SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript

1 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara vad det innebär att en punkt är en stationär punkt 1 för funktionen f och kontrollera att 1, 1) är en sådan punkt. 1 p) b) Skriv upp Taylorutvecklingen till f av ordning två i punkten 1, 1). p) c) Avgör vilken typ den stationära punkten 1, 1) har. 1 p) Lösningsförslag. a) Att en punkt är stationär innebär att gradienten för funktionen är noll i den punkten. I vårt fall är gradienten fx, y) f x f x, y), x, y) y ) x 1 y 1, 1 ) y x och när vi beräknar det för x, y) 1, 1) får vi f1, 1) , 1 ) , 1 1), ). Alltså är 1, 1) en stationär punkt. b) För Taylorpolynomet av grad två behövs andraderivatorna av f och dessa ges av f x 4 x 1), f x y 1 och f y 1 y. I punkten x, y) 1, 1) får vi f x 4, 1 En stationär punkt kallas också för en kritisk punkt. f x y 1 och f y 1.

2 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Värdet i punkten 1, 1) är f1, 1) och eftersom det är en stationär punkt är den linjära termen noll. Därmed ges Taylorpolynomet kring punkten 1, 1) av x 1) y 1) px, y) + 4) x 1)y 1) c) Typen för den stationära punkten bestäms av andragradstermen som kan skrivas som 1 4h hk k ) 1 h + h + k) ) som är negativt definit. Därmed är 1, 1) ett lokalt maximum. Vi kan också se detta genom att se på egenvärdena till matrisen [ ] f f [ ] 4 1 x f x y x y f y 1 I och med att determinanten är 4 1 som är positiv har båda egenvärdena samma tecken och i och med att spåret är negativt måste de båda vara negativa och vi drar åter igen slutsatsen att formen är negativt definit och 1, 1) en lokal maxpunkt. Svar. b) Taylorpolynomet är px, y) + 4) x 1) x 1)y 1) y 1) c) Punkten 1, 1) är ett lokalt maximum. 1..

3 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Låt rt) beskriva en partikels position i xy-planet där den rör sig moturs med en konstant vinkelhastighet om ω radianer per sekund i en cirkel med radie R kring origo. a) Skriv upp uttrycket för rt) om partikeln vid tiden t s befinner sig i punkten R, ). 1 p) b) Beräkna derivatan r t) med hjälp av uttrycket från del a). 1 p) c) Arbetet som utförs av en kraft Ft) under rörelsen ges av Ft) dr. Newtons andra lag säger att den kraft som verkar på partikeln är mr t), där m är partikelns massa. Vilket arbete utför denna kraft medan partikeln färdas ett halvt varv kring origo? p) Lösningsförslag. a) Om vi använder polära koordinater har vi r R och θ ωt och när vi skriver det i rektangulära koordinater får vi rt) R cosωt), R sinωt)). b) Vi deriverar rt) med avseende på t och får r t) Rω sinωt), Rω cosωt)). c) Arbetet ges av Ft) dr t1 Frt)) r t) dt t1 mr t) r t) dt t t eftersom r t) Rω cosωt), Rω sinωt) ) som är vinkelrät mot r t) för alla t. Svar. a) rt) R cosωt), R sinωt)). b) r t) Rω sinωt), Rω cosωt)). c) Arbetet är noll.

