellipsskivan ( x + y. x (b) Den normaliserade normalvektorn är N =, y, x + x + komponenten ska vara positiv. x y x + ) om z- 7

8 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Avgör om den generaliserade integralen R x dxdy ( + x )(x + y ) 3/ är konvergent eller divergent. (4 p) Lösningsförslag. Integranden är positiv i hela R och vi kan jämföra den med andra integrander som är större för att avgöra konvergens. Vi har två orsaker som kan orsaka divergens, dels att området är obegränsat, dels att integranden är obegränsad nära origo. Vi har att x ( + x )(x + y ) 3/ (x + y ) 3/ och vi kan integrera över ett område D R mellan cirklarna med centrum i origo och radier och R, där < R. Vi får x DR dxdy dxdy ( + x )(x + y ) 3/ D R (x + y ) 3/ Integralen till höger kan vi beräkna genom att införa polära koordinater och vi får dxdy = D R (x + y ) 3/ C π R = π r r drdθ 3 dθ R [ dr = π ] R ( = π ) π r r R oberoende av R. Därmed är integralen konvergent över området x + y i R. Vi ser sedan på området som ges av enhetscirkeln. Där har vi och vi får x dxdy ( + x )(x + y ) 3/ = där vi använt oss av att π x ( + x )(x + y ) 3/ x (x + y ) 3/ π π C x dxdy (x + y ) 3/ r cos θ r 3 r drdθ = π π cos θ dθ dr = π [r] = π cos θ dθ = cos θ + sin θ dθ = dθ = [θ]π = π. Sammantaget får vi att integralen är konvergent och dess värde är mindre än 3π. Svar. Integralen är konvergent. 8

9 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Betrakta kurvintegralen γ x + y där γ är den positivt orienterade slutna kurva som innesluter det område som i polära koordinater beskrivs av olikheterna r och θ π. (a) Beräkna kurvintegralens värde genom parametrisering av kurvan γ. ( p) (b) Beräkna kurvintegralens värde genom användning av Greens formel. ( p) Lösningsförslag. (a) Vi delar upp kurvan i fyra delar, två cirkelbågar γ γ 3 med radie respektive och två linjestycken γ och γ 4 parallella med x-axeln respektive y-axeln. Vi får γ som (x, y) = (sin t, cos t), t π/ och = γ x + y π/ cos t(cos t) dt sin t( sin t) dt = Vidare ges γ 3 av (x, y) = ( cos t, sin t), t π/ och = γ 3 x + y π/ sin t( sin t) dt cos t( cos t) dt För γ har vi (x, y) = (t, ), t och = γ x + y π/ dt t dt =. och γ 4 ger (x, y) = (, t), t vilket ger ( = γ 4 x + y π/ = π/ π/ ( t) dt ( ) dt =. Sammantaget får vi = π x + y + π + = π. (b) Greens formel säger att γ γ P dx + Q dy = D 9 ( Q x P ) dxdy dt = π. dt = π.

10 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen I vårt fall har vi P = Q x P y och Q = x vilket ger x +y x +y ( = x + y x ) x ( ) 3 x + y ( x + y y ) y) ( ) 3 x + y = x + y + x + y ( ) 3 = x + y x + y. D Därmed kan vi beräkna kurvintergralen som π/ x + y dxdy = vilket stämmer med beräkningen ovan. r r drdθ = π dr = π ( ) = π, Svar. Kurvintegralens värde är för båda sätten att beräkna den. γ x + y = π

11 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Undersök vilka värden sin α + sin β + sin γ kan anta när α, β och γ är vinklarna i en triangel. (4 p) Lösningsförslag. Vi betraktar funktionen f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z med bivillkoren x + y + z = π och x, y, z >. Bivillkoren ger ett område som är begränsat, men inte slutet. Det är klart att f(x, y, z) 3 eftersom < sin x om < x < π, så funktionen har en övre och en undre begränsning. Vi söker först stationära punkter i det inre under bivillkoret g(x, y, z) = x+y+z π. Vi har att grad f(x, y, z) = (cos x, cos y, cos z) och denna är parallell med grad g(x, y, z) = (,, ) bara om cos x = cos y = cos z, vilket ger x = y = z = π/3 på grund av bivillkoret. I denna punkt har vi f( π, π, π) = Sedan betraktar vi randen till området i planet x + y + z = π. Denna ges av x =, y =, respektive z =. Av symmetri räcker det att betrakta en av dessa, säg z =. Där har vi f(x, y, ) = f(x, π x, ) = sin x + sin(π x) + sin = sin x. Eftersom x π antar sin x alla värden mellan och på randen. När vi jämför med värdet i den stationära punkten i det inre får vi < 3 3 eftersom 4 < 7. Alltså är det största värdet funktionen antar 3 3/. 4 Det återstår att se att funktionen kan anta alla värden i intervallet < t 3 3/. Det räcker att visa att det går att komma godtyckligt nära. Vi ser på f(t, t, π t) = sin t + sin(t) = sin t( + cos t) 4 sin t som kan bli godtyckligt nära noll för t >. Svar. sin α + sin β + sin γ kan anta alla värden i det halvöppna intervallet (, 3 3/ ].