Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
|
|
- Georg Sundqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Talet e. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Centrala innehållet Orientering kring ( ) begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
2 En liten sammanfattning I detta moment har vi introducerat begreppet derivata. Vi började med att titta på en sekants (en rät linje som skär grafen i två punkter) lutning. Vi kom fram till att k-värdet på denna sekant kan beräknas med följande formel; k = Δy Δx = y ' y ) f a + h f(a) = x ' x ) h där h är avståndet mellan x1 och x2. Då vi minskar avståndet mellan de två punkter där sekanten skär grafen blir det här talet h väldigt litet (det närmar sig 0 ). Avståndet blir så litet att vi kan tänka oss att de här två punkterna går ihop till en enda punkt och sekanten övergår då till at kallas för en tangent (en tangent är en rät linje som bara nuddar grafen i en enda punkt). Tangentens lutning får vi genom att beräkna sekantens lutning och undersöka vad som händer då avståndet mellan x1 och x2 närmar sig 0. En kurvas lutning i en punkt är densamma som tangentens lutning i punkten. Tangentens lutning är derivatan. Derivatans definition f 0 (a) = lim 4 6 f(a + h) f(a) h Vidare provade vi att räkna ut några olika funktioners derivator med hjälp av denna definition och insåg ganska snabbt att det var ganska jobbigt. Vilken tur vi har att det finns några smarta snubbar som kommit på att det finns deriveringsregler!
3 Polynomfunktioner. Om vi har funktionen g x = x 8 2x : + 2 så deriverar vi x 8 för sig, 2x : för sig och 2 för sig. Funktion Derivata x ; nx ;=) så g x = 5x : 8x A. Titta på formelbladet, sid 3. Som du ser finns inte funktionen k x ; med och inte heller funktionen k. Vissa av reglerna är bäst att lära sig utantill. Kommer du exempelvis ihåg att om f x = 5x så är f x = 5 och att derivatan av en konstant är noll; om f x = 7 så är f x = 0. Exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 K, 3 K och 4 K Funktion Derivata 2 K 2 K 0,69 3 K 3 K 1,10 4 K 4 K 1,39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi börjar leta Funktion Derivata 2,5 K 2,5 K 0,9162 2,6 K 2,6 K 0,9555 2,7 K 2,7 K 0,9933 2,71 K 2,71 K 0,9969 2,72 K 2,72 K 1,0006 Nu är vi nära, talet borde ligga mellan 2,71 och 2,72, men för att hitta det exakta talet kan vi hålla på ganska länge. Det är tur att någon gjort det åt oss. Talet vi söker är talet e. Talet e är (precis som π) ett irrationellt tal, det har alltså hur många decimaler som helst, men vi kan skriva ett ungefärligt närmevärde till e. e 2, Det som är så bra med talet e är att om f x = e K så är f x = e K. På formelbladet står det: Funktion e K e WK Derivata e K ke WK
4 Med hjälp av detta blir det nu också lättare att förstå hur vi kommer fram till deriveringsregler för andra exponentialfunktioner (se lektion med överskrift Derivatan av exponentialfunktioner). Funktion a K Derivata a K ln a Vi har tittat på flera deriveringsregler, men det finns fortfarande funktioner som vi inte har deriveringsregler för. Om vi har en funktion som vi inte har några deriveringsregler för kan vi använda oss av ändringskvoten/differenskvoten f a h f(a + h) 2h Det innebär att vi tar en punkt som ligger lite till vänster om den punkt vi är intresserade av och en punkt som ligger lite till höger om denna punkt och räknar ut k- värdet för den räta linje som går genom dessa två punkter. På så sätt kan vi få ett ungefärligt värde på derivatan. Vi kan även titta på grafen till en funktion och dra en del slutsatser om derivatan i olika punkter. Exempelvis kan vi se om derivatan f x är större än, mindre än eller lika med 0. I de punkter där kurvan lutar uppåt är derivatan större än 0. Om vi har en vändpunkt ( till exempel max-/minpunkt) är derivatan 0 i denna punkt. I de punkter där kurvan lutar nedåt är derivatan mindre än 0. Slutligen kan vi även rita ut tangenter till grafen och sedan räkna ut dess k-värde, att rita ut en tangent är inte alltid så enkelt och därmed inte heller så tillförlitlig metod. Ibland kan vi ha tur och då kan det vara så att någon har ritat tangenten åt oss och den här någon är ofta ganska bra på att rita tangenter För att komma hit har vi använt oss av några hjälpbegrepp ; gränsvärde och naturliga logaritmer. Gränsvärde använder vi oss av i derivatans definition då vi undersöker vad som händer då h 0 (h går mot noll). Vi kan även använda gränsvärde i andra sammanhang, exempelvis då vi studerar olika funktioner och funderar över vad som händer då x blir stort eller som vi säger x (x går mot oändligheten). I samband med att vi studerar
5 funktioner kan det även vara intressant och veta vad som händer med funktionens värde då x närmar sig ett värde som funktionen inte är definierad för. Naturliga logaritmer använde vi för att kunna komma till att derivera exponentialfunktioner av typen y = a K genom att vi vet att y = a K = e YZ [\ = e YZ [ K och exponentialfunktioner med basen e var ju trevliga att derivera. Om vi deriverar y får vi y 0 = ln a e YZ [ K = ln a a K. Naturliga logaritmer är även bra att använda då vi löser exponentialekvationer. Vi använder då den naturliga logaritmen på samma sätt som 10- logaritmen. Kom ihåg att ln e = 1, ln e ' = 2 osv.
