Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Transkript

1 Kap , 15.4, Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A Undersök om vektorfältet F är konservativt. Om så är fallet bestäm en potential till F. a. F = (3x 2 y + y 2, x 3 + 2xy) b. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy) c. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x) d. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x, 2z) e. F = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xyz + x, 2z) A Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) A Betrakta vektorfältet F = (2xe y, cos z x 2 e y, y sin z). Visa att F har en potential. Bestäm den potential som har värdet 3 i punkten (1,0,π). A Betrakta vektorfältet F = (x + ay + 3z, 2x + 4y + bz, cx 6y + 3z). Bestäm konstanterna a, b och c så att F får en potential. Bestäm även denna. B Sätt r = (x,y,z) och r = r. Låt b = (b 1, b 2, b 3 ) vara en konstant vektor. Bestäm den konstanta vektorn a = (a 1, a 2, a 3 ) så att vektorfältet F = a. r r 5 r + 1 b får en potential. Bestäm sedan denna potential. r3 A Beräkna linjeintegralen Γ yx dx + x 2 dy från (0,0) till (1,1) längs parabeln y = x 2. A Beräkna kurvintegralen Γ y dx x dy längs x 2 + y 2 = 1 från (1,0) till (0,1). 1

2 A x dx + y dy x + y längs y = 2x från (1,2) till (2,4). A (x + y) dx + (x + y) dy längs y 2 = x 3 från (0,0) till (1,1). A (y x 2 ) dx + (2xy 1 y 2 ) dy längs y = x 2 från (0,0) till (1,1). A x dy y dx (x + y) 2 längs x + 2y = 1 + y 2 från (1,0) till (0,1). A (x 4 y 2 ) dx + (x 4 + y 2 ) dy den sammansatta kurvan: först parabeln y = x 2 från ( 1,1) till (1,1) och sedan linjen y = 1 från (1,1) till ( 1,1). A (x 2 + y 2 ) dx + (x 2 y 2 ) dy i positiv led runt kvadraten med hörnen (±1,±1). A (x 2 + xy) dx + (x xy 2 ) dy i positiv led runt triangeln med hörnen A = ( 1,0), B = (1,0) och C = (0,1). B Beräkna y 3 dx + x 3 dy runt ellipsen x2 a 2 + y2 = 1 ett varv i positiv led. b2 Γ B (3y x) dx + (y 3x) dy (x + y) 3 i positiv led längs x 2 + y 2 = 1 från (1,0) till (0,1). 2

3 B y dx x dy (x y) 2 där Γ är den del av kurvan y = x som börjar i (0,1) och slutar i (2,5). B xy 2 dx yx 2 dy tagen längs en kvartscirkelbåge av x 2 + y 2 = 2y från (0,0) till (1,1). B (1 y 2 ) dx + (1 x 2 ) dy (1 + xy) 2 tagen längs en halvcirkelbåge i första kvadranten från (0,0) till (0,1). B Beräkna 2x x 2 + y + 1 dx + 1 x 2 + y Γ + 1 dy då Γ är halvcirkeln x 2 + y 2 = 1, y 0 genomlupen från ( 1,0) till (1,0). B (x y) dy 2y dx (x + y) 3 där Γ är kurvan x = cos 3 t y = sin 3 t i första kvadranten från (1,0) till (0,1). B (e x cosx y) dx + (2xy + arctan y 2 ) dy tagen i positiv led längs randen till området x 2 3 y 1 4 x2. B ln x y dx + ln x y dy där Γ är periferin av triangeln med hörn i (0,3), (2,3) och (1,2). Punkterna genomlöps i nämnd ordning. B (x dx + y dy) arctan y x där Γ går rätlinjigt från (1,0) till (2,2). 3

