SF1625 Envariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 17 Institutionen för matematik KTH 6 december 2017

2 Anmälan till tentamen För att skriva tentamen ( ) behöver ni anmäla er (Mina sidor, deadline 18:e december).

3 Idag Kap 7. Tillämpningar av integraler (främst ) Filmerna till idag visade tre exempel: rotationsvolym massa av en tråd (massa vs densitet) arbete för att trycka ihop en fjäder (arbete vs kraft)

4 Rotationsvolym Rotationsvolym

5 Fråga 1 Volymen av den rotationskropp som genereras då området ln x mellan x-axeln och kurvan y = på intervallet 1 x 2 x roteras runt x-axeln ges av

6 Fråga 1 Volymen av den rotationskropp som genereras då området ln x mellan x-axeln och kurvan y = på intervallet 1 x 2 x roteras runt x-axeln ges av 2 A. π ln x 1 x dx 2 ln x B. 2πx 1 x dx 2 ln x C. πx 2 1 x dx 2 D. πx ln x 1 x dx E. Inget av ovanstående F. Vet ej

7 Fråga 1 Volymen av den rotationskropp som genereras då området ln x mellan x-axeln och kurvan y = på intervallet 1 x 2 x roteras runt x-axeln ges av 2 A. π ln x 1 x dx 2 ln x B. 2πx 1 x dx 2 ln x C. πx 2 1 x dx 2 D. πx ln x 1 x dx E. Inget av ovanstående F. Vet ej

8 Fråga 2 Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då ln x området mellan x-axeln och kurvan y = på intervallet x 1 x 2 roteras runt x-axeln. A. π ln 2 B. π ln 2 2 C. π(ln 2) 2 2 D. Inget av ovanstående E. Vet ej

9 Fråga 2 Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då ln x området mellan x-axeln och kurvan y = på intervallet x 1 x 2 roteras runt x-axeln. A. π ln 2 B. π ln 2 2 C. π(ln 2) 2 2 D. Inget av ovanstående E. Vet ej

10 Area Area

11 Fråga 3 Beräkna arean av området mellan kurvorna y = 0 och y = sin x där 0 x 2π. A. 0 B. 2 C. π D. 4 E. 2π F. Inget av ovanstående G. Vet ej

12 Fråga 3 Beräkna arean av området mellan kurvorna y = 0 och y = sin x där 0 x 2π. A. 0 B. 2 C. π D. 4 E. 2π F. Inget av ovanstående G. Vet ej

13 Tentamen , uppgift 4 Beräkna arean av det begränsade område som innesluts av kurvorna y = x y = x y = x 2

14 Kurvlängd Kurvlängd

15 Fråga 4 Vilken av nedanstående integraler ger längden av kurvan y = 1 x 2 på intervallet 0 x 1? A x 2 dx B x 2 dx 0 1 C. 1 + (1 x 2 ) 2 dx 0 2 D. inget av ovanstående E. vet ej

16 Fråga 4 Vilken av nedanstående integraler ger längden av kurvan y = 1 x 2 på intervallet 0 x 1? A x 2 dx B x 2 dx 0 1 C. 1 + (1 x 2 ) 2 dx 0 2 D. inget av ovanstående E. vet ej

17 Tentamen , uppgift 3 Beräkna längden av kurvan y = 2 2x x, 0 x 1

18 Fler geometriska tillämpningar Fler geometriska tillämpningar

19 Fråga 5 Ett klot med radie R delas i två delar av ett plan med minsta avståndet a från klotets medelpunkt. Volymen av den minsta av dessa två delar är: π A. 3 (4R3 4a 3 ) π B. 3 (2R3 3aR 2 + a 3 ) π C. 3 (R3 + 3aR 2 3a 2 R + a 3 ) D. inget av ovanstående E. vet ej

20 Fråga 5 Ett klot med radie R delas i två delar av ett plan med minsta avståndet a från klotets medelpunkt. Volymen av den minsta av dessa två delar är: π A. 3 (4R3 4a 3 ) π B. 3 (2R3 3aR 2 + a 3 ) π C. 3 (R3 + 3aR 2 3a 2 R + a 3 ) D. inget av ovanstående E. vet ej

21 Målarens paradox Betrakta den oändliga struten som erhålls genom att rotera y = 1/x, x 1 runt x-axeln. Vad är dess area och volym?

