Om exponentialfunktioner och logaritmer

Transkript

1 Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. De flesa av övningarna har, om ine lösningar, så i varje fall anvisningar ill hur uppgifen kan lösas. Ha dock ine för bråom a ia på lösningarna de är ine så man lär sig. Du måse förs noga fundera u vad de du ine försår. Glöm ine a hela iden reflekera kring vad du lär dig. Saker som är svåra a förså kräver ibland a man änker under en längre period. Ibland måse man bara lära sig hur man gör, för a förså lie senare (när hjärnan få mer a arbea med). Till dessa övningar behövs ofa en miniräknare eller mosvarande för a besämma de sluliga svare. Eponenialfunkionen och dess egenskaper Övning Skissera i samma figur in följande grafer = e, = e +, = e, = e +. Övning Ria i samma figur u de vå graferna = e, = e. Efersom vi ve vad eponenialfunkionens derivaa är, kan vi också derivera urck som innehåller den. Övning 3 Derivera följande funkioner: a) ( + 3)e, b) e / c) e. d) e / De vikigase i kapile är kanske eponenialfunkionens egenskaper (illsammans med logarimfunkionens, men de är samma, fas värom). Övning 4 Konrollera a du själv kan härleda eponenialfunkionens vå grundläggande egenskaper: e + = e e, (e ) = e uan a ia i een. Var dlig med hur man använder a en differenialekvaion har en endig lösning. Nu iar vi närmare på derivaan, som ju är e gränsvärde. Övning 5 Beräkna 0 e 3. I följande övningar behöver man vea a ekvaionen e = löses av = ln och kunna hia denna funkion på en miniräknare (eller mosvarande). De är de grundläggande sambande mellan eponenialfunkionen och den naurliga logarimen. Övning 6 I en viss bakeriekulur ändras anale bakerier med en hasighe som är proporionell mo anale bakerier. Anag a anale bakerier vid en viss idpunk är celler, och vå immar senare har kuluren vui ill 0 8 celler. Besäm anale bakerier som en funkion av iden. Övning 7 För e viss radioakiv ämne är sönderfallshasigheen 0% per sekund. Hur lång id ar de ills hälfen av ämne åersår? De är också bra a en gång för alla lära sig Maclaurinuvecklingen för e. För dea, gör följande övning. Övning 8 Visa a e Den naurliga logarimen Följande övning är oerhör vikig. om. Övning 9 Förklara logarimlagarna uifrån mosvarande lagar för eponenialfunkionen. För a bekana sig med logarimfunkionens graf är följande övning lämplig. Övning 0 Skissera i samma koordinassem följande grafer: = ln, = ln( + ), = ln, = ln( ), = ln Var speciell noggrann med definiionsområde för funkionerna. Här är en övning på räknelagarna. Övning Förenkla urcken a) ln( + ) ln + ln, b) ln(e ) ln(/) ln( ), c) e ln() ln(/ ) + ln(e ). +. Övning En person vill säa in en så sor summa pengar i en bank, a han efer 0 år kan lfa kronor. Anag a bankens årsräna hela iden är 8% (räna på räna), hur sor ska de insaa kapiale vara? Vi får också e sandardgränsvärde i origo för logarimen. För a se vad dea sfar på, gör följande övning. Övning 3 Beräkna i ur och ordning gränsvärdena ln( + ) ln( + 3) a). b) 0 0 Några illämpningar av logarimen De vikiga i dea avsni är a kunna besvara följande fråga. Övning 4 Ria följande samband så a de framsår som räa linjer: a) =, b) =, c) = 5.5, d) = 4/, e) = / f ) =, g) = 0.33, h) = /. Du ska allså välja alarna lämplig. Ange i varje fall ekvaionen för linjen. Läs igenom eemple om decibelmäning och gör sedan följande övning Övning 5 Beräkna ljudnivån L då ljudinensieen I är a) 0 6 W/m (normal samalson på meers avsånd)

