Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
|
|
- Lars-Olof Hansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys 5 hp, för STS Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 6, 14/4 010: Vi fortsatte med ett par exempel, där kedjeregeln används för att transformera en differentialekvation till nya variabler, så att den går att lösa. En teknik med användande av differentialoperatorer kan därvid göra jobbet enklare. Vi tittade lite på detta. Avslutningsvis började vi undersöka nablaoperatorn och gradientvektorn till en funktion. Detta studium (av gradientvektorer är förmodligen det viktigaste vi gör i denna kurs. Exempel. Differentialekvationen x z x y z x y = x3 y ( har lösningar på formen z = g(x y. Bestäm alla sådana lösningar. Lösning. Antag att z = g(t, där t = x y, är en lösning. Med kedjeregeln får vi då z x = g (t t x = g (t (xy = (xy g (t, z xx = (z x x = ((xy g (t x = (y g (t + (xy g (t(xy = = (4x y g (t + (y g (t, z xy = (z x y = ((xy g (t y = (x g (t + (xy g (t(x = = (x 3 y g (t + (x g (t. Vi stoppar in dessa uttryck i ( och får Alltså gäller x 3 y = x z xx y z xy = = x ((4x y g (t + (y g (t y ((x 3 y g (t + (x g (t = = xy g (t. g (t = x3 y xy = 1 x y = t. Denna enkla differentialekvation har lösningen ( g(t = t dt = C t 4 Motsvarande lösningar till ( är z = f (x, y = C x4 y 4. 1
2 Lös differentialekvationen x z x + xy z x y + y z y = x y 1, x, y > 0 ( genom att transformera den till de nya variablerna u = x, v = x y 1. Lösning. Av u = x, v = x y 1 följer att x = u, y = u v 1, så variabelbytet innebär en inverterbar avbildning av första kvadranten (x, y > 0 i xy-planet på första kvadranten (u, v > 0 i uv-planet. Mot varje hygglig funktion f (x, y svarar alltså en unik hygglig funktion g(u, v, sådan att f (x, y = g(x, x y 1 och g(u, v = f (u, u v 1. Kedjeregeln ger f x = g u u x + g v v x = g u + y 1 g v, f y = g u u y + g v v y = x y g v. Här kunde vi nu fortsätta med andraderivatorna f xx, f xy, f yy, men det lämnas åt läsaren. I stället tar vi upp något om differentialoperatorer (i två variabler. De två grundläggande differentialoperatorerna är D x och D y (om de båda oberoende variablerna betecknas med x och y som står för derivering med avseende på x respektive y, alltså D x f = f x D y f = f y för en godtycklig deriverbar funktion f (x, y. En allmän första ordningens operator A fås som A = ϕ(x, y D x + ψ(x, y D y, där ϕ, ψ är hyggliga funktioner (vilket betyder att de har så många kontinuerliga derivator som behövs. Operatorn appliceras på en funktion f (x, y enligt A f = ϕ(x, y f x (x, y + ψ(x, y f y (x, y Låt B = g(x, yd x + h(x, yd y vara en annan första ordningens operator. Summan A + B och produkten AB av dessa båda operatorer definieras då genom respektive (A + B f = A f + B f = ϕ f x + ψ f y + g f x + h f y = (AB f = A(B f = A(g f x + h f y = (ϕ + g f x + (ψ + h f y = ϕ (g f x + h f y x + ψ (g f x + h f y y = ϕ (g x f x + g f xx + h x f y + h f yx + ψ (g y f x + g f xy + h y f y + h f yy = (ϕ g x + ψ g y f x + (ϕ h x + ψ h y f y + ϕg f xx + (ϕ h + ψ g f xy + ψh f yy
3 där f (x, y är en hygglig funktion. Formeln för produkten av två första ordningens differentialoperatorer är därför där och (ϕ D x + ψ D y (g D x + h D y = I + II, I = (ϕ g x + ψ g y D x + (ϕ h x + ψ h y D y II = ϕg D x + (ϕ h + ψ g D x D y + ψh D y Uttrycket II är vad vi får om vi behandlar alla termerna i produkten (ϕ D x + ψ D y (g D x + h D y som tal, vilket ju framför allt D x och D y inte är. Vi måste därför addera uttrycket I för att få en korrekt identitet. I specialfallet då B = A får vi (ϕ D x + ψ D y = (ϕ ϕ x + ψ ϕ y D x + (ϕ ψ x + ψ ψ y D y + ϕ D x + ϕ ψ D x D y + ψ D y Högerledet är här det som fås med första kvadreringregeln tillämpad på (ϕ D x + ψ D y plus den korrigeringsterm I = (ϕ ϕ x + ψ ϕ y D x + (ϕ ψ x + ψ ψ y D y som behövs för att det är operatorer, inte tal, vi sysslar med. Man ska inte lära sig de här formlerna utantill. Det enda man behöver komma i håg är reglerna D x D y = D y D x, D x (g D x = g x D x + g D x, D x (g D y = g x D y + g D x D y, D y (g D x = g y D x + g D x D y, D y (g D y = g y D y + g D y. Exempelvis har vi (x D x + y D y = (x D x + y D y (x D x + y D y = x (D x (xd x + D x (yd y + y (D y (xd x + D y (yd y = x (D x + xd x + yd x D y + y (xd y D x + D y + yd y = xd x + yd y + x D x + xy D x D y + y D y. Vi återvänder nu till differentialekvationen (. Genom att i denna sätta z = f (x, y och skriva derivatorna som multiplikation av f med differentialoperatorer (ex.vis f yy = D y f så blir ekvationen (x D x + xy D x D y + y D y f = x y 1 Men enligt ovan gäller att så ekvationen kan skrivas x D x + xy D x D y + y D y = (x D x + y D y (x D x + y D y Ovan fick vi med kedjeregeln att (x D x + y D y f (x D x + y D y f = x y 1 (# D x f = f x = g u + y 1 g v = g u + u 1 v g v = (D u + u 1 vd v g D y f = f y = x y g v = u 1 v g v = u 1 v D v g 3
