f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Transkript

1 Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten, eller folkmängden för de två tidpunkterna f(t 1 ) och f(t 2 ) och bilda den genomsnittliga förändingshastigheten genom f(t 2 ) f(t 1 ) y 2 y 1 t 2 t 1 t 2 t 1 Figur 1: Om funktionen har ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringshastigheten ganska lite. I figuren har vi: för punkterna ( 4, 0) och (3.5, 51.6) ( 4) Men för punkterna ( 4, 0) och (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med ( 4) Ganska stor skillnad eller hur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringshastigheten Förändringskvoten förändingen över ett intervall intervallets längd Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 1 När Adam startar sin resa, kl 8 : 32 stod bilens vägmätare på km. När han var framme, kl 10 : 32 visade mätaren km. Beräkna Adams genomsnittliga hastighet i km/tim. Med hjälp av formeln 2 v s t kan vi bestämma den genomsnittliga hastigheten genom v Svar: 75 km/tim OBS! Vi kan under denna färd inte säga någonting om den högsta eller lägsta hastighet Adam hållit under sin resa. Grafen visar den vinst v i tusentals kronor en affär har haft under tiden t Figur 2: veckor. Bestäm förändringen v i tusentals kronor från vecka 1 till vecka 5. Lösning: Vi läser från grafen v(t) ut v(1) 3 och v(5) 4 vilket ger s Svar: Förändringen är 1000 kr. 3 För en funktion f(x) vet man att f(10) 115 och f(15) 220. a Bestäm ändringen i x, det vill säga. b Bestäm ändringen i y, det vill säga. c Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten Lösning: Ändringen i x-led Ändringen i y-led, Den genomsnittliga förändringshastigheten blir då Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 4 För funktionen y f(x) vet man att f(10) 32 och f(61) 118. Beräkna och tolka den genomsnittliga förändingshastigheten / om x mäts i år och y i kilogram. Lösning: Givet f(10) 32 och f(61) 118. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (10, 32) och (61, 118) ligger på grafen och vi kan nu skriva f(61) f(10) Svar: Den genomsnittliga viktökningen är 1.69 kg/år 5 Stockholms folkmängd: 1.69 År Folkmängd År Folkmängd År Folkmängd Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten per år för folkmängden Från 1900 till 2000 Under 1980-talet Under vilken period har förändringshastigheten varit som störst? Lösning: Vi plottar punkterna i ett diagram Figur 3: a) Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1900 till 2000 beräknar vi genom Stockholms folkmängd steg under denna period med i genomsnitt 4371 människor/år. b) Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt: Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Stockholms folkmängd steg under 90-talet med i genomsnitt 7590 människor/år. c) För att besvara denna fråga korrekt kan man bli tvungen att utföra 17 16/2 136 beräkningar. När vi gjort det vet vi att stadens folkmängd steg som fortast under 1940-talet Stockholms folkmängd har stigit som mest under 40-talet med i genomsnitt människor/år. 6 I tabellen nedan ser du har många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön Skatt a Hur många procent i skatt betalar den som har en en månadslön på kr? b Samma fråga för den som tjänar kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den behålla som har månadslönen och får 100 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten och Lösning: a) Den som tjänar betalar 7080 i skatt % b) Den som tjänar betalar 7137 i skatt % 1 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns här rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå. c) att jämföra med Det blir alltså kr över Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar och får lönen höjd till % Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 7 Beloppet sätts in på banken till 5% ränta år Beräkna den genomsnittliga tillväxtshastigheten mellan åren 2002 och Lösning: År 2002 har kapitalet funnits på banken i 2 år. Kapitalet har då stigit till År 2006 har kapitalet funnits på banken i 6 år. Kapitalet har då stigit till Mellan åren 2002 och 2006 har den genomsnittliga tillväxthastigheten varit Kostnaden K(x) för att producera x armbandsur ges av formeln Beräkna och tolka a K då x ändras från 200 till 300 K(x) x( x) b K/ då x ändras från 200 till 300 c K/ då x ändras från 200 till 201 d K/ då x ändras från 300 till 301 Lösning: a) K(200) ( ) K(300) ( ) K b) K Kostnaden för att producera ett ur är i intervallet kr. c) K Svar: Den 201:a klockan kostar kr att producera. d) K Svar: Märkligt nog blir det dyrare att producera den 301:a klockan än den 201:a, kr Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 9 En boll släpps från