Egenvärden och egenvektorer

Transkript

1 Egenvärden och egenvekorer Definiion Lå F vara en linjär avbildning. Om ale λ och vekorn x uppfyller F (x) =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill F. Obs. Likheen är möjlig endas när F är en avbildning mellan rum av samma dimension: bildvekorn F (x) skall ha lika många koordinaer som urbilden x. Efersom alla linjära avbildningar (från R n ill R p )kan represeneras med mariser, praar man ofa om egenvärden och egenvekorer ill mariser: Definiion 2 Lå A vara en kvadraisk maris. Om ale λ och kolonnmarisen x uppfyller Ax =λx, x 6= kallar vi x egenvekor och λ egenvärde ill marisen A. (Likheen omöjlig om A ine är kvadraisk!) De är dock bäre a beraka egenvärden och egenvekorer som egenskaper av en avbildning snarare än egenskaper av en alabell: x och λ är egenvekor resp. egenvärde ill den avbildning som har A som avbildningsmaris borde man i alla fall änka, även om man ine orkar säga/skriva de! Tänk på mariser som linjära avbildningar och på egenvärden/egenvekorer som egenskaper hos en linjär avbildning snarare än egenskaper hos en maris! Mariserna som vi söer på vid problemlösning är avhängiga av hur man väljer koordinasysem, variabler, ec. Säg a F är orogonal projekion på en viss linje ` i plane. Om vi väljer ` som x-axel och en normal ill ` som y-axel, så får vi avbildningens maris ill µ Om vi däremo väljer koordinasysem så a ` får ekvaionen y = x, så blir avbildningens maris µ /2 /2 /2 /2 Marisen beror på basvale! På samma sä som e och samma föremål beskrivs av människor med olika ord på olika språk, kan en linjär avbildning beskrivas av olika mariser beroende på vale av bas. På samma sä som de är lämplig a i Sverige praa svenska och i Tyskland yska, så är de lämplig a anpassa basvale ill problemsällningen. A inskränka sig ill mariser, är allså lie som a sirra sig blind på ordens ljud och boksäver och glömma deras beydelse. Relaionen F (x) =λx beror emellerid ine på basvale. (Allså måse de vå mariserna ovan ha samma egenvärden och samma egenvekorer, om vi med vekorer avser själva pilarna i plane som är oberoende av koordinasyseme, och ine alpar som (, 2) ec., som endas är represenaioner av vekorer m.a.p. e uval koordinasysem). En huvudanledning ill vår inresse för egenvekorer är a de vägleder oss ill jus e lämplig basval välj egenvekorer som basvekorer, så blir avbildningens maris diagonal och därmed enkel a räkna med! (Redan anmärkningen om definiionen av marismuliplikaion var e försök a överyga dig a marisräkning är konsruerad i försa hand med anke på linjära avbildningar, varför de ofa kan löna sig a beraka mariser som beskrivningar av linjära avbildningar och ine vilka rekangulära alabeller som hels!) 6

2 Egenvärden och egenvekorer ill geomeriska linjära avbildningar? Likheen i definiionen F (x) =λx säger a F (x) skall vara parallell med x Sned projekion i plane på linjen genom origo med rikningsvekor n längs linjen genom origo med rikningsvekor v. Skillnaden genemo orogonal projekion är följande: Vid orogonal projekion går man från den punk som skall projiceras vinkelrä mo den linje på vilken man skall projicera. Här orogonal projekion av (2, ) på x- axeln: Orogonal projekion i plane på linjen genom origo med rikningsvekor n : Vekorerna som är parallella med linjen är egenvekorer med egenvärde. Vekorerna som är vinkelräa mo linjen är egenvekorer med egenvärde. Orogonal projekion i rumme på linjen genom origo med rikningsvekor n : Som föregående! Skillnaden är a egenvekorerna med egenvärde nu bildar e hel plan e plan med n som normal Vid sned projekion går man mo den linje man skall projicera på längs den angivna rikningen v. Här projekion av åerigen (2, ) på x-axeln längs rikningen (, ): Vekorerna, som är parallella med n, är egenvekorer med egenvärde. Vekorerna, som är parallella med v, är egenvekorer med egenvärde. 7