4 B Betrakta linjeintegralen I = Γ ax 3 + 8y 3 xy 2 dy 10x3 + by 3 x 2 y dx, där Γ går i första kvadranten från A = (1,1) till B = (4,5). Bestäm konstanterna a och b så att I ej beror av Γ. Beräkna också I. B (xy 2 y 3 ) dx + (x 3 + 4x 2 y) dy där Γ är randen i positiv riktning till området x + y 1. B (y 2 + ycos xy) dx + (y + xcos xy) dy tagen längs cirkelbågen Γ med ekvationen y = 1 x 2 från (0,1) till (1,0). B x dy y(1 + x 2 + y 2 ) dx x 2 + y 2 tagen i positiv led längs ellipsen x 2 + 4y 2 = 1. A Γ är en sammanhängande del av hyperbeln xy = 1 från punkten (1,1) till punkten P. Bestäm P då kurvintegralen Γ (2x + y) dx + (x 8y) dy = 3. B Γ är en rät linje från (0,0) till (a,b), där a > 0, b > 0. Bestäm lokala extrempunkter till funktionen f(a,b) = Γ (3x 2 2y) dx + (3y 2 4x) dy. B y dx x dy tagen längs kurvan y = 3 1 x 2, x 0, från punkten (2,0) till (0,2). B Vilka värden kan kurvintegralen Γ (y 2x 2 y) dx (3x xy 2 ) dy anta om Γ är en enkel sluten kurva som går i positiv led. 4

5 B Låt f vara en deriverbar funktion av en variabel. Beräkna kurvintegralen Γ (y 2 y + 2f(2x + 3y)) dx + (x 2 + x + 3f(2x + 3y)) dy tagen i positiv led längs kurvan x + y = 1. B Bestäm den slutna kontinuerligt deriverbara kurvan Γ som inte skär sig själv så att kurvintegralen Γ (x 2 y + y 3 12y) dx (x 3 + 6xy 2 24x) dy då Γ genomlöps ett varv i positivt led blir så stor som möjligt. Ange även integralens största värde. C xy 2 dy x 2 y dx x 2 + y 2 från (1,0) till (0,1) längs cirkelbågen x 2 + y 2 = x + y, där x 0, y 0. C Beräkna lim n Γ n x dy y dx där Γ n är den i första kvadranten belägna delen av kurvan x n + y n = 1 från (0,1) till (1,0). C (x + 2) dx + 3(x + y + 1) dy x 2 + 3xy + 3y 2 + x + 1 där Γ är i positivt led genomlöpta triangeln med hörnen i ( 1,5), ( 6,0) och (4,1). C Visa att Γ största värdet av P dx + Q dy LM, där L är längden av Γ och M är P 2 + Q 2 under villkoret (x,y) Γ. A x dx + xz dy + y dz, längs kurvan (x,y,z) = (t 2, 2t 3, t) från punkten (0,0,0) till punkten (1,2,1). A x dx + y dy + z dz, längs kurvan (x,y,z) = (t cos t, t sin t, t) från punkten (0,0,0) till punkten ( π,0,π). 5

6 B (x + y) dx + (y + z) dy + (x + z) dz, längs skärningskurvan mellan ytan z = x x 2 + 2y och planet z = x + y från ( 1,1,0) till (1,1,2). A Visa att vektorfältet F = (2xy, x 2 + 2yz, y 2 2z) har en potential och bestäm denna. Beräkna därefter linjeintegralen Γ F. dr då Γ är kurvan (x,y,z) = (cos t, sin t, t) från (1,0,0) till ( 1,0,π). A Bestäm konstanten a så att vektorfältet F = (y + 2z, x + 2z, ax + 2y) får en potential U och bestäm denna. Beräkna därefter linjeintegralen grad U. dr, tagen längs skruvlinjen r = (cos t, sin t, 3t) från (1,0,0) Γ till (1,0,6π). A Bestäm konstanterna a, b och c så att vektorfältet F = (5x a 1 y b, 4x a y 3 + cy 2 z b, by c z 3 ) får en potential (a 0, b 0, c 0). Bestäm därefter en potential till F och använd denna till att beräkna linjeintegralen F. dr, där Γ är Γ räta linjen från (0,1,1) till (1,2,0). B Beräkna linjeintegralen Γ grad f. dr, där f(x,y,z) = ln r, r = (x,y,z) och Γ är den räta linjen från (1,0,0) till (0,1,3). B Beräkna linjeintegralen Γ sin y dx + (x cos y + z 2 ) dy + 2yz dz, där Γ är den räta linjen från (1,0, 1) till ( 1,π/2,2). B Beräkna linjeintegralen Γ xz dx + y 2 dy + (xy + y 3 z) dz, där Γ är randen till halvcirkelskivan y 2 + z 2 1, z 0, x = 0 med omloppsriktningen från (0,1,0) till (0,0,1), därefter till (0, 1,0) och åter till (0,1,0). 6