4 för funktioner f (x, y, g(u, v som är relaterade enligt f (x, y = g(x, x y 1 och g(u, v = f (u, u v 1, svarande mot variabelbytet u = x, v = x y 1, x = u, y = u v 1. Vi har därför operatorsambanden D x = D u + u 1 v D v D y = u 1 v D v vilket ger x D x + y D y = u (D u + u 1 v D v + u v 1 ( u 1 v D v = u D u + v D v v D v = u D u I de nya variablerna kan därför ekvationen (# skrivas u v = (u D u g (u D u g = u D u (u D u g u D u g = u (1 D u + u Du g u D u g = u Dug = u g uu Den transformerade differentialekvationen är alltså g uu = u 1 v, som vi löser i två steg: g u = (u 1 vdu = v ln u + ϕ(v, g(u, v = (v ln u + ϕ(vdu = uv ln u uv + uϕ(v + ψ(v, där ϕ(v och ψ(v är två godtyckliga funktioner av v. Den andra termen uv kan här inkorporeras i den tredje termen uϕ(v, vilket ger förenklingen g(u, v = uv ln u + uϕ(v + ψ(v. Lösningen till ( ges av z = g(x, x y 1, alltså z = f (x, y = x y 1 ln x + x ϕ(x y 1 + ψ(x y 1, där ϕ(t och ψ(t är två godtyckliga (men hyggliga envariabelfunktioner. Föreläsning 7, 19/4 010: Nablaoperatorn eller gradientoperatorn i R är = i x + j y Applicerar vi denna operator på en funktion f (x, y så får vi vektorn f = i f x + j f y som kallas för gradienten, eller gradientvektorn, av funktionen f i punkten (x, y. Exempel. Låt f (x, y = x + y. Vi har då f = i f x + j f y = i(x + j(y = (x i + y j = r, 4
5 där r = x i + y j är lägesvektorn för en godtycklig punkt (x, y. En riktning är en vektor u = u 1 i + u j med längden 1, d.v.s u 1 + u funktion f (x, y i en punkt (a, b i riktningen u definieras som = 1. Derivatan av en f (a + u D u f (a, b = 1 t, b + u t f (a, b lim = g (0, t 0 t där g(t = f (a + u 1 t, b + u t. D u f (a, b mäter hur fort funktionen f (x, y växer då (x, y rör sig från (a, b i u-riktningen. Om f är C 1 (betyder att f x och f y är kontinuerliga så följer direkt ur kedjeregeln att Sätter vi här t = 0 så fås g (t = f x (a + u 1 t, b + u t u 1 + f y (a + u 1 t, b + u t u D u f (a, b = g (0 = f x (a, b u 1 + f y (a, b u = u f (a, b = f (a, b cos ϕ, ( där ϕ är vinkeln mellan vektorn u och gradientvektorn av f i (a, b (0 ϕ π. Av ( kan vi dra flera slutsatser För riktningsderivatan D u f (a, b gäller olikheterna f (a, b D u f (a, b f (a, b Den maximala riktningsderivatan D u f (a, b = f (a, b fås då ϕ = 0, d.v.s då u pekar i gradientvektorns riktning, alltså då u = f (a, b 1 f (a, b. Den minimala riktningsderivatan D u f (a, b = f (a, b fås då ϕ = π, d.v.s då u pekar motsatt gradientvektorns riktning, alltså då u = f (a, b 1 f (a, b. D u f (a, b = 0 om och endast om u är en tangentvektor till nivåkurvan till f, f (x, y = f (a, b, som går genom (a, b. Vi kallar denna nivåkurva för Γ. Tangentlinjen till Γ i (a, b har en ekvation f x (a, b(x a + f y (a, b(y b = 0. Normallinjen till Γ i (a, b har en ekvation (x, y = (a, b + t( f x (a, b, f y (a, b. Exempel. (forts. Låt f (x, y = x + y. Vi har då f (a, b = (a i + b j Gradientvektorn till f (x, y = x + y i (a, b pekar alltså rakt ut från origo. D u f (a, b = a u 1 + b u Då u = (a + b 1 (a i + b j fås det maximala värdet f (a, b = a + b på D u f (a, b. Då u = (a + b 1 (a i + b j fås det minimala värdet f (a, b = a + b på D u f (a, b. Nivåkurvan till f (x, y = x + y som går genom (a, b har ekvationen x + y = a + b, vilket är cirkeln kring origo med radien a + b. Tangentlinjen till cirkeln i (a, b har ekvationen 0 = a(x a + b(y b, vilket kan omskrivas till ax + by = a + b. Normallinjen till cirkeln i (a, b har ekvationen (x, y = (a, b + t(a, b. 5
