MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Transkript

1 MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga bedömningen. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng avsevärt. I provet är räknaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner. Preliminär poängsättning. Utgående från figuren går linje genom origo och punkten (,). Riktningskoefficienten är då och ekvationen y x. Linje går genom punkterna (0,) och (,0). Linjens riktningskoefficient är 0 0 Linjen skär y-axeln i punkten y. Ekvationen är därmed yx. Linje är parallell med x-axeln och skär y-axeln i punkten y. Detta är också linjens ekvation. Matematikprov, kort lärokurs 8..05

2 . x(4x) x( x) x4x xx xx x, vars värde är då x. b) Exempelekvation x 0, vars ena rot är. c) Vi sätter in x i ekvationen x( x 5) ax, och får ( ) a a 8 a 4.. Jämförelse: ,097..., 0 vilket betyder att kvinnans maximala puls är ca % högre. b) Nedre gränsen är 0,60 (6 0) 7,6 8. Övre gränsen är 0,70 (6 0) 7, Enligt Pythagoras sats är BC 8, 4,4 46,5 6, ,8 (cm). b) Om de spetsiga vinklarna är och, så är 4,4 sin 0,54...,904...,9. 8, Därmed är 90 57, c) Arean är AB BC 4,4 6,8007 4, ,0 ) 5. Riktningskoefficienten för den räta linje s som går genom punkterna (0,5) och (, 56) i ett (h,t)-koordinatsystem är k Detta betyder att luften avkyls med 7 grader då man stiger km uppåt i intervallet 0 h km. För varje kilometer uppåt avkyls luften med 7 6, ,5 grader. b) Linjen s skär T-axeln i punkten T 5 och dess riktningskoefficient k 7. Linjens ekvation är då Th ( ) 7h 5, där 0 h km. Grafen är den del av linjen s, som motsvarar värdena 0 h. Matematikprov, kort lärokurs 8..05

3 6. Presenningens areakrav: ( x h) 0, vilket ger x 0 h. Vedhögens volym V( h) x h(0 h) h0h h, h 0. V( h) 0 4h, vars nollställe är h 5. Eftersom grafen av funktionen V( h ) är en nedåtvänd parabel är det fråga om ett maximiställe. Därmed är vedhögens bredd x 0 h 5 (m) och höjd,5 m. 7. Vi gör en tabell: Hastighet (km/h) Tid (min) Vinter x 5 Sommar x 0 Farten och åktiden är omvänt proportionella storheter Vi får ekvationen x, x0 5 vilket ger 5x x 40 x 80 (km/h). ELLER: Anta att vägavsnittets längd är s, sommarfarten är vk och vinterfarten är v t. Den tid som åtgår på vintern är 5 min = 0,5 h och på sommaren min = 0,0 h. 8. Från hastighetsvillkoret vk vt 0 får vi ekvationen s s 0, 0,0 0,5 vilket ger s 0. Vinterfartbegränsningen v 0 t 80 (km/h). 0,5 Populationens storlek efter 4 timmar är 4 N(4) 000,5 758, bakterier. b) Eftersom tillväxtfaktorn i modellen är,5, växer populationen varje timme med 5 %. c) Populationens storlek överskrider en miljon då Nt ( ) dvs. t 6 t 0,5 0, Genom att ledvis logaritmera med logaritmen med basen 0 får vi t lg,5 t 0, , vilket betyder att en miljon lg,5 överskrids efter timmar. Matematikprov, kort lärokurs 8..05

4 9. Kurvan y( x)( x)( x 4) skär x-axeln då x 0 x0 x40 x x x 4. Av dessa är den mittersta x. Då kurvans ekvation omskrivs får vi y x x. Derivatan y x ger tangentens riktningskoefficient y( ) 0. Om den efterfrågade vinkeln är, så är tan 0, ur vilket 84, ,. 0. Resultatet 0 poäng nås genom att man i alla uppgifter gissar rätt, vilket ger 0 P(0). Resultatet 9 poäng kan inte på något sätt uppnås därför att ett fel gissat svar ger resultatet 9 8 p. Därför är P(9) 0. Vid resultatet 8 poäng kan det svar som är fel gissat förekomma i 0 olika frågor. Formeln för binomial sannolikhet ger: P(8) 0. Den efterfrågade sannolikheten är 0 P(8) P(9) P(0) 0, % Matematikprov, kort lärokurs 8..05

5 . b) c) Vi gör en tabell över informationen: Antalet filer (st.) Filens Utlovat Kopieringshastighet/ storlek (kb) arvode/fil ( ) fil (s) Bildfiler x Textfiler y 8 Hela arvodet K( xy, ) 00x 8y där x, y 0. 0xy000 Begränsningsvillkor: 5xy600 där x, y 0. y0x000. y 5x 600 0x y000 x 80 Begränsningslinjernas skärningspunkt:. 5x y600 y 00 Linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna: 0x y000 y 0 x 00 y 0 och x 0 x 0. 5x y600 y600 Vi jämför K-funktionens värden i hörnpunkterna: K(0,600) 4800, K(80, 00) 9600, K(00,0) Eftersom det sista värdet är störst, lönar det sig för spionen att kopiera endast 00 st. bildfiler.. Vi betecknar: bildrutans bredd 6a, höjd 9a och diagonal d 40 tum 40,54 cm =0,6 cm. Pythagoras sats ger (6 (9 d, vilket ger d 7a d a 5, Bildrutans bredd är 6a 88, ,6 (cm) och höjd 9a 49, ,8 (cm). b) Bildrutans area är (9 (6 44a 440, (cm ). ). Matematikprov, kort lärokurs 8..05

6 . Om vitsordets siffervärde är x och antalet (frekvensen) är f, så får vi tabellen: x f f x x f x fx 48 Vitsordens medelvärde x 4, ,86 f Vitsordens standardavvikelse x x =,497, 5. Om den årliga tillväxtfaktorn är x, så får vi villkoret 000 x 086,7, ur vilket 086,7 x x 000,0867,0867,079...,08. Den nominella årliga räntesatsen är ca,8. b) På grund av inflationen har pengarnas värde minskat. Beloppet 000 år 00 motsvarar 000,085 = 085 år 0. Den reella (verklig räntan under dessa tre år är 086,7 085 =,7. 5. b) Sidovektorerna är OA i j och OB i 4j. Därmed är diagonalvektorn OP OA OB ( ) i ( 4) j 4i j. Det fjärde hörnet är därmed (4, ). Arean är OA OB ( 4) c) Kantvektorerna är OA i j k, OB i j k och OC i k. Därmed är rymddiagonalvektorn OP OA OB OC ( ) i ( ) j ( ) k 4i j. Det motsatta hörnet till origo är alltså (4,,0). Matematikprov, kort lärokurs 8..05