4 4 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Betrakta den kropp i rummet som ges av olikheterna z x + 4y och x + y 1. Volymen av kroppen kan beräknas med trippelintegralen 1 dv 1 dxdydz. a) Ställ upp den trippelintegral som ger volymen av med upprepad integration i de rätvinkliga koordinaterna x, y och z. 1 p) b) Utför det variabelbyte som krävs för att beräkna trippelintegralen från del a) med hjälp av cylinderkoordinater. 1 p) c) Beräkna volymen av, exempelvis genom att beräkna trippelintegralen från del b). p) Lösningsförslag. a) Vi kan beskriva cirkeln med olikheterna 1 x 1, 1 x y 1 x och därmed kan trippelintegralen skriva som 1 x x +4y 1 1 x 1 dzdydx. b) Vid variabelbytet till cylinderkoordinater [r, θ, z] fås dxdydz r drdθdz och kroppen ges av olikheterna θ π, r 1 och z r cos θ +4 sin θ). Därmed blir integralen π r cos θ+4 sin θ) c) Vi beräknar integralen från del b) som π r π π r dzdrdθ. r dzdrdθ r [z] r cos θ+4 sin θ) drdθ [ ] r r cos θ + 4 sin 4 1 π θ) drdθ cos θ + 4 sin θ) dθ π 5π 4. Svar. a) 1 x 1 x +4y 1 dzdydx. 1 x b) π r cos θ+4 sin θ) r dzdrdθ. c) Volymen är 5π/4.

5 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Beräkna flödet av vektorfältet Fx, y, z) xy, yz, y + x z) ut genom begränsningsytan till den cylinderformade kropp som ges av olikheterna x + y 1 och z 1 antingen genom att parametrisera ytans olika delar eller genom att använda divergenssatsen. 4 p) Lösningsförslag. Om vi väljer att använda divergenssatsen ser vi först att div F y + z + x. och eftersom F är kontinuerligt deriverbart och begränsningsytan till är styckvis slät får vi F N ds div F dxdydz x + y + z) dxdydz. Vi kan sedan byta till cylinderkoordinater och får π x + y + z) dxdydz r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz Varje term kan beräknas som en produkt. π π och π r cos θ drdθdz r sin θr drdθdz Sammantaget får vi zr drdθdz π π π π cos θ dθ cos θ dθ 1 dθ r dr r dr r dr [ r 4 1 dz π 4 ] 1 1 dz [ cos θ] π [ r z dz π ] 1 [ z r cos θ + r sin θ + z)r drdθdz π π π 4. 1 π 4, [ r ] 1 ] 1 π. 1 Väljer vi istället att parametrisera ytans delar får vi tre olika delar. Vi börjar med mantelytan som kan parametriseras med rθ, z) cos θ, sin θ, z). En utåtriktad normerad

6 6 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen normalvektor ges av cos θ, sin θ, ) och därför ges flödet av integralen π cos θ sin θ, z sin θ, sin θ + z cos θ) cos θ, sin θ, ) dzdθ π cos θ sin θ + z sin θ dzdθ π cos θ sin θ dz + π sin θ [ 1 ] π [ ] z 1 cos θ 1 + π + π π Bottenytan är en cirkelskiva som parametriseras av rr, θ) r cos θ, r sin θ, ) och en utåtriktad normerad normalvektor är,, 1). Därmed blir flödet genom denna del π r cos θ sin θ,, r sin θ),, 1) rdrdθ π r sin θ rdrdθ π r 4 dr sin θ1 cos θ) dθ 1 [ 5 cos θ + 1 ] π cos θ. Slutligen ges den övre begränsningsytan av rr, θ) r cos θ, r sin θ, 1). En utåtriktad normerad normalvektor ges av,, 1) och därför ges flödet av integralen π r cos θ sin θ, r sin θ, r sin θ + r cos θ),, 1) rdrdθ π Den första termen är noll enligt den förra beräkningen och den andra ger π r cos θ rdrdθ r cos θ + 1 dr dθ 1 [ sin θ 4 + θ 4 π Sammataget blir flödet π + + π 4 π 4. z dz r sin θ + r cos θ rdrdθ ] π π 4. Svar. Flödet genom ytan är π/4.