7 B Beräkna linjeintegralen Γ grad f. dr, där f(x,y,z) = (x + 2) ln y + 3 z +4 och Γ är den orienterade kurvan sammansatt av räta linjen från (0,1,0) till (1,1,2) och räta linjen från (1,1,2) till (1,0,0). 7

8 Ledningar till uppgifterna a. (P,Q) = (3x 2 y + y 2, x 3 + 2xy). Verifiera att P ý = Q x. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 3 på sid 885. b. (P,Q) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy). Verifiera att P ý Q x. Detta medför att F ej är konservativt. Någon potential till F finns inte. c. (P,Q) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x). Verifiera att P ý = Q x. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 3 på sid 885. d. (P,Q,R) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xy + x, 2z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Detta medför att F kan vara konservativt. En potential U (om den finns) fås ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. e. Låt (P,Q,R) = (3x 2 y + y 2 + y, x 3 + 2xyz + x, 2z). Verifiera att sambandet R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 inte äger rum. Detta medför att F ej är konservativt. Någon potential till F finns inte a. Låt (P,Q) = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x). Verifiera att P ý = Q x. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 2 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q). Jämför med Example 4 på sid 886. b. (P,Q,R) = (2x + y, x + 2z, 2y 2z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 3 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 3 på sid Låt (P,Q,R) = (2xe y, cos z x 2 e y, y sin z). Verifiera att R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Eftersom F och dess derivator är kontinuerliga i det enkla sammanhängande område R 3 så har F en potential U (jämför Remark på sid 902). U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. Man får oändlig många sådana funktioner. Bestäm U så att U(1,0,π) = Låt (P,Q,R) = (x + ay + 3z, 2x + 4y + bz, cx 6y + 3z). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta a, b och c. Sätt in de erhållna värdena på a, b och c i F uttrycket. Sök en funktion U(x,y,z) sådan att grad U = F. Jämför med Example 4 på sid

9 1705 Låt (P,Q,R) = a. r r 5 r + 1 r 3 b. Vektorn a fås ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Potentialfunktionen U fås ur grad U = F. Jämför med Example 4 på sid Parametrisera y = x 2 : x = t, y = t 2, t från 0 till 1. Man får dx = dt, dy = 2tdt och yx dx + x 2 dy = (t 2. t dt + t 2. 2t dt) =. Γ Parametrisera enhetscirkeln: x = cos t, y = sin t, t från 0 till π/ Parametrisera y = 2x: x = t, y = 2t, t från 1 till Parametrisera y 2 = x 3 : y = t 3, x = t 2, t från 0 till 1. Eller: Observera att (x + y, x + y) = grad 1 2 (x + y)2 fältet i integranden är konservativt med U(x,y) = 1 2 (x2 + y 2 ) som en potentialfunktion. Integralens värde är U(1,1) U(0,0) Parametrisera y = x 2 : x = t, y = t 2, t från 0 till 1. Eller: Verifiera att x (2xy 1 y2 ) = y (y2 + 1 x 2 ) en annan väg får väljas. Byt till axelparallell väg: Om A = sträckan från (0,0) till (1,0) och B = sträckan från (1,0) till (1,1), så är Γ = Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x + y = 0 består av singulära punkter som inte får passeras Dela upp i två linjeintegraler (längs parabeln resp linjen). Parametrisera. Eller: Använd Greens formel. = x (x4 + y 2 ) y (x4 y 2 ) dxdy, D begränsas av y = x 2, y = 1. Γ D Greens formel. 9

