Gamla tentemensuppgifter
|
|
- Bernt Persson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi vet sedan tidigare att det finns oändligt många polynom av andra graden som skär x-axeln i punkterna x = 3 och x = 1. Med andra ord: Det finns oändligt många andragradsekvationer som har rötterna x = 3 x = 1. Till exempel: x x 3 = 0 3x 6x 9 = 0 x + x + 3 = 0 10x 0x 30 = 0 Som andragradsekvationer är de alla likvärdiga, men inte som funktioner: f(x) = x x 3 f(x) = 3x 6x 9 f(x) = x + x + 3 f(x) = 10x 0x 30 Plottar vi dem i samma diagram får vi figur 1. Men genom att utnyttja den tredje observationen, kurvan går genom punkten (0, 3) finns det bara en av alla dessa som överlever. Men hur ska vi få tag i den funktionen? Det räcker att anta att funktionen har följande uttryck f(x) = a(x x 3) Vi söker alltså en konstant a, så att alla de tre givna ledtrådarna fungerar. För att f(0) = 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 Figur 1: ska gälla behöver 3 = 3a som ger roten a = 1. Detta betyder att den eftersökta funktionen är f(x) = x x 3 som är en av de alternativ vi hade ovan. Det allra första förresten Svar: f(x) = x x 3 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = 4 x + 1 x i den punkt där x = 1 4 Vi startar förstås med att derivera, men innan dess försöker vi skriva om funktionen på en form som kommer att göra den enklare att derivera f(x) = 4 x + 1 x = 4x 1 + x 1 Nu deriverar vi f (x) = 1 4x 1 + ( 1)x = x 1 x Vi använder direkt derivatan Nu har vi tangentens k-värde f ( 1 4 ) = ( = 4 4) f( 1 4 ) = = 4 16 = 1 = = + 4 = 6 Nu har vi även en punkt på tangenten ( 1, 6) och det är dags att bestämma 4 tangentens ekvation 6 = m ger m = 9 och tangentens ekvation blir Svar: y = 1x + 9 Håkan Strömberg KTH Syd
3 3 Man vill tillverka en låda (ett rätblock), utan lock med kvadratisk basyta och som har volymen 8.00 dm 3. Hur hög ska lådan vara för att materialåtgången, det vill säga arean, ska bli så liten som möjligt? Vi har två mått att ta hänsyn till b, den kvadratiska basytans sida och h höjden. Volymen för en sådan låda skrivs V = b h Eftersom V = 8 kan vi skriva den ena variabeln med hjälp av den andra. Det spelar ingen roll hur vi väljer dem, men genom att lösa ut h får vi kanske lite enklare räkningar: 8 = b ḣ ger h = 8 b Kartongarean eller vad nu lådan är gjord av kan skrivas A = b + 4bh Men eftersom vi har uttryckt h med hjälp av b kan vi nu skriva A som funktion av b. A(b) = b 8 + 4b b = b + 3 b Det är denna funktion vi ska bestämma en minpunkt för. Men innan dess måste vi bestämma definitionsmängden 0 < b <. Basytan kan alltså göras hur stor som helst medan h då minskar. Vi deriverar A (b) = b 3 b Om du känner att det är svårt att se derivatan direkt skriver du bara om funktionen på en enklare form och finner derivatan i två steg istället. Dags att lösa ekvationen A (b) = 0 b 3 b = 0 b = 3 b b 3 = 3 b = 3 16 b = 3 Höjden får vi nu genom h = 8 ( 3 ) = Då A (x) = + 64 b 3 > 0 för alla b > 0 har vi här en minpunkt. Svar: 1.6 dm Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 4 Bestäm, exakt, riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = x3 + 3e x 4 i den punkt där x = 1. Först delar vi upp bråket i f(x), för att göra det riktigt tydligt, i Sedan