Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

Transkript

1 Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning). (Påminnesle: Ett kvadratiskt polynom x + bx + c kan alltid skrivas som (x x )(x x ), (x x ) eller (x r) + s, som motsvarar att det har två olika reella rötter, en dubbel rot, eller inga reella rötter. Därmed får man olika metoder att integrera x +bx+c ). (Det kvadratiska polynomet x + 6x + 3 har inga reella rötter.) Vi gör en komplettering x + 6x + 3 = x + 6x = (x + 3) + 4 = (x + 3) + 4 Byt variabel: x + 3 = u, då dx = du och (x + 3) + 4 = 4u + 4 = 4(u + ). Således x + 6x + 3 dx = 4(u + ) du = du = arctan u + C. u + Av x + 3 = u får vi u = (x + 3), och x + 6x + 3 dx = arctan( (x + 3)) + C.. ([AE] Ex. 6.. ) Beräkna integralen x x + x dx LSN. Nämnaren x + x har en faktorisering x + x = x(x + ).

2 Den rationella funktionen x x +x har en partial-bråk-uppdelning x x + x = x x(x + ) = A x + B x +. Omskriva H.L. i en form som V.L (för att bestämma A, B): A x + B x + = A(x + ) + Bx x(x + ) Jämför med V.L.. A =, A + B =, och B = 3. Dvs = x x + x = x + 3 x +. (A + B)x + A. x(x + ) Integralen är nu en summa av två standarda integraler, x x + x dx = ( x + 3 )dx = ln x + 3 ln x + + C. x + Tillämpningar av integraler. (Se [AE]. Ex. 7., 3.) Låt S vara området på xy-planet som begränsas av kurvorna y = x och y = x 3, där x är mellan och. Bestäm integralen av rotationskroppen av S kring x-axeln på två lika methoder, skivformeln och rörformeln. LSN. Skärningspunkterna av kurvorna är (, ) och (, ). (Skivformeln). (Kurvan y = x 3 är ovanför y = x då x är mellan och, sedd i y-ledet.) Fixera x. Betrakta rotationskrivan av en remsa med basen dx som begränsas av x 3 och x. Denna är en skriva med tjocklek dx och bas som en ring av ytter radie x 3 och inre radie x. Volymen av (innitesimala) skivan är Volymen av hela kroppen är π π(( x 3 ) (x ) ) dx = π(x 3 x 4 )dx. (x 3 x 4 )dx = π( 4 5 ) = π (vol.enheter). (Rörformeln.) Kurvan y = x kan skrivas som x = y = y, och y = x 3 som x = y 3. Fixera y. Betrakta rotationskroppen av en remsa med (innitesimal) höjd och mellan kurvorna x = y, och x = y 3. Denna är en (innitesimal) cylinder med bas en (innitesimal) ring av inre radie y, bred, och med höjd (y y 3 ), som har volym (y y 3 ) πy (höjden basarean). Volymen är (y y 3 )πy = π (y 3 y 5 3 ) = π( ) = π( ) = π. 3

3 . ( [AE]. Ex ) En plan skiva är av form y 4 x med densitetfunktionen ky. Bestäm massa och masscentrum (tyngdpunkten). LSN. (Rita en skiss av skivan.) Skivan är begränsad av x-axeln, y =, och parabeln y = 4 x. Eftersom densiteten är en funktion av y är det naturligt att välja y som variabel. Då är y mellan och 4. Fixera y och betrakta en innitesimal remsa med tjocklek. Lös x av y får vi x = ± 4 y. Breden av remsan är alltså 4 y. Arean av remsan är 4 y, vars massa är då (ky)( 4 y) = ky 4 y. Massan är m = 4 ky 4 y = k 4 y 4 y. Byt variabel 4 y = u, dvs y = 4 u. Då är = udu, och u är mellan och. 4 y 4 y = (4 u )u( u)du = = ( ) = 5 ( 3 5 ) = 7 5. (4 u )u du = (4 u )u du Vi får då m = k 7 5 = k8 5 (vol.enh). Observera att skivan är symmetrisk i x. (Dvs den vänstra halvan är en spegling av den högra i y-axeln, med annat ord, den är jämt i ±x.) Densiteten är ky som är oberoende på x. Därför ligger masscentret på y-axeln. Vi behöver bara beräkna y-koordinaten ȳ av centret. Momentet av den innitesimala remsan av tjocklek med avseende på x-axelen är y ky 4 y. Hela momentet är k ȳ är då ȳ = 4 y 4 y = k = k (4 u ) u du (4 u ) u du = k = k( ) = k 5 7. moment med avseende på x-axeln, dvs y = massa Di. Ekvationer och Tillämpningar (4 8u + u 4 )u du = k 5 7 k 8 5. (Se också [AE], Ex ). Lös följande begynnelsevärdesproblem = 4 7 = 6 7. { + dx 3x y = x 5, y() =. (BV ) (DE) 3