6 Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? När vi använder oss av derivatans definition så använder vi oss av följande formel f a = lim h 0 f a + h f(a) h där den första delen i formeln utläses limes h går mot noll. Vi räknar ut ett gränsvärde då talet h närmar sig noll. I bland vi även vara intresserade av att veta vad som händer då en variabel närmar sig något annat tal, eller att veta vad som händer då x går mot oändligheten ( ). Om vi betraktar funktionen y = 5 0, 5 x så kan vi vara intresserade av att veta vad som händer då x blir så stort att det närmar sig oändligheten. Vi skriver lim 5 0, x h 5x. Rita upp grafen på miniräknaren och vi kan se att grafen närmar sig x-axeln, men den går aldrig under x-axeln. Det ser ut som att funktionsvärdet närmar sig 0, dvs lim 5 0, x h 5x = 0. Då vi ska bestämma ett gränsvärde kan det ibland vara bra att först förenkla det uttryck som vi undersöker. *Då vi undersöker ett rationellt uttryck där x kan vi få problem och knepet är då att dividera både täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. Ex Bestäm a) lim h ' 4 ' h b) lim K h 5x + 4 x ' Lösning: 4 + h ' 4 ' a) lim 4 6 h h(8 + h) = lim 4 6 h h + h ' 16 8h + h ' = lim = lim 4 6 h 4 6 h lim 8 + h = b) Vi har ett fall där vi får vi dividerar därför täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. lim K h 5x 5x + 4 x ' = lim x ' + 4 x ' K h x ' x ' = = lim K h 5 x + 4 x ' 1 Eftersom då x och 0 då x K Kn 5 = lim K h x + 4 x ' = 0
7 Ex 1 Bestäm gränsvärdet a) lim 4 6 h + 4 b) lim 4 ' h + 4 c) lim h d) lim 4 6 h + 4 d) lim 4 6 h ' + 3h h x ' 9 e) lim K A x 3 4x + 1 f) lim K x Se sid 83-84
8 Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? En rät linje genom två punkter på en kurva kallas sekant. För att bestämma lutningen i en punkt a kan vi välja två punkter som ligger nära a och dra en rät linje mellan dessa två punkter, en sekant. Om vi beräknar k värdet på denna sekant får vi en bra approximation till derivatan i punkten a. Vi har då använt oss av en ändringskvot/differenskvot. En ändringskvot/differenskvot använder vi för att beräkna ett närmevärde till en funktions derivata i de fall vi inte har några deriveringsregler. Derivatans definition f a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi beräknar k värdet på en sekant som går genom en punkt där x = a och en punkt där x = a + h. Om vi sedan låter avståndet mellan dessa punkter bli väldigt litet, vi låter h 0 (h gå mot noll) får vi derivatan, alltså lutningen i punkten a. Denna lutning är även tangentens lutning. En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt där kurvans lutning är lika med tangentens lutning. Ex I bilden nedan är funktionen y = 0,2x 1,3 K ritad (den svarta). Den bål linjen är tangenten till kurvan då x = 5. Bestäm ett närmevärde till derivatan med hjälp av a) en differenskvot (lutningen på en sekant) b) att bestämma tangentens lutning.