bestämmer vi f (x) f(x) = x3 + 3ex 4 och därefter f (1) Svar: f (1) = 3(1+e) 5 Funktionen f (x) = 3x + 3ex f (1) = 3 + 3e f(x) = (x a) = 3(1 + e) är given. Bestäm värdet på konstanten a då man vet att f(1) + f (1) = 0 Först måste vi utveckla parentesen för att kunna derivera funktionen och nu deriverar vi f(x) = x ax + a f (x) = x a Kom ihåg att a är en konstant. Vi tecknar nu ekvationen f(1) + f (1) = 0 Svar: a 1 = 1 och a = 3 6 Funktionen 1 a + a + a = 0 a 4a + 3 = 0 a = ± 4 3 a 1 = 3 a = 1 f(x) = x 3 + ax + b där a och b är konstanter, har en lokal extrempunkt i (1, ). Bestäm koordinaterna för funktionens andra lokala extrempunkt och bestäm också vilken typ av extrempunkt det är. Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Vi deriverar f (x) = 6x + ax Så löser vi f (x) = 0 6x + ax = 0 x(3x + a) = 0 x 1 = 0 x = a 3 Alltså förstår vi att x = 1 eftersom x 1 = 0. Vi har ju fått reda på att en av extrempunkterna är (1, ). Vi kan nu få fram a genom ekvationen a 3 = 1 a = 3. Vi har också fått reda på att f(1) = Det ger oss b genom Funktionen f(x) är nu helt känd ( 3)1 + b = 3 + b = b = 1 f(x) = x 3 3x 1 Den andra extrempunkten finns för x = 0 vilket ger f(0) = 1. Genom att studera f (x) kan vi till sist avgöra vilken typ av extrempunkter vi har. f (x) = 1x 6 f (0) = 6 < 0 alltså en maxpunkt f (1) = 6 > 0 alltså en minpunkt. Svar: (0, 1) 7 Funktionen f(x) = x x 1 Bestäm ett intervall för x, då både f(x) < 0 och f (x) < 0. För att klara detta måste vi lösa både f(x) = 0 och f (x) = 0. x x 1 = 0 x 1 = 3 x = 4 Då x < 3 är f(x) > 0. Kurvan befinner sig över x-axeln tills den skär axeln i x = 4 och stannar under x-axeln (är negativ) tills den åter skär axeln för x = 4, för att sedan stanna för evigt över x-axeln (är positiv). f(x) < 0 då 4 < x < 3. f (x) = x 1 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 f (x) = 0 ger x 1 = 0 x = 1 f (x) < 0 då x < 1, f (x) = 0 då x = 1 och f (x) > 0 för x > 1. Alltså f (x) < 0 då < x < 1. Men nu ska både f(x) < 0 och f (x) < 0. Detta inträffar då 4 < x < Figur : Svar: 4 < x < 1 8 Kurvan y = x4 + 3x har en normal som är parallell med den räta linjen x 13y = 5. Bestäm ekvationen för denna normal. En normal till en kurva är en linje som går vinkelrät mot en tangent till kurvan. Så om vi startar med att skriva om den givna linjens ekvation från x 13y = 5 till y = x Denna linje måste ha samma k-värde som den sökta normalen. Tänker vi sedan på regeln, att för två vinkelräta linjers k-värden gäller k t k n = 1 så vet vi direkt att tangentens k värde måste vara k t 1 13 = 1 k t = 13 Om vi nu tar reda på f (x) och löser ekvationen f (x) = 13, får vi reda på, för vilka x det finns en tangent med lutningen k = 13. f (x) = x Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 ger ekvationen x = 13 x 3 = 8 x = Det finns bara x = då detta är uppfyllt. f( ) = ( )4 + 3( ) = 8 6 = ger oss punkten genom vilken normalen ska gå. Återstår att bestämma m för normalen. = 1 13 ( ) + m ger m = + 13 = 8 13 Linjens ekvation blir nu y = 1 13 x Svar: y = 1 13 x Den totala begränsningarean av ett rätblock är 4 dm. En av rätblockets sidokanter är dubbelt så lång som en annan. Beräkna exakt rätblockets maximala volym. Ett rätblock har som bekant höjd h, bredd b