Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Transkript

1 Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges på reell form Del är avsedd för beyg och omfaar 6 uppgifer För godkän krävs a 5 moduler är godkända Del är avsedd för högre beyg, 4 och 5, och omfaar poäng Poängfördelning på del : ger 4 poäng, - ger 5 poäng vardera och 4-5 ger poäng vardera För beyg 4 krävs föruom godkän på del även mins 8 poäng på del För beyg 5 krävs föruom godkän på del även mins 4 poäng på del OBS! GODKÄNDA MODUER TIGODORÄKNAS ENDAST FRÅN HÖSTEN 6 OBS! Del Modul Då en produk as u ur en ugn har den emperauren 7 C (Celsius) Den svalnar därefer med en avsvalningsak som är proporionell mo skillnaden i emperaur mellan produken själv och de omgivande rumme En konsul har hyrs in för a ureda denna avsvalningsprocess Konsulen föreslår vå olika maemaiska modeller å T() vara produkens emperaur vid iden dt Modell: = T 4 dt Modell : = T Besäm förs lösningen ill respekive modell och avgör därefer vilken modell som kan vara lämplig Differenialekvaionerna är linjära av försa ordningen ösningen fås som allmän homogen lösning plus en parikulär lösning Modell : T() = Ae + 4 Vid = är T = 7 Dea ger A = 66 Vi får T() = 66e + 4 Modell : T() = Ae + Vid = är T = 7 Dea ger A = 67 Vi får T() = 67e + Efersom de är en avsvalningsprocess är de endas modell som är rimlig, y i modell kommer emperauren a växa obegränsa SVAR: Modell : T() = 66e + 4 Modell : T() = 67e + Endas modell som är rimlig Modul Besäm den lösning ill ekvaionen som uppfyller villkore y() = aplaceransformera : y + 4y + y( )d = sy(s) y() + 4Y(s) + s Y(s) = Insäning av villkore ger: s Y(s) s + 4sY(s)+Y(s) = ös u den obekana funkionens aplaceransform Y(s) = s s + 4s +

2 Omformning ger: Y(s) = (s + ) (s + ) = (s + ) + 9 (s + ) + 9 Åerransformering ger: y() = e (cos sin) SVAR: Den söka lösningen är y() = e (cos sin) Modul Besäm konsanerna, b n, n =,,, x, då x / så a b n sin nx = n= x, då / x [ ] ges av b n är Fourierkoefficienerna ill den udda funkion som på inervalle, x, då x / f (x) = x, då / x De söka koefficienerna ges av b n = f (x)sin nxdx = / ( xsin nxdx+ ( x)sin nxdx) Vi överför den andra inegralen ill en inegral med samma inervall som den försa inegralen Sä: u = x, du = dx, / /,, Vidare är sin n( u) = sin n cosnu cosn sinnu = ( ) n + sinnu Insäning ger b n = ( ( ) n+ ) x sinnxdx Vi ser a för jämna n är b n =, dvs b m = För de udda helalen erhålles: b m+ = 4 / xsin(m +)xdx Inegraion ger oss b m+ = 4 ( / / cos(m +)x m + SVAR: De söka konsanerna blir b m = respekive b m+ = 4 Modul 4 Beraka e linjär sysem dx ) = 4 sin (m +) = 4 ( )m (m +) (m +) ( )m (m +) X = AX av vå differenialekvaioner Marisen A har reella elemen Vidare är de kän a e egenvärde är + i och en illhörande egenvekor är i Besäm den allmänna lösningen ill syseme Avgör vad som händer efer lång id med en parikel som placeras i punken (4,) En parikel som placeras i punken (4,) kommer efer lång id a gå mo den kriiska punken origo, y realdelen av egenvärde är mindre än noll Med hjälp av de givna egenvärde och illhörande egenvekor erhålles en komplex lösning Z = e ( +i ) i Realdel respekive imaginärdel av den komplexa lösningen ger vå linjär oberoende lösningar Dessa bildar varsin kolonn i en fundamenalmaris X = Re Z = Re e cos + isin X = Im Z = Im e cos + isin ( ) ( ) + i = cos e sin + i = sin e cos /