6 Exempel. För en C 1 -funktion f (x, y gäller att f (1, 1 = 1, D u f (1, 1 = 8 5 och D v f (1, 1 = 1, där u = 1 (, 1 och v = 1 (1, (a I vilken riktning och med vilken hastighet avtar f (x, y snabbast i punkten (1, 1? (b Bestäm ekvationer för tangent- och normallinjerna till nivåkurvan f (x, y = 1 i punkten (1, 1. (c Bestäm en ekvation för tangentplanet och en ekvation för normallinjen till ytan z = f (x, y i punkten (1, 1, 1. (d Bestäm alla enhetsvektorer w sådana att D w f (1, 1 = 3. Bestäm för varje sådan vektor även vinkeln mellan w och gradientvektorn till f i punkten (1, 1. (e Ange flera enkla funktioner som har egenskaperna hos f ovan. Lösning. Antag att f (1, 1 = A i + B j. Vi har då 8 5 = u f (1, 1 = 1 5 (A B 1 5 = v f (1, 1 = 1 5 (A + B, vilket ger oss ekvationssystemet {A B = 8, A + B = 1}, med den unika lösningen A = 3, B =. Alltså gäller f (1, 1 = 3 i j. (a Snabbaste avtagandet sker i riktningen ( 3 i + j/ 13 med farten 13. (b En ekvation för tangentlinjen är 3(x 1 (y 1 = 0. En ekvation för normallinjen är (x, y = (1, 1 + t( 3,. (c En ekvation för tangentplanet är En ekvation för normallinjen är z = 1 + 3(x 1 (y 1 = 3x y (x, y, z = (1, 1, 1 + t(3,, 1. (d Antag att w = w 1 i + w j. Vi har då w 1 + w = 1 och 3w 1 w = 3. Av den andra ekvationen får vi w = 3 (w 1 + 1, vilket sätts in i den första ekvationen: 1 = w (w 1 + 1, 4 = 4w 1 + 9(w 1 + w 1 + 1, 13w w = 0, med rötterna w 1 = 1 (w = 0 och w 1 = 5 13 (w = De sökta vektorerna är alltså w = i och w = 5 13 i j. I båda fallen gäller att w f (1, 1 = 3, d.v.s 13 cos ϕ = 3, så i båda fallen är vinkeln ( 3 ϕ = arccos. 13 6
7 (e Vi väljer att söka f av formen f (x, y = c + ax + by + αx + βxy + γy, där c, a, b, α, β, γ är konstanter, vilket betyder att f skall vara ett polynom i x, y av grad högst två. Alla borde vara överens om att sådana funktioner kan klassificeras som enkla. Funktionerna vi söker skall ha egenskaperna f (1, 1 = 1, f x (1, 1 = 3 och f y (1, 1 =. Då f x = a + αx + βy och f y = b + βx + γy får vi ekvationerna 1 = c + a + b + α + β + γ, 3 = a + α + β = b + β + γ Efter att ha eliminerat a, b från den första ekvationen får vi c = α + β + γ, a = 3 α β b = β γ Funktionerna, i den klass vi valt, som uppfyller kraven är alltså alla f (x, y = (α + β + γ + (3 α βx + ( β γy + αx + βxy + γy, där α, β, γ är godtyckliga reella konstanter. Alltså finns det oändligt många funktioner i klassen av polynom i x, y, av högst andra graden, som uppfyller kraven. Den allra enklaste funktionen f (x, y = 3x y får vi om vi tar α = β = γ = 0. Vi visste att den funktionen skulle vara med eftersom tangentplanet till z = f (x, y i (1, 1, 1 är z = 3x y. Tar vi α = γ = 1, β = 0 får vi f (x, y = + x 4y + x + y = (x (y 9 4, i vilket fall ytan z = f (x, y är en rotationsparaboloid. Kan du svara på följande frågor: Går det att välja α, β, γ så att a = b = c = 0? Hur ser ytan z = f (x, y ut om vi väljer α = 1, β =, γ = 1? Välj β = 0 och α, γ sådana att a = b = 0. Beskriv ytan z = f (x, y i detta fall. Föreläsning 8, 0/4 010: För en funktion f (x, y, z är grafen w = f (x, y, z en hyperyta i R 4. gradientvektorn för funktionen är f (x, y, z = i f x + j f y + k f z, 7
8 där = i x + j y + k z är nablaoperatorn, alternativt gradientoperatorn, i tre variabler. För en sammansatt funktion g(t = f (r(t = f (x(t, y(t, z(t får vi, med kedjeregeln g (t = dx dt f x + dy f dt y + dz f dt z = v f där v = r = (x (t, y (t, z (t. Speciellt då u = u 1 i + u j + u 3 k är en enhetsvektor och r(t = (a + u 1 t, b + u t, c + u 3 t så är g (0 riktningsderivatan av f i punkten (a, b, c i riktningen u. Alltså D u f (a, b, c = u f (a, b, c = f (a, b, c cos ϕ, där ϕ är vinkeln mellan u och f (a, b, c. D u f (a, b, c mäter hur fort f (x, y, z växer då (x, y, z rör sig från a, b, c i u-riktningen. Följande gäller För riktningsderivatan D u f (a, b, c gäller olikheterna f (a, b, c D u f (a, b, c f (a, b, c Den maximala riktningsderivatan D u f (a, b, c = f (a, b, c fås då ϕ = 0, d.v.s då u pekar i gradientvektorns riktning, alltså då u = f (a, b, c 1 f (a, b, c. Den minimala riktningsderivatan D u f (a, b, c = f (a, b, c fås då ϕ = π, d.v.s då u pekar motsatt gradientvektorns riktning, alltså då u = f (a, b, c 1 f (a, b, c. D u f (a, b, c = 0 om och endast om u tangerar f :s nivåyta f (x, y, z = f (a, b, c, i punkten (a, b, c. Vi kallar denna nivåyta för Σ och drar slutsatsen att f (a, b, c är vinkelrät mot Σ i punkten (a, b, c. Av föregående följer att tangentplanet till Σ i (a, b, c har en ekvation f x (a, b, c(x a + f y (a, b, c(y b + f z (a, b, c(z c = 0. Normallinjen till Γ i (a, b, c har en ekvation (x, y, z = (a, b, c + t( f x (a, b, c, f y (a, b, c, f z (a, b, c. Exempel. Bestäm tangentplanet och normallinjen till ellipsoiden 4x + 9y + 36z = 49 i punkten ( 1, 1, 1. Lösning. Låt f (x, y, z = 4x + 9y + 36z Vi har och alltså f = (8xi + (18yj + (7zk = (4xi + 9yj + 36zk f ( 1, 1, 1 = ( 4i + 9j + 36k En normalvektor till ellipsoiden i punkten ( 1, 1, 1 är därför n = 4i + 9j + 36k. Av detta följer omedelbart att ( 4(x (y (z 1 = 0 är en ekvation för tangentplanet till ellipsoiden i punkten ( 1, 1, 1 och (x, y, z = ( 1, 1, 1 + t( 4, 9, 36, t R är en normallinje till ellipsoiden i punkten ( 1, 1, 1. 8
