Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Transkript

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uttrck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Text Formell beskrivning A är proportionell mot B det finns ett tal k så att A=kB A är proportionell mot B och C A=kBC (för ett tal k) A är omvänt proportionell mot B k A= B (för ett tal k) A är proportionell mot summan, A= k( B C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoten, B av B och C A= k (för ett tal k) C Funionens förändringshastighet ( (eller (x) ) Funionen förändras med hastigheten A ( =A Funionen förändras med hastigheten som är proportionell mot A ( =ka Funionen förändras med hastigheten som k är omvänt proportionell mot A ( A Funionens förändras med hastigheten ( ka( B C) som är proportionell mot produen mellan A och (B C) Uppgift. Ställ upp en differential ekvation för funionen ( om a) Funionen ( förändras med hastigheten (som är lika med) (. b) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot (. c) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot t. d) Funionen ( förändras med hastigheten som är omvänt proportionell mot (. e) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot differensen mellan t och (. Svar: k a) ( (, b) ( k( c) ( d) ( e) ( k( t ( ) ( Uppgift. Ett radioaivt ämne sönderfaller med hastigheten som är proportionell mot den mängd av ämnet som finns kvar. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver förloppet. Sida av

2 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 b) Av gram blir det kvar. 9 gram efter 00 år. Hur många gram blir kvar efter 0 år. d Svar a) k( b) den allmänna lösningen är Ce. Villkoret ( 0) C och därmed e 00k.9 Från ( 00). 9 har vi.9 e k ln( ) t Alltså e Härav (0). Svar b). I följande uppgift används Newtons avsvalningslag: Om en kropp med temperaturen T 0 placeras i en omgivning med temperaturen T R, kommer kroppens temperaturer ( att förändras med hastigheten som är proportionell mot skillnaden mellan föremålets temperatur och omgivnings temperatur. Med andra ord har vi följande ekvation ( k( ( T ) med beggnelsevillkor : R (0) T 0 Uppgift. Ett föremål med temperaturen 00 C har efter en minut i rumstemperatur ( C) svalnat till 40 Hastigheten med vilken temperaturen sjunker är proportionell mot skillnaden mellan föremålets temperatur och rumstemperaturen. a) Bestäm föremålets temperatur som funion av tiden b) Efter hur lång tid blir föremålets temperatur 0? d d d k( ( ) k k ln C D e Startvillkoret ( 0) 00 D e k 8 k 8 Villkoret ( ) e e k ln t Svar a) 78 e 78 e ln(8/78) b) ( 0 78 e 0 e 8/ 78 ln(8/78) t k t 7.46 min Svar b) t min Sida av

3 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Uppgift 4. I nedanstående vattentank finns 00 liter r vatten. Vid t=0 finns det d 00 g salt i tanken. Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll 4 g per liter. Efter ordentlig omröring förs ut vatten med hastighetenn 0 liter per timme. Låt (t ) beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t ( d v s efter t timmar). a) Ställ upp en differentialekvation för ( ( och bestäm (. b) Hur mcket salt finns i tanken efter timmar och 0 min. Svara i antalet gram (avrunda till heltal gram). a) Låt ( beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t Förändringshastighet blir då (. Dessutom gäller ( H in H ut H in visar hur många gram salt per timme tillförs tanken. H visar hur många gram salt per timmee förs ut ur tanken. ut liter gram där H in 0 timmee 4 liter gram 80 timme Vid tiden t finns det ( gram salt i 00 liter vatten. Därför är densitet d vid tiden t ( ( gram ( gram lika medd r volmen( 00liter 00 liter (notera att vattenvolmen förblir konstantt eftersom 0 liter förs in och 0 liter förs u Därmedd liter ( gram 0( gram H ut 0 : timme 00 liter 00 timme Nu, frånn ( H in H ut ( ( ( 0.( 800 (*) med begnnelsevillkoret: ( 0) 000. Först homogenadelen: Den karaeristiskaa ekvationenn för den homogena delen: r 0. 0 r 0. t /0 Härav H ( Ce Vi ansätter ( A och därmed ( t ) 0. p har vi ekvationen p Sida av

