Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Transkript

1 Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005

2

3 Modeller och projekioner för dödlighesinensie 1 en anpassning ill svensk populaionsdaa Jörgen Olsén juli 005 Inom svensk försäkringsväsen används radiionell e koninuerlig berakelsesä på dödlighesinensie. Parameeresimering sam rendning undersöks här i dealj för Makeham-modellen, Makeham-modellen med linjär jusering, sam den logisiska modellen. Anpassning och rendning uförs för svensk populaionsdaa med ugång från saisik över eponering och dödsfall från Saisiska Cenralbyrån för åren Som komplemen ill dessa koninuerliga parameriska modeller beskrivs e anal relaerade modellereringsansaser. Fokus i undersökningen är på hur pass bra anpassningarna fungerar för högre åldrar. Undersökningen visar a för svensk populaionsdaa ger vale av Makeham, Makeham med linjär jusering och den logisiska modellen likvärdiga egenskaper, föruom vid de allra högsa åldrarna där Makeham-modellen med linjär jusering bäs fångar egenskaperna hos de empiriska observaionerna. Inom vissa åldersinervall kan dödlighesinensiesesimaen skilja sig avsevär för de olika modellerna, men vid besämning av förvänad åersående livslängd skiljer de sig mindre. De visar sig däremo vara en avsevärd skillnad mellan a esimera förvänad åersående livslängd med den akuella perioddödlighesinensieen för år, jämför med en modell där hänsyn as ill (esimerade) förändringar i dödlighesinensie. För en livslång annuie från 65 års ålder resulerar rendeffeker i en värdeökning på upp ill 6 procen. Diskussionen om vilken modell som resulerar i bäs anpassning bygger på en parameeranpassning där hela åldersinervalle 0 ill 100 år har använs och där respekive observaion har vikas i enlighe med den modifierade -meoden. χ Inrodukion För rävis prissäning av en försäkringsproduk med dödsfallsrisk ( livförsäkring ) eller livsfallsrisk ( pension ) krävs dealjerad kunskap om risken för den försäkrade a avlida under de år försäkringen är i kraf. Risken kan beskrivas med så kallade eåriga dödsfallsrisker. Dessa beecknas q och beskriver sannolikheen a en person som precis uppnå åldern avlider under de följande 1 månaderna. För män och kvinnor i samma ålder skiljer sig dödsfallsrisken å, likaså för människor från olika delar av världen, uppväa under olika levnadsförhållanden. En närmare analys visar även a de ske sora förändringar av dödligheen de senase århundradena och ill och med åriondena. Tendensen har vari en klar förbäring av dödligheen, d.v.s. nedågående render för risken a dö under de följande åre när man uppnå åldern, även om förbäringshasigheen varierar över världen. Särskil framrädande är dödlighesförbäringen under de försa levnadsåre, men även i åldersinervall upp ill och med 85 år är endensen fram ill idag ydlig. Figur 1 och Figur 1 Sudien ingår i Försäkringsekniska Forskningsnämndens (FTN) försudie vid 005 års dödlighesundersökning inom de svenska försäkringskollekive. Rapporen är även redovisad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen och acceperad som akuariediplomarbee. Jörgen Olsén arbear som akuarie vid åerförsäkringsbolage Hannover Re i Sockholm. Han har en dokorseamen i maemaisk saisik från Uppsala Universie. För korrespondens och kommenarer rekommenderas i försa hand e-pos ill adressen Jorgen.Olsen@hannover-re.com. 3

4 visar som e eempel renden för q 35, den eåriga dödsfallsrisken för en 35-årig svensk man och kvinna, under åren (Andreev e. al, 001). q - renduveckling svensk populaion åren q - renduveckling svensk populaion åren ,0 5,0 30,0 5,0 4,5 4,0 3,5 Promille 0,0 15,0 35 Män 35 Kvinnor Promille 3,0,5,0 35 Män 35 Kvinnor 10,0 5, Figur 1: q35 under åren År ,5 1,0 0, År Figur : q35 under åren De råder allså ingen vekan om a den långsikiga renden visa en sadig dödlighesförbäring, men de är svårare a säga med hur mycke dödligheen förbäras. Som Figur 1 visar har avagningsrenden i Sverige variera under olika idsinervall och ibland pekar renden ill och med korsikig uppå. Orsaken ill vissa sora hack uppå i dödligheskurvan är speciella periodiska effeker,.e. konsekvenserna av Spanska sjukan i Sverige år I andra länder kan man se mosvarande effek som en följd av andra världskrige. Vissa dödlighesförändringar beror allså på händelser speciella kalenderår som drabbar alla åldersgrupper de åre (periodiska effeker). Andra förändringar orsakas av händelser under personers födelseår/födelseårionde vars effeker de bär med sig under resen av live (kohoreffek). Hurvida man anar a framida förändringar forsäer följa hisoriska mönser eller a förändringshasigheen ökar, avar, eller ändrar rikning har naurligvis beydelse vid modellering och projekering av framida dödlighe. Syfe och meod Arbees huvudsyfe är a undersöka lämpligheen hos e fleral parameriska dödlighesmodeller för anpassning av svensk observerad hisorisk populaionsdödlighesrisk. Genom a kombinera e objekiv må med subjekiva avvägningar rekommenderas en dödlighesmodell och rendesimeringsmeod. Huvudsakligen suderas modeller för den koninuerliga varianen av dödlighesrisk, dödlighesinensieen μ. Meoder för a projekera framida dödlighe sam anaganden om framida dödlighesförändringar som ligger ill grund för respekive projekeringsmeod diskueras. Förhoppningen är a dödlighesrender skall kunna analyseras på befolkningsnivå (där de finns mycke illgänglig saisik) men a rendendenser även skall kunna appliceras på dödligheen inom e försäkringskollekiv. 4

