SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transkript

1 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning i vilken riktningsderivatan av f i punkten, antar värdet 5? p Lösning. a Riktningsderivatan ges av f v f v, där v. Vi har v 4, 3 och 5 f y, y. y I punkten, är f, 4 vilket medför att f v, 4 4, b Låt α vara vinkeln mellan f och v, så att Eftersom cos α får vi f v f v f cos α. f f v f. I punkten, är f 7. Eftersom 5 < 7 antas inte värdet 5 för någon riktning.

2 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Visa att, är en stationär punkt till funktionen f, y y + y + och avgör dess typ. 4 p Lösning. Vi beräknar de partiella derivatorna f f 4y + 4, y y +. Genom insättning ser vi att f f,, y vilket visar att, är en stationär punkt. För att avgöra vilken typ av stationär punkt det är betraktar vi den kvadratiska formen Qh, h f a, bh + f y a, bh h + f y a, bh i punkten a, b,. Vi har att f 4y + 4, f y 4, så f f,,, 4, y en kvadratiska formen Q blir alltså vilket vi kvadratkompletterar till Qh, h 8h h + h, f y, Qh, h h + h 8h. f,. y etta är en indefinit kvadratisk form, och vi drar slutsatsen att punkten, är en sadelpunkt.

3 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna volymen av det område som är under paraboloiden z y och ovanför det område i y-planet som bestäms av olikheterna y 3. 4 p Lösning. Paraboloiden skär y-planet då z, skärningskurvan är alltså cirkeln + y. Volymen ges av V + y ddy är är den cirkelsektor i högra halvplanet som begränsas av linjerna y och y 3 samt cirkeln + y. Låt α vara vinkeln mellan -aeln och linjen y 3. å gäller att tan α 3 så α π/3. Vinkeln mellan -aeln och linjen y är π/4. Med polära koordinater r och φ får vi π/3 V r r dr dφ π/4 π 3 π 4 [ r r4 4 ] 7π 4 7π 48.

4 4 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL B 4. a Formulera Greens formel. Ange alla förutsättningar. p b Använd Greens formel för att beräkna linjeintegralen y d + + y dy γ där γ är den kurva som sammansätts av parabeln y från punkten, till punkten, och den räta linjen därifrån tillbaka till punkten,. 3 p Lösning. a Se kursboken sidan 335. b Vi har + y, y y. y Greens formel ger alltså att y d + + y dy + y ddy γ där är området i y-planet som beskrivs av, y. På grund av symmetri är ddy, så vi får att y d + + y dy y ddy γ y dy d [y ] d [ d ] 8 5.

5 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Bestäm det största och minsta värde som funktionen f, y y antar i det område som ges av + y 3. 4 p Lösning. Eftersom funktionen f är ett polynom är den kontinuerligt deriverbar och eftersom dessutom området är kompakt slutet och begränsat vet vi att största och minsta värde antas i en av följande punkter: a inre stationära punkter, b randpunkter som uppfyller Lagrangevillkoret, c singulära randpunkter. Vi undersöker dessa tre fall. a I en stationär punkt är f y,,. Vi ser att detta bara inträffar då, y,, vilket är en punkt på randen och inte i det inre till området. b e två randcirklarna till området kan skrivas som g, y + y, resp. g, y + y 3, och Lagrangevillkoret är uppfyllt i punkter där f är parallell med g resp. g. etta kan vi uttrycka med villkoret f det g i y det y yy y y. På den inre randcirkeln har vi y. etta insatt i Lagrangevillkoret y y ger y y y y y vilket har lösningarna y / och y. Vi får alltså tre punkter ± 3/, /,, på den inre randcirkeln. På den yttre randcirkeln är 3 y, och detta ger y 3 y y y y 3. Vi hittar lösningarna y och y 3/ vilket ger fyra punkter ±,, ± 3/, 3/. c En punkt på randkurvan g är en singulär punkt om g i. Eftersom g i, y ser vi att detta bara inträffar i origo, som inte ligger på randen.

6 6 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Funktionen antar alltså sitt största och minsta värde i någon av punkterna ± 3/,,,, ±,, ± 3/, 3/. Eftersom f± 3/, / 3 3/4 f,, f±,, f± 3/, 3/ ± 3/4 så drar vi slutsatsen att största värde är och antas i punkten,, minsta värde är och antas i punkten,.

