Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter med minst poäng av möjliga ger betyg /4/5 Länk till lösningsskiss finns efter tentamen på kursens hemsida Betrakta den parametriserade kurvan { x = t t y = t och funktionen fx, y = arctanx + y Hur snabbt ökar eller minskar f per längdenhet i kurvtangentens riktning i punkten,? I vilken riktning i denna punkt är förändringstakten maximal och hur stor är den då? Bestäm samtliga lokala maximi- och minimipunkter till fx, y, z = z y x z + ln y x Beräkna volymen av den kropp i R som begränsas av ytorna x + y + z = 6 och z = x + y 4 Bestäm de punkter P på kurvan x = y sådana att kurvans normallinje i P går genom punkten, 5 Beräkna där ges av x + y och x max, y xy dxdy, Beteckningen maxs, t betyder som bekant det största av talen s och t 6 Visa att ekvationssystemet z + sin xyz =, x y + xy + yz = implicit definierar C -funktioner x = fz och y = gz i en omgivning till punkten x, y, z =,, Ange också funktionsvärdena f och g samt derivatorna f och g 7 Bestäm för alla värden på parametern c största och minsta värdet, om de finns, av x + y + z då z x + y och x + cz =

2 Lösningsskisser till TATA4 Flervariabelanalys 5--7 Kurvan xt, yt = t t, t passerar punkten, då t t = och t =, dvs då t = Kurvans tangentvektor x t = t y t t är därför i den punkten lika med x = y Enhetsvektorn i denna riktning är v = 5, och gradienten av fx, y = arctanx + y är fx, y = +x +y x y, så den efterfrågade riktningsderivatan är f v, = v f, = = = 5 7 Riktningsderivatan är som störst i gradientens riktning alltså den riktning som ges av vektorn och dess maximala värde är f, = 7 = 7 Svar: Funktionen ökar med hastigheten 5/7 enheter per längdenhet när man går i kurvtangentens riktning en maximala förändringstakten är /7 och sker i riktningen Funktionen fx, y, z = z y x z x + ln y är definierad för x =, y >, z, och dess gradient är fx, y, z = z + x, z y + y, y + x z Stationära punkter ges av f =, dvs x = z, y = yz, xy = z en andra ekvationen säger eftersom y > att y = z, vilket insatt i den tredje ger xz = z Eftersom z så medför detta att x = z, och ur den första ekvationen får vi till slut z = Alltså är x, y, z =,, den enda stationära punkten för f Andraderivatorna i denna punkt är f xx = x =, f yy = z y y =, f zz = x z =, f xy =, f xz = z =, f yz = y =, så den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen f + h, + k, + l = f,, + h + k + l + Qh, k, l + Oh + k + l / blir Qh, k, l = h + k + l + hk + hl kl = k l + l + h + hl = k l + l + h + h etta visar enligt det vanliga resonemanget att Q är positivt definit och att f därmed har ett lokalt minimum i den aktuella punkten Svar: Funktionen saknar lokala maximipunkter, men,, är en lokal minimipunkt Paraboloiden z = x + y delar klotet x + y + z 6 i två delar, en del som ligger ovanför paraboloiden och en annan del E som ligger under Vi beräknar volymen av nedan Men vi godkänner även svar där man tolkat frågan som att det är volymen av E som söks Låt ρ = x + y som vanligt Sfären ρ + z = 6 och paraboloiden z = ρ skär varandra längs den cirkel som ges av z = och ρ = vilket man

3 ser genom att lösa ekvationen z + z = 6 där z = ρ Kroppen avgränsas alltså av ett tak som består av den del av sfären som ligger ovanför höjden z =, och ett golv som består av den del av paraboloiden som ligger under höjden z = Tvärsnitten z för fixt z [, 6] är cirkelskivor, vars areor πρ förstås är lätta att beräkna; man behöver bara ta hänsyn till att det blir olika beroende på om man snittar i taket där radien blir ρ = 6 z eller i golvet där radien blir ρ = z: 6 Volym = dxdydz = dxdy dz = z z dz 6 dz = π + π 6 z = π z dz + π 6 6 z dz = π Area z dz Alternativt kan man beräkna volymen genom att dela upp kroppen i stavar som löper i z-led från golvet till taket, ovanför kroppens projektion E i xyplanet, som är en cirkelskiva med radien enligt skärningsberäkningen vi gjorde i början Integrationen över E utförs lämpligen med hjälp av polära koordinater: 6 x y Volym = dxdydz = dz dxdy = = π Svar: π 6 E E z=x +y 6 x y x + y dxdy 6 ρ ρ ρ dρ = π 6 4 Kurvan x = y är en nivåkurva till Fx, y = x y, så dess normallinje N i punkten P = a, b har riktningsvektorn Fa, b = b Kravet för att linjen N ska gå genom punkten, är att dess riktningsvektor är parallell med den vektor som går mellan punkterna, och a, b, alltså att b är parallell med a b+ : a = det = b + + ba = ab b + b b + Insättning av villkoret a = b punkten a, b ska ju ligga på kurvan ger en tredjegradsekvation där det är lätt att gissa en av rötterna nämligen b = : = b b + = b b + b e andra två rötterna blir därmed b = ± Kvadrering av de funna värdena för b ger motsvarande värden för a Svar: Punkterna är,,, + + och,

