En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

Transkript

1 Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral? Använda dig av primitiva funktioenr och integraler i problemlösning. Centrala innehållet Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena. En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Miniräknaren Med hjälp av miniräknaren kan du bestämma en funktions - värde med hjälp av 1:value - nollställen med hjälp av 2:zero - minimipunkter m ed hjälp av :minimum - maximipunkter med hjälp av 4:maximum - skärning med andra grafer med hjälp av 5:intersect - derivata för ett bestämt x-värde med hjälp av 6:dy/dx - integral med hjälp av 7: f x dx Lär dig att använda dessa hjälpmedel så kommer du både få lättare för att lösa uppgifterna och en ökad förståelse.

2 Matematik b, repetition Primitiva funktioner En funktion F är en primitiv funktion till f om F % x f(x) Om F % x f(x), så ger F x + C, där C är en konstant, samtliga primitiva funktioner till f(x). På formelbaldet står det Funktion Primitiv funktion k x, (n 1) e 5 e 65 a 5 kx + C x,2 n C e 5 + C e 65 k + C a 5 ln a + C Ex Bestäm samtliga primitiva funktioner till a) f x x : 9 b) g x x Lösning a) f x x : 9. Samtliga primitiva funktioner kan skrivas F x x Kontroll 9x + C F % x 5? 9 x: 9 f x OK b) g x x x :. Samtliga primitiva funktioner kan skrivas G x x : /2 + C x : 2 + C 2x : 2x x + C + C Kontroll G % x : x : : : x : : x : x OK Ex 1 Ange en primitiv funktion till f x x F 8x Ex 2 Ange samtliga primitiva funktioner till f x x x

3 Matematik b, repetition Ex a) Ange den primitiva funktion till f x x : + 4x som uppfyller villkoret F b) Ange samtliga primitiva funktioner till f x e :5 1. Ex 4 Bestäm två olika primitiva funktioner till f x 12e 5. Ex 5 År 2016 var folkmängden i en kommun invånare. Tillväxthastigheten av folkmängden i kommunen N (t) förväntas under de närmsta åren följa N % t 15 e NO,:QR Bestäm ett funktionsuttryck N(t) som beskriver folkmängden i kommunen t år efter Ex 6* Grefen till funktionen y f(x) är en rät linje som går genom punkterna (0,4) och (2,0). Bestäm en primitiv funktion till f. Ex 7* Funktionen F är en primitiv funktion till f x e :5 1. Har F någon lokal minimipunkt i intervallet 1 < x < 1? Motivera ditt svar. (5127 matematik origo) Ex 8* Ge exempel på två olika funktioner vars primitiva funktioner antar värdet 0 för x 1. (515 matematik origo)

4 Matematik b, repetition Integraler V Integralen f x dx (integralen av f av x från a till b) ger arean mellan kurvan, xaxeln och och linjerna x a och x b. Arean kan i vissa lägen vara enkel att beräkna W med kunskaper från geometrin i Ma1 och grundskolan, men oftast krävs mer avancerade metoder, vi använder oss då av Integralkalkylens fundamentalsats: W V f x dx F(x W V F b F a, där F % x f(x) Ex Bestäm arean under kurvan y x : + 1 på intervallet 1 x Lösning Arean ges av x : + 1 dx x + x så arean är : a. e Kontroll: Rita funktionen och avnänd 7: f x dx med Lower limit 1 och Upper limit för att beräkna integralen Ex 9 Beräkna integralerna utan att använda miniräknare (5212 matematik origo) a) x : dx : F b) 4x + 6x dx c) 8x 2 dx d) x N dx Ex 10 Använd bilden till höger för att besvara följande frågor. a) Beräkna arean av det skuggade området utan miniräknare. b) Beräkna arean av det skuggade området med miniräknare.

5 Matematik b, repetition Ex 11 Funktionen f (x) är derivatan av f x 2 x + 5. Bestäm a f (x) dx. (5219 matematik origo) Ex 12 Sture påstår att om K (q) är kontinuerlig i intervallet 1 q 5, så är Q K % q dq K 5 K 1. Stämmer det som Sture säger? Motivera ditt svar. (5217 matematik origo) Ex 1* Beräkna integralerna utan miniräknare (5219 matematik origo) a) 1 x : dx O b) : x 1 x dx Ex 14* Bestäm talet a, så att f x dx 4 f(a) O om (5224 matematik origo) a) f x x b) f x e :5 Ex 15* Vad händer om du beräknar 1 x : N med din grafritande räknare. Föklara det resutat som räknaren visar (5225 matematik origo) dx

6 Matematik b, repetition Problemlösning och tillämpningar När det gäller problemlösning är det viktigt att ha koll på begreppen och procedurerna som du tränat på tidigare i häftet för att kunna förstå och hitta lösningen till ett problem. När det gäller tillämpningar som är relevanta för ekonomiämnena och vardagshändelser så ser vi att det bra att ha koll på sambanden i rutan nedan. Tillämpningar av integraler Sträckan är integralen av hastigheten (hastigheten) dt ändringen i sträcka Befolkningstillväxten är integralen av tillväxthastigheten (tillväxthastigheten) dt befolkningstillväxten Kostnadsändringen är integralen av marginalkostnaden (marginalkostnaden) dq ändringen kostnad Intäktsändringen är integralen av marginalintäkten (marginalintäkten) dq ändringen i intäkt Ex 16 Under en tioårsperiod följde befolkningstillväxten N (t) invånare/år i en mindre stad funktionen N t 400 5t, där t är tiden räknat i antal år från 2005, Med hur många invånare växte befolkningen från 2010 till 201? Ex 17 Marginalkostnaden, det vill säga kostnaden för att tillverka ytterligare en enhet, på ett företag är K q 7 + 0,04q kr/enhet Beräkna kostnadsökningen om företaget ökar sin produktion från 100 till 150 enheter. Ex 18 Hastigheten mätt i m/s hos ett fordon ges av v t 2 + t + 0,6t :, där t är tiden i sekunder. Hur långt färdas fordonet under de första 6 sekunderna?

7 Matematik b, repetition Ex 19* Funktionen F är en primitiv funktion till f. Figuren visar y F(x). Bestäm : f(x) dx. Ex 20** Kurvan y x + x begränsar tillsammans med x-axeln och linjen x a ett område i första kvadranten. Bestäm a om arean av området är 21 a. e. 16

8 Matematik b, repetition Fler övningar som du kan/bör träna på Diagnos och Blandade övningar rekommenderade uppgifter Steg 1 Steg 2 Steg Diagnos, sid 191 9, 10 9, 10 9, 10 Blandade övningar sid , 6, 16 6, 15, 16 6, 1, 15, 22 Blandade övningar sid För att repetera lite från varje moment 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 28, 29 12, 1, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 0, 1, 2,, 4, 5, 6 20, 21, 22, 2, 24, 25, 26, 27, 7, 8, 9, 40, 41 Titta även på De anteckningar ni fått till varje lektion Sammanfattning på sid Kan du det här? 2 sid 190 Sant eller falskt sid 187 Kom ihåg att även repetera det vi gjort i tidigare moment!