13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
|
|
- Simon Strömberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x Figur 3.: Vi konstaterar följande: Då x är ett stort negativt tal Då x är ett litet negativt tal Då x är ett litet positivt tal Då x är ett stort positivt tal är y ett litet negativt tal är y ett stort negativt tal är y ett stort positivt tal är y ett litet positivt tal Dessutom kan vi konstatera att f(x) saknar extrempunkter. f (x) = x 2
2 2 Potensfunktioner f (x) = 0 ger f (x) = 0 har helt enkelt inga rötter. x 2 = 0 x 2 x 2 = 0 x 2 = 0 Däremot kan man fortfarande tänka sig följande uppgift: Bestäm funktionens f(x) = x största värde då x 0. Det största värdet i ett intervall x x x 2, för en funktion som saknar extrempunkter måste alltid var något av f(x ) eller f(x 2 ). Självklart eller hur? För exemplet ovan får vi f() = och f(0) = 0. Maxvärdet är alltså. Över till funktionen med grafen f(x) = x Figur 3.2: Vad krävs av x för att f(x) < 0? Vilket värde x än har kommer f(x) > 0 I de två graferna ovan närmar sig kurvorna x- och y-axlarna. Ju större x vi sätter in desto närmare kommer kurvan axeln. När en kurva närmar sig en linje utan att någonsin nå fram kallas det linjen asymptot. Vi tar en annan funktion och försöker ta reda på kurvans asymptoter. f(x) = x Figur 3.3: Av grafen att döma finns det två asymptoter här. Ingen av dem är koordinatsystemets axlar. Den ena har ekvationen y = 2 och den andra x =.
3 3. Dagens teori 3 Att vi får en lodrät asymptot då x = är lätt att förstå. Funktionen f(x) är inte definierad för x =. Men däremot är den definierad för x = och för x = f( ) = = och f(.00000) = = Efter en förflyttning på på x-axeln har vi förflyttat oss på y-axeln. Den andra asymptoten förklarar vi så här: När x är ett relativt litet negativt tal, är den första termen i uttrycket som dominerar f(x) = x som dominerar. Till exempel då x = 0.95 bidrar den första termen med 20 och den andra med 2, för att få ge f( 0.95) = 22. När däremot x har inte längre termen x+ något större inflytande, medan den andra förblir 2. Vi skriver lim = x x = 2 och lim = x x = 2 Linjen y = 2 är alltså en asymptot till funktionen. Även denna funktion saknar extrempunkter. De kan vi inte visa därför att vi inte lärt oss derivera denna typ av funktioner ännu. De tre funktioner vi sett här har alla två grenar och är brutna, icke kontinuerliga. Vi avslutar denna diskussion, med en för oss alldeles för svår funktion, bara för att visa hur det kan se ut f(x) = (x 2) 2 + (x + 3) 2 (x 6) Figur 3.4: Vi har inte lärt oss att derivera denna typ av funktioner. Men vilka asymptoter den har, bör vi kunna se. Det finns fyra stycken: y = 2, x = 2, x = 3 och x = 6. Vi klarar av att derivera funktioner med x n i nämnaren så länge x n är ensamt. Till exempel utgör funktionen f(x) = x 3 x + 3 x 2
4 4 Potensfunktioner inga problem f (x) = 3 x 4 x 2 + ( 2) 3 x 3 = 3 x 4 + x 2 6 x 3 En annan typ av funktioner, är de där exponenterna till x är både positiva och negativa. Till exempel f(x) = 2x + x = 2 x + x Vi har stött på dem tidigare. De är intressanta därför att vi klarar av att derivera dem och därför att de har extrempunkter. Grafen till denna funktion ser ut så här: Figur 3.5: Vi ser extrempunkterna och ska snart ta reda på dem, men först en fråga om grafens asymptoter. Hur många kan du se? Att x = 0, det vill säga y-axeln är en asymptot förstår vi från den inledande diskussionen. Det finns en till! En asymptot är en linje och en linje kan beskrivas med linjens ekvation. Den andra asymptoten har ekvationen y = x. När x bidrar den första termen in funktionen med ett allt mindre tillskott och termen x tar då överhand. visar med all tydlighet detta. f(000) = Vi bestämmer nu extrempunkterna till f(x) genom att som vanligt bestämma f (x) och sedan lösa ekvationen f (x) = 0. f (x) = 2 x 2 2 x 2 = 0 = 2 x 2 x 2 = 2 x = 2 x 2 = 2
5 3. Dagens teori 5 Andra derivatan ger f (x) = 4 x 3 För f ( 2) = 4 ( 2) 3 = 2 < 0 vilket betyder att vi funnit en maxpunkt. För f ( 2) = 4 ( 2) 3 = 2 > 0 vilket betyder att vi funnit en minpunkt. Allt stämmer när vi jämför med grafen. Funktionen f(x) = x = x 2 är också en potensfunktion, fast exponenten inte är ett heltal. Vi har lärt oss att, till exempel, ekvationen x 2 = 4 har två rötter x = ±2. Om vi för varje x till funktionen f(x) = x skulle få två värden skulle kurvan se ut så här: Figur 3.6: Kurvan finns, men inte funktionen! Vi har tidigare nämnt, att till ett givet x får finnas högst ett värde f(x ), om f(x) ska vara en funktion, inte två som här. För att komma till rätta med detta problem har man bestämt, att det är den positiva grenen, som gäller när man talar om f(x) = x. Här är den grafen: Figur 3.7: Att funktionen inte är definierad för x < 0 visste vi redan. Så är det förresten för alla potensfunktioner där inte samtliga exponenter är heltal. Finns det någon asymptot hos kurvan i figur 3.7? Svaret är nej, även om man inte kan se det med blotta ögat.