4 Anm: Man kan enkelt kontrollera att svaret är rimligt med hjälp av närmevärdet,7 och följande figur: y, P =, +,5,,5 P x, P = +,,85,,5 P x = y 5 Linjerna y = och y = x delar in halvcirkelskivan = {x, y R : x + y, x } i tre delar, = {x, y : y }, = {x, y : < y < x}, = {x, y : x y}, där y xy = yy x om x, y eller x, y, medan y xy < om x, y Alltså får vi, med hjälp av polära koordinater, max, y xy dxdy = y xy dxdy + dxdy + y xy dxdy = ρ sin ϕ ρ cos ϕ sin ϕρ dρ dϕ ϕ= π/ ρ= π/ + + ρ sin ϕ ρ cos ϕ sin ϕρ dρ dϕ ρ= = 4 ϕ=π/4 π/sin ϕ cos ϕ sin ϕdϕ + 4 En primitiv funktion till är π/ π/4 sin ϕ cos ϕ sin ϕdϕ gϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ cos ϕ sin ϕ så integralens värde blir [ Gϕ 4 ] π/ + 4 Svar: 8 + π Gϕ = ϕ 4 sin ϕ sin ϕ, [ Gϕ = π π/ π 4 4 π ] π/

5 6 Sätt Fx, y, z = z + sin xyz och Gx, y, z = x y + xy + yz å är F och G funktioner av klass C eftersom de är bildade genom sammansättning av elementära funktioner, punkten x, y, z =,, uppfyller ekvationssystemet Fx, y, z =, Gx, y, z =, och determinanten F det x F y yz cos xyz xz cos xyz G x G = det y x y + y x y + x + z har i punkten,, värdet det = Förutsättningarna för implicita funktionssatsen är alltså uppfyllda, och den säger att ekvationssystemet F =, G = implicit definierar funktioner x = fz och y = gz i en omgivning av punkten,,, vilket skulle visas Per definition är f = och g =, och implicit derivering av identiteterna F =, G = ger yz cos xyz xz cos xyz dx/dz + xy cos xyz x y + y x + = y + x + z dy/dz y där x = fz och y = gz Insättning av z = ger f g + =, alltså f = / och g =, Svar: Bevis enligt ovan e efterfrågade värdena är f =, g =, f = /, g = 7 Målfunktionen fx, y, z = x + y + z är avståndet i kvadrat från x, y, z till origo, alltså en kontinuerlig funktion Låt M c för c vara den mängd i R som bestäms av bivillkoren gx, y, z = x + y z och hx, y, z = x + cz = ; M c är sluten, men det är inte säkert att den är begränsad { g h = { c z + cz y + x = cz När c ser vi, för givet y R, att är uppfylld för alla tillräckligt stora positiva z, och insättning i ger tillhörande x; M c är alltså en obegränsad mängd fx, y, z z och kan därför bli hur stor som helst på M c, så f max existerar inte äremot existerar f min eftersom skärningen mellan M c och ett tillräckligt stort klot x + y + z R är en icketom kompakt mängd K och f är stor på M c \ K När c > är y + c z c c c, 4

6 en ellipsskiva i variablerna y och z, och därmed är dessa variabler begränsade i M c ; från ser vi sedan att även x är begränsad i M c, som är alltså är en begränsad mängd M c är således kompakt, och därför existerar både f max och f min e punkter där minsta och, om c >, största värde antas fås nu med sedvanlig kandidatjakt Gradienter: f = x, y, z, g = x, y, z och h =,, c Kandidater i ytan g <, h = finns där f h, alltså där y = och z = cx Bivillkoret g < kan nu skrivas c x <, och är uppfyllt precis då c > och x = Endast när c > får vi därför en kandidat, nämligen f c +,, c c + = /c + Kandidater på kurvan g =, h = finns där { f, g, h} är linjärt beroende, dvs där x y z = x y z c = 4z x y z c = 8yz, alltså y = eller z = Fallet z = insatt i g = ger x = = y, men h,, = Fallet y = insatt i g = ger x = ±z, och delfallet x = z insatt i h = ger kandidaten f c+,, c+ = /c+ medan delfallet x = z insatt i h = ger kandidaten f c,, c = /c om c = ; notera att /c + /c när c och c Notera slutligen att /c+ /c + = c / c+ c + > när c > Svar: Om c : max saknas, min = /c + Om c > : max = /c, min = /c + 5