Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Transkript

1 TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns e al k så a A=kB k A= (för e al k) B A är proporionell mo summan, A= k ( B + C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoen, B av B och C A= k (för e al k) C Funionens förändringshasighe y ( (eller y (x) ) Funionen förändras med hasigheen A y ( =A Funionen förändras med hasigheen som är proporionell mo A y ( =ka Funionen förändras med hasigheen som k är omvän proporionell mo A y ( = A Funionens förändras med hasigheen y ( = ka( B C) som är proporionell mo produen mellan A och (B C) Uppgif Säll upp en differenial ekvaion för funionen y ( om a) Funionen y ( förändras med hasigheen (som är lika med) y ( b) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo y ( c) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo d) Funionen y ( förändras med hasigheen som är omvän proporionell mo y ( e) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo differensen mellan och y ( Svar: k a) y ( = y(, b) y ( = ky( c) y ( = d) y ( = e) y ( = k( y( ) y( Uppgif E radioaiv ämne sönderfaller med hasigheen som är proporionell mo den mängd av ämne som finns kvar a) Säll upp en differenialekvaion som beskriver förloppe b) Av gram blir de kvar 9 gram efer år Hur många gram blir kvar efer år Sida av

2 dy Svar a) = ky( b) den allmänna lösningen är y = Ce Villkore y ( ) = C = och därmed y = e k 9 Från y( ) = 9 har vi 9 = e k = ln( ) Allså y = e Härav y() Svar b) Uppgif En sfärisk snöboll med radien l m smäler på e dygn ill den mindre snöbollen med radien 8 m Vi anar, a volymen av snöbollen minskar med en hasighe, som är proporionell mo snöbollens area Vi förusäer, a bollen behåller sin sfäriska form under hela smälperioden a) Besäm en differenialekvaion för radien R som funion av iden b) Lös differenialekvaionen med avseende på R( c) Beräkna efer hur lång id snöbollen är hel bora (Tips: volymen V= R, arean A= R ) = ka dr dr R = kr = k Svar: a) R ( = k b) R ( = + C R() = C = och k = R() = 8 allså R ( = + c) + = = I följande uppgif används Newons avsvalningslag: Om en kropp med emperauren T placeras i en omgivning med emperauren T R, kommer kroppens emperaurer y( a förändras med hasigheen som är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och omgivnings emperaur Med andra ord har vi följande ekvaion y ( = k( y( TR ) med beggynelsevillkor : y() = T Uppgif E föremål med emperauren C har efer en minu i rumsemperaur ( C) svalna ill Hasigheen med vilken emperauren sjunker är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och rumsemperauren a) Besäm föremåles emperaur som funion av iden Sida av

3 b) Efer hur lång id blir föremåles emperaur? dy dy dy = k( y( ) = k y = y ln y = + C y = + D e Sarvillkore y( ) = D = 78 y = + 78 e k 8 Villkore y ( ) = = + 78 e 78 Svar a) y = + 78 e y = + 78 e k k = e 8 k = ln 78 b) y ( = + 78 e = e = 8 / 78 = ln(8/78) 76 min Svar b) 7 6 min ln(8/78) = k Uppgif (Ten aug ) En behållare har formen av en kon med spesen nedå enlig figuren Från början är behållaren fylld med vaen ill höjden, cm Vane rinner u genom e lie hål i boen Uflöde är, h cm /s, där h är vanes höjd i cm Hur lång id ar de innan behållaren är om?, h Vaenvolymen V( uppfyller ekvaionen blir =, h (*) Ekvaionen (*) har vå obekana funioner V( och h( För a lösa ekvaionen måse vi r h eliminera en av dem Formeln för volymen av en kon ger V =, där r är vaenyans radie På grund av -vinkeln gäller r = h och allså h V = Sida av