9 Vi tittade sedan på några problem för vars lösande implicita funktionssatsen behövs: En ekvation F(x, y = 0 beskriver i allmänhet en kurva i planet. Att denna kurva är en funktionskurva betyder att för varje x R finns det högst ett y R sådant att F(x, y = 0. För varje x där ett sådant y finns gäller alltså att y bestäms entydigt av x, alltså att y är en funktion av x, vilket skrivs som y = y(x. Om vi antar att F(x, y och y(x är hyggliga funktioner så kan vi, med användning av kedjeregeln, derivera båda leden i ekvationen F(x, y(x = 0 med avseende på x. Vi får då 0 = d dx F(x, y(x = F x(x, y + F y (x, y y (x y (x = F x(x, y F y (x, y, ( förutsatt att F y (x, y = 0 (y = y(x överallt. Vad implicita funktionssatsen säger är att om F(x, y är hygglig, F(a, b = 0 och F y (a, b = 0 så finns det positiva tal δ 1, δ och en funktion y = y(x, a δ 1 < x < a + δ sådan att F(x, y(x = 0, y(a = b och y(x är (minst lika hygglig som F(x, y. För att derivera y(x använder vi (. Exempel. Visa att för varje x R finns ett unikt y = y(x R sådant att y 3 + y = e x. Visa också att funktionen y(x är oändligt deriverbar och bestäm y(0, y (0, y (0. Lösning. Låt F(x, y = y 3 + y e x och fixera ett godtyckligt x R. Vi ska visa att det finns precis ett y-värde, y = y(x, sådant att F(x, y = 0. Då F y = 3y + 1 > 0, för alla y R, följer att F(x, y växer strängt, som funktion av y (glöm inte att x är fixt, då < y <. En strängt växande funktion har högst ett nollställe, så det finns alltså högst ett y sådant att F(x, y = 0. Å andra sidan har vi lim y F(x, y = och lim y F(x, y =. En kontinuerlig funktion som antar både positiva och negativa värden har minst ett nollställe, så det finns alltså minst ett y sådant att F(x, y = 0. Detta resonemang visar att det för varje x R finns precis ett y = y(x sådant att F(x, y = 0. Av implicita funktionssatsen följer att funktionen y(x är oändligt deriverbar överallt (eftersom F(x, y är det. Sätter vi in x = 0 i ekvationen 0 = y 3 + y e x får vi ekvationen 0 = y(0 3 + y(0, med den unika lösningen y(0 = 1 Deriverar vi ekvationen 0 = y 3 + y e x implicit med avseende på x får vi 0 = (3y + 1y e x y = ex 3y + 1, y (0 = e 0 3y(0 + 1 = 1 Deriverar vi nu ekvationen 0 = (3y + 1y e x implicit med avseende på x får vi 0 = (3y + 1y + 6y(y e x y = ex 6y(y 3y + 1, y (0 = = 1 8. En ekvation F(x, y, z = 0 beskriver i allmänhet en yta i rummet. Att denna yta är en funktionsyta med avseende på (x, y betyder att för varje (x, y R finns det högst ett z R sådant att F(x, y, z = 0. För varje (x, y där ett sådant z finns gäller alltså att z bestäms entydigt av (x, y, alltså att z är en funktion av (x, y, vilket skrivs som z = z(x, y. Om vi antar att F(x, y, z och z(x, y är hyggliga funktioner så kan vi, med 9
10 användning av kedjeregeln, derivera båda leden i ekvationen F(x, y, z(x, y = 0 med avseende på x respektive y. Vi får då 0 = x F(x, y, z(x, y = F x(x, y, z + F z (x, y, z z x z x = F x(x, y, z F z (x, y, z, 0 = y F(x, y, z(x, y = F y(x, y, z + F z (x, y, z z y z y = F y(x, y, z F z (x, y, z. (# förutsatt att F z (x, y, z = 0 (z = z(x, y överallt. Vad implicita funktionssatsen säger är att om F(x, y, z är hygglig, F(a, b, c = 0 och F z (a, b, c = 0 så finns det en omgivning U till (a, b och en funktion z = z(x, y, (x, y U, sådan att F(x, y, z(x, y = 0, z(a, b = c och z(x, y är (minst lika hygglig som F(x, y, z. För att derivera z(x, y använder vi (#. Exempel. Visa att ekvationen x 3 xyz + z = 0, för (x, y, z i en omgivning av (1, 1,, definierar z som en C -funktion z = z(x, y av x och y, sådan att z(1, 1 =. Beräkna även z(1, 1. Lösning. Låt F(x, y, z = x 3 xyz + z Vi har då F(1, 1, = 0, F x = 3x y z, F y = x z, F z = xyz + 3z. Eftersom F z (1, 1, = 8 = 0 och F(x, y, z är C (har kontinuerliga derivator av alla ordningar följer existensen av funktionen z = z(x, y (med de angivna egenskaperna av implicita funktionssatsen. Slutligen har vi vilket