4 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 4 Substitution i (*) ger 0.A 80 A 800 och därmed p ( t ) 800. t /0 Den allmänna lösningen är ( Ce 800 Villkoret ( 0) 00 medför C=700 t /0 och (tt ) 700e 800. t /0 Svar a) ( 700e 800. b) (.)= ( 700e Uppgift. En vatten behållare, vars volm är 00 liter, innehåller 00 liter rent vatten. Vatten som innehåller gram/ liter av en förorening f tillförs med hastighetenn liter /min. Föroreningen blandar sig väl med vattnet. Av det blandade vatten bortförs liter l per min. a) Anta att behållaren innehåller gram av föroreningen efter t minuter. m Ställ upp en differentialekvationn som beskriver detta samband. b) Hur lång tid beskriver din ekvation förloppet på ett korre sätt? c) Lös differentialekvationen. Från början finns det 00 l vatten i behålaren. Varje minut tillförs l och bortförs l vatten. Därmed växer vattenmängd med liter per minut Efter t minuter fins det V vatten 00 t 00 t liter vatten i behålaren. Behållaren är flld med vatten efter 00 minuter (Då finns det *= =00 liter vatten i behålaren.) a) Låt ( vara mängden av föroreningen i behålaren efter t minuter. Då gäller d H till H bort, där H är mängden (i gram) av föroreningen som tillförs behålaren per minut och tilll H bort är mängden (i gram) av föroreningen som bortförs behålaren per minut. (Notera att i varje liter vid tiden t finns ( /(00 t ) gram av föroreningef en.) Därmed har vi följande samband d 00 t (*) (0) 0 (rent vatten vid t 0) Sida 4 av

5 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Modellen gäller under 00 minuter. ( Behålaren är flld med vatten efter 00 minuter, vi saknar information om vad som händer efter detta.) Vi löser ekvationen eller 00 t. 00 t Integrerande faor är dx 00 t ln(00t ) e ( 00 ( ) ln(00 ) F e P x dx t e e Den integrerande faorn substituerar vi i formeln ( x) F ( C F Q( x) dx) och får ( x) e ln(00t ) ( x) (00 ( x) (00 ( x) (00 ( C ( C e ln(00t ) (00 dx) dx) (00 ) ( C ) ( C (00 ) t ( x) C(00 (00 C ( x) 000 t (00 Villkoret ( 0) 0 ger C (00 0) 000 t Svar: 0 C ( d a) 00 t (0) 0 b) 00 minuter c) 000 t (00 Uppgift 6. En sfärisk snöboll med radien l m smälter på ett dgn till den mindre snöbollen med radien 0.8 m. Vi antar, att volmen av snöbollen minskar med en hastighet, som är proportionell mot snöbollens area. Vi förutsätter, att bollen behåller sin sfäriska form under hela smältperioden. Sida av

6 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 6 a) Bestäm en differentialekvation för radien R som funion av tiden t b) Lös differentialekvationen med avseende på R( c) Beräkna efter hur lång tid snöbollen är helt borta. 4 (Tips: volmen V= R, arean A= 4R ) dv 4 ka dr dr R 4kR k Svar: a) R ( k b) R( C R(0) C och k 0. R() 0.8 alltså R ( 0.t c) 0.t 0 t Uppgift 7. En behållare har formen av en kon med spetsen nedåt enligt figuren. Från början är behållaren flld med vatten till höjden,0 cm. Vattnet rinner ut genom ett litet hål i botten. Utflödet är 0,0 h cm /s, där h är vattnets höjd i cm. Hur lång tid tar det innan behållaren är tom? 4,0 h Vattenvolmen V( uppfller ekvationen blir dv 0,0 h (*) Ekvationen (*) har två obekanta funioner V( och h(. För att lösa ekvationen måste vi eliminera en av dem. Formeln för volmen av en kon ger V r h, där r är vattentans radie. På grund av 4 -vinkeln gäller r = h och alltså h V. I ekvationen har vi två obekanta V( och h(. Vi eliminerar V. Sida 6 av