5 Inledningsvis genomförs en illbakablick på idigare använda parameermodeller för dödlighesinensie inom svensk försäkringsväsen. Då undersökningarna av Försäkringsekniska forskningsnämnden (FTN) i huvudsak behandlar försäkrade medan denna arikel fokuserar på populaionsdaa, görs ingen kvaniaiv jämförelse mellan dessa idigare dödlighesinensieer och dagens svenska populaionsinensieer. Avsluningsvis eemplifieras beydelsen av modellval för dödlighesinensieen genom en beräkning av förvänad åersående livslängd sam värde av en livslång annuie, när dödlighesinensieen skaas och projekeras med respekive undersök meod. Skaningar och projekioner as fram för dödlighesinensie med hjälp av e fleral olika dödlighesmodeller. Sorleksförhållande mellan skaningar från respekive modell bör ses mer ur kvaliaiv än srik kvaniaiv synvinkel, då en rigorös parameerbesämning (och speciell frågan om enydighe för dessa paramerar) i vissa fall få ge vika för smidigheen i a låa problemlösaren i Microsof Ecel besämma paramerar. Sudien behandlar ej insamlingsfasen av dödlighesdaa och de problem som där kan uppså. Denna fas är naurligvis av yersa vik och felakigheer vid grundskaningarna av dödlighesinensie kan ej korrigeras i en senare fas. I denna undersökning ugår vi dock från a korreka esima μˆ eller qˆ är möjliga a beräkna ugående från saisik från Saisiska Cenralbyrån. De är också vikig a åerigen poängera a undersökningen har avgränsas ill svensk populaionsdaa. De är e välkän fakum a försäkrades dödlighe skiljer sig från populaionsdödlighe, varför de ine är säker a slusaserna om bäsa modell i denna undersökning är direk illämpbara på försäkringskollekiv. De vå problemen - esimering och rendning Vid modellerande av dödlighesinensieen sår man inför vå olika problem. Den akuella dödlighesinensieen måse skaas och framida render projekeras. För de prakiska måle a känna den försäkrades risk under försäkringsåren är dessa vå problem naurlig sammankopplade. Ur en saisikers synvinkel är de däremo problem av vå skilda slag. A skaa den akuella dödlighesinensieen och, om så är önskvär, anpassa en paramerisk funkion ill denna med så lien avvikelse från observaioner som möjlig med e lämplig må är e ren saisisk problem. För esimering av render i framida dödlighesinensie krävs en kombinaion av medicinsk och saisisk kompeens. E möjlig anagande är.e. a de senase decenniernas dödlighesförbäring forsäer för evig. Alernaiv skulle man kunna ana a dödlighesförbäringar forgår i nuvarande form och ak de närmase io åren, för a därefer gradvis anpassa sig ill en mer långsikig rend. Idenifiering av orsaken ill observerade hisoriska förbäringar kan vara ill sor hjälp för a a sällning ill om vi bör förväna oss framida förbäringar i samma ak. Dödlighesförbäringar som beror på en ökad försåelse och möjlig reversering av kroppens åldrandeprocess skulle kunna forgå för all framid. Däremo ger engångsföreeelser, som när en befolkning sluar röka, endas effek en gång. 5