och längd l. Ett rätblock består av sex sidor, som parvis har samma area. Vi kan med våra beteckningar ovan skriva den totala begränsningsarean, (summan av arean av de sex sidorna) A(b, h, l) = bh + bl + hl Så kan man skriva en funktion av tre variabler! Den här gången är en av kanterna dubbelt så lång som en annan. Det spelar förstås ingen roll vilka vi väljer. Vi bestämmer därför att l = b. Vår funktion kan då skrivas A(b, h) = bh + 4b + 4hb = 4b + 6hb Så kan man skriva en funktion av två variabler! Nu vet vi att A(b, h) = 4, alltså 4b + 6hb = 4 Om vi betraktar detta som en ekvation kan vi lösa antingen h eller b och få denna variabel uttryckt i den andra. Enklast är förstås att lösa ut h. Vi får då 4b + 6hb = 4 6hb = 4 4b h = 4 4b 6b = 1 b 3b Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 Vår funktion kan då skrivas A(b) = 4b + 6b 1 b 3b = 4 Vilket b vi än väljer så är rätblockets area 4, precis som vi vill ha det. Nu över till volymen V = b l h. Både l och h finns nu uttryckta i b, så vi kan skriva V(b) = b b 1 b 3b = b(1 b ) 3 = 4b 3 4b3 4b3 = 8b 3 3 Det är den här funktionen vi ska söka en maxpunkt för. Vilken är då definitionsmängden? b > 0 givetvis, men finns det någon övre gräns för b. I takt med att b drar i väg mot minskar l och h. Men om b blir för stor kommer h < 0, se ovan. Det största värde b kan anta är då h = 0 alltså 1 b 3b = 0 som har roten b = 6. Definitionsmängden 0 < b < 6. Vi deriverar och får V (b) = 8 4b V (b) = 0 då 8 4b = 0 b = b 1 = (b = ) Genom V (b) = 8b och V ( ) = 8 < 0 inser vi att vi funnit en maxpunkt. Den maximala volymen blir då V( ) = 8 4( ) 3 3 = 16 3 Svar: 7.54 dm 3 10 Lös ekvationen då f(a) f (a) = 1 f(x) = x x + 1 f (x) = x 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 Vi kan nu teckna ekvationen Svar: a 1 = och a = 1 a a+1 a 1 = 1 a a + 1 = a 1 a 3a + = 0 a = 3 ± a = 3 ± 1 a 1 = a = 1 1 Undersök funktionen f(x) = x 3 6x + 9x + 3 med hjälp av derivata och bestäm alla eventuella extrempunkter En cylindrisk burk utan lock ska tillverkas. Volymen ska vara 1 liter. Beräkna cylinderns höjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. Denna uppgift påminner mycket om uppgift 3 bland Lösta uppgifter. Förra veckans svårare problem 4 Vi tecknar till att börja med T(t), temperaturen som funktionen av tiden: T(t) = 36.9e kt där k är obekant konstant. Vi ser dock att funktionen fungerar för T(0) = 36.9 en levande varg. Vid tiden x uppmäts temperaturen 8 C. Detta ger 8 = 36.9e kx Tre timmar senare vid tiden x + 3 görs en ny mätning. Detta ger 5.6 = 36.9e k(x+3) Vi har nu fått ett ekvationssystem (icke linjärt) med två obekanta. 8 = 36.9e kx 5.6 = 36.9e k(x+3) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Resten av problemet består av att lösa detta system. 8 = e kx = e k(x+3) ln ( ) = kx ln ( ) = k(x + 3) Från den första ekvationen löser vi ut k k = ln( x Detta värde för k, sätter vi in i den andra ekvationen och förenklar ln ( ) 5.6 ln( 36.9 = 36.9) 8 (x + 3) x ln ( ) ( = ln ln ( ) ( ln 8 ) 3ln( 36.9 = 36.9) 8 x 3 ln ( 8 x = ) ln ( x 9.4 ) + 3ln( 8 ) 36.9) x ) 36.9 ( ln Svar: Skottet föll 9.4 timmar före kl 1 : 00, eller kl 11 : 45, som vi avrundar till kl 1. 