Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017

Transkript

1 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola ösningar TENTMEN I HÅFSTHETSÄR KF OCH F MH UGUSTI 017 Tid och plas: i M huse. ärare besöker salen ca 9.30 sam Hjälpmedel: 1. ärobok i hållfasheslära: Hans undh, Grundläggande hållfasheslära, Sudenlieraur.. Handbok och formelsamling i hållfasheslära, KTH, eller udrag ur denna; vid Ins. for illämpad mekanik uarbead formelsamling. 3. ublicerade maemaiska, fysiska och ekniska formelsamlingar. Medagna böcker får innehålla normala marginalaneckningar, men inga lösningar ill problemuppgifer. ösa aneckningar i övrig är ine illåna. Vid veksamma fall: konaka skrivningsvaken innan hjälpmedle används. 4. Typgodkänd miniräknare. ärare: eer Möller, el (77) 1505 ösningar: nslås vid ingången ill insiuionens lokaler, plan 3 i norra rapphuse, Nya M huse, 17/8. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgif kan ge maximal 5 poäng. Maxpoäng på enan är 5. Beygsgränser: 10 14p ger beyg 3; 15 19p ger beyg 4; för beyg 5 krävs mins 0p. Yerligare 1 poäng ges för varje korrek lös inlämningsuppgif under kursens gång (lp 4 017) dock krävs ovillkorligen mins 7 poäng på enamen. För a få poäng på en uppgif ska lösningsförslage vara läslig och uppsällda ekvaioner/samband moiveras (de ska vara möjlig a följa ankegången). nvänd enydiga beeckningar och ria ydliga figurer. Konrollera dimensioner och (där så är möjlig) rimligheen i svaren. Resulalisa: Granskning: nslås 4/8 på samma sälle som lösningarna. Resulaen sänds ill beygsexpediionen senas 1/9. Måndag 8/ sam orsdag 31/ på ins. (plan 3 i norra rapphuse, nya M huse). Uppgiferna är ine ordnade i svårighesgrad /WM

2 1. En sel bom E, längd 4a, är leda infäs i B och hålls i horisonell läge av re sänger som fäser i, C och D. Sängerna är illvekade av e lineär elasisk/ideal plasisk maerial, elasiciesmodul E och sräckgräns σ s, och de har alla samma värsnisya. En kraf angriper vid E enlig figuren., E, E a a a a B C D E, E a: Beräkna den kraf som ger begynnande plasicering (4p) s b: Hur sor är då den verikala södkrafen i B? (1p). En punk i en elasisk kropp är usa för e hydrosaisk ryck p. Superponera finns en p τ y skjuvspänning τ y > 0, medan τ xy τ x 0. τ y a: Beräkna effekivspänningarna enlig Trescas och von Mises hypoeser (3p) b: Hur sor kan skjuvspänningen högs vara, p p y om ingen dragspänning får uppkomma i punken (p) x /WM

3 3. Två lika konsolbalkar har längd och böjsyvhe. Balkarnas fria ändar är sammanfogade med en sång som kan berakas som sel ( E ). Beräkna sångkrafen som uppkommer då den ena konsolen belasas med en fördelad las med lineär varierande inensie (kraf/längd) enlig, Q sel sång figuren; Q beecknar krafresulanen. (5p), 4. Två brädor med jocklek och bredd spikar ihop ill en balk med enkelsymmerisk T värsni enlig figur nedan. vsånde mellan spikarna i x led (balken längsled) beecknas c. Besäm sörsa illåna c om värkrafen är T 340 N och sörsa illåna skjuvkraf i en spik är 10 N (5p) c x T y 5. En fri upplagd balk med längd och konsan böjsyvhe belasas av sin egenyngd q( x) q 0 (kraf/längd) och en ryckande axiell kraf. Besäm de böjande momene i balken med hänsyn agen ill ryckkrafens inverkan. (5p) q( x) q 0, x /WM

4 ösning 1a: Frilägg bommen. Krafjämvik ger N C N D V B + N C + N D N (1) a a a a Momenjämvik kring B kräver a N V B N + N C + N D 3 () δ δ C δd Beraka bommen i uböj läge; sambanden mellan sångförlängningarna är δ δ C sam δ D δ. Med kraf förlängningssambande δ i N i i E (undh ekv 14) har vi då N C N N D 4N (3) Ekv () och (3) ger N N 11 C N 11 D (4) Vi ser a sång D plasicerar förs: N D 1 s σ 11 s s 11σ s σ ösning 1b: Sångkraferna (4) insa i (1) ger ; med s σ V B har vi då s V 11 1 B ösning a: Vi har här a σ x σ y σ p, τ xy τ x 0 och τ y > 0. Effekivspänningen enlig von Mises hypoes fås direk u undh ekv 1 4: σ e 3τ y Tresca spänningen, undh ekv 1 14, kräver a vi beräknar huvudspänningarna. Efersom och τ x båda är noll, är σ x p en huvudspänning. De andra kan beräknas enlig undh 9 49 τ xy σ σ y + σ σ y σ τ ± + p ± τ y y Huvudspänningarna är allså (i sorleksordning) σ 1 τ y p σ p σ 3 τ y p och effekivspänningen enlig Trescas hypoes σ e σ 1 σ 3 τ y ösning b: Sörsa huvudspänningen måse vara icke posiiv dvs σ 1 τ y p 0 τ y p /WM

5 ösning 3: å N beeckna den söka sångkrafen och q max Q vara sörsa lasinensieen (kraf/längd). Konsoländarnas ransversalförskjuningar kan beräknas med elemenarfall (Formelsamling sid 10). För den övre konsolen fås (med 1 N, W 1 q max och W q max ) N Q δ ö δ u N 3 q max 4 q max 4 δ ö N Q medan den undre konsolens förskjuning blir N 3 δ u Q Villkore δ ö δ u ger nu a N (dvs en ryckande kraf) 40 ösning 4: Vi behöver beräkna skjuvspänningen τ i lives övergång ill flänsen; den beräknas enlig undh ekv 7 48). Besäm förs de sammansaa värsnies y yngdpunk. Saiska momene map. en hjälp- axel η är y S η p p där värsnisarean är ; vi finner p η Flänsarean är och dess saiska momen map. y axeln genom yngdpunken är S + -- p 3 Tvärsnies arearöghesmomen map. y axeln fås beräknas med Seiners sas (undh ekv 7 4) 3 I y ( ) 3 1 p p (De vå försa ermerna i mellanlede är bidrage från flänsen). Den söka skjuvspänningen blir nu τ TS I y 6T Tc Skjuvkrafen som ska as upp längs en längd c i x led är allså F τ c Med T 340 N och 17 F 10 N finner man c /WM

6 d w ösning 5: Momene kan beräknas som M( x) dx (undh 7 65). Transversalförskjuningen w( x) är lösningen ill w iv n q 0 + w'' (undh 8 63), där n Som parikulärlösning ansäer vi w ax q och efer insäning i differenialekvaionen finner man 0 a ; homogenlösningen n ges av undh Vi har då w( x) q 0 x n + + Bx + C cos( nx) + Dsin( nx) Med origo i balkens mipunk har vi symmerivillkore w( x) w( x), så B D 0. Med dea insa får vi efer a derivering d w q 0 dx n Cn cos( nx) d w q Snimomene är noll vid upplagen så vi måse ha a ; dea ger a 0. dx 0 C n 4 n cos x d w q Vi har då 0 M( x) dx ---- n Cn q 0 cos( nx) + cos( nx) ---- n n cos ± /WM