3 Spegling av planes vekorer i linjen genom origo med rikningsvekor n : Vekorerna som är parallella med n är egenvekorer med egenvärde. Vekorerna som är vinkelräa mo n är egenvekorer med egenvärde. Spegling av rummes vekorer i de plan genom origo som har normalrikningen n : Vekorerna som är parallella med speglingsplane är egenvekorer med egenvärde. Vekorerna som är parallella med n är egenvekorer med egenvärde. Vridning av planes vekorer kring origo vinkeln θ : Om θ = π är alla vekorer egenvekorer med egenvärde. Om θ =, så är, rivial, alla vekorer egenvekorer med egenvärde. Men om θ 6= kπ för alla helal k, så finns inga reella egenvekorer! Vridning vinkeln θ av rummes vekorer kring en axel genom origo med rikningen n : Vekorerna parallella med n är egenvekorer med egenvärde. Om θ = kπ, kudda helal, så är även alla vekorer vinkelräa mo n egenvekorer med egenvärde. Om θ =2kπ, khelal, så är alla vekorer i rumme egenvekorer med egenvärde. Övningar 33. Konrollera a u = 3, v = 2, w = alla re är egenvekorer ill marisen A = Vilka är egenvärdena? (Tia på Au, Av och Aw),, 34. (Fors.) Kan man, uan räkning, peka u några andra egenvekorer ill A? Ja, alla linjärkombinaioner av v och w är också egenvekorer med egenvärde. Allmän om Av = λv och Aw = λw, så för alla al s, : A (sv + w) = sav + Aw = = sλv + λw = λ (sv + w) några av dem möjligen också egenvekorer? 8

4 Egenvärden och egenvekorer med karakärisiska polynome (För eoreiska överläggningar och räkningar för hand med små mariser daorer programmeras med andra algorimer.) Lå som exempel µ 9 5 A = 5 Likheen är ekvivalen med Ax = λx ½ 9x +5x 2 = λx x +5x 2 = λx 2 Ax λx = ½ (9 λ) x +5x 2 = x +(5 λ) x 2 = µ 9 λ 5 5 λ µ x x 2 = (A λi) x = µ Vi söker lösningar x 6= s.k. icke-riviala lösningar (lösningen x = är ine illräcklig inressan). Teorin säger a e homogen (högerlede = ) kvadraisk sysem har icke-riviala lösningar då och endas då sysemes deerminan är =. Därför säller vi upp och löser den karakärisiska ekvaionen de (A λi) = Mosvarande egenvekorer är de icke-riviala lösningarna ill syseme med resp. egenvärde insa: λ =: ½ (9 ) x +5x 2 = x +(5 ) x 2 = ½ x +5x 2 = x 5x 2 = ½ x =5, godycklig x 2 = Vi är dock ine inresserade av nollvekorn, så egenvekorerna med egenvärde är µ 5 x =, 6= λ 2 =4:På samma sä, men för korheens skull kan vi bokföra räkningarna med sysemes uökade maris så här: µ µ 5 5 µ ½ x = x 2 = Egenvekorerna med egenvärde 4 är allså µ x =, 6= = 9 λ 5 5 λ = = (9 λ)(5 λ) 5 = = λ 2 4λ +4 Deerminanen visade sig vara e polynom i λ. Dea polynom kallar vi karakärisiska polynome ill A. λ = 7± 49 4 λ = eller 4 Egenvärdena är allså λ = λ 2 = 4 9

