Tentamen: Lösningsförslag

Transkript

1 Tentamen: Löningförlag Fredag 8 juni 8 8:-3: SF74 Flervariabelanaly Inga hjälpmedel är tillåtna Ma: 4 poäng (4 poäng Rita följande mängder i R : (a A {(, y R ma(, y } (b B {(, y R + y 4 4 4y y } (c C {(, y R < } (d {(, y R y } Svar: 4 A B C (4 poäng Antag att funktionen z z(, y är implicit definierad nära punkten (, y, z (3,, genom ekvationen F (, y, z z yz Beräkna z (3, och z y(3, Löning: Vi har F (z, z, z y och ålede F (3,, (,, 4 Implicit derivering ger nu z F (3,, (3,, 4, z y F y (3,, (3,, F z F z

2 Alternativ löning: Om vi löer ut z från z yz z y± +y Villkoret att z(3, ger att z(, y y+ +y för (, y nära (3, Vanlig derivering ger nu de ökta partiella derivatorna Svar: z (3, /4 och z y(3, / 3 (4 poäng Betäm det törta och det minta värdet om funktionen antar i området y f(, y (y e y Löning: Låt vara området betämt av y Stationära punkter betäm av ekvationytemet { f ((y e y, f y ( y + e y en andra ekvationen ger y + och efter inättning i den förta ekvationen Alltå är (/, 3/ den enda tationära punkten och den ligger inte i et följer att ma och min värdena anta på randen av Randen av betår av kurvorna : y,, och : y, På är f identikt lika med noll På har vi f(, ( 4 å ma värdet är min värdet är 4 et följer att ma och min värdena på hela ockå är repektive 4 Svar: Störta värdet är och minta värdet är 4 4 (4 poäng Beräkna integralen 3 yd + co(ydy där kurvan ge av : (t, t, t π Löning: Användning av parametrieringen ((t, y(t (t, t, t π, ger π ( 3 yd + co(ydy 3 y d dy + co(y dt dt dt π ( t 7/ + co t dt Svar: π9/ 9 [ t 9/ 9 + in t ] π π9/ 9 5 (4 poäng Temperaturen i en punkt (, y, z i rummet ge av funktionen T (, y, z z y

3 Värmeflödet bekriv av vektorfältet v k T, där k > är en kontant Betäm takten med vilken värme flödar genom ytan Σ, dv betäm värdet av dubbelintegralen v ds, där Σ är ytan i R 3 om ge i cylindrika koordinater (r, ϕ, z av Σ Σ : r, ϕ π, z ϕ, orienterad å att normalen har poitiv z-koordinat Löning: Ytan Σ har parametrieringen (, y, z r(r, ϕ (r co ϕ, r in ϕ, ϕ, r, ϕ π, där vi använder (r, ϕ om parametrar r r (co ϕ, in ϕ,, r ϕ ( r in ϕ, r co ϕ,, ds (r r r ϕdrdϕ (in ϕ, co ϕ, rdrdϕ Å andra idan är v k T k( y,, z å etta ger Σ Svar: kπ v(r(r, ϕ v(r co ϕ, r in ϕ, ϕ k(r in ϕ, r co ϕ, ϕ v ds π π k(r in ϕ, r co ϕ, ϕ (in ϕ, co ϕ, rdrdϕ k (r in ϕ r co ϕ ϕrdrdϕ ( ( π k rdr (in ϕ co ϕ ϕdϕ k ( π (co(ϕ + ϕdϕ k [ ] in(ϕ π + ϕ kπ (4 poäng Beräkna för > derivatan av funktionen F ( / in( d Löning: etta är uppgift 54 i övningboken Integranden in(/ är C för > och > För > kan vi därför derivera under integraltecknet vilket ger F ( in( in( d / d + in( d 3 /

4 in( + in( + co(d / / [ in( co(d efter förenkling F ( in( Svar: F ( in( ] / in( in(, 7 (4 poäng Beräkna ( + yd där R är det begränade området mellan linjen y och kurvan y Löning: Vi har där och och ( + yd : r (t (t, t, t, : r (t (t, t, t ( + yd (t + t r (t dt t (, t dt t [ ( + 4t + 4t 3/ dt (t + t r (t dt ] 53/ (t + t (, dt (t + tdt [ t + t3/ 3 ( + 7 3, ] ( + ( yd ( + yd 53/ 7 Svar: 53/ 7 8 (4 poäng E är ellipoiden E : a + y b + z c med utåtriktad normalvektor och F är fältet (,, y Beräkna ( F NdS 4

5 över (a övre halvan av E, Löning: etta är uppgift 58 i övningboken Låt vara ellipen i y-planet orienterad motur Stoke at ger ( F NdS F dr E {z } a + y b Med hjälp av parametrieringen r(t (a co t, b in t,, t π, av erhåller vi π F dr (, a co t, b in t ( a in t, b co t, dt Svar: πab (b undre halvan av E, π ab Löning: Stoke at ger ( a in t + ab co tdt π [ t ab + in(t 4 E {z } π co (tdt ab ] π πab + co(t dt ( F NdS F dr πab, där vi har använt räkningen från (a i andra teget Svar: πab (c hela E, Löning: Summering av varen från (a och (b ger ( ( F NdS Svar: E + E {z } πab πab (d hela E med hjälp av divergenaten E {z } ( F NdS Löning: ( F (,,, å ger divergenaten ( F NdS ( Fddydz E a + y b + z c Svar: 5

6 9 (4 poäng Låt R vara triangeln med hörn i (,, (, och (, Är den generalierade integralen ddy y konvergent? Betäm i å fall de värde Löning: Vi har där är triangeln med hörn i (,, (,, (/, / och är triangeln med hörn i (,, (,, (/, / et följer att ddy ddy + ddy y y y y ddy : y /, y y, / y / y y ddy / [ y ] y y dy [ ydy 3 ] / ( y3/ 3 Av ymmetrikäl följer att dubbelintegralen y ddy ockå är lika med /3; alternativt kan dubbelintegralen över beräkna direkt med hjälp av parametrieringen : /, y et följer att Svar: 4/3 ddy är konvergent och har värdet 4/3 y (4 poäng Betäm arean av den ellip om cylindern + y kär ut ur planet + 3y + z Löning: Ekvationen + y, dv ( + y, bekriver en cirkel med radie centrerad i (, Så om vi låter beteckna diken ( + y i y-planet, å har ellipkivan E var area vi öker parametrieringen E : r(, y (, y, 3y, (, y r (,, /3, r y (,, /, r r y (/3, /,, Alltå är Svar: 7π/ ds r r y ddy Area(E E ds ddy 7 ddy 7 ddy 7 Area( 7π