1 Förändingshastigheter och derivator
|
|
- Elisabeth Pålsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, astigeten, eller folkmängden för de två tidpunkterna oc för f(t ) oc f(t 2 ), för att sedan bilda den genomsnittliga förändingsastigeten genom f(t 2 ) f(t ) t 2 t y 2 y t 2 t y x Figur.: Om funktionen ar ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringsastigeten ganska lite. I figuren ar vi: för punkterna ( 4, 0) oc (3.5, 5.6) y x ( 4) Men för punkterna ( 4, 0) oc (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5. y x ( 4) 0 7 0
2 2 Förändingsastigeter oc derivator Ganska stor skillnad eller ur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringsastigeten Förändringskvoten y x förändingen över ett intervall intervallets längd.2 Lösta problem Övning. (304). Kl 0 : 20 avläste Emma bilens vägmätare till km oc kl 2 : 35 till km. Beräkna Emmas genomsnittliga astiget. När vi nu ska bestämma astigeten, vilken storet ska vi då använda: km/tim, m/s eller m/min? Vi bestämmer oss för den vanligaste då det gäller att framföra bilar. Emma ar kört km. Hon startade 0 : 20 oc kom fram 2 : 35. Hon beövde alltså 2 timmar oc 5 minuter, eller 2.25 timmar, för att nå målet. Vi kan nu bestämma den genomsnittliga astigeten till Svar: 6 km/tim Man måste förstås fråga sig var on framförde sitt fordon. För inte var det väl i Sverige? Övning.2 (305). Grafen visar den vägsträcka s m som ett föremål rört sig på tiden t s. Bestäm förändringen s i m från t 0.5 till t Frågeställaren är vänlig oc markerar gällande punkter på graferna. För båda graferna är t t 2 t Återstår att från grafen läsa av s oc s 2. I a) får vi s 5 m oc s 2 40 m som ger s s 2 s m. I får vi s 35 m oc 2 5 m som ger s s 2 s m Det gäller alltså att se upp med ordningen i subtraktionen oc inte bli frustrerad då resultatet blir negativt
3 .2 Lösta problem 3 Övning.3 (Ej med) För funktionen y f(x) vet man att f(8) 38 oc att f(2) 52. a) Bestäm ändringen i x, det vill säga x Bestäm ändringen i y, det vill säga y c) Bestäm den genomsnittliga förändringsastigeten y x d) Tolka vad ditt värde i c) betyder om y är ur många kg en x år gammal pojke väger. a) x x 2 x y y 2 y c) y x d) Pojken ökar i genomsnitt sin vikt med 3.5 kg/år Efter en snabb slagning på internet kan man konstatera att en normal 8-åring ska väga kring 27 kg oc en normal 2-åring 40 kg. I vår uppgift ar vi alltså att göra med en något överviktig pojke Övning.4 (307). Ett föremål faller fritt på månen. Fallsträckan s m kan då beräknas med s 0.8t 2, där t är tiden i sekunder. Bestäm a) fallsträckan från t 2.3 till t 2.7 medelastigeten i detta intervall. Här ar vi värden på t oc t 2 men inga värden på s oc s 2. Istället ar vi en formel som kan ge oss dessa värden. Vi får s oc s a) fallsträckan blir s 2 s m. medelastigeten blir s 2 s m/s t 2 t x
4 4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.5 (308). Grafen visar den sträcka s m som ett föremål flyttat sig på tiden t s. Bestäm föremålets medelastiget i intervallet från t 2.0 till t Punkterna finns utsatta i grafen som vi kan bestämma koordinaterna för (t, s ) (2, 30) oc (t 2, s 2 ) (5, 50). Vi vet direkt ur vi ska antera dessa data, eller ur? s 2 s t 2 t m/s Övning.6 (309). Tabellen visar ur en epidemi brer ut sig. Tid x veckor Antal sjuka y Beräkna oc tolka den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x i intervallet a) från x 2 till x 4 från x 0 till x 8 c) från x 8 till x 0 s står för antalet sjuka oc t för antalet veckor. a) s 2 s t 2 t 4 2 Antalet insjuknade ökade under dessa två veckor med 827 patienter/vecka s 2 s t 2 t 8 0 c) Antalet insjuknade ökade under dessa åtta veckor med 500 patienter/vecka. s 2 s t 2 t 0 8 Skönt, nu verkar kulmen a nåtts! Antalet sjuka under dessa två veckor ar minskat med 76 patienter/vecka Övning.7 (30). SMHI meddelar att dygnsmedeltemperaturen ökat med i genomsnitt 5 C månad från januari till juli. Skissa två olika grafer som beskriver ur temperaturen kan a varierat under våren.