ger z(1, 1 = 7 8 i + 1 j. Ett, linjärt eller olinjärt, ekvationssystem z x (1, 1 = F x(1, 1, F z (1, 1, = 7 8, z y (1, 1 = F y(1, 1, F z (1, 1, = 1, 0 = F(x, y, z 0 = G(x, y, z ( beskriver i allmänhet en kurva Γ i rummet. Att Γ är en funktionskurva med avseende på x betyder att för varje x R finns det högst en punkt (y, z R sådan att F(x, y, z = 0 och G(x, y, z = 0. För varje x där en sådan (y, z finns gäller alltså att (y, z bestäms entydigt av x, alltså att (y, z är en funktion av x, vilket skrivs som (y, z = (y(x, z(x eller y = y(x, z = z(x. Om vi antar att F(x, y, z, G(x, y, z, y(x och z(x är hyggliga funktioner så kan vi, med användning av kedjeregeln, derivera båda leden i ekvationssystemet ( med avseende på x. Vi får då 0 = F x (x, y, z + F y (x, y, z y (x + F z (x, y, z z (x 0 = G x (x, y, z + G y (x, y, z y (x + G z (x, y, z z (x (# 10
11 där y = y(x, z = z(x överallt. Vi kan se (# som ett ekvationssystem med y (x, z (x som obekanta. Skrivet på matrisform blir systemet ( Fy F z G y G z ( y (x z (x ( Fx = G x Lösningen till systemet ges av ( y (x z (x ( Fy F = z G y G z 1 ( Fx G x = F y G y F z G z 1 ( Gz F z G y F y ( Fx G x Vad implicita funktionssatsen säger är att om F(x, y, z och G(x, y, z är hyggliga, (F, G F(a, b, c = 0, G(a, b, c = 0 och (y, z = F y F z = 0 (a,b,c (a,b,c så finns det en omgivning U till a och funktioner y = y(x, z = z(x, x U, sådana att F(x, y(x, z(x = 0, G(x, y(x, z(x = 0, y(a = b, z(a = c och y(x, z(x är (minst lika hyggliga som F(x, y, z och G(x, y, z. För att derivera y(x, z(x använder vi (#. Exempel. En kurva Γ ges av ekvationssystemet 3 = y + z + e x+z = F(x, y, z 1 = x + z + e y+z = G(x, y, z Bestäm tangentriktningen till Γ i punkten (, 1, och avgör om Γ, i en omgivning av (, 1,, kan parametriseras med z som parameter. Lösning. Vi löser båda problemen samtidigt. Här ska x och y uttryckas som funktioner av z, i en omgivning av (, 1,. För att detta säkert skall vara möjligt måste (F, G (x, y = F x F y = 0. (, 1, (, 1, Eftersom F x = e x+z, F y = 1, F z = 1 + e x+z, G x = 1, G y = e y+z, G z = 1 + e y+z, F x (, 1, =, F z (, 1, = 3, G y (, 1, = och G z (, 1, = får vi F x G x F y G y G x G y = ex+z 1 (, 1, 1 e y+z = 1 (, 1, 1 = 3 = 0. Enligt implicita funktionssatsen existerar därför C -funktioner x(z, y(z, för z i en omgivning av, sådana att F(x(z, y(z, z = 3, G(x(z, y(z, z = 1, x( = och y( = 1. Derivatorna x (z, y (z ges av matrisekvationen ( Fx F y G x G y ( x (z y (z ( Fz = G z G y G z som har lösningen ( x (z y (z = F x G x F y G y 1 ( Gy F y G x F x ( Fz G z 11
12 Speciellt har vi ( x ( y ( = ( 1 1 ( 3 = 1 3 ( 4 1 Γ har i en omgivning av (, 1, parametriseringen r(z = (x(z, y(z, z. En tangentvektor till Γ i (, 1, är därför r ( = (x (, y (, 1 = ( 4 3, 1 3, 1. Tangentriktningen går i samma, eller motsatt, riktning som r (. Föreläsning 9, 1/4 010: Vi påminner om att för en N + 1 gånger kontinuerligt deriverbar funktion f (x har vi, för godtyckligt a, Taylorutvecklingen f (a + h = f (a + f (ah + f (a Taylorpolynomet av ordning N i a är P N (h = f (a + f (ah + f (a h + + f N (a N! h + + f N (a N! h N + O(h N+1 Taylorpolynomet är unikt i den meningen att om Q(h är ett polynom av grad högst N sådant att f (a + h = Q(h + O(h N+1 så gäller Q = P N. För en tvåvariabelfunktion f (x, y inför vi beteckningen f (m,n (a, b för evalueringen i (a, b av den funktion som erhålls då vi deriverar f (x, y m gånger med avseende på x och n gånger med avseende på y. Om funktionens alla derivator är kontinuerliga, vilket vi antar, spelar det ingen roll i vilken ordningsföljd dessa m + n deriveringar utförs, så f (m,n (a, b är entydigt definierade. Taylorpolynomet för f (x, y, av ordning N i (a, b, definieras nu som Exempelvis har vi P N (h, k = m+n N P (h, k = f (a, b + f x (a, bh + f y (a, bk + f xx(a, b P 3 (h, k = P (h, k + f xxx(a, b h 3 + f xxy(a, b 6 P 4 (h, k = P 3 (h, k + H 4 (h, k, H 4 = f (4,0 (a, b 4 där h 4 + f (3,1 (a, b 6 f (m,n (a, b m! n! h m k n. h + f xy (a, b h k + f yy(a, b h k + f xyy(a, b h 3 k + f (, (a, b 4 h k + f yyy(a, b 6 h k + f (1,3 (a, b 6 Lägg märke till de fem potenserna, h 4, h 3 k, h k, h k 3, k 4, av grad 4. k 3 k, h k 3 + f (0,4 (a, b 4 Precis som i envariabelfallet är Taylorpolynomet en god approximation till funktionen nära den punkt man utvecklar kring. Närmare bestämt gäller f (a + h, b + k = P N (h, k + O((h + k N+1 1 k 4.