7 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna flödet av vektorfältet F y,, z ned genom konytan som beskrivs av z + y, z. 4 p Lösning. Alternativ : Vi parametriserar konytan genom z f, y + y där, y ligger i cirkelskivan + y. å är ˆN ds ± f, f y, ddy ± + y, y + y, ddy där tecknet ± bestäms av ytans orientering. Eftersom vi ska beräkna flödet ner genom ytan ska vi ha en normalvektor med negativ z-komponent, så vi väljer alltså ˆN ds + y, y + y, ddy + y, y + y, ddy. I parametriseringen blir vektorfältet F y,, z y,, + y och F ˆN ds y,, + y + y, y + y, ddy y + y + y + y y ddy + y ddy. Vi får alltså att flödet är F ˆN ds S { +y } π π π. 4 + y ddy r 3 dr dφ dφ Alternativ : Vi vill beräkna flödet genom att använda divergenssatsen och slutar därför till konytan S genom att lägga till cirkelskivan S som beskrivs av + y, z. ivergensen av vektorfältet F är div F y + y + z + + z z. z

8 8 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen ivergenssatsen ger att F ˆN ds div F ddydz z ddydz S+S K K där K är det inneslutna området. Volymsintegralen blir z ddydz z dz ddy y ddy +y K där är områdets projektion på cirkelskivan, dvs. cirkelskivan + y koordinater blir denna integral π r r dr dφ π 4 π. Vi beräknar nu flödet genom ytan S där ˆN,,. etta flöde ges av F ˆN ds y,,,, ds ds π. S S S Slutligen får vi F ˆN ds div F ddydz F ˆN ds π S K S π π.. I polära

9 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen EL C 7. Betrakta ekvationen y + y 3 i området, y >. Visa att i en omgivning av punkten, så definierar denna ekvation y som en funktion av, alltså y f. Beräkna också f. 4 p Lösning. Sätt F, y y + y. å är F, 3 så, uppfyller ekvationen och F är en C -funktion i en omgivning av,. Vidare är F y e y ln + y ln e y ln + ln y + y så F y, ln +. Implicita funktionssatsen säger oss nu att det finns en öppen omgivning U av, där sambandet F, y y + y 3 definierar y som en funktion av, y f, där f är en C -funktion. erivering av identiteten f + f e f ln + f 3 ger f ln + f f + f Sätter vi in och f får vi f + f f + f f + + f + f. Alltså är f.

10 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Halvklotet K: + y + z R, z, där R är given har masstätheten ρ c z ρ, y, z + c + y + z 3/ där ρ kg/m 3 och c m är fysikaliska konstanter, y, z i m. Ge en formel för halvklotets massa. 4 p Lösning. Klotets massa ges av integralen ρ c z M ρ, y, z ddydz ddydz. K K + c + y + z 3/ För att beräkna denna byter vi till rymdpolära koordinater. å är z r cos θ, +y +z r, φ π, θ π/, r R, och Jacobianen är r sin θ. Vi får π π/ R ρ c r cos θ M + c r 3/ r sin θ dr dθ dφ π/ R r 3 πρ c cos θ sin θ dθ dr. + c r 3/ Här är π/ cos θ sin θ dθ π/ sin θ dθ [ ] π/ cos θ. Variabelbytet + c r t ger r c t och rdr c dt, så R Tillsammans har vi r 3 dr + c r 3/ M πρ c πρ c 3 +c R c c 4 +c R t t 3/ c dt t / t 3/ ] +c R [ t / c 4 / t / / [ t / + t /] +c R c 4 c 4 + c R + c 4 dt + c R. + c R + + c R + c R + + c R.

11 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Svaret kan skrivas om till M πρ c + c c R 4 πρ R c + c R + c R + c R +. R c + c R

12 SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna dubbelintegralen y + y ddy där är det område i första kvadranten i y-planet som begränsas av kurvorna y, y 4, y, y 3. Lösning. För att få ett enklare integrationsområde gör vi variabelbytet u y, v y. å motsvaras området i y-planet av rektangeln u 4, v 3 i uv-planet. För att göra variabelbyte i integralen beräknar vi u, v y, y det y + y, så att, y u, v u, v, y + y, och ddy, y u, v dudv + y dudv. Integralen blir alltså y + y ddy E y + y + y dudv + y E y + y dudv E v dudv 3 4 v du dv 3 3 v dv 4 p 3 ln 3.