5 .2 Lösta problem 5 0 J F M A M J J -0 Det är bara att konstatera att det kan se ut lite ur som elst, så länge Medeltemp Juli Medeltemp Januari 5 6 Övning.8 Nästan(3)I tabellen nedan ser du ar många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön Skatt a Hur många procent i skatt betalar den som ar en en månadslön på 9500 kr? b Samma fråga för den som tjänar 950 kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den beålla som ar månadslönen 900 oc får 00 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten 9800 oc a) Den som tjänar 9500 betalar 7080 i skatt % 9500 Den som tjänar 950 betalar 737 i skatt % 950 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns är rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå.
6 6 Förändingsastigeter oc derivator c) att jämföra med Det blir alltså kr över d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar 9800 oc får lönen öjd till % Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 0 x Övning.9 (36). Figuren visar en nyårsrakets öjd y m som funktion av tiden x s. Ange två punkter på grafen så att den genomsnittliga förändringsastigeten y y är cirka a) 35 m/s 30 m/s c) 0 m/s d) Beskriv resultaten i a) till c) med ord Som alltid när man läser i ett diagram andlar det om ungefärliga värden. a) sekund efter start är öjden cirka 35 m, som ger den genomsnittliga förändringsastigeten m/s. Efter 6 sekunder befinner sig raketen på öjden 60 m. Två sekunder senare, efter 8 s slår den i marken. Vi får då m/s. c) Grafen är av allt att döma symmetrisk kring x 4. Mellan vilka två punkter som elst, som ligger på ömse sidor om x 4 måste då förändringsastigeten vara 0, till exempel m/s Övning.0 Nästan (32). Låt N(t) vara antalet bakterier i en bakteriekultur efter t. Beräkna den genomsnittliga tillväxtastigeten från t.5 till t 2.0 om a) N(t) t 4 N(t) t + 5t 2 a) Vi använder oss av den givna funktionen oc beräknar N(.5) 08. oc N(2.0) 25.6 oc får N(2.0) N(.5) 35 bakterier/ 2.0.5
7 .2 Lösta problem 7 En blygsam tillväxt! Som ovan, men nu med en annan funktion som ger N(.5) oc N(2.0) 2060 oc får N(2.0) N(.5) bakterier/ Övning. (34). Temperaturen i en ugn f(t) C ändras med tiden t enligt f(t) t 3 6t + 20 Beräkna oc tolka ändringskvoten f(6) f() 6 Vi beräknar temperaturerna efter timme respektive 6 timmar med jälp av den givna funktionen. Sedan kan vi beräkna ändringskvoten, det vill säga med ur många grader ugnsvärmen stiger per timme under detta tidsintervall. f() 5 C oc f(6) 200 C som ger f(6) f() grader/timme Man kan förstås undra vad det är för ugn. Vid starten är temperaturen f(0) 20 C oc en timma senare ar temperaturen sjunkit till f() 5 C. Efter ett dygn f(24) 3700 C Övning.2 (33). Sant eller falskt? Beräknar vi ändringskvoten för en linjär funktion får vi alltid samma resultat, oavsett vilket intervall vi tar Ja, så är det förstås. När vi nu talar om räta linjer, ur brukar vi då beteckna ändringskvoten? Jo, med bokstaven k. Linjens k-värde är detsamma som ändringskvoten. Övning.3 (37). Hastigeten v(t) m/s för en sportbil ges av formeln v(t) 3.3t 0.44t 2, där t är tiden i sekunder oc 0 t 5. Beräkna oc tolka a) v(5) v(6) v(4) 2 a) v(5) 55.5 m/s ger svar på vilken fart bilen ar efter 5 sekunder. Efter 5 sekunder är förresten farten km/. Efter 5 sekunder gäller det att ålla i ratten för då är farten upp i 362 km/! v(6) v(4) 8.9 m/s 2 2 ger svar på medelaccelerationen mellan 4 oc 6 sekunder.