13 Taylorpolynomet är unikt i den meningen att om Q(h, k är ett polynom av grad högst N sådant att f (a + h, b + k = Q(h, k + O((h + k N+1 så gäller Q = P N. Exempel. Låt f (x, y = x 4 + e 4y 4x e y. Bestäm Taylorpolynomet av ordning två till f (x, y i (a (0, 0, (b (1, 0. Lösning. Vi behöver derivatorna upp till och med ordning två: f x = 8x 3 8x e y, f y = 4e 4y 4x e y, f xx = 16x 8x e y, f xy = 8x e y, f yy = 16e 4y 4x e y. f (0, 0 = 1, f x (0, 0 = 0, f y (0, 0 = 4, f xx (0, 0 = 8, f xy (0, 0 = 0, f yy (0, 0 = 16, f (1, 0 = 1, f x (1, 0 = 0, f y (1, 0 = 0, f xx (1, 0 = 8, f xy (1, 0 = 8, f yy (1, 0 = 1. (a Taylorpolynomet av ordning två i origo är P (h, k = 1 + 4k 4h + 8k. Derivatan av f i riktningen u = u 1 i + u j är D u f (0, 0 = 4u. I origo växer alltså funktionen strängt i riktningen j, medan den avtar strängt i den motsatta riktningen j. I riktningarna ±i är däremot funktionen stationär (varken växer eller avtar. Det betyder, som vi har sett, att ±i är tangentvektorer till nivåkurvan f (x, y = f (0, 0 = 1, som går genom origo. (b Taylorpolynomet av ordning två i (1, 0 är P (h, k = 1 + 4h 8hk + 6k. Då f x (1, 0 = f y (1, 0 = 0 är (1, 0 en stationär punkt. I närheten av en sådan bestäms normalt funktionens beteende av andragradstermerna i Taylorutvecklingen. Här gäller f (1 + h, k = 1 + 4h 8hk + 6k + O((h + k 3 = 1 + 4(h hk + 6k + O((h + k 3 = 1 + 4(h k + k + O((h + k 3 Andragradsuttrycket 4(h k + k är positivt för alla (h, k = (0, 0. Om vi bortser från resttermen O((h + k 3 betyder det att f (1 + h, k antar ett strikt minimum f (1, 0 = 1 då h = k = 0. Då (h, k ligger nära (0, 0 är resttermen O((h + k 3 så liten att f (1 + h, k = 1 + 4(h k + k + O((h + k 3 > f (1, 0 = 1 då (h, k = (0, 0 Alltså har vi ett strikt lokalt minimum 1 i (1, 0. 13
14 Resonemanget ovan kan generaliseras: Om (a, b är en stationär punkt till f (x, y, alltså så har vi kring (a, b Taylorutvecklingen f x (a, b = f y (a, b = 0, f (a + h, b + k = f (a, b + 1 ( f xx(a, b h + f xy (a, b h k + f yy (a, b k + O((h + k 3 = f (a, b + 1 (A h + B h k + C k + O((h + k 3, där A = f xx (a, b, B = f xy (a, b, C = f yy (a, b. Matrisen ( ( fxx (a, b f H f (a, b = H(a, b = xy (a, b A B = f xy (a, b f yy (a, b B C kallas för Hessianen (eller Hessianska matrisen i punkten (a, b. Följande gäller Om D = A B B C = AC B = 0 kan vi inte från Hessianen avgöra om (a, b är en lokal extrempunkt eller en sadelpunkt. Det måste avgöras på annat sätt! Om D < 0 så är (a, b är en sadelpunkt. Om D > 0 och A > 0 så är (a, b är en strikt lokal minimipunkt. Om D > 0 och A < 0 så är (a, b är en strikt lokal maximipunkt. I ovanstående exempel har vi H f (1, 0 = H(1, 0 = ( vilket ger D = 3 > 0, A = 8 > 0 och alltså, även denna gång, ett strikt lokalt minimum i (1, 0. Exempel. Bestäm alla stationära punkter till f (x, y = x 4 + y 4 4xy och avgör deras karaktär. Lösning. De stationära punkterna ges av ekvationssystemet 0 = f x = 4x 3 4y y = x 3 0 = f y = 4y 3 4x x = y 3 Vi får x = y 3 = x 9, x 9 x = 0, x(x 8 1 = 0, så lösningarna är x = y = 0, x = y = 1, x = y = 1. De stationära punkterna är alltså (0, 0, (1, 1, ( 1, 1. Hessianen är ( ( fxx f H = xy 1x 4 = 4 1y Då H(0, 0 = ( f xy f yy ( 1 4, H(1, 1 = H( 1, 1 = 4 1 drar vi slutsatsen att (0, 0 är en sadelpunkt (D < 0, medan (1, 1, ( 1, 1 är strikta lokala min-punkter (D > 0, f xx > 0. 14
15 Exempel. Bestäm alla stationära punkter till f (x, y = x 3 + x + 4x + 3x y + 3xy xy + y 3 + y 4y och avgör deras karaktär. Lösning. De stationära punkterna ges av 0 = f x = 3x + x xy + 3y y 0 = f y = 3x + 6xy x + 3y + y 4 Subtraherar vi den andra ekvationen från den första så får vi 0 = 4x 4y + 8, alltså y = x +, som substitueras i den andra ekvationen: 0 = 3x + 6x(x + x + 3(x + + (x + 4 = 3x + 6x + 1x + 1x x + 3(x + 4x x = 1x + 4x + 1 = 1(x + 1 Enda lösningen är x = 1, y = 1 + = 1. Vi har en unik stationär punkt ( 1, 1. Hessianen ges av ( ( ( fxx f H = xy 6x + + 6y 6x + 6y =, H( 1, 1 = 6x + 6y 6x + 6y + f xy f yy Vi har därför D = 4 4 = 0, så detta är ett fall då vi inte kan avgöra den stationära punktens karaktär genom att bara betrakta Hessianen. För att få en tydligare bild av vad som händer i närheten av ( 1, 1 gör vi substitutionen x = 1 + h, y = 1 + k och får f ( 1 + h, 1 + k = ( 1 + h 3 + ( 1 + h + 4( 1 + h + 3( 1 + h (1 + k Om vi här sätter k = h får vi Då h < 0 gäller därför Då h > 0 har vi Alltså är ( 1, 1 en sadelpunkt. + 3( 1 + h(1 + k ( 1 + h(1 + k + (1 + k 3 + (1 + k 4(1 + k = 4 + h hk + k + h 3 + 3h k + 3hk + k 3 = 4 + (h k + h 3 + 3h k + 3hk + k 3. f ( 1 + h, 1 + h = 4 + 8h 3. f ( 1 + h, 1 + h < 4 = f ( 1, 1. f ( 1 + h, 1 + h > 4 = f ( 1, 1. Föreläsning 10, 6/4 010: Här tog vi upp problemet att hitta extrempunkterna (max och min till en kontinuerlig funktion f (x, y (eller f (x, y, z, som är definierad på ett kompakt område D. Både maximum och minimum existerar, enligt sats. Om en extrempunkt ligger inuti området (ej på randen och funktionen är deriverbar så måste punkten vara stationär, dvs. f x = f y = 0 i punkten. Om den ligger på randen är det svårare. Exempel. Bestäm, om de existerar, extremvärdena av funktionen f (x, y = x 3 + xy 3x + y, då x + y. 15
16 Lösning. Både maximum och minimum existerar eftersom funktionen är kontinuerlig och x + y beskriver en kompakt cirkelskiva. En inre extrempunkt (x + y < måste vara stationär, alltså 0 = f x = 3x + y 3 0 = f y = xy + y = y(x + 1 Den andra ekvationen ger y = 0 eller x = 1. Om y = 0 ger den första ekvationen x = 1, x = ±1. Om x = 1 ger den första ekvationen y = 0, y = 0. De stationära punkterna är alltså (±1, 0. Vi lägger funktionsvärdena f (1, 0 =, f ( 1, 0 =, på minnet. Randen utgörs av cirkeln x + y =. För punkter på randen kan funktionen förenklas. Vi har där f (x, y = x(x + y 3x + ( x = x x = g(x, x. Då g (x = 1 x = (x + 1 gäller att g ( 1 = 0, g (x > 0 då x < 1 och g (x < 0 då 1 < x. Maximum av g(x är alltså g( 1 = 9 4 = f ( 1, ± 7 4, medan minimum av g(x är det minsta av värdena g(± =, alltså g( = = f (, 0. Jämförs nu funktionsvärdena i extrempunktskandidaterna (±1, 0, ( 1, ± 7 4 och (, 0 ser vi att maximum av f är 9 4 = f ( 1, ± 7 4 och minimum av f är = f (1, 0. Att vi klarade ovanstående exempel berodde mycket på att funktionen, på randen, kunde skrivas som en envariabelfunktion (y kunde elimineras. I allmänhet är inte detta så lätt. Vi har att finna max och min av en funktion f (x, y på en nivåkurva g(x, y = 0 till en annan funktion (g. Genom ett resonemang, som inte upprepas här, insåg vi att i en extrempunkt (a, b måste f (a, b vara vinkelrät mot nivåkurvan och därför parallell med g(a, b, vilket ger oss ekvationen 0 = f x f y g x Denna, tillsammans med ekvationen g(x, y = 0, ger oss ett, i allmänhet olinjärt, ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta. Extrempunkterna hittar vi i lösningsmängden till ekvationssystemet (vilket förhoppningsvis är en ändlig mängd. Tillämpar vi denna metod på ovanstående exempel, där g(x, y = x + y, får vi 0 = f x f y g x g y = 3x + y 3 y(x + 1 x y = y x 1 x + x 1 = y 1 x 1 = 4y(x + 1 med samma lösningar, y = 0 eller x = 1, som vi fick förut. g y 16
17 Föreläsning 11, 9/4 010: På samma sätt kan vi förfara då vi letar efter extremvärden till f (x, y, x, under ett bivillkor g(x, y, z = 0 (de tillåtna punkterna ligger på en nivåyta till g. I en extrempunkt (a, b, c måste f (a, b, c vara vinkelrät mot ytan och därför parallell med g(a, b, c, som vi antar är en nollskild vektor. Alltså ska det finnas ett tal λ sådant att f (a, b, c = λ g(a, b, c. Detta kan även uttryckas som att f x g x = f y g y = f z g z eller 0 = f x g x f y g y = f x g x f z g z = f y i punkten (a, b, c. Vi får ett olinjärt ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta, vilket normalt har ett ändligt antal punkter som lösning. Bland dessa punkter finns max- och minpunkterna. Exempel. Visa att funktionen f (x, y, z = x y z har ett största värde då x 0, y 0, z 0, x + y + z = 1 och bestäm detta. Lösning. De tillåtna punkterna utgör en kompakt triangel i första oktanten och funktionen är kontinuerlig. Enligt en känd sats om kontinuerliga funktioner har därför funktionen ett maximum. Eftersom f (x, y, z 0 i alla dessa punkter och f (x, y, z = 0 då x = 0, y = 0 eller z = 0, så måste maximum antas i en punkt där x > 0, y > 0, z > 0 och g(x, y, z = x + y + z 1 = 0. I maxpunkten är f parallell med g, vilket ger oss ekvationerna g y f z g z 1 x 1 y z 1 = x 1 z 1 = x 1 y z 1 Multiplicera nu alla leden med x 1 z 1 så erhålls yz = xz = 4xy, vilket ger y = x, z = 4x och 1 = x + x + 4x = 7x. Vi har därför den unika lösningen (x, y, z = ( 1 7, 7, 3 7, vilket måste vara max-punkten. Max-värdet är f ( 1 7, 7, 3 7 = Ytterligare en variant är att vi söker extremvärden till en funktion f (x, y, z, där (x, y, z måste befinna sig på skärningskurvan Γ mellan två ytor g(x, y, z = 0 och h(x, y, z = 0. Med samma typ av resonemang som