10 1714. Greens formel Parametrisera: x = a cos t, y = bsin t, t från 0 till 2π, eller använd Greens formel Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x + y = 0 består av singulära punkter. Integrera längs sträckan från (1,0) till (0,1) eller sök en potential Konservativt kraft. Byt väg. Linjen x y = 0 består av singulära punkter. Integrera längs sträckan från (0,1) till (2,5) eller sök en potential Parametrisera eller slut kurvan med linjen y = x och använd Greens formel: Om L är sträckan från (1,1) till (0,0), så är = = ( yx 2 ) xy2 dxdy x y Γ Γ + L L D L där D begränsas av Γ och L Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på hyperbeln xy = 1. Integrera längs sträckan från (0,0) till (0,1) Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på parabeln y = x 2. Integrera längs parabeln y = 1 x 2 från ( 1,0) till (1,0) Konservativt kraft. Byt väg. Singulära punkter på linjen x + y = 0. Integrera längs linjen x + y = 1 från (1,0) till (0,1) Använd Greens formel Använd Greens formel Slut kurvan och använd Greens formel: Om A är sträckan från (1,0) till (2,0) och B sträckan från (2,0) till (2,2), så är Γ = Γ + A + B A + B = D A B där D begränsas av Γ, A och B I ej beror av Γ Q x = P y vilket ger a och b. Välj sedan väg. 10

11 1726. Använd Greens formel. Variabelbyte i integralen: u = x + y v = x y Dela upp: Γ = Γ y cos xy dx + x cos xy dy + Γ y 2 dx. Fältet (y cos xy, x cos xy) är konservativt man får välja någon annan väg. T ex axelparallell. Den andra integralen: parametrisera Γ = Γ x dy y dx x 2 + y 2 Γ y dx. I den första integralen kan vägen bytas Parametrisera Γ, till exempel: x = t och y = 1 t. Mot (1,1) svarar då t = 1. Låt t o svara mot P, integrera från 1 till t o Parametrisera x = t, y = b a t. Beräkna integralen Dela upp i två kurvor: y = 2 + x 2, y = 4 x Använd Greens formel. Man får (2x 2 + y 2 4) dxdy. Minsta värdet fås om D integranden är 0 på hela D Γ ges av 2x 2 + y 2 = Använd Greens formel. Substituera: u = x y, v = x + y Jämför med Γ är ellipsen 4x 2 + 9y 2 = Om Γ är den givna kurvan, betrakta Γ 1 : kvartscirkeln x 2 + y 2 = 1, x 0, y 0 och kurvan Γ 2 = Γ + Γ 1. Integrera längs Γ 2 med hjälp av Greens formel. Parametrisera Γ 1. Subtrahera de erhållna värdena. 11

12 1736. Om A och B är sträckor från origo till Γ n :s ändpunkter, integrera längs Γ n + A + B. Använd Greens formel. Området approximeras med två kvadrater Integrera över ellipsen x y (y 1)2 = Om x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 är Γ:s parameterframställning: Γ = t1 P dx + Q dy = t 2 P 2 + Q 2. t 2 t 2 (P,Q). (ẋ,ẏ) dt (P,Q). (ẋ,ẏ) dt = t 1 t. x 2 + ẏ2 dt 2 M t1 t 1. x 2 + ẏ2 dt = ML x = t 2, y = 2t 3, z = t dx = 2t dt, dy = 6t 2 dt, dz = dt. Mot punkterna (0,0,0) och (1,2,1) svarar t = 0 resp t = 1. Detta insatt i integraluttrycket ger 1 0 (4t 3 + 6t 5 ) dt x = t cos t, y = t sin t, z = t dx = (cos t t sin t) dt, dy = (sin t + t cos t) dt, dz = dt. Mot punkterna (0,0,0) och ( π,0,π) svarar t = 0 resp t = π. Detta sätts in i integraluttrycket Skärningskurvan satisfierar ekvationssystemet z = x x 2 + 2y, z = x + y skärningskurvan satisfierar ekvationen x x 2 + 2y = x + y, dvs y = x 2. Genom att sätta x = t får man kurvans parameterframställning: x = t, y = t 2, z = t + t 2, där mot punkterna ( 1,1,0) och (1,1,2) svarar t = 1 resp t = Potentialfunktionen U fås ur grad U = F. Linjeintegralen = U( 1,0,π) U(1,0,0) Vi har (P,Q,R) = (y + 2z, x + 2z, ax + 2y). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man det sökta a värdet vilket sätts in i F uttrycket. U fås då ur grad U = (P,Q,R). Jämför med Example 4 på sid 886. Linjeintegralen = U(1,0,6π) U(1,0,0). 12