5 Komplexa egenvärden Polynom med reella koefficiener kan mycke väl ha komplexa nollsällen och vi får vara beredda på a räkna med vekorer med komplexa elemen, för a få illräcklig många egenvekorer: Exempel: Egenvärden och egenvekorer ill µ A = 5 4 Karakärisiska polynomes nollsällen: = λ 5 4 λ = = λ 2 +4λ +5 λ = 2 ± i Egenvekorer med egenvärde 2+i : µ ( 2+i) 5 4 ( 2+i) µ 2 i 5 2 i Lösningarna ill den försa ekvaionen kan skrivas ½ x = godycklig = x 2 = (2 i) x =( 2+i) µ x = 2+i Om man nu har räkna rä, så bör dessa lösa även den andra ekvaionen (e homogen kvadraisk sysem skall ha icke-riviala lösningar när deerminanen är =). Konrollera: 5 +( 2 i) ( 2+i) = ³ 5+( 2) 2 2 i = Gör på samma sä för λ = 2 i, så har vi få µ, 2+i 6= är egenvekorer med egenvärde 2+i µ 2 i, 6= är egenvekorer med egenvärde 2 i Övningar 35. Besäm egenvärden och egenvekorer ill (a) (b) (c) (d) (e) µ µ, 6=, med egenvärde µ, 6=, med egenvärde 5 2 µ 2 2 µ, 6=, med egenvärde 3 µ, 6=, med egenvärde µ 2 2 µ i, 6=, med egenvärde 2+i µ i, 6=, med egenvärde 2 i µ µ 2 µ, 6=, med egenvärde µ 5 4, 6=, med egenvärde 3 2

6 36. Besäm egenvärdena och egenvekorerna ill , 6=, med egenvärde 4, 6=, med egenvärde 2 3 5, 6=, med egenvärde Inlämningsuppgif ill den /9. Vad kan du säga om egenvärdena ill en riangulär maris? (Moivering?) 38. Unyja deerminanegenskapen ill a visa a de A T =dea A och A T har samma egenvärden! Bevis: Egenvärdena är nollsällena ill de karakärisiska polynome. De karakärisiska polynomen ill A och A T är lika, efersom A T λi = de A T λi =de(a λi) T = =de(a λi) Karakärisiska polynome för en kvadraisk maris A är allså p (λ) = de(λi A) eller de (A λi) De vå skiljer sig enbar på en fakor ( ) n, då A är n n. Allmän gäller {Egenvärden ill A} = nollsällena ill p (λ) Esäainsea Gradale av p = ordningen av A (= n:e ovan) sam följande samband mellan karakärisiska polynomes koefficiener och marisens elemen de (λi A) (5) = λ n (a + a a nn ) λ n ( ) n de A är följande ekvivalena definiion av deerminaner: de A = X µ produk av n elemen i A, ± e ur varje rad och kolonn med eckenregler, som yvärr ine låer sig beskrivas enkel. Du kan noera a Sarrus regel för 3 3- deerminaner ger jus en sådan summa: a b c d e f g h k = aek + bfg + cdh gec hfa kdb Tänker man sig dea sä a räkna u deerminanen av λi A, så leds man ill likheen ovan. 2