6 6 Potensfunktioner Övning 3. Skissa kurvan till funktionen f(x) = x + x När man står inför uppgiften att skissa en kurva, som man direkt ser att den har asymptoter, tjänar man ofta på att rita in dem först. Figur 3.8: Från inledningen av denna föreläsning får vi att det finns två asymptoter: x = 0 och y = x. Observera de olika skalorna på axlarna, som gör att asymptoten y = x vid första påseende ser felaktig ut. Nu tar vi reda på extrempunkterna med metoder som vi använt snart 00 gånger! f (x) = 0 leder till f (x) = x 2 x 2 = 0 = x 2 x = x 2 = Vi har hittat två extrempunkter och ska nu klassificera dem genom f (x) som ger f (x) = 2 x 3 f ( ) = 2 = 2 < 0 ( ) 3 maxpunkt f ( ) = 2 = 2 > 0 3 minpunkt Då f( ) = 2 får vi maxpunkten (, 2) och genom f() = 2 får vi minpunkten (, 2). Vi prickar in dessa punkter i grafen och med den vetskap vi har om asymptoter blir resten av skissandet enkelt. Vi får till slut Det är i och för sig inget hinder att asymptoterna finns med i den slutliga grafen.
7 3. Dagens teori Figur 3.9: Övning 3.2 Ta reda på allt du kan om f(x) = x + x2 Vi kan ta reda på a) Funktionens asymptoter b) Funktionens nollställen c) Funktionens extrempunkter d) Funktionens definitionsmängd e) Funktionens värdeförråd Asymptoter. x = 0, det vill säga y-axeln är en asymptot till funktionen. Funktionen är inte definierad för x = 0. När x närmar sig vår kurva, kurvan y = x 2, eftersom den första termen i funktionen tappar betydelse. Man kan nog säga att det närmandet är asymptotiskt, men någon asymptot som linje finns det inte. När x inträffar samma sak. Kurvan närmar sig asymptotiskt y = x 2. Nollställen till funktionen får vi genom att lösa ekvationen f(x) = 0. x + x2 = 0 x 2 = x x 3 = x = Funktionen skär x-axeln i en enda punkt (, 0) Extrempunkter får vi som vanligt genom att lösa ekvationen f (x) = 0 f (x) = 2x x 2
8 8 Potensfunktioner som ger 2x x 2 = 0 2x = x 2 Det finns alltså bara en, men av vilken typ? x 3 = 2 x = 3 2 x 0.79 f (x) = x 3 Vi får f ( 3 2 ) = 6 > 0 Vilket innebär en minpunkt i ( ( )) 3 2, f 3 (0.79,.89) 2 Definitionsmängd. Funktionen är definierad på hela x-axeln utom för x = 0. Värdeförråd. Vilka värden kan f(x) anta? Alla som vi skriver < f(x) < Figur 3.0: Om vi beskådar grafen till f(x) = (x 3)2 x i figur 3. ser vi ett exempel på en funktion som har ett mycket begränsat värdeförråd, 5 2 f(x) 0 Funktionen är just nu alldeles för komplicerad för oss. Här kommer nu några problem som mycket väl kan dyka upp på KS eller tentamen. Jag har försökt klassificera dem i tre grupper L Lätta uppgifter som alla måste kunna lösa för att ha en chans att bli godkänd på kursen
9 3. Dagens teori Figur 3.: M Lite svårare uppgifter som kan vara bra att kunna klara av om man missat någon av de enklare på tentamen. S Svårare uppgifter främst för dem som siktar på ett högre betyg. Jag ska försöka använda den här klassificeringen under resten av kursen. Övning 3.3 (L) Bestäm f (0) till f(x) = e x e 3x + e 2x 2 e x f (x) = e x + 3e 3x 2 e 2x 2 e x = ex + 3e 3x 2 e 2x 2ex = 3e 3x 2 e f (0) = 3e e 2 0 e0 = 3 2 = 0 2x ex Övning 3.4 (L) Bestäm derivatan till f(x) = x 3 med hjälp av derivatans definition Så här definieras derivatan Vi sätter in aktuell funktion f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h f (x) = lim h 0 (x + h) 3 x 3 h Det jobbigaste med detta exempel blir att utveckla (x + h) 3. Antingen utgår man från (x+h)(x+h)(x+h) och multiplicerar två parenteser i taget, eller så slår man upp formeln i formelsamlingen, eller så kommer man ihåg Pascals triangel. f (x) = lim h 0 x 3 + 3x 2 h + 3h 2 x + h 3 x 3 h = lim h 0 3x 2 h + 3h 2 x h 3 h h(3x 2 + 3hx h 2 ) lim = lim 3x 2 + 3hx h 2 = 3x 2 h 0 h h 0 =
