9. Diskreta fouriertransformen (DFT)

Transkript

1 Arbesmaerial 6, Signaler&Sysem I, 2003/E.. 9. Diskrea ourierransormen (DF) 9.1 eriodicie pulsåg Av 6.3(i), arb.mar.4, sid 50, ramgick a ourierransormen (F) av en unkion är e pulsåg X[k]δ( k/) med pulsavsånd 1/ om och endas om är -periodisk. Koeicienerna X[k] är k = ideniska med ourierseriekoeicienerna ör, d.v.s. X[k] = 1 e 2πjk/ d. Repeiionsvis: De påsådda är en konsekvens av öljande aka: δ( n) n = 1 k = δ( k) = 1 δ( k/) k = ( 6.3(e), s.46) y() 1 * Y() (Falningssasen, 6.3(h)) och a egenskapen a vara -periodisk är ekvivalen med a är idenisk med den -periodiska orsäningen av unkionen: x 0 () =, om < /2, 0, om > /2: är -periodisk = x 0 () * δ( n). (46) n = Fourierransormering av ekvaionen (46) ger då den ekvivalena likheen = X 0 () 1 δ( k/) = k = där X[k]= 1 X 0(k/) = 1 vilke är påsående i örsa sycke ovan. 1 k = X 0(k/) δ( k/) = X[k]δ( k/), /2 x 0 () e 2πjk/ d = 1 /2 k = e 2πjk/ d, Vi har allså öljande undamenala aka: Sas 9.1 är -periodisk e pulsåg med pulsavsånd 1/ och dual ( 6.3(a)), e pulsåg med pulsavsånd är 1/-periodisk. Dessuom : 61

2 ulsågskoeicienerna erhålls ur X[k] = 1 e 2πjk/ d i örsnämnda alle x[n] = 1/ e 2πjn d i de duala alle. 1/ 1/ 9.2 eriodiska pulsåg den diskrea ourierransormen. (OW , Hj 3.3, 4 och 6) Ana är både periodisk (med period ) och e pulsåg (med pulsavsånd ), d.v.s = x[n]δ( n) och = x( ). (46) n = För a dea skall gå ihop måse vara e hel anal pulsavsånd, d.v.s. = N och x[n N]= x[n], vilke innebär a öljden av koeiciener är känd om man känner N s av dem i rad,.ex x[n], n = 0, 1,, N 1. Enlig öregående avsni måse också :s ourierransorm vara e periodisk pulsåg, men då med perioden 1/ och pulsavsånde 1/. Den har allså ormen = X[k]δ( k/). (47) k = Anale pulser/period är (1/)/(1/) =/, d.v.s likaledes N, varör X[k N] = X[k]. 1/ 1/ De ändliga alöljderna x[n], n = 0, 1,, N 1 eller X[k], k = 0, 1,, N 1 illsammans med parameern (eller alernaiv ) innehåller ydligen all inormaion om unkionen och dess ourierransorm. De är därör inressan a reda u vilke explici samband man har dem emellan: 62

3 Enlig sas 8.1 ovan har vi, eersom är -periodisk, a öljden X[k] är x:s ourierseriekoeiciener X[k] = 1 e 2πjk/ d, N 1 2 = N Väljer vi som inegraionsinervall 1 2 < < ( ) (obs a -/2 (N 1) (N 1/2) dea har längden se iguren här bredvid) så kommer endas pulserna i 0,, 2,, (N 1) a ligga i inervalles inre. Dea innebär a X[k] = 1 N Τ/2 Τ/2 x[n] δ( n) e 2πjk/ d = 1 där exponenen i högra lede har örenklas genom a / = 1/N. Dual år man på samma sä ör den 1/-periodiska unkionen a x[n] e 2πjkn/N, (48) x[n] = X[k] e 2πjkn/N = N X[k] e 2πjkn/N, (49) are av ransormer (48) och (49) kallas den diskrea ourierransormen (DF). Relaionen (48) ranormerar de ändliga öljden av al x[n], n = 0, 1, 2,, N 1, ill alöljden X[k], k = 0, 1, 2,, N 1 med lika många elemen och (49) ger den omvända ransormaionen. Resonemange ovan har (ör give N) en rihesgrad parameern. I lierauren örekommer yvärr olika deiniioner av denna ransorm i och med a man ine har enas om hur parameern skall väljas. I Hj säs = 1 (d.v.s perioden på x-sidan as ill 1) medan OW väljer = N (d.v.s pulsavsånde på x- sidan säs ill 1). Även vale = N = 1/ örekommer i annan lieraur. Allså Deiniion av DF (i Hj) och enlig OW, som dessuom använder skrivsäe a k i sälle ör X[k]; Deiniion av DF (i OW) X[k] = x[n] e 2πjkn/N, (Analysekv Hj ) (50) x[n] = 1 N X[k] e 2πjkn/N, (Synesekv Hj ) (51) a k = 1 N x[n] e 2πjkn/N, (Analysekv OW ) (52) x[n] = ak e 2πjkn/N, (Synesekv OW ) (53) 63