22 Målarens paradox Betrakta den oändliga struten som erhålls genom att rotera y = 1/x, x 1 runt x-axeln. Vad är dess area och volym? Rotationskropp av y = f (x) kring x-axeln har arean: b a ( 2πf (x) ) 1 + f (x) 2 dx

23 Målarens paradox Betrakta den oändliga struten som erhålls genom att rotera y = 1/x, x 1 runt x-axeln. Vad är dess area och volym? Rotationskropp av y = f (x) kring x-axeln har arean: Volym: π 1 Area: 2π x b a ( 2πf (x) ) 1 + f (x) 2 dx dx = π x dx > 2π 1 x 4 1 x dx =

24 Sträcka, hastighet, acceleration Sträcka, hastighet, acceleration

25 Fråga 6 En bil kör med en hastighet som vid tiden t timmar efter starten är 1600(t 4t 2 ) km/h. Hur långt hinner den under den första kvarten? A. 50/6 km B. 100/3 km C. 10 km D. Inget av ovanstående

26 Fråga 6 En bil kör med en hastighet som vid tiden t timmar efter starten är 1600(t 4t 2 ) km/h. Hur långt hinner den under den första kvarten? A. 50/6 km B. 100/3 km C. 10 km D. Inget av ovanstående (50/3 km)

27 Fråga 7 En partikel som startar i vila rör sig med en acceleration som vid tidpunkten t sekunder efter starten är 100 cos t m/s 2. Vad är partikelns hastighet efter 3 sekunder? A. 100 sin 3 m/s B. 100 sin 3 m/s C. 100 sin 2 t m/s D. 100 sin2 t m/s cos t E. Inget av ovanstående

28 Fråga 7 En partikel som startar i vila rör sig med en acceleration som vid tidpunkten t sekunder efter starten är 100 cos t m/s 2. Vad är partikelns hastighet efter 3 sekunder? A. 100 sin 3 m/s B. 100 sin 3 m/s C. 100 sin 2 t m/s D. 100 sin2 t m/s cos t E. Inget av ovanstående

29 Energi och effekt Energi och effekt

30 Fråga 8 En viss verksamhets eleffektanvändning vid tiden t h är ( ) 1 + π πt sin 12 kw. Beräkna verksamhetens elenergianvändning under ett dygn. A. 48 kwh B. 68 kwh C. 72 kwh D. Inget av ovanstående

31 Fråga 8 En viss verksamhets eleffektanvändning vid tiden t h är ( ) 1 + π πt sin 12 kw. Beräkna verksamhetens elenergianvändning under ett dygn. A. 48 kwh B. 68 kwh C. 72 kwh D. Inget av ovanstående

32 Sammanfattning Integraler kan användas för att beräkna många storheter: volym, area, längd, massa, energi, kraft, etc. Härledningen av sambandet genom Riemannsummor. Exempel på integraler: A = b a V = b a πy 2 dx g(x) f (x) dx (area mellan f och g) L = b a ds = b a (rotationsvolym kring x-axeln: skivformeln) 1 + dy dx dx (längd av kurva y = f (x)) A = b a 2πyds = b a 2πy 1 + dy dx dx (rotationsyta kring x-axeln) V = b a m = b a s = b a W = b a W = b a 2πxy dx ρ(x) dx v(t) dt P(t) dt F(x) dx (rotationsvolym kring y-axeln: rörformeln) (massa/densitet: m = ρx) (sträcka/hastighet: s = vt) (energi/effekt: W = Pt) (arbete/kraft: W = Fx)