9 Lösning a) Vi väljer en punkt som ligger lite till vänster om den punkt där x = 5 och en punkt som ligger lite till höger om punkten. Jag väljer här att ta punkterna där x ' = 5,001 och x ) = 4,999, det vill säga h = 0,001. k = Δy Δx = y ' y ) f 5 + h f 5 h f 5,001 f 4,999 = = x ' x ) 2h 0,002 = 0,2 5,001 1,38,66) 0,2 4,999 1,3 :,rrr 1,72 0,002 Detta innebär att f (5) 1,72. b) Jag väljer två pnkter som jag försöker läsa av så bra som möjligt. (4,2) och (6; 5,4). k = Δy Δx = y ' y ) x ' x ) = 5, = 3,4 2 = 1,7 Detta innebär att f (5) 1,7. Ex 2 Använd en differenskvot för att bestämma ett ungefärligt värde på derivatan till funktionen f x = 4 K 0,3x då x = 2. Ex 3 För funktionen y(x) finns värdetabellen x 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 y 83,4 84,6 85,8 86,1 86,6 Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till f (9,4). Ex 4 Nedan är grafen y = x ' + 1 ritad. Skissa en tangent i punkten där x = 1. Bestäm sedan tangentens lutning och berätta vad du beräknat.
10 Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Derivatans definition f 0 a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi räknar ut ett k värde på en sekant som går igenom (a, f(a)) och (a + h, f(a + h)). När vi sedna låter punkten (a + h, f(a + h)) närma sig punkten (a, f(a)), det vill säga h 0 så kommer sekantens lutning närma sig tangentens lutning. Tangentens lutning är derivatan i punkten. Alla de deriveringsregler som vi använt kommer från att vi använt oss av derivatans definition, därför är det bra att ha koll på hur vi använder derivatans defintion. Ex f(x) = x ', bestäm f (3) a) med hjälp av derivatans definition. b) med hjälp av en deriveringsregel. Lösning a) Derivatans definition ger oss att så f 0 a = lim 4 6 f a + h f(a) h f 0 f 3 + h f h ' 3 ' 9 + 6h + h ' 9 3 = lim = lim = lim 4 6 h 4 6 h 4 6 h 6h + h ' h(6 + h) = lim == lim = lim 6 + h = h 4 6 h 4 6 b) Vet att om funktionen är x ; så är derivatan nx ;=), så f(x) = x ' f 0 x = 2x f 0 3 = 2 3 = 6 Ex 5 f x = x ' + 3, bestäm f 5 med hjälp av derivatans definition. Ex 6 f x = 3x + 1, bestäm f 2 med hjälp av derivatans definition. Ex 7* Visa att om f x = 2x A så är f 0 x = 6x ' med hjälp av derivatans definition.
11 Talet e. Vi införde talet e i samband med att vi skulle derivera exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 x, 3 x och 4 x Funktion 2 x 3 x 4 x Derivata 2 x 0, 69 3 x 1, 10 4 x 1, 39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi började leta och insåg att talet vi söker är e 2, Alltså om f x = e x så är f x = e x 1, men den där ettan skriver vi ju inte ut, så f x = e x. Det som är viktigt att komma ihåg är att e är ett tal som ska behandlas som vilket tal som helst i andra sammanhang. Exempelvis är e + e = 2e 5, 4 och om vi ska derivera f(x) = ex, ja då får vi f (x) = e. Det som också är bra att ha koll på när det gäller talet e är att om vi ska lösa en exponentialexvation av typen e 2x = 3 så använder vi oss av den naturliga logaritmen ln. Ex Vi har funktionen f(x) = e ', bestäm f 0 x. Lösning f(x) = e ' 7,4 f 0 x = 0 Ex Lös ekvationen 5e AK = 30. Lösning 5e AK = 30 e AK = 6 ln e AK = ln 6 3x ln e = ln 6 3x = ln 6 x = ln 6 3
12 Ex 8 Derivera a) y = 2 ƒ b) y = e 'K c) y = e K + 2ex Ex 9 Lös följande ekvationer a) e K + 6 = 7 b) 3e K 1 = 17 c) 7e 'K + 10 = 94
13 Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Potensfunktioner har vi en deriveringsregel för. Denna regel säger att om funktionen är x n så är derivatan nx n=1. Exponentialfunktioner har vi också deriveringsregler för. Vi vet att om funktionen är e x så är derivatan e x och att om funktionen är e kx så är derivatan ke kx, dessa regler gäller bara för de exponentialfunktioner som har talet e som bas. Om vi har en exponentialfunktion som inte har basen e utan ett annat tal gäller att om funktionen är a x så är derivatan a x ln a. Ex Derivera funktionerna a) y = 3x + 3 K b) y = 2e AK + 90 c) y = x' 3 Lösning a) y = 3x + 3 K y = K ln 3 b) y = 2e AK + 90 y = 2 3e AK = 6e AK c) y = x' 3 = 1 3 x' y 0 = x = 2x 3 Ex 10 Derivera Ex 11 Bestäm lutningen i den punkt då x = 1. a) y = 3x : 4 a) y = 7x ' 4x + 3 b) f(x) = 5 b) y = x c) y = e K c) y = e K 2x d) y = 5x ' 4x d) f x = ex + 3 e) f(x) = 3x ' e)* f x = x f) y = xa 4 f) y = 4 x ' g) y = 2e AK g) f x = 5 K + 12x h) f x = 3 K + 5x 1 h)* y = 3 4 8K