6 Trendesimering kräver allså medicinska resonemang under inledningsfasen, men när man besäm vilke framida förändringsparadigm man ror på är de därefer en uppgif för den maemaiska saisikern a deekera och kvanifiera dessa render. Efer val av lämplig modell måse sedan dess paramerar esimeras och render projekeras. Som vi kommer a se leder dea i de enklase fallen ill medelvärdesbildning av observerade dödlighesförändringar under e anal år. För andra modeller kräver rendningsfasen idsserieanalys och parameeresimering i en ARIMA-modell. Tradiionen med koninuerlig dödlighesinensie i Sverige Inom svensk livförsäkringseknik anammades e koninuerlig berakelsesä med en koninuerlig modell för dödlighe i och med 1917 års lag (Hulman, 1958, sid. 16). Tidigare beskrevs dödlighe med hjälp av de så kallade eåriga dödssannolikheerna q, vilka beecknar sannolikheen a dö inom e år från dagen man uppnå åldern år. Vi kan beskriva vägen mo en koninuerlig modell i e anal seg. Lå oss beraka e kor idsinervall av längden Δ. Sannolikheen a dö under dea idsinervall beecknar vi μ Δ, där μ är en proporionalieskonsan som beecknar medeldödlighesrisken under idsinervalle Δ. Om vi nu låer idsinervalles längd gå mo noll, d.v.s. Δ 0, går även proporionalieskonsanen mo e gränsvärde, μ, vilke vi kallar dödlighesinensieen. Frågan är nu hur den koninuerliga funkionen vilken beskriver dödlighesinensieen μ ser u. Skaar man den empiriska dödlighesinensieen för e viss år kommer man se a dödlighesinensieen, p.g.a. sokasiska effeker, hoppar lie upp och ner för närliggande åldrar, ros a de är allmän accepera a dödsrisken ökar med väande ålder när man väl kommi upp i medelåldern. E sä a jämna u denna sokasiska variaion och så a säga sudera den förvänade dödsrisken är a ana a dödlighesinensieen beskrivs av en väande koninuerlig funkion. Tradiionen i Sverige är a använda den så kallade Makehams formel för a modellera dödlighesinensieen. Makeham användes redan på 1930-ale och har sedan dess vari den dominerande modellen där.e. försäkringsdödlighesabellerna M64 och M90 bygger på Makehams formel. I många andra länder har man e diskre berakelsesä och nöjer sig med de eåriga dödlighesriskerna q. I dessa länder finns då ine samma behov av a beskriva dödlighesinensieen med en koninuerlig funkion. 6

7 Del 1 Modeller för dödlighesinensie och rendningsmeodik I de följande avsnie beskrivs e fleral meoder och modeller som används inom dödlighesmodelleringsområde. Modellerna som beskrivs är (1) Gomperz, () Makehams modell, (3) Makehams modell med linjär jusering för höga åldrar, (4) Den logisiska modellen, (5) En generalisering av Perks formel, (6) Kannisos modell, (7) Den kvadraiska modellen, (8) Weibullmodellen, (9) Den blandade Weibullmodellen, (10) Lee-Carers modell, (11) Överlevelseraiomeoden, (1) Den yska DAV R-modellen, (13) Finlands referensdödlighesabell K, sam (14) Den empiriska dödlighesinensieen μˆ. Modell (1)-(7) passar bäs in i den svenska radiionen med e koninuerlig berakelsesä på dödlighesinensie, varav jag har val a sudera modell (1)-(6) i dealj genom a applicera modellerna på svensk populaionsdaa från Saisiska Cenralbyrån. Modell (8) och (9) används vanligen för analys av livslängd hos komponener. Modell (10) ar direk hänsyn ill render i dödlighesinensie, men faller någo uanför huvudlinjen i denna undersökning då modellen ine innefaar en koninuerlig paramerisk dödlighesinensiesmodell. Meod (11) används för a ugående från observerade kohordödsfall esimera eponering, vilke kan krävas som e försa seg för a kunna esimera dödlighesinensieen i länder med opålilig saisik över populaionssorleken i höga åldrar. Modell (1) och (13) som nämns i korhe refererar ill nyligen genomförda dödlighesundersökningar bland försäkringskollekiv i Tyskland och Finland. Modell (14) beskriver sluligen varianen där man arbear direk med den empiriska observerade dödlighesinensieen. Beeckningar q beecknar sannolikheen a dö inom 1 månader från dagen man uppnå åldern. μ beecknar dödlighesinensieen vid åldern. m beecknar den cenrala dödlighesinensieen vid åldern, d.v.s. dödlighesinensieen vid åldern +1/. l beecknar överlevelsefunkionen vid åldern, d.v.s. den andel människor som åminsone uppnår åldern. e beecknar åersående förvänad livslängd för en person som precis uppnå åldern. a beecknar värde av en livslång annuie från och med åldern. I de fall vi vill beona a parameerskaningen gäller för e specifik kalenderår beecknar vi paramerarna, ec. q μ Transformaion mellan paramerar Den eåriga dödsfallsrisken q och dödlighesinensieen μ är nära besläkade paramerar och man ransformerar sig enkel mellan dem via approimaiva samband (Andersson 005, kap ). 7