3 En fundamenalmaris är Φ = e cos e sin e sin e cos Den allmänna lösningen ill syseme ges av: X = ΦC, där C är en konsan vekor X = e cos e sin C e sin e cos C = C e cos e sin + C e sin e cos Även här kan parikelns öde avslöjas, y e, SVAR: Den allmänna lösningen ill syseme ges av: X = e cos e sin C e sin e cos C = C e cos e sin + C e sin e cos En parikel som placeras i punken (4,) kommer efer lång id a gå mo den kriiska punken, origo Modul 5 Beräkna dubbelinegralen ye x + y x + y { } där = (x, y): x + y 4, y x y dxdy De akuella område är en fjärdedels "ananasskiva" x = r cos Vi inför polära koordinaer dxdy= rdrd y = rsin Område beskrivs i polära koordinaer: D r = (r, ): r, 4 4 Insäning ger: ye x + y x + y ye x + y x + y dxdy r sin e r = rdrd = rsin e r dr r r = d dxdy SVAR: Dubbelinegralen Modul 6 Beräkna linjeinegralen D r = e4 e cos = e4 e 4 = e4 e ye x + y x + y dxdy = (e4 e) 4 = 4 (e x+ y + y sin x)dx + (e x + y y cos x)dy där är vägen ABCD sammansa av de räa linjesyckena AB, BC och CD där A = (,), B = (4,), C = (,6) och D = (,) med orieneringen given av punkernas uppräkning y C(,6) B (4,) D(-,) A(,) Vi undersöker om linjeinegralen är oberoende vägen De givna fäle och dess derivaor är koninuerlig x

4 Sudera derivaorna Vi får Q P x och y, där P(x,y) = ex+y + y sin x och Q(x,y) = e x + y y cos x Q x = ex+y + y P sin x och y = ex + y + y sin x injeinegralen är oberoende vägen Vi byer väg Tag den räa linjen Parameerframsäll linjen: Insäning i linjeinegralen ger: x = y = dx = dy = (e x+ y + y sin x)dx + (e x + y y cos x)dy = e SVAR: Den söka linjeinegralen är : = (e x + y + y sin x)dx + (e x + y y cos x)dy = e = e e = e e Anmärkning: En alernaiv lösning är a besämma en poenial U(x, y) En sådan ges av U(x, y) = e x + y y cos x Då är den söka linjeinegralen (e x+ y + y sin x)dx + (e x + y y cos x)dy = U(,) U(,) = e Del I en enkel populaionsmodell för anale individer, P( ), är den relaiva illväxhasigheen konsan, a I en annan modell är den relaiva illväxhasigheen summan av vå ermer Den ena ermen är en posiiv konsan, a, och den andra ermen är proporionell mo populaionen med en negaiv proporionalieskonsan, b En redje modell erhålles genom a korrigera den andra modellen på följande sä: avlägsna e konsan anal per idsenhe, c Säll upp dessa modeller Sudera därefer vad som händer efer lång id, då konsanerna säs ill a = 5, b = och c = 4 Vi säller förs upp de re modellerna Modell : Den relaiva illväxhasigheen = a P() Omformad blir differenialekvaionen = ap () Modell : Den relaiva illväxhasigheen = a + bp() P() Omformad blir differenialekvaionen Modell : Avlägsna e konsan anal per idsenhe c = (a + bp())p() = (a + bp())p() c Nu över ill en analys av de re modellerna Insäning av akuella konsaner Modell : = 5P() Här finns en saionär lösning, P() =, vilken är insabil Populaionen växer obegränsa

5 Modell : = (5 P())P() Här finns vå saionära lösningar, P() = och P() = 5 För sarpopulaioner i inervalle ill 5 är derivaan posiiv och populaionen växande För sarpopulaioner sörre än 5 är derivaan negaiv och populaionen avagande Efer lång id kommer populaionen a gå mo 5 Modell : = (5 P())P() 4 = 5P() P () 4 = (P() )(4 P()) Här finns vå saionära lösningar, P() = och P() = 4 För sarpopulaioner i inervalle ill är derivaan negaiv och populaionen dör u För sarpopulaioner i inervalle ill 4 är derivaan posiiv och populaionen växande För sarpopulaioner sörre än 4 är derivaan negaiv och populaionen avagande Efer lång id kommer populaionen a dö u om sarpopulaionen är mindre än Är sarpopulaionen sörre än kommer den efer lång id a gå mo 4 För sarpopulaioner lika med de saionära lösningarna kommer populaionerna a förbli konsana SVAR: Se ovan a Besäm de lösningar ill differenialekvaionen y + y =, som uppfyller randvillkoren y() = och y () = är sörre än noll, b Visa a de i a) erhållna funkionerna är orogonala på inervalle [,] c Besäm de lösningar ill den pariella differenialekvaionen u = u x som uppfyller randvillkoren u(,) = och u x (,) = a) är sörre än noll gör a vi kan säa = där R Insäning i differenialekvaionen ger y + y = De karakerisiska röerna är r = ±i ösningarna är på formen y = Acos x + Bsin x Vi unyjar de givna randvillkoren Då behövs även y = Asin x + B cos x y() = = A Randvillkoren ger oss följande sysem: y () = = Asin + Bcos (n ) Icke-riviala lösningarna erhålles då cos =, dvs då =, n =,, (n ) x De icke-riviala lösningarna är på formen y = B n sin, n =,, Även linjärkombinaioner av dessa är lösningar (n ) x b) Vi visar a inre produken sin Vi omformar vänsra lede V = (m ) x sin dx =, n m cos (n m) x cos (n+ m ) x Inegraion ger: V = (n m)π sin (n m) x + (n +m )π sin (n+ m ) x (n ) x (m ) x Vi har erhålli sin sin dx =, n m dx [ ] = c) Vi använder variabelseparaion för a besämma lösningar ill den pariella differenialekvaionen u = u x Sä u(x, ) = X(x)T()