14 Ex 12 Du har funktionen f x = 2x A + 2x + 5. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten ( 1,1). Ex 13* Du har funktionen f x = 2 K. Bestäm ekvationen för tangenten i den punkt då x = 3. Ex 14 För vilket x-värde har f och g samma lutning om f x = 7x ' + 3x och g x = 3x ' + 19x 15?
15 Använda dig av derivata i problemlösning (från Ma3b Matematik 5000) Ex 15 Antalet rovdjur i en nationalpark beskrivs av funktionen y = f(t) där t är antalet år efter det att nationalparken inrättades. Vad betyder det i detta sammanhang att a) f(5) = 120 b) f 0 5 = 10 c) f 0 t = 0 då t 10? Ex 16 För abborarna i en insjö är funktionen f x = 0,017x A en modell för sambandet mellan vikten y gram och längden x cm. a) Beräkna f(40) och tolka svaret. b) Lös ekvationen f(x) = 400 och tolka svaret. c) Beräkna f (40) och tolka svaret. Ex 17 Temperaturen y C i en kopp kaffe avtar enligt funktionen y = 70 e =6,6A:K + 20 där x är tiden i minuter. a) Beräkna temperaturen efter 10 minuter. b) Efter hur lång tid är temperaturen 35 C? c) Hur snabbt sjunker temperaturen i genomsnitt under de 10 första minuterna? d) Hur snabbt sjunker temperaturen då det gått 10 minuter? Ex 18 Från NP ht 2012
16 Fler övningar som du kan/bör träna på Diagnos och Blandade övningar rekommenderade uppgifter Steg 1 Steg 2 Steg3 Diagnos, sid 123 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 Blandade övningar sid ,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 29, 30, 31, 32 11, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 Titta även på De anteckningar ni fått till varje lektion Sammanfattning på sid Kan du det här? 2 sid 122 Sant eller falskt sid 119
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h
DOP-matematik Copyrigt Tord Persson Gränsvärden Uppgift nr 1 f(x) x². Gör denna värdetabell komplett genom att i tur oc ordning ersätta x i funktionen med de olika talen / uttrycken i tabellen. Första
Läs merEn uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.
Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merMatematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow
Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs mer4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?
Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merMatematik C (MA1203)
Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merTräningsprov funktioner
Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7
Läs merKapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merMa3bc. Komvux, Lund. Prov kap
Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merFaktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter
Malmö högskola / Gemensamt verksamhetsstöd Studentcentrum 1(5) Mars 2016 Faktiska förkunskapskrav för vissa behörigheter Ersättning för behörighetskursen Engelska B En del utbildningar anger Engelska B
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs merFörkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)
1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13
KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merMatematik 4 Kap 3 Derivator och integraler
Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merMatematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler
Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.
Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-11. Endast svar krävs. Uppgift 1-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merMälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation
Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merSkriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in.
NpMa3c ht 2012 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Kravgränser Endast svar krävs Skriv ditt namn, födelsedatum och gymnasieprogram på alla papper du lämnar in. NpMa3c ht 2012 Del B:Endast svar krävs 1. x x
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs mer