8 q q m μ μ μ + 1/ 1+ μ + 1/ m 1+ m +1/ + 1/ / q 1 q / / l+ 1 l (1 q ), där l 0 1 e a l i 0 l l i 0 + i 1 (1/(1 + i + l r)) i, där r beecknar en årlig räna. Dödlighesinensieskurvans useende Dödlighesinensieen ökar i sor se med väande ålder. Dock finns de några undanag som ger dödlighesinensieskurvan dess karakärisiska useende. Dödlighesinensieen under de försa åre, den så kallade spädbarnsdödligheen är idag cirka jugo gånger högre än inensieen för eåringar. Under barndomen ökar dödlighesinensieen sedan med åldern saka upp ill och med 0-årsåldern. I åldersinervalle 0 ill 5 år är dödlighesinensieen beydlig högre än för kringliggande åldrar. Dea fenomen kallas idag för olycksfallspuckeln, men gick under början av 1900-ale ofa under benämningen uberkulospuckeln. Från 5 års ålder och uppå ökar dödlighesinensieen åerigen med ökande ålder. Tillväen beskrivs här relaiv väl som eponeniell, åminsone upp ill och med 90-årsåldern. Efer 90-årsåldern enderar illväen a ava någo och övergå ill linjär illvä. Grupp I Makehamfamiljen 1. Gomperz modell Gomperz modell bygger på a dödlighesinensieen ökar eponeniell med åldern, c μ be. Denna enkla modell har visa sig fungera relaiv bra i flerale länder och för breda åldersinervall. Gomperz modell har dock aldrig vari bra på a fånga upp spädbarnsdödligheen, olyckspuckeln run jugoårsåldern eller på a modellera dödlighesinensieen bland de rikig gamla. För åldringarna leder den eponeniella illväen i Gomperz modell ill en överskaning av μ. 8

9 . Makehams modell Makehams modell är en generalisering av Gomperz modell. En konsan erm a adderas ill urycke för μ, μ be c a. + Konsanen a represenerar koncepuell risken a avlida från alla orsaker som ine är åldersberoende. Vid höga åldrar är de dock jus åldern som är den bidragande orsaken ill dödsrisken, och följakligen är bidrage för åldringarna ill dödlighesinensieen från konsanen marginell jämför med den åldersberoende ermen. När formlerna för dödlighesinensieerna har anpassas ill observera daa ger Gomperz och Makeham därför också likvärdiga värden på μ vid höga åldrar. En yerligare parameer i Makehams modell innebär naurligvis a Makeham går a anpassa bäre ill illgänglig daa än Gomperz, men även med Makehams modell är de svår a finna en paramerisering som fångar upp de empiriska useende på dödlighesinensieen över hela åldersinervalle. Möjligheen ill bäre anpassning ill illgänglig daa leder ine heller säker ill a Makeham skulle vara bäre än Gomperz för a esimera dödligheen för 100-åringar, om vi anpassar funkionernas paramerar för e anna åldersinervall där vi har bäre illgång ill skaningar med lägre varians, eempelvis för gruppen 50 ill 90-åringar. Trendesimering i Makehams och Gomperz modell En meod för a rendesimera dödlighesinensieen när denna är beskriven av Makehams formel beskrivs i grunderna från 1990 (FTN, Bilaga 4A). En anpassning av den meodiken ill Makehams modell med den naurliga logarimen i sälle för den där använda 10-logarimen resulerar i följande modell: Vi inför beeckningarna: F födelseår sarålder anal år som förflui sedan saråldern G kalenderbasår för gällande grunder a,b,c,d konsaner Förhållande mellan kalenderbasåre G för grunderna, födelseåre F, saråldern och de anal år som gå sedan dess, as hänsyn ill genom konsanen d och dödlighesinensieen projekeras framå enlig c( + ) d ( F + + G) μ be a. + + Konsanen d resulerar i en linjär förändring (proporionell mo anale år som förflui mellan ugivande av grunderna och de åre man projekerar för) av eponenen. Vi ser a om de akuella kalenderåre sammanfaller med kalenderbasåre för grunderna, fås dödlighesinensieen för saråldern ( F + G; 0) som μ be c + a ; den vanliga perioddödlighesformeln. 9