4 LSN. Lös den homogena ekvationen dx + 3x y = först (för att bestämma en integrerande faktor). Denna kan skrivas som Integrera och y = e x3 e C = e x3 C. Multiplicera e x3 V.L. är nu och ekvationen blir Integrationen ger y = 3x dx ln y = x 3 + C, till ekvationen (DE), dx + 3x y = x 5. Således x3 e dx + 3x y = e x3 x 5. d dx (ex3 y), d dx (ex3 y) = e x3 x 5. e x3 y = e x3 x 5 dx. () För att beräkna integralen e x3 x 5 dx gör vi en substitution u = x 3. Då är du = 3x dx och e x3 x 5 dx = e x3 x 3 x dx = e u udu. 3 Denna integral kan beräknas med Partialintegrationen e u udu = e u u e u du = e u u e u + C = e x3 x 3 e x3 + C. Detta, tillsammans med den senaste formeln (??), ger e x3 y = 3 (ex3 x 3 e x3 + C). och y = 3 (x3 + Ce x3 ) Av beg. villkoret (BV) y() = får vi C = 7. SVAR : y = 3 (x3 + 7e x3 ). 4

5 . (Se också TENTA 9-4-7). En rovdjurpopulation y växer med hastighet cy. (c är en positiv konstant med enhet antal, dvs y avtar i tiden.) En annan population x skulle tid ha växt med hastighet ax om den fått vara i fred men rovdjuren gör att den dessutom minskas med hastighet bxy. Vi antar att rovdjurens tillväxt påverkas inte av x. Bestäm x och y som funktioner av tiden med utgångsvärden x() = x och y() = y. För vilka t är x(t) minimal? LSN. Enligt antagandet på y får vi y = cy. Lösningen till denna ekvationen är y = y e ct. Hastigheten x av population x är Å andra sidan är y = y e ct, så blir ekvationen för x som x = ax bxy. () dx dt = x = ax bxy e ct = ax by xe ct = (a by e ct )x Denna är en separabel ekv och integreringen ger där K är en konstant. Härav dx x = (a by e ct )dt, ln x = at + by c e ct + K x(t) = e at+ by c e ct e K. Låt t =, dvs e K = x e by c och x = x() = e by c e K, x(t) = x e at+ by c e ct by c. När x(t) är minimal så blir x (t) =. Derivering: Lösningen till x (t) = är då x (t) = x e at+ by c e ct by c (a by e ct ) t = c log a by. Men denna konstant kan vara negativ (beroende på a, b, y, c). I så fall betyder det att x(t) är växande och x() är minimal. Svar max{, c log a by }. 5

6 Taylors- och Maclaurins Serier. Bestäm Maclaurins serie för följande funktion sin(x ). LSN. Betrakta Maclaurins serie för sin t, Låt t = x, sin(x ) = n= sin t = n= ( ) n (n + )! (x ) n+ = ( ) n (n + )! tn+. n= ( ) n (n + )! n+ x (n+).. (Se också [AE], Ex ). Bestäm summan av följande serie x 3 + x6! x9 3! + x x5 + 4! 5! LSN. Observera att e t har sin Maclaurinserie e t = t + t! t3 3! + t4 4! t5 5! +. Den givna serien är H.L. i den givna serie, med t = x 3. Svar: e x3. Lycka till med er egna försök. Genkai Zhang 6