4 DFransormens sora beydelse ligger i, a den kan beräknas med e ändlig anal räkneoperaioner. De andra re ourierransormerna (F, FS och DF) kräver alla a man beräkningar oändliga serier eller inegraler, någo som i prakiken oa bara kan göras approximaiv. Dessuom har man ör ine så länge sedan (Cooley och ukey, 1965) konsruera en beräkningsalgorim Fas-Fourier-ransorm ör DF:n som gör de möjlig a nedbringa anale nödvändiga räkneoperaioner avsevär. 1 Se OW, sid ör beräkningsexempel Eersom DF kan ses som e specialall av de andra re ransormerna 2 så ärver också DF:n de generella egenskaperna rån dessa. Se OW 3.7, abellen sid 221, och Hjalmarsson 3.4 där dessa lisas. Anmärkning: DF-ransormen kan också ses som en avbildning rån vekorer x = (x[0], x[1],, x[n 1]) i rumme C N ill vekorer X = (X[0], X[1],, X[N 1]), likaledes i C N. Eersom ransormaionen är linjär så beskriver analys- och synesekvaionerna var sin linjära avbildning C N C N och som sådana mosvaras de av varsin maris. Noerar man a alla koeicienerna i ransormaionssambanden är helalspoenser av den N:e enhesroen w = e 2πj/N, så kan analysekvaionen (50) skrivas: där F = X = Fx, w 1 w n w (N 1) 1 w k w kn w k(n 1) 1 w (N 1) w (N 1)n w (N 1) 2 Synesekvaionens (51) år med dea ormelspråk useende. x = 1 N GX, 1 Använder man ransormaionssambanden rä upp och ner, så behöver man göra N s muliplikaioner ör varje koeicien, d.v.s. sammanage N 2 muliplikaioner. Cooley och ukey unyjade en omskrivning av ransormaionssambanden, som ör de all a N = N 1 N 2, gör de möjlig a komma undan med N (N 1 + N 2 ) muliplikaioner. Bäs ungerar algorimen om N är en 2-poens. Anale muliplikaioner blir då (högs) 2N log 2 N. För N = 1024 = 2 10 exempelvis, kräver en rak-upp-och-ner -beräkning i allmänhe ler än 10 6 muliplikaioner, medan FF behöver högs en besparing på närmare 98%! (Se också Hj 3.6.) Den Cooley-ukeyska omskrivningen är dock ine ny, den unyjades redan under 1800-ales örsa häl i andra, men besläkade sammanhang av Gauss. 2 DF är e specialall av FS (som operarar på periodiska unkioner i allmänhe) nämligen de som rör koeicienerna ill periodiska pulsåg. DF är också e specialall av DF (som opererar på alöljder i allmänhe) nämligen de som rör periodiska alöljder. 64

5 där G = w w n w (N 1) 1 w k w kn wk(n 1) 1 w (N 1) w (N 1)n w (N 1) 2 ydligen är dessa mariser symmeriska och, så när som på en konsan akor, varandras inverser. Man ser också a den ena ramgår ur den andra om alla elemenen konjugeras 3 : F G = N E (E är enhesmaris) (54) G* = F. (55) F = F, G = G (4 (56) Relaionen (54) kan naurligvis verieras direk, uan a man går omvägen över en allmän ourierransormeori, genom a man uör muliplikaionen av mariserna: Om rad k i F marismulipliceras med kolonn m i G år man geomeriska serier med kvoen w m k a summera: w kn w nm = (w m k ) n 1 (w m k ) N = 1 w m k = 0 om m k, N om m = k. Man har då använ a w är en N:e enhesro: (w m k ) N = (w N ) m k = 1. Övningar: E Obs a w är e al på enhescirkeln i de komplexa alplane, så w 1 = w*. 4 Relaioner av denna yp kan ganska lä haneras i MaLab. Observera dock en egenhe i MaLab:s ormelspråk: ransponering beecknas. (punk + accen) medan symbolen (enbar accen) är reserverad ör ransponering och konjugering! 65