10 Konsanerna a,b,c,d måse här esimeras ur daa. Vid rendesimering krävs e kalenderbasår G för vilka paramerarna i grunderna gäller. Vidare krävs även en sarålder för de inervall vi vill använda vid rendanpassningen. Jag har i mina undersökningar val a basera basparamerarna a,b och c i Makeham-modellen på dödlighesinensiesesimaen för år. Vidare har jag använ den hisoriska förändringen mellan år 1970 och för a esimera render. Vid rendesimeringen i Makehamfamiljen har följande seg genomförs: Seg 1: Välj de senase åre där daa från SCB med eponering N och dödsfall D finns illgängliga (). Dea kalenderbasår beecknar vi G. Anpassa Makehamfunkionens paramerar a,b och c ill daa genom a minimera kvadraavvikelserna mellan observaioner och eoreiska värden enlig den modifierade χ -meoden 3. Seg : Välj de kalenderår som represenerar sarpunken för den renduveckling vi vill esimera, sam forsäa projekera in i framiden. Grafisk inspekion av renduvecklingen för olika åldrar kan här fungera som en lämplig sarpunk (1970). Seg 3: Beräkna projekerade värden för dea sarår med Makehamformeln med paramerarna a,b och c från seg 1, sam med e valfri sarvärde på parameern d. Seg 4: Sök nu de d-värde som gör anpassningen opimal. Seg 5: Jämför Makehamformeln med esimaen både för åre för grunderna () och saråre för rendesimeringsproceduren (1970). Om anpassning och rendesimering fungerar bra bör den anpassade Makehamformeln anslua sig relaiv väl ill båda dessa kurvor. Beroende på hur vikerna vals vid anpassningen är de dock rolig a anpassningen ine är lika bra för alla åldrar. De är vikig a observera a ros a rendningsmeodiken endas använder en parameer resulerar de i a dödlighesinensieen rendesimeras framå med olika förändringshasighe beroende på ålder (se Appendi 6). Noera a den ovan beskrivna rendesimeringsproceduren skiljer sig någo från beskrivningen i M90 (FTN, 1990) där e bivillkor rörande rendhomogenisering mellan män och kvinnor beakas. χ 3 Se avsnie om Den modifierade -meoden i Del för e sä a uföra denna anpassning. Enklare opimeringsproblem bör lösas analyisk. För svårare problem bör man lösa opimeringen numerisk med lämplig programvara. E alernaiv är a använda problemlösaren i Ecel för denna opimering. Man bör här dock vara på sin vak och vara medveen om a problemlösaren ofa finner e lokal i sälle för e global minimum vid opimeringsproblem där många paramerar ingår. 10

11 3. Makeham med linjär jusering för höga åldrar E av problemen med både Gomperz och Makeham ovan, av hög relevans vid beakande av livsvariga pensioner, är a dödlighesinensieen för de rikig gamla överskaas. En sudie av observerad dödlighesinensie yder nämligen på a illväen för dödlighesinensieen ine är så snabb som eponeniell vid rikig höga åldrar. En orsak ill missanpassningen mellan observaioner och Makehams modell är a vid modellanpassning med den anpassade χ -meoden vikar man varje observaion mo respekive åldersgrupps eponering, med resulae a endas en lien vik läggs vid de höga åldrarnas observaioner. Kombinaionen av en eponeniell Makeham-modell för de lägre åldrarna med en rä linje för höga åldrar har undersöks för svenska förhållanden av Lindbergson (001), μ be cw be c + a + a + k( w), w, > w Brypunken w, där dödlighesinensieen välar från eponeniell ill linjär illvä, esimeras ur daa. Modellen ger en bäre överenssämmelse med svensk befolkningsdaa än den vanliga Makehammodellen (Lindbergson, 001). Trendesimering i Makehams juserade modell För rendesimeringen skulle man i mi ycke kunna änka sig en meod som bygger på principen i Makehams modell för den eponeniella delen (konsanen d 1 ), sam inroducera en kalenderårsberoende erm d för den linjära delen. Funkionen skulle då forfarande sammanfalla vid brypunken w. A komplicera modellen med en kalenderårsberoende brypunk w försvårar analysen och bör dessuom kunna ge konsiga rendeffeker mellan på varandra följande kalenderår beroende på var brypunken hamnar. μ + be cw d ( F + w G) 1 be c( + ) d ( F + + G) + a + ( k d 1 + a ( F + + G))( + w), + w, + > w Vid rendesimeringen i Makehams juserade modell genomförs följande seg: Seg 1: Välj de senase åre där daa från SCB med eponering N och dödsfall D finns illgängliga (). Dea kalenderbasår beecknar vi G. Anpassa Makehamfunkionens paramerar a,b,c och w ill daa genom a minimera kvadraavvikelserna mellan observaioner och eoreiska värden enlig den modifierade χ -meoden. 11