10 0 Potensfunktioner Övning 3.5 (L) I den punkt på kurvan till funktionen f(x) = 3x 2 0x + som har x-koordinaten x = dras en tangent till kurvan. Bestäm ekvationen för denna tangent. Vi bestämmer först f() för att få tangeringspunkten. f() = = 6 Nu deriverar vi för att sedan bestämma f () som är tangentens k-värde. f () = 4 Ett nytt sätt att bestämma linjens ekvation f (x) = 6x 0 y y x x = y y 2 x x 2 där högra sidan är k-värdet, som vi ju redan har y y x x = k Detta ger ger y = 4x 2 y ( 6) x = Figur 3.2: Avsluta gärna med att plotta funktionen på dosan, så får du en bekräftelse på att du räknat rätt. Övning 3.6 (S) En affisch ska tryckas. Marginalerna över och under trycket ska vara 6 cm. Marginalerna på sidorna däremot 4 cm. Själva trycket ska vara ha en area på 384 cm 3. Bestäm affischens höjd och bredd då den har så liten area som möjligt med givna villkor.
11 3. Dagens teori Figur 3.3: Antag att tryckets höjd är h och dessa bredd är b. Arean A = bh. Då arean är given till 384 kan vi skriva h = 384/b. Hela affischens area kan nu skrivas A a (b, h) = ( b)(h ). Substituerar vi h får vi affischens area som funktion av enbart b, A(b) = (8 + b)(384/b + 2). Om vi deriverar A(b) och söker derivatans nollställe hittar vi en extrempunkt, som förhoppningsvis är en minpunkt A(b) = b ( ) 384 A(b) = (8 + b) b b A(b) = 3072 b b A (b) = 3072 b A (b) = 0 ger b = ± 2 = ±6 När b = 6 är h = 24 vilket ger affischens höjd 36 och och bredd 24. Arean är då A(6) = 864. Att det verkligen är en minpunkt, kan vi se om vi beräknar till exempel A(24) = 896 och A(24) = 896, som båda är större. Dessutom vet vi att det endast finns en extrempunkt. Övning 3.7 (L) Derivera funktionen där a, b och n är konstanter f(x) = a b x n f (x) = a n b x n+
12 2 Potensfunktioner Övning 3.8 (M) Graferna till funktionerna f(x) = 2a + 2x x 2 och g(x) = ax 5 skär varandra bland annat då x = 3. Bestäm den andra skärningspunkten. Att de två funktionerna har en gemensam punkt för x = 3 är samma sak som f(3) = g(3) 2a = a 3 5 2a = 3a 5 a = 2 Vi kan nu skriva funktionerna f(x) = 4 + 2x x 2 och g(x) = 2x 5 och kan ta reda på den andra gemensamma punkten genom ekvationen f(x) = g(x) x x 2 = 2x 5 4 x 2 = 5 x 2 = 9 x = ± 9 x = 3 x 2 = 3 Den andra gemensamma punkten är ( 3, g( 3)) = (3, ). Vilket grafen visar Figur 3.4: Övning 3.9 (M) En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär y-axeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f =. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. g(x) skär x-axeln i (8, 0) 3 8 x 3 = 0 x = 8