8 8 Förändingsastigeter oc derivator Övning.4 (38). En cylindrisk tank inneåller liter vatten. Genom ett ål i tankens botten rinner vatten ut. Volymen V liter efter t min ges av formeln V(t) t + 8t 2 a) När är tanken tom? Beräkna den genomsnittliga utströmningsastigeten i intervallet 8 t 22 c) Vad bör vi mena med utströmningsastigeten för t 20? d) I intervallet 0 t a är utströmningsastigeten 600 liter/min. Bestäm a. a) Genom att lösa V(t) 0 får vi svaret. Alltså andragradsekvationen t + 8t 2 0 Ekvationen ar en dubbelrot x,2 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter. Vi bestämmer först V(8) 892 oc v(22) 6272 oc därefter den numera bekanta kvoten V(t 2 ) V(t ) t 2 t 22 8 Vi tolkar det som att inströmningsastigeten är 480 liter/min oc att utströmningsastigeten är 480 liter/min. c) Här ar vi bara en tidpunkt given! Om vi tar reda på V(9) oc V(2) oc bestämmer ändringskvoten, borde det fungera ganska bra för att ge utströmningsastigeten efter 20 sekunder. Vi får V(2) V(9) Samma värde! Men om vi tar V(9.9) oc V(20.) V(20.) V(9.9) Samma igen! Nu gissar vi att utströmningsastigeten efter 20 minuter är 480 liter/min. Man vill ju se grafen! d) Kul! En ekvation. Vi utgår förstås från vår formel för ändringskvot V(a) V(0) a 600
9 .3 Kurvors lutning 9 Sen då? Vi ar ju V(t) t + 8t2 oc då är V(a) a + 8a2. V(0) Nu får vi a + 8a a som ger a 600 med lösningen a minuter efter att kranen öppnats är den genomsnittliga utströmningsastigeten 600 liter/min. Övning.5 (Ej med) För en funktion y f(x) vet man att f(a) c oc att den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x är k i intervallet från x a till x b. Bestäm f(. Detta är en ren teoretisk uppgift. Inte ett enda tal är givet! Men vi ar vår formel för ändringskvoten att luta oss mot. f( c f( f(a) b a b a Vi vet nu att denna kvot ska vara lika med k oc får då ekvationen f( c k b a där vi löser ut f( oc får f( k(b a) + c Tänk på att något kan vara givet utan att man för den skull ar ett tal för denna storet. Här är k, a, b, c alla givna..3 Kurvors lutning y D B A C E x Övning.6 (Ej med) Bestäm ur diagrammet lutningen för linjestyckena AB, BC, CD oc DE.
10 Förändingsastigeter oc derivator 0 De 5 punkterna är A (0, 2), B (4, 4), C (6, 2), D (0, 5) oc E (, 2) AB BC CD DE y D C A E F B x Övning.7 (324). Ange för A F den eller de punkter som ar a) c) d) positiv lutning negativ lutning lutningen noll störst lutning Tänk dig en tangent till kurvan i aktuell punkt. Tangenten är ju en rät linje. En rät linje ar ett k-värde. Avgör för punkterna ur tangenten lutar. Positiv lutning: C oc F Negativ lutning: A oc E Ingen lutning: B oc D Störst lutning: C Övning.8 (334). a) Vad menas med en kurvas medellutning i ett intervall? Vad menas med en kurvas lutning i en punkt? a) I ett intervall finns ett största oc ett minsta värde x2 oc x. Bestäm f(x2 ) oc f(x ) oc beräkna medellutningen med formeln f(x2 ) f(x x2 x
11 .3 Kurvors lutning Tangentens lutning Övning.9 (223). Beräkna medellutningen för kurvan y 4x x2 i intervallet x 2. y(2) oc y() Vi får nu medellutningen y(2) y() 2 Övning.20 (Ej med) Bestäm medellutningen i intervallet x 3 för kurvan a) y 2x y 2 x Samma sak två gånger till! a) y 2 yx + B A(,2) x Övning.2 (330). Ange k-värdet för en linje genom A oc B om B ar x- koordinaten a) c) d) e) Studera dina svar i a) till d). Vilken lutning tror du en tangent till kurvan i A bör a?