7 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen För att flyga med flygbolaget Lagrangian Airlines krävs att det incheckade bagagets yttermått skall uppfylla att summan av dess höjd, bredd och djup inte överskrider 15 cm. Bestäm den maximala volym som en rätvinklig parallellepiped kan ha för att få tas med som incheckat bagage. 4 p) Lösningsförslag. Vi behöver maximera volymen V x, y, z) xyz av ett rätblock med höjd x, bredd y och längd z givet att x, y, z cm och x + y + z 15 cm. Detta måste finnas ett maximum för funktionen eftersom den är deriverbar och definierad på en kompakt mängd. Vi börjar med att leta efter maximum bland stationära punkter till V x, y, z). Dessa ges av lösningar till grad V x, y, z),, ), dvs yz, xz, xy, vilket ger att V x, y, z) xyz xyz) x. Detta kan inte vara maximum eftersom V kan anta positiva värden. Vi ser sedan på randen som ges av tre delar där en av variablerna är noll och en triangel där x+y+z 15 cm. På delarna där en variabel är noll är också volymen noll, vilket återigen inte kan vara maximum. Vi ser till slut på den del av randen där x+y +z 15 cm. Enligt Lagranges metod ska gradienten till V vara parallell med gradienten till bivillkoret vid ett optimum. I det här fallet ska alltså yz, xz, xy) vara parallell med 1, 1, 1), vilket ger x y z som med bivillkoret x + y + z 15 cm ger x y z 5 cm. Då blir volymen 5 cm) 15 cm 15 dm. Detta måste vara det eftersökta maximala värdet för volymen. Svar. Den maximala volymen är 15 dm, dvs 15 liter.

8 8 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Resultaten I h från en viss numerisk kvadraturmetod med olika steglängd h var h I h 1/8, /16, /, /64, Antag att felet beror snällt på steglängden. a) Vad är noggrannhetsordningen? p) b) Uppskatta hur litet h som krävs för att få ett fel mindre än 1 6? Det räcker med ett matematiskt uttryck för svaret; siffervärdet behöver ej ges.) p) Lösningsförslag. När felet beror snällt på steglängden gäller I h I + ch p. där p är noggrannhetsordningen och c är någon konstant. Det betyder att I h I h/ I h I I h/ I) ch p ch p p ch p 1 p ). a) Enligt ovan har vi I h I h/ chp 1 p ) I h/ I h/4 ch p p 1 p ) p. Vi beräknar I 1/16 I 1/ 1, 1 och I 1/ I 1/64, Det ger p 1,, Noggrannhetsordningen är därför. b) Eftersom p kommer felet bli mindre än 1 6 när ) 1 I I h c h / h. c Vi vet vidare från förra deluppgiften att,5 1 4 I 1/ I 1/ ) c c 4, Tillsammans ger detta h 1 6 4,5 1 4 ) 1/ 1 ) 1/,17. 1 Svar. Noggrannhetsordningen är. Steglängden h behöver vara mindre än,17.

9 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL 7. Låt vara den homogena kropp som beskrivs av olikheterna z, x + y + z 4 och z x + y. Beräkna z-komponenten av masscentrum för kroppen. 4 p) Lösningsförslag. För att beräkna z-komponenten för masscentrum behöver vi beräkna kvoten z dxdydz 1 dxdydz. För båda integralerna är det lämpligt att använda cylinderkoordinater och gränserna för ges då av r z 4 r och θ π. För att r 4 r måste r. Den första integralen blir därmed π 4 r [ ] rz 4 r z dxdydz zr dzdrdθ π dr π ) r4 r ) r dr π Den andra integralen blir π 1 dxdydz π r 4 r r ) 4 r r dr π r r r ) dr π r dzdrdθ π π Därmed blir z-komponenten av masscentrum z dxdydz 1 dxdydz π π 8 4 r r ) dr π r [r r4 4 [rz] 4 r r ) 64 dr ] π 4 ) π 4 [ 1 ] 4 r ) / r ) π ) 8 I den ursprungliga tentamenslydelsen fattades olikheten z då blir kroppen symmetrisk kring z vilket gör att kroppens masscentrum hamnar vid z av symmetriskäl. Svar. z-komponenten av kroppens masscentrum är + )/8.