toppen av ett torn. Den sträcka bollen fallit efter t sekunder beräknas genom s(t) 5t 2 a Hur långt har bollen fallit efter 3 sekunder? b Hur långt tid tar det innan bollen fallit 125 meter. c Om tornet är 180 meter högt. Hur lång tid tar det då för bollen att nå marken? d Vilken medelhastighet har bollen haft från det den släpptes tills den nådde marken? e Vilken medelhastighet har bollen haft från det den fallit 180 meter till den når marken? f Försök uppskatta bollens hastighet precis då den når marken. Lösningar: a) s(3) meter b) Lösningen till ekvationen Svar: 5 sekunder c) Svar: 6 sekunder d) Svar: 30 m/s e) 125 5t 2 t 25 t t 2 t 36 t 6 s t s t Svar: 55 m/s f) Vi kan bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179 meter t 2 t t vilket ger s t Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 På samma sätt kan vi bestämma efter hur lång tid bollen fallit meter 179 5t 2 t t vilket ger s t Svar: Det verkar som hastigheten närmar sig 60 m/s ju mindre intervall vi väljer. Att detta antagande är korrekt kommer vi att kunna visa innan veckan är slut. 1 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y f(x) 2x 3 först i intervallet [3...6] och sedan i intervallet [ ]. Är det en tillfällighet att Y/ är den samma för dessa två intervall? 2 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är då intervallet är [0...10] y f(x) x 2 3 Den genomsnittliga förändingshastigheten är 10 i intervallet [2...3]. f(2) 35. Bestäm f(3). 4 Den sträcka s meter en kropp rör sig beror av tiden t sekunder enligt s(t) 20t 5t 2. Bestäm medelhastigeten i intervallet från 0 till 1 sekund. 5 En cirkels area A beror på cirkelns radie r. Beräkna ändringskvoten då r ökar från 5.0 till 5.2 A r 1 (2 6 3) (2 3 3) 6 3 (2 10 3) (2 ( 1) 3) 10 ( 1) Nej det är ingen tillfällighet. Funktionen är en rät linje och då är förändingshastigheten lika med linjens k-värde. 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 2 3 Vi får ekvationen 4 som har lösningen 25. Svar: f(3) 25 s(1) s(0) 1 0 Svar: Medelhastigheten är 15 m/s y Vi använder formeln A(r) πr 2 och får (20 5) A r π(5.2)2 π(5.0) Räkna bokens uppgifter: 2105, 2107, 2110, 2112, 2114, 2116, 2117, a) Vi läser från grafen s(t) ut s(0.5) 15 och s(3.5) 40 vilket ger s Givet f(8) 12 och f(11) 24. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (8, 12) och (11, 24) ligger på grafen och vi kan nu skriva f(11) f(8) Den genomsnittliga temperaturökningen är 4 C/h 2110 Vi plottar punkterna i ett diagram Figur 4: Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1950 till 2000 beräknar vi genom Sveriges befolkning stiger med i genomsnitt människor/år. Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt. Vi försöker först med människor/år. Men se det stämmer inte, när vi jämför med svaret. OK, då testar vi detta: människor/år stämmer bättre a) En löneförhöjning på 260 kr b) Från tabellen får vi y(17000) 5080 och y(16740) 4980 och därmed c) Marginalskatten får vi nu genom / 100/ % 2114 b) Givet N(t) t + 15t 2. Hur många fler bakterier kommer det att finnas i kulturen vid tiden t 2 i jämförelse med t 1.5? Vi beräknar för detta N N(2) N(1.5) Tillväxthastigheten kan nu bestämmas genom N t I denna uppgift är funktionen K(x) 5000+x( x) central. Kostnaden för att producera x enheter bestäms med hjälp av K(x). Vad kommer då att hända med kostnaderna när vi höjer antalet producerade enheter från 100 till 120? K K(120) K(100) När antalet producerade produkter ökas från 100 till 120 så ökar alltså kostnaden med 420 kr. K K(120) K(100) Produktionskostnaderna för de sista 20 enheterna blir 21 kr/st V(t) t + 8t 2. Här ser vi grafen. Givetvis finns det liter vatten i tanken vid t 0. Att ta reda på när tanken är tom är samma sak som att ta reda på t då V(t) 0. Detta är samma sak som att lösa andragradsekvationen t + 8t 2 0, som har rötterna t 1,2 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter, vilket vi kan utläsa från grafen. För att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten under tiden t 18 till t 22 tecknar vi V t V(22) V(18) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Figur 5: Det rinner alltså ut 480 liter/minut i medeltal under den aktuella tiden. Vid tiden t 0 är utströmningshastigheten som störst. Då t 50 droppar det bara ur tanken. Det är tangentens lutning som anger den momentana hastigheten Nu är det funktionen v(t) 13.3t 0.44t 2 som gäller. Hastigheten för en viss bil under de 15 första sekunderna. v(0) 0, bilen står stilla vid tiden t 0. v(5) 55.5 m/s, bilen har accelererat till 55.5 m/s efter 5 sekunder. v(6) v(4) Hastigheten har ökat från m/s till m/s på 2 sekunder. Medelaccelerationen har under denna tid varit 8.9 m/s 2 Håkan Strömberg 10 KTH Syd