7 Nollsällen ill polynom Allmän gäller Anale nollsällen = polynomes grad om man räknar med muliplicie Spåre av en maris Summan av alla diagonalelemenen i en kvadraisk maris har ege namn: spåre, eng. race Tr A =a + a a nn (Förydligande: p (x) =(x ) 3 (x +2) 5 säges ha nollsälle x =med muliplicie 3 och nollsälle x = 2 med muliplicie 5, och vi säger a polynome har 3+5=8nollsällen, räkna med muliplicie.) Nollsällena ill polynom med reella koefficiener förekommer i komplexkonjugerade par: z 5 + z 4 +5z 3 +23z 2 +2z 5 En någo ovänad egenskap hos spåre är a för alla mariser A och B, sådana a produken AB är väldefinierad och ger en kvadraisk maris (d.v.s. om A är m n, såskallb vara n m ochdärmedärba också väldefinierad och kvadraisk) gäller Tr AB =Tr BA De visar sig a båda urycken sår för summor av samma al, fas i olika ordning: (A jk = A:s elemen på rad j, kolonn k) har nollsällena, 2+i, +3i 2 i, 3i Samband mellan röer och koefficiener Varje polynom kan fakoriseras i fakorer (z z k ), där z k är e nollsälle. T.ex. kan varje redjegradspolynom (med högsagradskoeff. =) fakoriseras z 3 + az 2 + bz + c = (z z )(z z 2 )(z z 3 ) där z,z 2,z 3 är nollsällena, ev. sammanfallande. Denna likhe är en algebraisk idenie, d.v.s. polynomen på ömse sidor av likheseckne har samma koefficiener. Uvecklar man högerlede, blir de Allså = z 3 (z + z 2 + z 3 ) z z z z 2 z 3 z + z 2 + z 3 = a z z 2 z 3 = c Generell har vi: Om z,z 2,..., z n är alla nollsällen ill Tr AB = Tr BA = mx mx nx (AB) jj = A jk B kj j= nx (BA) kk = j= k= nx k= k= j= mx B kj A jk så är z n + a n z n a z + a z + z z n = a n (6) z z 2...z n = ( ) n a Summan och produken av egenvärdena Kombinerar vi (5) och (6) nu, får vi λ + λ λ n = a + a a nn λ λ 2...λ n = dea 22

8 Komplexkonjugerade egenvekorer Mariser av reella al förusäer vi här! Ine bara egenvärdena, även egenvekorerna kommer i komplexkonjugerade par, se.ex. En illämpning som kommer a behandlas mer senare: Den allmänna lösningen ill e diagonaliserbar sysem av differenialekvaioner kan skrivas c e λ s + c 2 e λ2 s c n e λn s n Om λ = σ + iω är e egenvärde med egenvekor u+iv, σ, ω reella al u, v reella vekorer,såär λ 2 = σ iω = λ också egenvärde med egenvekor u iv där λ k :na är egenvärdena och s k :na är mosvarande egenvekorer ill sysemmarisen. I allmänhe är såväl egenvärden som egenvekorer icke-reella al. Konsanerna c k får emellerid vara vilka komplexa al som hels och, genom a välja dem på lämplig sä, så kan man åsadkomma a alla imaginärdelar ar u varandra och summan blir reell för alla. (Fysikaliska sorheer svarar mo reellvärda funkioner!) För falle av reella koefficiener och egenvärden/egenvekorer i komplexkonjugerade par, såvisardesigamosv. c k också skall väljas som varandras konjuga: λ,2 = σ ± iω, σ, ω reella c,2 = a ± ib, a, b reella c e λ s + c 2 e λ 2 s 2 = (a + ib) e (σ+iω) (u+iv)+(a ib) e (σ iω) (u iv) Observera nu a den andra ermen är konjugae ill den försa! Allmän gäller nämligen z w = z w = e z = e z Kom ihåg: Definiionsmässig är e (σ+iω) = e σ (cos ω + i sin ω) varav e (σ iω) = e σ (cos ω i sin ω) Vidare har vi allmän a z + z =2Rez e /2 cos 2 så vår summa är h i = 2Re (a + ib) e (σ+iω) (u+iv) = = 2e σ Re [(a + ib)(cosω + i sin ω)(u + iv)] = = 2e σ (a cos ω b sin ω) u 2e σ (b cos ω + a sin ω) v Den s.k. hjälpvinkelomskrivningen a cos ω b sin ω = p µ a 2 + b 2 a b cos ω a2 + b2 a2 + b sin ω = 2 = p a 2 + b 2 (cos φ cos ω sin φ sin ω) = = p a 2 + b 2 cos (ω + φ) visar a vi har a göra med sinussvängningar med exponeniell växande/avagande ampliud 23