13 3. Dagens teori 3 Övning 3.0 (M) Bestäm den exponentialfunktion vi söker, på vars kurva två punkter är kända: P(4, ) och P2(6, ). Vi ansätter f(x) = C a x och ska alltså bestämma C och a med hjälp av f(4) = och f(6) = Vi får ett ekvationssystem: { C a 4 = C a 6 = Från första ekvationen får vi C a 4 = C = a 4 Vi substituerar C i den andra ekvationen och får a 4 a 6 = a 2 = a 2 = a = ± Vi vet nu att a =.0 och kan använda det för att bestämma C. C = Vi tecknar till sist funktionen f(x) = 75.0 x Övning 3. (S) När x förpackningar av en vara produceras och säljs blir kostnaden K(x), intäkten I(x) och vinsten V(x). K(x) = x x 2 där 00 < x < 500 I(x) = 290x 0.x 2 där 00 < x < 500 a) Ange ett förenklat uttryck för V(x) b) Beräkna marginalvinsten när 300 förpackningar säljs c) Hur många förpackningar ska säljas för att marginalvinsten ska bli 200 kr/förpackning? Vinsten V(x) = I(x) K(x) vilket är detsamma som V(x) = 290x 0.x 2 ( x x 2 ) = 280x 0.5x Marginalvinsten är M(x) = V (x) eller M(x) = x M(300) = 90 kr. Till sist söker vi M(x) = x = 200 x 267 förpackningar.
14 4 Potensfunktioner Övning 3.2 Derivera y = x + x TB: Den här uppgiften blir inga problem f(x) = x + x f(x) = x + x 2 Bara en massa tekniskt manipulerande. f (x) = x 2 x 3 2 f (x) = x 2 2x x Övning 3.3 Derivera och bestäm för vilka x funktionen har extrempunkter. y = 5x + 20 x 2 2 TB: f(x) = 5x + 20 x 2 f(x) = 5x + 20x 2 f (x) = 5 40x 3 f (x) = 5 40 x 3 f (x) = 0 då 5 40 x 3 = 0 x 3 = 8 x = 2
15 3. Dagens teori 5 Övning 3.4 Mellan hastigheten y km/h för en bil och bromsspårens längd x m gäller under vissa förutsättningar på däck och väglag att y = 5 x Beräkna och tolka y (00) TB: f(x) = 5 x f(x) = 5x 2 f (x) = 5 2x 2 f (x) = 5 2 x f (00) = 5 20 = 0.75 KTH: Ska du tolka detta resultat också? TB: Då bromsspåren kommer att bli 00 m långa så avtar bilens hastigheten med 0.75 km/tim för varje meter av bromsspåret. Bromsspåren blir 00 m då hastigheten är 50 km/tim. Det här stämmer ju inte! KTH: Nej, f(00) = 50 det är korrekt. Då f(0) Detta betyder att om bromsspåret blir meter längre så har bilen ökat sin hastighet med 0.75 km/tim Övning 3.5 Ett företag tillverkar knivar. Den genomsnittliga kostnaden g(x) kr/enhet för att producera x knivar ges av funktionen. g(x) = 2 + x x då x > 0. Vilket antal ger lägst genomsnittskostnad? TB: Ett enkelt problem. Vi har funktionen g(x) = x x som vi ska söka ett minimum för. Vi deriverar g (x) = x 2
16 6 Potensfunktioner Nu ska vi lösa ekvationen g (x) = x 2 = 0 x 2 = x = ±2000 Den negativa roten förkastar vi och får svaret x = g(2000) = 6. När man tillverkar 2000 knivar kommer kostnaden för en kniv att bli 6 kr. KTH: Det är så riktigt så. Övning 3.6 En cylinderformad konservburk av plåt rymmer 000 cm 3. Bestäm höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten som möjligt. KTH: Här ska du få en klassisk uppgift som finns i varje matematikbok. TB: Säger du det! Jag börjar med en figur Figur 3.5: Jag vet att volymen för en cylinder tecknas V c = hπr 2. Det är bestämt att burken ska rymma 000 cm 3 ( liter). Nu blir det lite knepigare, när jag ska teckna burkens totala area A c = 2πr 2 + 2πrh. Är det rätt? Den första termen är arean för de två locken och den andra är arean av den rektangel som utgör den tredje delen av burken. En sida i den rektangeln är h och den andra är 2πr, som är lika med lockens omkrets. Eftersom V c = hπr 2 = 000 kan vi lösa ut h = 000 πr 2 Detta gör att vi kan substituera bort h och få ett uttryck av arean A c som bara beror av r Jag putsar lite A c (r) = 2πr 2 + 2πr 000 πr 2 A c (r) = 2πr r Det är den här funktionen vi ska hitta ett minimum för. Då måste jag först derivera A c(r) = 4πr 2000 r 2