förut inser man att i en extrempunkt (a, b, c måste f (a, b, c vara vinkelrät mot Γ. Eftersom både g(a, b, c och h(a, b, c är vinkelräta mot Γ i (a, b, c ligger alltså alla tre vektorerna f (a, b, c, g(a, b, c och h(a, b, c i normalplanet till Γ i punkten (a, b, c. Från den linjära algebra vet vi att detta innebär att determinanten med de tre vektorerna som rader (eller kolonner försvinner. Alltså uppfyller extrempunkterna ekvationen 0 = f x f y f z g x g y g z h x h y h z Återigen får vi ett, i allmänhet olinjärt, ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta, där extrempunkterna befinner sig bland lösningarna. Exempel. En behållare har formen av en rätvinklig parallellepiped (rektangulär låda med arean 3 dm och totala kantlängden 9 dm. Bestäm behållarens maximala volym.. 17
18 Lösning. Låt behållarens bredd, djup och höjd vara x, y respektive z (dm. Behållarens volym är då xyz. Arean är xy + xz + yz, medan totala kantlängden är 4x + 4y + 4z. Problemet är alltså att maximera funktionen f (x, y, z = xyz under bivillkoren g(x, y, z = xy + xz + yz 3 = 0 och h(x, y, z = x + y + z 9 4 = 0. Dessutom ska förstås x, y och z vara icke-negativa. Bivillkoren definierar en kompakt mängd i första oktanten så maximum existerar enligt sats. I en max-punkt gäller att f x f y f z 0 = g x g y g z h x h y h z = yz xz xy y + z x + z x + y y(z x x(z y xy = z x z y x + y = (z x(z y(y x, vilket inträffar då z = x, z = y eller y = x. Av symmetriskäl räcker det att behandla ett av dessa tre fall. Vi väljer fallet då y = x. Stoppar vi in detta i bivillkoren får vi 3 = x + xz + xz = x + xz 9 4 = x + x + z = x + z Den andra ekvationen ger z = 9 4 x. Substituerar vi detta i den första ekvationen får vi x 3 x + 1 = 0, med lösningarna x = 1 eller x = 1. En av punkterna (1, 1, 1 4, ( 1, 1 4, 5 4 är därför en max-punkt. Eftersom f (1, 1, 1 4 = 1 4 och f ( 1, 1, 5 4 = 5 16 så är den maximala volymen lika med 5 16 liter (dm3. 18
Tentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merÖvningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs merOptimering med bivillkor
Kapitel 9 Optimering med bivillkor 9.1. Optimering med bivillkor Låt f(x) vara en funktion av x R. Vi vill optimera funktionen f under bivillkoret g(x) =C (eller bivllkoren g 1 (x) =C 1,..., g k (x) =C
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys 5 hp, för STS 2010-03-19 Genomgånget på föreläsningarna 1-5. Här sammanfattar vi det som genomgåtts på de olika föreläsningarna.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merEn normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.
Lektion 6, Flervariabelanals den 27 januari 2000 1272 Givet funktionen och punkten p 1, 1, beräkna a gradienten till f i p, f, + b en ekvation för tangentplanet till f:s graf i punkten p, fp, c en ekvation
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs mer2.5 Partiella derivator av högre ordning.
2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,
Läs mer5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN) 23-8-22 kl 4 9 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs mer1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.
Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata
Läs mer= ( 1) xy 1. x 2y. y e
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Den sista raden är nästan lika med den första raden med omvänt tecken Om vi därför adderar den första raden till den sista raden får vi en rad
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 6 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion För funktioner från R n till R ska
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merAntag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Flervariabelanalys 1. Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merProvtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001
Institutionen för matematik KTH Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001 Skrivtid: xx - yy Inga hjälpmedel tillåtna För godkänt betyg 3 fordras minst 16 poäng, för betyg
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merKap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.
Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merLösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merUppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.
Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF1613. 1. En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs mer