12 Seg : Välj de kalenderår som represenerar sarpunken för den renduveckling vi vill esimera, sam forsäa projekera in i framiden. Grafisk inspekion av renduvecklingen för olika åldrar kan här fungera som en lämplig sarpunk (1970). Seg 3: Beräkna projekerade värden för dea sarår för åldersinervalle 0,..., w med Makehamformeln med paramerarna a,b,c och w från seg 1, sam med e valfri sarvärde på parameern d1. Seg 4: Sök nu de d 1 -värde som gör anpassningen opimal. Seg 5: Beräkna åerigen projekerade värden för dea sarår, nu för ålderinservalle w + 1,...,. Använd Makehamformeln med paramerarna a,b,c,w och d1 från seg 4, sam med e valfri sarvärde på parameern d. Seg 6: Sök nu de d -värde som gör anpassningen opimal. (Vid en prakisk illämpning av dea seg på illgänglig daa har jag dock funni de mes realisisk a välja d 0, d.v.s. låa luningen i den linjära delen vara den samma oberoende av kalenderår.) Seg 7: Jämför Makehamformeln med esimaen både för åre för grunderna () och saråre för rendesimeringsproceduren (1970). Om anpassning och rendesimering fungerar bra bör den anpassade Makehamformeln anslua sig relaiv väl ill båda dessa kurvor. Beroende på hur vikerna vals vid anpassningen är de dock rolig a anpassningen ine är lika bra för alla åldrar. Grupp II den logisiska familjen 4. Den logisiska modellen Den logisiska modellen är en generalisering av Makehams modell. Modellen uppsår då man låer varje individs dödlighe följa Makehams modell men låer skröplighesparameern b i Makehams modell vara sokasisk gammafördelad. Den beingade modellen är allså μ be c a. Ur dea följer med gammafördelningen på b a b + c be μ & E( μ b ) + a. c 1+ αe Koncepuell känns dea som e erkännande av a dödlighesinensieen väer med åldern enlig Makehamsk srukur, samidig som man lägger vik vid de fakum a folk föds med olika grundförusäningar 4. Den logisiska familjen har en sark koppling ill Makehamfamijen. Makeham åerfås genom a säa parameern α i den logisiska modellen ill noll. Som vi kommer se senare är den logisiska modellen i princip likvärdig med Makeham för anpassning ill formen på μ för 4 Denna modell kallas ibland Perks formel. Perk moiverade dock ine sin modell via Makeham och gammafördelningsanagande uan fann hel enkel a dea logisiska parameeruryck för μ gav en bra anpassning ill empiriska observaioner. 1

13 låga åldrar, men bäre än den vanliga Makehammodellen (uan linjär jusering) på a fånga upp useende på dödlighesinensieen för de rikig gamla. Den logisiska familjen innefaar även de nedan beskrivna specialfallen Kanniso (6) och en generaliseringen av Perks (5). 5. En generalisering av Perks formel Marinelle (1997) anar a skröplighesparameern i den logisiska modellen beskrivs av en generaliserad gammafördelning, skifad å höger bor från origo. Grundmodellen är allså åerigen Makeham med μ be c a men skröplighesparameern b följer nu en b + generaliserad gammafördelning med ähesfunkion e g( b) f f ( b d) f 0 1 e h( b d ), b > d, b d Uökningen leder ill en generalisering av Perks formel. För höga åldrar, där den konsana ermen a kan negligeras, får dödlighesinensieen följande useende μ η d + 1+ ηγ e 0 c e d c Marinelles generalisering av Perks formel resulerar i a fyra paramerar måse skaas ur illgänglig daa för a anpassa modellen. Parameern γ är direk knuen ill skevheen hos gammafördelningen för b. Marinelle fierar dock γ och c ill universella värden, varefer yerligare vå paramerar d och η måse esimeras. Efer parameeranpassning av funkionen ill observera anal dödsfall bland äldre i Sverige, ger den generaliserade Perks formel lägre värden på dödlighesinensieen för de äldre än den ursprungliga Perks formel. 6. Kannisos modell Kannisos modell har si ursprung i observaionen a en viss paramerisk funkion fungerade bra vid anpassning ill empirisk dödlighesinensiesdaa. Modellen passar in i den logisiska familjen som e specialfall där α b. c be μ 1+ be + c De bör observeras a denna ine kan ge bäre överenssämmelse ill observera daa än den vanliga logisiska modellen, efersom Kannisos modell har färre paramerar. Däremo finns a 13