5 Antag att den sökta funktionen är och dess derivata f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b Kurvan tangerar y = x i origo, som ger f(0) = 0, som ger c = 0. Dessutom är f (0) = 1 som ger b = 1. Kurvan tangerar också y = x 3. Betyder att ekvationssystemet { y = x 3 Ska ha en dubbelrot. Vi får y = ax + x x 3 = ax + x x x + 3 = 0 a a x = 1 ± a Dubbelrot erhålls 1 1a = 0 då a = a 4a 4a ) Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 Svar: f(x) = x 1 + x 6 Linjens ekvation är p 130 = (x 1000) som förenklas till p = 7500 x 50 Den totala kostnaden för att tillverka och försälja x enheter ges av T(x) = 10x Vinsten vid tillverkning och försäljning av x enheter ges av V(x) = xp 10x 300 a) Häri insättes p uttryckt i x enligt ovan och man får b) V(x) = 7500 x 50 x 10x 300 = 140x 0.0x 300 V (x) = x = 0.04(x 3500) V (x) = 0 då x = V (3500) = 0.04 < 0 alltså har vi en maxpunkt. Svar: Vinsten är maximal för x = En ren standarduppgift, som nu bör kännas ganska trist. Vi startar med att derivera f (x) = 3x 1x + 9 Genom att lösa f (x) = 0 får vi reda på eventuella extrempunkter 3x 1x + 9 = 0 x 4x + 3 = 0 x = ± 4 3 x = ± 1 x 1 = 3 x = 1 Vi har som väntat två extrempunkter. Andraderivatan kommer kanske att kunna avgöra vilken typ de tillhör. Vi får nu f (x) = 6x 1 f (3) = 6 > 0 minpunkt f (1) = 6 < 0 maxpunkt Svar: Vi har funnit två extrempunkter, maxpunkt för x = 1 och minpunkt för x = 3. Kanske ska man svara med punkterna och då måste vi bestämma f(1) = 7 och f(3) = 3, som leder till punkterna (1, 7) och (3, 3) Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 Volymen för en cylinder bestäms med formeln V = hπr Då vi vet att V = 1 kan vi bestämma h med hjälp av r 1 = hπr h = 1 πr Materialåtgången utgör cirkelskivan i botten tillsammans med mantelytan, bandet runt. Vi kan nu uttrycka denna area som en funktion av radien r A(r) = πr + πrh = πr + πr 1 πr = πr + 1 r Vi deriverar och löser sedan A (r) = 0 för att få extrempunkterna Ekvationen ger A (r) = πr 1 r πr 1 = 0 r πr = 1 r r 3 = 1 r = När vi känner r kan vi till sist bestämma h Då h = 1 ( 3 π 1 π π 3 1 π ) 0.54 A (r) = π + r 3 som är > 0 för alla r > 0 medför detta att vi funnit en minpunkt. Svar: 54 mm Räkna bokens uppgifter: 38, 331, 33, 336, TB: Jag ska alltså bestämma a, b, c och d i funktionen f(x) = ax 3 + bx + cx + d. De tre rötterna till ekvationen f(x) = 0 är kända. Jag vet inte riktigt, men jag chansar f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4). Är det riktigt? Håkan Strömberg 1 KTH Syd
13 KTH: Testa med f() = 5 och dessutom har du inte bestämt a, b, c och d, som du sa att du skulle göra. TB: Kan du inte säga om det är rätt istället? Jag testar väl då f() = ( + 6)( 1/)( 4) = 8 3/ ( ). Jag ser redan nu att det inte kan fungera eftersom detta värde blir negativt och därmed inte = 5. Nu får du hjälpa mig KTH: Först ska vi ta det omständliga sättet: f( 6) ger ( 6) 3 a + ( 6) b + ( 6)c + d = 0 f(1/) ger (1/) 3 a + (1/) b + (1/)c + d = 0 f(4) ger 4 3 a + 4 b + 4c + d = 0 f() ger 3 a + b + c + d = 5 Vi har ett ekvationssystem med fyra obekanta och fyra ekvationer. Normalt har detta system en lösning. Man brukar skriva det så här. Vi passar på att snygga till det lite: Ekvationssystemet har lösningen a = a + 36b 6c + d = 0 a/8 + b/4 + c/ + d = 0 64a + 16b + 4c + d = 0 8a + 4b + c + d = 5 b = 5 16 c = 15 4 d = 5 Det är ganska jobbigt att komma fram till detta men med en dator eller en avancerad räknedosa går det lättare. Det viktiga är att du förstår hur systemet är konstruerat. Nu över till en enklare metod, som börjar på samma sätt som du föreslog. Men först ska vi titta på en sak som förklarar varför din metod inte fungerar direkt. Här har vi tre ekvationer x 3 + x 5x 6 = 0 4x 3 + 8x 0x 4 = 0 3x 3 + 6x 15x 18 = 0 Det är lätt att se att de egentligen är fråga om samma ekvation i alla tre fallen. Om man dividerar båda sidor i den andra med 4 så uppstår den första. I den tredje ekvationen dividerar vi båda sidor med 3, så kommer vi också fram till den översta ekvationen. Rötterna är förresten x 1 = 3, x = och x = 1. Dessa kan vi i denna kurs bara komma fram till genom att gissa. Nu tittar vi på följande tre funktioner f 1 (x) = x 3 + x 5x 6 f (x) = 4x 3 + 8x 0x 4 f 3 (x) = 3x 3 + 6x 15x 18 Dessa är inte identiska, vilket vi ser när vi tar fram deras graf: Håkan Strömberg 13 KTH Syd
14 Figur 3: 331 Visserligen har de alla samma nollställen, men däremellan beter de sig på olika sätt, eller hur. För att kunna bestämma en polynom av tredje graden behöver man 4 punkter på kurvan. Du använde bara 3 i ditt försök. Nu går vi tillbaka till din ansats: f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4) f(x) = x 3 + 3x 5x + 1 Som du ser har x 3 koefficienten 1, bara en av alla funktioner med de tre nollställena. Alltså ska vi finna ett m, så att f() = m( ) = 5 4m = 5 m = 5/4 Om vi multiplicerar ditt resultat med m = 5/4, så får vi just det resultat som jag fick från ekvationssystemet. f(x) = 5 4 x x x 5 TB: Punkten (1, 0) ligger verkligen på kurvan eftersom f(1) = 1 1 = 0. Funktionen f(x) = x x har derivatan f (x) = 1 x. Speciellt är då f (1) = 1 Tangenten till kurvan i den aktuella punkten har lutningen k t = 1. Normalen har då k n = 1 eftersom vi vet att k t k n = 1. Vet man k-värdet och en punkt kan man bestämma linjens funktion f(x) = kx+m ger oss 0 = 1 1+m. m = 1 och vi kan skriva funktionen f(x) = x 1 eller y = x 1 som vi gjorde förr. Sen då? KTH: Det blir en ekvation. Kan du ställa upp den. TB: Vi är på jakt efter en punkt som finns på både kurvan och normalen. Borde Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 33 bli: x x = x 1 x = 1 x 1 = 1, x = 1 ger punkterna (1, 0) och ( 1, ). Den första hade vi ju redan från början, den andra är alltså svaret. TB: En punkt och en funktion är given, Q(1.5, 0) respektive f(x) = x. Jag förstår att det finns många punkter på kurvan och att avståndet från Q till dessa punkter varierar och att det bör finnas ett minsta. Men jag har ingen aning om hur jag ska lösa problemet. KTH: Accepterar du detta skrivsätt P(x, x)? Det beskriver samtliga punkter på kurvan, eller hur? Hur bestämmer man avståndet mellan två punkter i koordinatsystemet? TB: Ingen aning. KTH: Jag förstår det. Vi har inte berört detta tidigare i den här kursen, men troligtvis kommer du att känna igen det jag kommer att berätta nu. Först över till en figur: Figur 4: Vi ska beräkna avståndet mellan punkterna (, ) och (4, 5). y = 5 = 3 och x = 4 =. x och y är katetrar i en rätvinklig triangel. Med hjälp av Pythagoras