12 2 Förändingsastigeter oc derivator A (, 2) oc f(x) x 2 + f(x) 2 x x f(x) a) c) d) För x-värden ännu närmare gissar vi att tangenten kommer att a k-värdet. Övning.22 (Ej med) Punkten (3, 9) ligger på kurvan y x 2. a) Bestäm k-värdet för sekanten genom punkterna (3, 9) oc ((3 + ), (3 + ) 2 ) Bestäm k-värdet för tangenten i punkten (3, 9) genom att låta närma sig 0. c) Ställ upp ekvationen för tangenten i punkten (3, 9). a) (3 + ) ( När går mot 0, blir mindre oc mindre går 6 + mot 6. Man skriver lim är en förkortning av limes. lim c) Resultatet av gränsvärdet betyder att tangentens k-värde är 6. När man ar en punkt (3, 9) oc k 6 kan man bestämma tangentens ekvation m-värdet får vi ur m m 9 oc linjens ekvation blir då y 6x 9. Övning.23 (Ej med) Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y x 2 i punkten ( 2, 4). Upprepning är pedagogikens moder. Vi ska alltså genomföra det vi gjorde i förra uppgiften. Dels ar vi punkten ( 2, 4) oc så skapar vi en virtuell punkt ( 2 +, ( 2 + ) 2 ). Så bestämmer vi ändringskvoten nu f(x 2 ) f(x ) ( 2)2 4 x 2 x 2 ( 2) ( 4) 4 + lim Tangenten ar alltså k 4. Vi ar en punkt oc k-värdet oc kan då först bestämma m genom 4 ( 4) ( 2) + m som ger m 4. Vi ar nu tangentens ekvation y 4x 4
13 .3 Kurvors lutning 3 Övning.24 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan till y 6x x 2 i punkten a) (0, 0) (4, 8) a) Vi ar en punkt, (0, 0) oc skapar en till (0 +, 6(0 + ) (0 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6 2 lim 0 0 lim (6 ) 6 0 Vi ar en punkt, (4, 8) oc skapar en till (4 +, 6(4 + ) (4 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6(4 + ) (4 + ) 2 8 (2 + ) lim lim Övning.25 (335). Skissa en egen kurva för vilket följande gäller: medellutningen 0 i intervallet 3 x 0 lutning i punkten (0, 0) lutning 0 i punkten (2, 2) lutning 2 i punkten (4, 0) Jag ar fuskat lite med sådant vi inte lärt oss ännu. f(x) x4 47 3x3 76 9x x Det finns oändligt många funktioner som uppfyller villkoren. Detta är en oc säkert inte den enklaste. Om man endast ska skissa en graf utan att ta reda på funktionen ritar man först ut tangenterna oc fyller i en passande graf.
14 4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.26 (Ej med) Ställ upp oc förenkla ändringskvoten för funktionen f(x) x 2 3, då x ändras från a till a +. f(x 2 ) f(x ) (a + )2 3 (a 2 3) (a + )2 3 (a 2 3) (2a + ) 2a+ x 2 x a + a Övning.27 (Ej med) Förenkla differenskvoten för a) f(x) 3x f(x) 5x 2 c) f(x) 6 4x d) f(x) x 2 3x + f(x + ) f(x) a) 3(x + ) 3x x + x 3 3 5(x + ) 2 5x 2 x + x 5(x x) 5x x (5 + 0x) 0x + 5 c) 6 4(x + ) (6 4x) x + x 6 4x x) x + x 4 4 d) (x + ) 2 3(x + ) + (x 2 3x + ) x + x 2x x + x x2 + 2x + 2 3x 3 + x 2 + 3x x + x (2x + 3) 2x 3 +
15 .3 Kurvors lutning 5 Övning.28 (Ej med) En kropp faller fritt. Efter t s ar kroppen fallit s m enligt s 5t 2 a) Bestäm med en ändringskvot ett ungefärligt värde på kroppens astiget efter 2.5 s genom att ) beräkna en ändringskvot där t 0.0 2) rita upp grafen med räknaren, zooma in oc läs av två punkter nära t 2.5 Bestäm exakt astigeten efter 2.5 s med jälp av differenskvoten f(2.5 + ) f(2.5) a) a2) 5( ) ( ) Läser vi av i grafen får f(2.5 + ) f(2.5) Vi genomför gränsövergången 5(2.5 + ) ( lim Det är nog bara tur att vi får ett bättre värde (det exakta) i a2) än i a).