14 undersökningar som visar a då Kannisomodellen, parameriserad på e viss åldersinervall, används för predikering på e anna separa åldersinervall så ger den bäre resula än den logisiska modellen, ros a den senare har fler paramerar (Thacher, 1999). Trendesimering i den logisiska modellen Vi kan välja a uföra rendesimering i den logisiska modellen (4) analog med rendesimering i Makeham-modellen. Följakligen inför vi vå konsaner d1 och d som resulerar i en idsberoende förändring av eponenerna i äljare respekive nämnare. Dödlighesinensieen ar nu useende c( + ) d F G 1 ( + + ) be μ + + a. c( + ) d ( F + + G + e ) 1 α Vid rendesimeringen i den logisiska modellen genomförs följande seg: Seg 1: Välj de senase åre där daa från SCB med eponering N och dödsfall D finns illgängliga (). Dea kalenderbasår beecknar vi G. Anpassa den logisiska modellens paramerar a, b, c och α ill daa genom a minimera kvadraavvikelserna mellan observaioner och eoreiska värden enlig den modifierade χ -meoden Seg : Välj de kalenderår som represenerar sarpunken för den renduveckling vi vill esimera, sam forsäa projekera in i framiden. Grafisk inspekion av renduvecklingen för olika åldrar kan här fungera som en lämplig sarpunk (1970). Seg 3: Beräkna projekerade värden för dea sarår med den logisiska formeln med paramerarna a, b, c och α från seg 1, sam med e valfri sarvärde på paramerarna d 1 och. d Seg 4: Finn de - och d - värden som gör anpassningen opimal. d1 Seg 5: Jämför den logisiska modellen med esimaen både för åre för grunderna () och saråre för rendesimeringsproceduren (1970). Om anpassning och rendesimering fungerar bra bör den anpassade logisiska modellen anslua sig relaiv väl ill båda dessa kurvor. 7. Den kvadraiska modellen För vissa åldersinervall fungerar den så kallade kvadraiska modellen bra (Pasdika & Wolff, 005), ln μ a + b c, ( c < 0). + a+ b+ c Man ser a dea är likvärdig med en modell av ypen μ e, d.v.s. en uökning av Gomperz modell. Man kan naurligvis änka sig uökningar av Gomperz och Makehams 14

15 f ( ) modell med funkioner av godycklig grad enlig μ e. Den kvadraiska modellen leder dock ej ill någon avsevärd förbäring. Den har forfarande samma principiella useende som Gomperz och samma problem vid höga åldrar. Grupp III - Weibullfamiljen 8. Weibullmodellen Weibullmodellen har ofa använs för a represenera livslängden hos komponener och ekniska maskiner. Modellen specificeras av parameerurycke för överlevelsefunkionen l, som är sannolikheen a en person forfarande är vid liv vid idpunken. Enlig den vanliga Weibullmodellen har överlevelsefunkionen useende l e m γ 0 1, γ, < γ Via förhållande mellan l och μ fås 1 dl m γ μ. l d 0 0 Ugångspunken vid användande av Weibullmodellen är allså useende på överlevelsefunkionen och dödlighesinensieen följer från denna. m 1 9. Den blandade Weibullmodellen I den blandade Weibullmodellen besår överlevelsefunkionen av flera olika komponener. Överlevelsefunkionen med n komponener ar formen: l mi n ma( γ,0) p i ep 1 0i i där p är blandningssannolikheerna, med bivillkore 1.Vid en anpassning ill japansk i n p i i 1 dödlighe av Ozeki () användes en modell med fyra komponener. En komponen represenerar dödlighe i förid, en olycksfallsdöden under onårsiden och en redje och fjärde komponen represenerar dödligheen bland äldre. 15