2 b) W/m (högsa illåna ljudinensie för moorckel med clindervolm sörre än 500 cc, på 7.5 meers avsånd) c) 0.03 W/m (vanlig ljudnivå på diskoek) Övning Beräkna följande gränsvärden a) ( + ) b) ( + ) Svar och anvisningar Övning Graferna är riade nedan. För a idenifiera dem noera a e + = ee > e och a = + e är en parallellförskjuning av = e vå seg uppå. De är allså den enda kurva som ine går mo noll då. Vad väer snabbas? Övning 7 Beräkna följande gränsvärden (även oegenliga) a) e + 6, b) + (.5) + ln + e + 0 Övning 8 Skissera grafen ill funkionen f () = e / i sora drag Lösningen av några differenialekvaioner Följande övning svarar mo Eempel i huvudeen. Den är vikig a komma ihåg! Övning 9 Under 75 år släppe Fefas Rubber Compan i Massachuses, USA, koninuerlig u 5 on av lösningsmedle oluen per år. Under e år avdunsade ungefär 0% av den mängd oluen som fanns i marken. Hur sor mängd förorening fanns i marken då usläppen upphörde? En i övningar ofa använd varian på dea finns i näsa övning. Övning 0 Man har eperimenell verifiera a en varm kropp, som befinner sig i e kallare medium, svalnar med en hasighe som är proporionell mo emperaurskillnaden (Newons avklningslag). a) Ange en differenialekvaion för kroppens emperaur som beskriver en sådan avklningsprocess, om de omgivande medie har konsan emperaur. Ange därefer en differenialekvaion för emperaurskillnaden mellan medie och kroppen. Vilken variabel är läas a analser: kroppens emperaur eller skillnaden mellan kropp och medium? b) En kropp kls i nollgradig vaen. Om emperauren på 0 minuer sjunker från 5 C ill 0 C, hur lång id ar de då ill a den sjunki ill 5 C? c) En ngräddad kanelbulle (00 C) har efer en minu i rumsemperaur (0 C) svalna ill 5 C. Efer hur lång id kan bullen äas (35 C)? Nedansående övning är e eempel på kol-4-meoden. Skriv en ordenlig lösning som börjar med a plocka u de vikigase från eempel 3 i een. Övning Mäningar från radioakivieen av räkol från Lascaugroan i Frankrike gav år sönderfall/år/g medan levande maeria gav 6.68 sönderfall/år/g. För hur länge sedan gjordes gromålningarna i denna groa? Övning I e vildmarksreserva inplaneras en viss hjorar. I början, när djuranale är lie, är den relaiva illvähasigheen 0.5 per år. Reservae kan emellerid hålla högs 800 hjorar, varför den relaiva illvähasigheen minskar då anale hjorar ökar ill denna nivå. Efer e anal år uppäcks reservae av en vargflock som bosäer sig där och dödar och äer upp 75 djur per år. Nu har en plöslig sjukdomsepidemi decimera anale hjorar ill 50 djur. Hur lång id ar de ill vargarna nu einerar hjorbesånde från vildmarksreservae? Övning Båda funkionerna är jämna, dvs f ( ) = f (). De beder a vi kan ria upp hur den ser u ill höger om -aeln, och sedan spegla den kurvan i jus -alen. Den blå kurvan (som är överall) är = e, den röda (som är överall) är = e. Noera a ingen av funkionerna är deriverbar i origo! Övning 3 Lå D beeckna derivaa. a) Enlig produkregeln har vi a derivaan är D( + 3)e + ( + 3)D(e ) = e ( + + ). b) Enlig formeln för derivaion av en kvo har vi a derivaan är D(e e D() = e ( + ) c) Enlig kedjeregeln har vi a derivaan är e D( ) = ( )e d) Här kombinerar vi produkregeln och kedjeregeln: D( )e / + e / D( /) = e / ( + ( ) = e / ( + 3/ + 4). Övning 4 De här måse du gå igenom genom a sudera huvudeen. Dessa formler är nckeln ill a förså eponenialfunkionen!