13 1744. Vi har (P,Q,R) = (5x a 1 y b, 4x a y 3 + cy 2 z b, by c z 3 ). Ur R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0 får man ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta a, b och c. Sätt in de erhållna värdena på a, b och c i F uttrycket. Sök en funktion U(x,y,z) sådan att grad U = F. Jämför med Example 4 på sid 886. Linjeintegralen = U(1,2,0) U(0,1,1) Observera att U = ln x 2 + y 2 + z 2 är en potentialfunktion till grad f. Linjeintegralen = U(0,1,3) U(1,0,0) Bestäm en potentialfunktion till vektorfältet (sin y, x cos y + z 2, 2yz). Man får U = x sin y + yz 2. Linjeintegralen = U( 1,π/2,2) U(1,0, 1) Dela upp Γ i två delkurvor: Γ 1 = halvcirkeln, Γ 2 = sträckan mellan (0, 1,0) och (0,1,0). Man har Γ = Γ1 + Γ2. Parametrisera Γ 1 : x = 0, y = cos t, z = sin t, t från 0 till π. Man får Γ 1 (xz, y 2, xy + y 3 z). d(x,y,z) = Γ π = 0 π (cos 2 t, cos 3 t sin t). d(cos t, sin t) = 0 (y 2, y 3 z). d(y,z) = π (cos 2 t, cos 3 t sin t). ( sin t, cos t) dt = = ( sin t cos 2 t + cos 4 t sin t) dt. 0 Parametrisera Γ 2 : x = 0, y = t, z = 0, t från 1 till 1. Man får Γ 2 (xz, y 2, xy + y 3 z). d(x,y,z) = Γ 2 (y 2, y 3 z). d(y,z) = 1 1 (t 2, 0). d(t, 0) = 1 1 t 2 dt För (P,Q,R) = grad f har man R ý Q ź = P ź R x = Q x P ý = 0. Detta medför att vektorfältet grad f är konservativt i det enkla sammanhängande området y + 3 > 0, z + 4 > 0 (jämför Remark på sid 902). En annan integrationsväg får väljas där. Välj (t.ex) Γ 1 = sträckan från (0,1,0) till (0,0,0) och Γ 1 = sträckan från (0,0,0) till (1,0,0). Man har Γ = Γ1 + Γ2. 13

14 Svar till uppgifterna a. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2. b. Ej konservativt. c. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2 + xy. d. Konservativt. Potential U = x 3 y + xy 2 + xy + z 2. e. Ej konservativt a. U = x 3 y 2 + xy + C. b. U = x 2 + xy + 2yz z 2 + C U = x 2 e y y cos z a = 2, b = 6 och c = 3. Potential U = x2 2 2xy + 3xz + 2y2 6yz z2 + C a = 3b. Potentialen U = b. r r 3 + C π

15 π 4 ab(a2 b 2 ) ln π a = 5, b = 4 och I = π , Lokalt minimum i (1,1) [ 4π 2, [

16 1734. Ellipsen 4x 2 + 9y 2 = 36; 108π π π s π / U = x 2 y + y 2 z z 2 + C; π a = 2. Potentialen U = xy + 2yz + 2xz + C. Integralen = 12π a = 5, b = 4 och c = 3. Potentialen U = x 5 y 4 + y 3 z 4 + C. Integralen = ln π ln

17 17