10 1 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Ett glas har en kvadratisk öppning sida 4 cm) och ett djup D som bara beror på avståndet r till öppningens mittpunkt. Glasets nedre del är cirkulär enligt figuren nedan. Glasdjupet är uppmätt för några olika punkter längs diagonalen på öppningen enligt följande tabell: r cm), 1,,,8 D cm) 6, 4,5,, a) Skriv ett Matlab-program som bestämmer koefficienterna till det tredjegradspolynom pr) som interpolerar Dr) i de givna punkterna. 1 p) b) Skriv ett Matlab-program som med trapetsregeln i två dimensioner och med hjälp av pr) från deluppgift a) beräknar den volym vatten V [cm ] som glaset kan hålla, genom att numeriskt approximera dubbelintegralen V p x + y )dxdy. p) Observera att i dessa uppgifter ska inte Matlabs inbyggda funktioner för interpolation och integration användas. Lösningsförslag. a) För att bestämma tredjegradspolynomets koefficienter behöver vi lösa det linjära ekvationssystemet c 1 + c r 1 + c r1 + c 4 r1 D 1 c 1 + c r + c r + c 4 r D c 1 + c r + c r + c 4 r D c 1 + c r 4 + c r4 + c 4 r4 D 4 som kan lösas med följande Matlab-program: % % Interpolationspunkter r [ ] ; D [ ] ; % Vandermondematris A [r. r. 1 r. r. ]; % Beräkna polynomkoefficienter c A\D; %

11 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Vektorn c [c1) c) c) c4)] innehåller det sökta polynomets koefficienter. b) För att beräkna volymen med hjälp av trapetsregeln i två dimensioner kan vi fortsätta programmet från deluppgift a) enligt nedan: % % Definiera polynomet c1) + x*c) + x. *c) + x. *c4); % Antal punkter i varje rad n 1; x linspace-,,n); y linspace-,,n); h 4/n-1); % Loopa över alla x-värden och beräkna y-integralen för % varje x. Spara värdena i Iy. Iy zerossizex)); for k 1:lengthx) % Beräkna y-integralen med trapetsregeln för detta x f psqrtxk) +y. )); Iyk) h*sumf)-f1)+fend))/); end % Beräkna kvarvarande x-integralen med trapetsregeln V h*sumiy)-iy1)+iyend))/); disp[ Volymen numstrv)]) % Volymen 5.99 % Svar. Volymen blir ca 5 cm

12 1 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen Beräkna kurvintegralen F dr där vektorfältet F ges av Fx, y, z) y + z, x + z, x + 4y) och är kurvan som ges av rt) t cos1 t ), t, t), t 1. 4 p) Lösningsförslag. Vi kan se att fältet inte är konservativt genom att beräkna rotationen som ger F rot F y F z, F 1 z F x, F x F ) 1 4 1, 1 1, 1 1),, ), y men vi kan dela upp fältet i en summa av ett konservativt fält G och ett fält H,, y). urvintegralen över det först fältet kan beräknas med hjälp av en potiential och den andra kan beräknas direkt eftersom den unviker x-komponenten av kurvan. En potential för Gx, y, z) y + z, x + z, x + y) ges av Φx, y, z) xy + yz + zx och eftersom kurvan går från,, ) till 1, 1, 1) blir kurvintegralen G dr Φ1, 1, 1) Φ,, ). Den andra kurvitgralen ges av H dr y dz Sammantaget får vi kurvintegralen F dr G dr + Det går också att beräkna integralen direkt som t dt [ t ] 1 1. H dr t + t)cos1 t ) + t sin1 t ) + t cos1 t ) + t) t + t cos1 t ) + 4t dt t + t) cos1 t ) + t 4 + t ) sin1 t ) + 6t dt t + t) cos1 t ) + t + t )t sin1 t ) + 6t dt [ t + t ) cos1 t ) + t ] där vi använt att derivatan av cos1 t ) är t sin1 t ). Svar. urvintegralen är F dr 4.