3 Övning 5 De du ska se är a gränsvärde är desamma som derivaan av f () = e 3 i = 0: så svare är 3. f f () f (0) e (0) = = 3, Övning 6 Om () är anale bakerier vid iden och om vi sarar klockan då vi har celler, så gäller a () = k(), (0) = Här är k okän, men kan besämmas av villkore i uppgifen om vi löser differenialekvaionen. Vi ve a lösningen är och de åersående villkore är a () = e k () = e k = 0 8 e k = 5 e k = 5. Här kan vi urcka k i logarimer, men behöver ine göra de. Vi har nämligen a den allmänna lösningen är () = (e k ) = Övning 7 Ekvaionen för () som är anale aomer som ine sönderfalli vid iden är () = 0.() vars lösning är () = (0)e 0.. Den idpunk vid vilken hälfen har sönderfalli ges då av ekvaionen (0) = (0)e 0. e /5 = = 5 ln(). Övning 8 Vänserlede är e p 4 (), där p 4 () är Maclaurinpolnome av ordning 4 ill eponenialfunkionen. Vi ve a e = p 4 () + e ξ 5 5!, där ξ ligger mellan 0 och. Från dea får vi a e p 4 () = e ξ 5 5 = eξ 0 0. Då vi kräver a måse ξ och allså e ξ e < 3. Soppar vi in den uppskaningen får vi resulae: 4 4 Övning Vi kan förs noera a i alla fall krävs a > 0 efersom mins en erm kräver dea. a) ln( + /) ln + ln = ln(( + /)) = ln( + ). b) ln(e ) ln(/) ln( ) = ln(e ) + ln ) = ln( e ) = ln(e ) =. c) e ln() ln(/ ) + ln e = + ln + = 3 + ln. Anmärkning Var använde vi a > 0? Jo, uan de villkore har vi a Av samma skäl som a =! ln = ln. Övning Om de insaa kapiale är K är konosällningen efer 0 år Ke = Ke 0.8, så vi ska lösa ekvaionen Ke 0.8 = 0 5. De följer a K = 0 5 e 0.8 = kr. Övning 3 Dea handlar om derivaan av logarim-funkionen a) Dea är derivaan i = av ln, allså är gränsvärde. Alernaiv är gränsvärde derivaan i = 0 av funkionen ln( + ). Dea är ofare e bäre sä a änka på urcke. b) Dea är derivaan i = 0 av ln( + 3). Svare är allså 3. Övning 4 Vi får följande samband i de olika fallen: a) ln = (ln ). Ria i e linlog-diagram (linjär skala på -aeln, logarimisk på -aeln). b) ln = ln. Ria i e loglog-diagram. c) ln = (ln.5) + ln 5. Ria i e linlog-diagram. d) ln = ln 4 ln. Ria i e loglog-diagram. e p 4 () = 5 40 då. e) ln = (ln ). Ria i e linlog-diagram. f) ln = ln. Ria i e loglog-diagram. Övning 9 Dea är förklara i een. Den vikiga observaionen är a e = z = ln z. Om vi därför skriver z = e, w = e så gäller a zw = e e = e + p g a eponenialfunkionens egenskaper. Men dea beder precis a + = ln(zw). Å andra sidan är = ln z och = ln w, så vad vi har är allså ln(zw) = ln z + ln w. Den andra räkneregeln visas på mosvarande sä. Övning 0 Definiionsområdena är (från vänser ill höger) (0, ), (, ), (0, ), (, 0), (, ). Vidare gäller a försa och redje är spegelbild av varandra i -alen, liksom andra och feme (därför a ln + = ln( + ). g) ln = (ln 0.33). Ria i e linlog-diagram. Noera a linjen är avagande, efersom ln 0.33 < 0. h) ln = ln ln. Ria i e loglog-diagram. Övning 5 a) 60 db, b) 86 db, c) 05 db Övning Vi ve a e = ( + ). Dea ger a) ( + ) = ( ( + )) e då. Här har vi använ a om f () A då och g är en koninuerlig funkion, så gäller a g( f ()) g(a) då. A så är falle berakar vi som självklar, även om de kräver e bevis ifrån en ordenlig definiion av gränsvärden. b) När gäller även a =. Vi kan därför ba variabel som nedan ( + ) = ( + )/ = ( ( + ) ) / = e.