7 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 7 ( h( ) Vi deriverar sambandet V ( och får ( med hjälp av kedjeregeln ) dv h dh dh h som vi substituerar i ekv (*) : dh h 0, 0 h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och t ) och får 0,0 h dh (ekv ). 0 Integrera: h dh h 0 eller t C Från h(0)= får vi C (**) och därmed h 0 t C Behållaren är tom om h=0 dvs t C =0. Härav t 0 0 Svar: 0 s dv Metod. Vi eliminerar h ur ekvationen 0,0 h. h V dv V h = 6. Insättning ekvationen ger 0,0 V, dvs dv 9,9.V 6 Differentialekvationen kan separeras: V 6 dv Integration ger V 9. 9t C.,0 Vid tiden 0 är volmen V =. Detta ger C = tömmas får vi genom att sätta V = 0 t = Uppgift 8. C 0 s , Tiden för behållaren att Det har regnat under en längre tid. Vatten har helt fllt ett 00 m långt och m brett dike. Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång. Regnet har upphört vid tidpunen t = 0. Antag att diket neill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt och att avdunstningshastigheten (i m /dag) är proportionell mot den fria vattentans area. Vid t=0 finns det V(0) =00m vatten i diket ( dvs. helt fllt dike). Efter en dag finns det kvar 90 m Sida 7 av

8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 8 dvs V()= 90 m. När är diket torrlagt? Låt h( vara vattenhöjden vid tiden t > 0,, med t mättt i dagar ochh låt A( beteckna den fria vattentans area. Enligt förutsättningarna gällerr dv ka (*) Om h betecknar vattnets höjd då gäller h h V ( 00 00h och A ( h h. dv dv dh dh Vi beräknar 00 h. dh Ekvationen (*) kan nu skrivas som dhh 00h k 00 h t dh k eller Härav h k t C (**) Från villkoren V(0) ) =00, V( )= 0 och sambandet V ( 00h har vi villkoren för höjden: h ( 0) och h( ) 0.0. Substitutionen i (**) ger C och k ( 0. ). Därför D h ( 0. ) t är vattenhöjden vit tiden t. C Höjden är 0 om k t C 0 dvs om t k Svar:.4 dagar dagar. Sida 8 av

9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 9 Allmänt om avdunstning från en behållare. Om avdunstning av vatten som ligger i en behållare (en skål, ett dike och dl. ) är proportionell mot vattentans area då kan problemet beskrivas med ekvationen dh k (ekv a) oavsett vilken form har behålaren. Detta får vi från ekvationen dv ka (*) genom att ersätta dvs dv dv dh dh A( h) i (*) dh dh A( h) ka( h). Förkortning med A (h) ger dh k (ekv a). Härav h C och resultat beror ej av behålarens form. Notera att vi har använt formeln dv A(h) som framgår efter derivering av den kända dh skivformeln för volmberäkning: V h h0 dv d A(. Alltså A( A( h) dh dh. h h0 Uppgift 9. Antalet invånare i ett land är 0 miljoner och växer nu med hastigheten,0% per år. Anta att tillväxthastigheten ökar linjärt från,0% till,0% under de kommande 0 åren. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver tillväxten. b) Lös differentialekvationen och beräkna antalet invånare om,0 år. (p) Förändringshastigheten är en funion av tiden (se figur eller använd formeln f ( x) ( x x)) x x där 0.0 f ( x) 0.0 x x 0 Därför f ( x), f(x) 0,0 0,0 0 k= x 0,0 0 Sida 9 av

10 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 d dx ( x) d dx d x x dx ln 0.0x 0.000x C 0 e (0) 0 0e 0.0x0.000x C 0.0x0.000x 0.0 () 0e Svar: 6 miljoner De D x0.000x.9 6 miljoner Uppgift 0. Tangenten till kurvan (x) i punen B(x,) skär x axeln i punen C (se figuren). Vidare vet man att AC Bestäm alla kurvor (x) sådana att arean av triangeln ABC är lika med (för varje pun B(x,) på kurvan (x) ). Arean av triangeln ABC= ger ekvationen AC AB AC AB Alltså har vi två ekvationer: 0 och 0 Ekvationen 0 löser vi med hjälp av variabelseparation. 0d Från dx har vi 0d dx, 0 x C, Sida 0 av

11 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 0 x C 0 x C På liknande sätt löser vi 0 och får 0 x C Alltså har vi följande lösningar: 0 0 och x C x C Svar: 0 x C och 0. x C Sida av