16 6 Förändingsastigeter oc derivator Övning.29 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan y x 2 x i den punkt som ar x-koordinaten a? (a + ) 2 (a + ) (a 2 a) a + a a2 + 2a + 2 a a 2 + a + 2a + Ett lika enkelt gränsvärde lim 2a + 2a 0 Övning.30 (Ej med) En sekant med lutning 4 går genom punkterna A oc B på kurvan y x 2. Vilka koordinater ar punkten B om punkten A (, )? x oc y 2 y(x 2 ) x 2 x2 2 x 2 (x 2 )(x 2 + ) x 2 + (x 2 ) Vi får ekvationen x som ger x 2 3. Då blir y Om vi vill, kan vi nu bestämma sekantens ekvation. Vi ar en punkt (eller egentligen två) oc k 4. Vi bestämmer m genom ekvationen 4 + m oc får m 3 oc sekantens ekvation y 4x 3 Här en bild som visar vad vi åller på med: Övning.3 (236). Vilken lutning ar kurvan y x 3 där x 2? Här blir det lite extra jobbigt eftersom man ska beräkna ett uttryck liknande (a + 3. (x + ) 3 x 3 x + x x3 + 3x x + 3 x 3 (3x2 + 3x + 2 ) 3x 2 + 3x + 2 Vi använder oss av limes oc får lim 0 3x2 + 3x + 2 3x 2
17 .3 Kurvors lutning 7 Inte förrän nu sätter vi in x 2 oc får lutningen Vi ade förstås kunnat sätta in x 2 från början. Då får vi (2 + ) ( ) oc lim Övning.32 (Ej med) Visa att kurvorna y ax 2 oc y ax 2 + b ar samma lutning för alla värden på x. Funktionen y ax 2 ger a(x + ) 2 ax 2 x + x ax2 + 2ax + a 2 ax 2 (2ax + a 2ax + a Funktionen y ax 2 + b ger lim 2ax + a 2ax 0 a(x + ) 2 + b (ax 2 + x + x ax2 + 2ax + a 2 + b ax 2 b (2ax + a 2ax+a lim 2ax + a 2ax 0 Här är en bild över detta där a 3 oc b Genom att lägga till en konstant b 2 skjuter vi bara grafen 2 eneter i öjdled. Detta påverkar inte lutningen os kurvan.
Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merKapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merFörändringshastighet ma C
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h
DOP-matematik Copyrigt Tord Persson Gränsvärden Uppgift nr 1 f(x) x². Gör denna värdetabell komplett genom att i tur oc ordning ersätta x i funktionen med de olika talen / uttrycken i tabellen. Första
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merFörkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)
1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merMATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer9-2 Grafer och kurvor Namn:.
9-2 Grafer och kurvor Namn:. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad som menas med koordinatsystem och hur man kan visa hur matematiska funktioner kan visas i ett koordinatsystem. Det är i och
Läs merFunktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E
Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för
Läs merKapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.
Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.
Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-11. Endast svar krävs. Uppgift 1-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merTEN22 Tekniskt basår. Miniräknare, Slutbetyget på. avklarats med Poäng Lycka till!
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: TENTAMEN HF Matematik för basår I TEN Tekniskt basår Jonass Stenolm Niclas Hjelm 5--6 :5-7:5
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merNågra problemlösnings och modelleringsuppgifter med räta linjer
Några problemlösnings och modelleringsuppgifter med räta linjer Dessa uppgifter är indelade i två delar utan miniräknare och med miniräknare. Försök gärna lösa någon av varje del istället för alla på en
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merFörkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)
1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck 1 Algebraiska uttryck, Gränsvärden Förkortning och förlängning av rationella uttryck
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2
Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=
Läs mer17.10 Hydrodynamik: vattenflöden
824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs mer