4 Övning 7 Vi använder här diverse inuiiv självklara påsåenden om gränsvärden. Självklara om vi förs skriver om urcken. a) Från huvudeen ve vi a av de ermer som ingår väer snabbas mo oändligheen. Vi dividerar därför både äljare och nämnare med : När är sor kommer här alla ermer som beror av a gå mo noll, så gränsvärde blir =. b) Här har vi vå eponenialfunkioner: e och (.5). Efersom e >.5 >, så är de e som väer snabbas. Vi dividerar därför med den och får + (.5 e ) + ln e = e då. Näsa uppgif är väldig lik Eempel 5 i huvudeen (och kan härledas ur de, uan några räkningar om man vill). Övning 8 Sä f () = e /. De försa vi ser är a den ine är definierad i = 0. Vi har a och (sä = /) e 0 e / = + = 0 0 e / = e = efersom e väer forare mo oändligheen än. Vad gäller sneda asmpoer har vi a a) i gäller a e k = / =, m = (e / e ) = = (e ) (0) =, 0 + b) i gäller a m = k = e / =, (e / ) = e = (e ) (0) =. 0 Vi ser allså a vi har asmpoen = i båda oändligheerna. Åersår a finna evenuella saionära punker. Vi har f () = e / + e / = e / ( + )/, så vi har endas en saionär punk, nämligen då =. Vi får följande eckenabell Dea ber oss följande figur : 0 f () : + 0 ej + f () : e de f Övning 9 Lå () vara mängden (mä i on) förorening i marken vid iden, räkna från när fabriken ogs i bruk. Då ger massbalans a så länge fabriken är i gång har vi differenialekvaionen () = 5 0.(), (0) = 0. För a lösa den säer vi z() = 5 ()/0. Då gäller a z () = ()/0 = z()/0, z(0) = 5 (0)/0 = 5. De beder a z() = 5e /0 5 ()/0 = 5e /0 () = 50( e /0 ). Vi får därför svare on. (75) = 50( e 7.5 ) 49.9 Övning 0 Lå T() vara kroppens emperaur och T m omgivningens emperaur. a) Lagen innebär a de finns e k > 0 sådan a T () = k(t() T m ). Om vi säer D() = T() T m så gäller a D () = T (), och allså a D () = kd(). Den andra av dessa ekvaioner kan vi lösningen på: vilken i sin ur ger oss T(). D() = D(0)e k, b) I dea eempel är T m = 0, så T() = D(). Differenialekvaionen är T () = kt() T() = T(0)e k. Villkoren i uppgifen är a T(0) = 5 och T(0) = 0, där de senare besämmer k: 0 = T(0) = 5e 0k e 0k = 5 4 k = 0 ln 5 4. Den allmänna lösningen på ekvaionen är T() = 5e k, med dea k. Ti vill då hia de då T() = 5: 5 = 5e k e k = 5 3 = k ln 5 3 = 0 ln(5/3) ln(5/4), vilke är approimaiv 3 minuer. De ar allså erligare 3 minuer.

5 c) Lå T() vara bullens emperaur i Celsius. Då är T(0) = 00 och T () = k(t() 0) T() = e k. Vi besämmer k av a e k = 5 e k = 3 80 k = ln Tiden vi söker är lösningen på e k = 35, allså minuer. = k ln 80 5 = ln(80/5) ln(80/3) 8 Övning Ekvaionen för radioakiv kol är N = p λn, λ = , p = 6.68λ så länge räde lever. Därefer blir ekvaionen N = λn med sarvärde N(0) = p/λ = Vi ska därför hia de som är sådan a 0.97 = 6.68e λ = 6.68 ln λ år. De var så länge sedan gromålningarna gjordes. Övning Om vi räknar djuren i hundraal är ekvaionen = 0.5( /8) 0.75 = ( )( 6). För a lösa den börjar vi med a säa z =, vilke ger oss ekvaionen z = z (z 4). Därefer säer vi w = /z (du kan naurligvis säa w = /( ) direk om du vill, men vi väljer a göra de i så små seg som möjlig). De ger oss (konrollera!) ekvaionen w = ( 4w), som vi löser genom a säa u = ( 4w)/. Då gäller a (konrollera!) u = u/4 och allså u() = Ce /4. Ur de får vi () = + z() = + w() = + 4 u() = 6 3u() u(). Dea beder a () = 6 Ce /4 Ce /4 för en konsan C (som är gånger sörre än förra C). Sarvillkore är (0) =.5, så C besäms av a 6 C C = 3 C = 9. Från de följer a () = 0 precis då 6 8e /4 = 0 = 4 ln 3.9 år.