17 3. Dagens teori 7 Jag börjar kunna derivera funktioner med x i nämnaren ganska bra nu. Vi ska nu lösa ekvationen A c(x) = 0 4πr 2000 r 2 = 0 r 3 = 500 π r = π Jag räknar dessutom ut höjden h Höjden h är alltså dubbelt upp mot radien r, eller diametern är lika med höjden. KTH: Om du vill kan du nu ta reda på hur burkens form ändras om man tar bort ena locket. TB: Jag tror inte jag är så intresserad just nu. Övning 3.7 Bestäm talet a, så att f (0) = 6, om f(x) = 3 e ax TB: En enkel uppgift igen. f(x) = 3 e ax har derivaten f (x) = 3a e ax. Vi kan nu bestämma a eftersom f (0) = 6 som är samma sak som 3a e a 0 = 6 ger a = 2 Övning 3.8 Anna slår upp en kopp kaffe, som får stå och svalna i rumstemperatur. Enligt en matematisk modell för avsvalning kommer då temperaturen y C att avta med tiden x minuter enligt ekvationen y = e x a) Lös olikheten y(x) < 50 och tolka resultatet. b) Bestäm y (30) och tolka detta värde TB: Här är funktionen T(t) = e t. Temperaturen T som funktion av tiden t. Grafen ser ut så här: Figur 3.6: Observera origos placering. Det är inte så som det kan se ut, att kaffets temperatur går
18 8 Potensfunktioner under noll. Först ska vi besvara frågan: När blir kaffet svalare än 50 C? e t = 50 e t = e ln e t = eln 0.4 e t = eln t = ln 0.4 t = ln Efter minuter har kaffets temperatur sjunkit till 50 C. Det var inte nog med detta, vi ska också ta reda på T (30) och tolka resultatet. T(t) = e t T (t) = e t T (30) Detta betyder att efter 30 minuter så sjunker temperaturen med cirka 0.98 grader/minut. Övning 3.9 Skriv en problemtext som leder till ekvationen ( 0000 = ) x 00 TB: Vilken konstig uppgift, men ganska bra! Jag startar med 2500 kr som jag sätter in på banken till 7% ränta. Hur många år dröjer det innan beloppet har stigit till 0000 kr? Övning 3.20 Så här beräknar jag värdet av min bil säger Sven Dubbelsvenne Svensson. Jag använder bara formeln y = x där y är bilens värde och x är bilens ålder i år a) Visa grafiskt hur bilens värde avtar b) Vilken är den årliga värdeminskningen i procent? c) Beräkna y (5) genom att derivera. Tolka värdet! c) Vilken grafisk tolkning har y (5)?
19 3. Dagens teori 9 TB: Så här ser grafen, som visar bilens värde de närmaste 20 åren, ut: Bilens värde avtar Figur 3.7: med 5% per år. V(t) = x V(t) = ex ln 0.85 V (t) = ln(0.85) e V (5) x ln 0.85 Efter 5 år rasar bilens värde med cirka kr/år. I grafen visas detta med en tangent till kurvan i punkten (5, 24237). Tangenten har k-värdet Övning 3.2 Ange en exponentialfunktion y = C a x sådan att y(0) = 3 och y = 5y TB: Vi har funktionen f(x) = C a x, där C och a är konstanter som ska bestämmas. Vi har två fakta om funktionen: f(0) = 3 och f (x) = 5 f(x). Ur f(0) = C a 0 = 3 får vi omedelbart att C = 3. Den andra ledtråden är svårare att förstå sig på. KTH: Läs bara vad som står och sätt upp ekvationen TB: OK. Jag måste ta fram f (x) och skriver först om f(x) = 3e x ln a och får då f (x) = 3 ln a e x ln a Nu får jag ekvationen Nu kan jag skriva funktionen f(x) = 3 e 5x f (x) = 5 f(x) 3 ln a e x ln a = 5 3e x ln a ln a = 5 a = e 5
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merHF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs mercos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merTENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:
TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.
NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merUppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs mer