4 Meod Vi eliminerar V ( h( ) Vi deriverar sambande V ( = och får ( med hjälp av kedjeregeln ) h dh dh = = h som vi subsiuerar i ekv (*) : dh h =, h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och ) och får, h dh = (ekv ) Inegrera: h dh = h eller = + C Från h()= får vi C = (**) 868 och därmed h = C Behållaren är om om h= dvs + C = Härav = Svar: s Meod Vi eliminerar h ur ekvaionen =, h h V V = h = = 9,9V 6 6 Insäning ekvaionen ger =, V, dvs Differenialekvaionen kan separeras: V 6 = 9 9 Inegraion ger V = C, Vid iden är volymen V = Dea ger C = ömmas får vi genom a säa V = = Uppgif 6 C s 9 6, Tiden för behållaren a De har regna under en längre id Vaen har hel fyll e m lång och m bre dike Dikes verikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadra, delad längs en horisonell diagonal, m lång Regne har upphör vid idpunen = a) Anag a dike neill är hel ä så a vane endas kan försvinna genom avdunsning uppå Lå V( vara vaenvolymen vid iden >, med mä i dagar Sida av

5 Visa a V( uppfyller en differenialekvaion på formen = k V k =posiiv konsan, om avdunsningshasigheen(i m /dag) är proporionell mo den fria vaenyans area b) Besäm V( om V() =m (=hel fyll dike) och V()=99m c) När är dike orrlag? a) Lå A( = den fria vaenyans area Enlig förusäningarna gäller = ka (*) Om h beecknar vanes höjd då gäller h h V V ( = = h h = och V A = h = h = = V Dea subsiuerar vi i ekvaionen(*) och får = k V Vi kan bya k med en ny koefficien k Då kan vi skriva ekvaionen på formen = k V VS V b) Vi separerar variabler Sida av

6 V (Den riviala lösningen V saisfierar ine andra begynnelse villkore ) = k V = k V = + C V()= C = V()=99 99 = k + k = 99 6 V = + C V = ( 99 ) + V = [ ( 99 ) + ] Svar b) V ( = [ ( 99 ) + ] c) V ( = [ ( 99 ) + ] = ( 99 ) + = = 99 dagar ( 99 ) Uppgif 7 I nedansående vaenank finns lier vaen Vid = finns de g sal i anken Tanken illförs vaen med hasigheen lier per imme och salinnehåll g per lier Efer ordenlig mixning förs u vaen med hasigheen lier per imme Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden (d v s efer immar) a) Säll upp en differenialekvaion för y ( och besäm y ( b) Hur mycke sal finns i anken efer immar och min Svara i anale gram (avrunda ill helal gram) a) Ekvaionen: y( y ( = y ( + y( = 8 (*) Begynnelsevillkore: y ( ) = Den karaerisiska ekvaionen för den homogena delen: r + = r = / Härav yh ( = Ce Vi ansäer y p ( = A och därmed y p ( = Sida 6 av

7 Subsiuion i (*) ger A = 8 A = 8 och därmed y p ( = 8 / Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 8 Villkore y ( ) = medför C=7 / och y ( = 7e + 8 / Svar a) y ( = 7e + 8 b) y()= y ( = 7e + 8 Uppgif 8 E mekanis sysem med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvaion, med avseende på y( m y ( + by ( + ky( = F( a) Besäm den allmänna lösningen för y( då m =, b =, k = 6, F = sin( + cos( b) Besäm den lösning som saisfierar y ( ) =, y ( ) = Svar a) Ekvaionen: y ( + y ( + 6y( = sin + cos y( x) = C e + Ce + sin Svar b) y( x) = sin ================================================ Hasighe och acceleraion vid en rälinjig rörelse Lå s ( beskriva posiion av e obje som rör sig rälinjig längs s-axeln ( ex x-axeln y- axeln eller z-axeln) Då har vi följande formler för hasigheen v (, faren v ( och acceleraionen : Posiionen vid iden : s = s( Hasigheen : v ( = s ( Faren: v ( = s ( Acceleraionen: a ( = s ( den oala längden av vägen som obje passerar under idsinervall är L = v( Härav kan vi beräkna posiionen s( om hasigheen v( Sida 7 av är känd:

8 s ( = v( + C Om vi ve acceleraionen a( då kan vi beräkna hasigheen v ( a( + C = och därefer inegrera en gång ill för a få posiionen s ( v( + C = Uppgif 9 En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a ( = ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med y( och parikelns hasighe med v( Besäm parikelns posiion y( och v( om y() = och v ( ) = Tips: y ( = v(, y ( = v ( = a( Från y ( = a( har vi y ( = Därför ( efer en inegraion) y ( = ( ) = + C, Allså v ( = y ( = + C Från v( ) = nar vi + C = dvs C= och därmed y ( = + Vi inegrerar en gång ill och får y ( = ( + ) = + + D Allså y ( = + + D Villkore y ( ) = ger D= Därmed y ( = + + Svar: y ( = + + och v ( = + Uppgif En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a( = sin ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med y( och parikelns hasighe med v( a) Besäm parikelns posiion y( vid idpunen om y() = och v()= b) I vilken posiion befinner sig parikeln vid idpunen = c) Besäm ( den oala) längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle Tips: y (= v(, v (=a( a) Från v (=a( får vi v ( = a( = ( sin = cos + C Efersom v()= har vi C= och därmed blir hasigheen v( = cos Sida 8 av

9 Från y (= v( får vi y ( = v( = (cos = sin + D Efersom y()= har vi D= och därför blir parikelns posiion (vid idpunen y ( = sin + b) y ( ) =, parikeln befinner sig igen i sarpunen ( y ( ) = y( ) = ) c) Den oala längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle är / / s = v( = cos + ( cos + (cos = + + = / / (meer) cos för / Anmärkning: v ( = cos = cos för / / cos för / Lägg märke ill a parikeln förs rör sig mo punen 7 på y-axeln, sedan mosa rining ill - och därefer ill Svar: a) y ( = sin + b) y ( ) = c) Uppgif (gammal enamen) En parikel rör sig längs y-axeln Parikelns posiion vid idpunen beecknar vi med y( hasigheen med v( och acceleraionen med a ( För parikelns rörelse gäller följande: a( = y(, y()= och v()=6 (i lämpliga enheer ex längden i meer, iden i sekunder) a) Besäm parikelns posiion y( b) Besäm längden av den oala vägen som parikeln genomlöper under idinervalle a)från a( = y( har vi ekvaionen y ( = y( y ( = y( y ( + y( = Från r + = r, = ± i Därför y( = C cos + D sin Från villkore y()= har vi C + = C = och därmed y( = D sin Från v()=6 får vi y ( ) = 6 Nu y ( = D cos D = 6 D = Allså y ( = sin( Svar: a) y ( = sin( b) Om växer från ill då växer från ill Vi beraar rörelsen y ( = sin( i vå idinervall och, Mosvarande inervall för är och o Sida 9 av -

10 i) Inervalle (mosvarande inervall för är ) I dea inervall varierar sin( ) mellan sin och sin dvs mellan och Parikeln sarar i y= och når sin högsa pun y= vid = [efersom y ( ) = sin( ) = ] Därmed, under idinervalle, passerar parikeln sräckan vars längd är L= (meer) ii) Inervalle (mosvarande inervall för är ) Parikeln går från punen y= mo punen y= Därmed, under idinervalle, passerar parikeln sräckan vars längd är L=6 (meer) Toal blir de L=L+L=+6=9 (meer) Svar b: 9 meer Allernaiv lösning för b-delen Vägen= har vi / v( = y ( = Funionen Efersom / 6 cos är posiiv om 6cos( 6cos = 6cos( / / 6cos 6cos = 6cos + ( 6cos = / och negaiv om om dvs om dvs sin( / ) sin() sin( / ) + sin( / ) = 9 Svar: a) Parikelns posiion vid iden är y ( = sin( / b) Vägen= v( = 6cos = 9 (meer) / / [ sin ] + [ sin ] = / Uppgif Om vi använder följande egenskaper : spänningsfalle över en spole med induansen L är lika med L i (, spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i( kan vi med följande ekvaion beskriva nedansående LR-kres di( L + R i( = u( Sida av

11 Besäm srömmen i( i nedansående LR- kres om u( = a) L= henry, R= 8 ohm, vol Vid = är srömmen i()= ampere b) L= henry, R= 8 ohm, u( a) Från kresen får vi följande diff ekv di( L + R i( = u( (ekv) ( efer subs L och R) i ( + 8i( = ( dela med ) i ( + i( = 6 (ekv ) = e V och i()= A Härav i H ( = C e Parikulärlösning : i p ( = A i ( = p A = 6 A = / i ( = / p Allså: i( = ih ( + i p ( i( = C e + För a besämma C använder vi begynnelsevillkoren i ( ) = och får i = C e + C och ( ) i = e + ( = Svar a) i ( = Svar b) i( = e e + + e Sida av