6 X (x) Insäning ger: X(x) T () = X (x)t() Denna ekvaion kan skrivas X(x) = T () T( ) = konsan = X (x) X(x)= Den pariella differenialekvaionen övergår i e sysem: T () T() = Här observerar vi a x-ekvaionen med mosvarande randvillkor svarar mo deluppgif a Med = övergår x-ekvaionen i X (x)+ X(x)= Randvillkoren u(,) = och u x (,) = illsammans med variabelseparaionen u(x,) = X(x)T() Ger randvillkoren X() = och X () = (n ) x Dea innebär a X = B n sin, n =,, Vidare har "T-ekvaionen" lösningar på formen T = C n e (n ) ösningar ill den pariella differenialekvaionen är på formen (n ) x u n (x,)=a n sin e (n ), n =,, Även linjärkombinaioner är lösningar (n ) x u(x,) = c n u n (x,) = b n sin n= n= e (n ), n=,, (n ) x SVAR: a) De icke-riviala lösningarna är på formen y = B n sin b) Se ovan c) u(x, ) = b n sin n= (n ) x e (n ), n =,, X = AX Syseme har följande lösningar: X = e e, X = e e, X = 4e 7e och X 4 = 4e + e e + e Vad menas med fundamenallösningar ill syseme av linjära differenialekvaioner Besäm en fundamenalmaris ill syseme Besäm därefer den konsana marisen A å marisen B vara x och ha mulipel egenvärde med endas en illhörande egenvekor K Ange förs en lösning, X, ill syseme X = BX MarisenB är konsan Redovisa därefer hur en av X linjär oberoende lösning ill syseme kan besämmas Fundamenallösningar är linjär oberoende lösningar som spänner upp lösningsrumme För a besämma en fundamenalmaris behövs i dea fall vå linjär oberoende lösningar X och X är linjär oberoende av varandra Däremo ärx linjär oberoende av X Vidare är X 4 en linjärkombinaion av X och X Vi väljer X och X Då bli en fundamenalmaris Φ = e e e e Varje kolonn i fundamenalmarisen uppfyller syseme Vi har ekvaionen Φ = AΦ Vi får den konsana marisen A genom a muliplicera från höger med fundamenalmarisens invers Vi erhåller A = Φ Φ Fundamenalmarisens invers Φ = e e = e e e 4 e e e e Vi får A = e e e e = 4 e e e e 5 En lösning är X = e K Vi ansäer X = e (E + F) där E och F är konsana mariser

7 Insäning i syseme X = BX ger e (E + F) + e E = Be (E + F) : E = BE (B I)E = (B I)E = Idenifiering ger följande sysem: : F + E = BF (B I)F = E (B I) F = Marisen E är en egenvekor ill B och F en generaliserad egenvekor ill B SVAR: En fundamenalmaris är Φ = e e och marisen A = 4 e e 5 För övrig se ovan 4 Ur en kropp definierad av olikheerna x + y z, x + y + z och z sansas u med cylindern 4x + 4y Beräkna den åersående volymen Den åersående volymen ges av rippelinegralen V = dxdydz x y Inegraion med avseende på z ger V = dxdydz = dz dxdy V D z = x + y xy Vi får V = dxdydz { }dxdy = x y x + y V V Skärningen mellan konen och sfären fås ur ekvaionerna: x + y = z och x + y + z = Dea ger (x + y ) =, dvs en cirkel med radien lika med Område i xy-plane är den cirkelring som ges av (x, y): x + y Vi inför polära koordinaer V = D r V = π { r r}rdrd { }rdr d = r r ( r ) r π = r = r = = π 4 + SVAR: Den söka volymen är V = π ( + 4 ) ve = π ( + 4 ) 5 Besäm den generaliserade inegralen cosu ( u) e du u= = Inegralen kan omformas ill följande dubbelinegral: e cosu ( u) du u= = Den inre inegralen är en falningsinegral Den söka inegralen är aplaceransformen för falningen med s = insa e s cosu ( u) du u= = { cos} s { } = s + 4 s = (s + 4)s =

8 Insäning av s = ger den söka inegralen cosu ( u) e du u= = ( + 4) = 7 = SVAR: Dubbelinegralen är lika med 7