sats, c = a + b, kan vi räkna ut hypotenusan, som samtidigt är det sökta avståndet. + 3 = 13 Mer generellt kan vi nu skriva formeln för avståndet mellan punkterna (x 1, y 1 ) och (x, y ) som (x1 x ) + (y 1 y ). Kan du nu använda detta för att lösa vårt problem. TB: Jag börjar så här. Avståndet a mellan en punkt vilken som helst på kurvan och Q kan skrivas a(x) = (1.5 x) + (0 x). Jag plottar funktionen för att se vad jag håller på med Det är helt klart så att det finns ett minimum att det finns kring x = 1. Ett minimum finner man genom att derivera funktionen och ta reda på var derivatan är 0. Men det känns inte lätt att derivera den här funktionen. KTH: Det har du rätt i. Vi har ännu inte nått fram till de deriveringsregler som Håkan Strömberg 15 KTH Syd
16 behövs för det. Derivatan blir så komplicerad som a (x) = x 9 8x + 4x Man ska nu inse att om man kvadrerar funktionen a(x) så kommer man fortfarande att få ett minimum i samma x-koordinat. Grafen av båda kurvorna visar detta: Figur 5: Så om du accepterar detta kan du nu gå vidare TB: Jag ska nu istället derivera denna funktion 336 a (x) = ( 3 x) + ( x ) a (x) = x 3x + x a (x) = x a (x) = 0 då x = 0 x = 1 Jag läste av grafen ganska bra eller hur? Punkten på kurvan vi är på jakt efter är (1, 1). Avståndet mellan punkterna får vi genom a(1) = ( 3 1) + (0 1) = 5/ En ganska jobbig uppgift. TB: Den här kommer jag att klara. Vi har funktionen f(x) = ax +bx+c. Derivatan som vi kommer att behöva är f (x) = ax + b. a, b och c är alla obekanta och ska bestämmas. Följande är givet f(1) = 4, f(0) = 0 och f (0) = 1. Man får ut två ledtrådar ur tangerar linjen y = x i origo. Linjen y = x har ju som bekant lutningen k = 1. Nu får vi ett ekvationssystem: f(1) = 4 a + b + c = 4 f(0) = 0 c = 0 f (0) = 1 b = 1 Huvudräkning ger funktionen f(x) = 3x + x Håkan Strömberg 16 KTH Syd
17 KTH: Bra 338 TB: En sådan där jobbig uppgift igen. Jag fattar ingenting. KTH: Vad krävs för att en funktion ska ha två extrempunkter? TB: Att derivatan har två nollställen, eller åtminstone två nollställen. Det kan ju dessutom finnas terrasspunkter. KTH: Räcker det inte för att du ska kunna komma på något. TB: Jag deriverar f(x) = x 3 + ax + bx och får f (x) = 3x + ax + b. Det är alltså ekvationen f (x) = 0, som ska ha två rötter. Det har ju alltid en andragradsekvation. KTH: Nej, inte alltid två reella rötter. Dessutom kan det finnas en dubbelrot. TB: Sen då? 3x + ax + b = 0 x + ax 3 + b 3 = 0 x = a 3 ± a 9 3b 9 KTH: Hur stor får b vara för att det ska finnas reella rötter? TB: 3b får inte vara större än a, då blir det negativt under rottecknet. 3b får heller inte vara lika med a, för då blir det en dubbelrot, leder till terrasspunkt och endast en extrempunkt. Svaret är alltså a > 3b Håkan Strömberg 17 KTH Syd
KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merHF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merÖvningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a
Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merNpMa2a ht Max 0/0/3
14. Max 0/0/3 Godtagbar ansats, t.ex. sätter ut lämpliga beteckningar och tecknar någon ekvation som krävs för bestämning av a +1 A PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( a = 12 ) +1 A PL
Läs mer