16 Grupp IV Övriga modeller och meoder 10. Lee-Carers modell Lee-Carers modell ar direk fasa på a dödlighesinensieen är beroende både av en persons ålder och av akuell kalenderår. Trendning av dödlighesinensie ingår allså eplici i grundmodellen. Lå μ beeckna dödlighesinensie för ålder under kalenderår. Modellen i Brouhns e. al. (00a) är då log μ α + κ β. I modellen är α en åldersberoende erm oberoende av iden, κ moraliesindefakorn vilken beror på kalenderår, och β är en åldersberoende erm som mäer respekive ålders responshasighe i dödlighesinensie ill förändring i moraliesindefakorn. Hisoriska daa används för a skaa paramerarna α, β och κ ( akuell kalenderår). Den skaade idsserien κ berakas sedan som en sokasisk process och basera på anagande a framiden beer sig på någo sä som hisorien projekeras förvänade framida värden κ ( > akuell kalenderår), sam konfidensinervall för dessa med hjälp av idsserieanalys. Efer skaningar av α, β och rendfakorn κ kan vi enkel esimera framida dödlighesinensie. Observera a Lee-Carers modell allså ine är en koninuerlig paramerisk funkion där e fåal paramerar anpassas ill den observerade dödlighesinensieen μ, vilke är falle med Makehamfamiljen och den logisiska familjen. Ugående från saisik för de T senase åren skaas i Lee-Carers modell nämligen vekorerna α [ α1,..., α w ], β [ β1,..., β w ] och κ [ κ T + 1,..., κ ], d.v.s. ill varje ålder (maålder w) svarar de e α och e β och ill varje kalenderår svarar de en rendfakor k. Modellanpassningen är därför a beraka som fördelningsfri och Lee-Carermodellen anar ingen speciell form på dödlighesinensieen, a jämföras med den anagna eponeniella illväen i Makehamfamiljen. I Lee-Carermodellen enderar man följakligen a skapa en abell besående av ujämnade och rendade varianer av den observerade dödlighesinensieen. Trendesimeringen unyjar hela idsserien av observaioner från saråre ill sluåre, vilke är en värdefull egenskap. Lee-Carers angreppsmeod är i och för sig inressan men faller uanför huvudfokus i denna arikel, där yngdpunken ligger på anpassning och rendning av olika koninuerliga parameriska uryck för dödlighesinensieen μ. Om man ej är i behov av en koninuerlig paramerisk funkion för a beskriva dödlighesinensieen och samidig vill lägga sor vik vid sudie av dynamiken för renduvecklingen, bör man sudera Lee-Carers modell i dealj. Responshasighesparameern β resulerar i a olika åldrar rendas med olika hasighe på e mer läförsåelig sä jämför med den föreslagna rendesimeringsmeoden för Makehams modell eller för den logisiska modellen. 16

17 Parameeresimering i Lee-Carers modell Anagande som ligger ill grund för Lee-Carermodellen är a anale dödsfall i åldern under kalenderår, beeckna, är Poissonfördela med e vänevärde proporionell mo D eponeringen och dödlighesinensieen. Följakligen gäller a D Po( E μ ), med E α + β κ μ e. Under bivillkoren κ 0 och β 1 skaas α, β och κ genom a de logarimerade Likelihood-urycke L( α, β, κ ) ( D ( α + β κ ) E ep( α + β κ )) + C, maimeras med avseende på α, β och κ. E ieraiv schema för besämning av dessa paramerar beskrivs i Brouhns e. al (00a). Ugående från de hisoriska skaningarna på κ ansäs en ARIMA(0,1,1) idsseriemodell för projekering av framida κ -värden, κ κ 1 Cm + ε + Θε 1. Konsanen C m represenerar här den årliga medelförändringen, vilken driver prognosen av långidsförändringar i dödlighe. Trendesimeringsproceduren med ARIMA-modellen är av någo mer eknisk naur än de föreslagna meoderna för Makehams modell och den logisiska modellen. Fördelen är a all illgänglig informaion mellan sarår och sluår as hänsyn ill, men samidig är de vär a poängera a projekeringen av framida render ändå är begränsad av anagande a framiden beer sig mer eller mindre på samma sä som hisorien. 11. Överlevelseraiomeoden Överlevelseraiomeoden används för a besämma kohorpopulaionssorlekar med ugångspunk från daa över observerade dödsfall. Resulae av meoden är saisik över både dödsfall och eponering, ur vilken dödlighesinensie kan beräknas på vanlig vis. Enlig Thacher e. al. (00) och Andreev e. al (001) är uppgivna befolkningssiffror och dödlighesal ine speciell påliliga vid höga åldrar i flerale länder. Sverige, Danmark och andra länder som idig började med döds- och befolkningsregiser är dock undanagna. Felakigheer i anale dödsfall eller eponering vid respekive ålder leder naurligvis ill sysemaiska fel vid esimering av dödlighesinensieer. Regisrerade dödsfall ros dock i många länder vara mer påliliga än uppgivna befolkningssiffror och överlevelseraiomeoden innehåller en meod som beräknar befolkningssiffror på kohorbasis ugående från regisrerade dödsfall. Meoden bygger på a man ugår från de kalenderår den sisa personen från en viss kohor dör och sedan baklänges räknar upp kohorens ursprungssorlek genom a gå igenom regisrerade dödsfall (där dödsdaum och födelsedaum anas finnas regisrerade). Proceduren forgår ills man kommer ner ill en ålder,.e. 80 år, där man anser a offenliga befolkningssiffror är påliliga. Från en sudie av en udöd kohor får man nu överlevelseraioal för dessa höga åldrar,.e. hur sor andel av 80-åringarna som lever ills dom blir 90 eller vilken andel av 90-åringarna som lever ill

18 Om man anar a de ej finns några render i dödlighesinensieen, d.v.s. a andelen - åringar som lever ills de blir +k år gamla ej förändras, kan man använda överlevelseraioal från all udöda kohorer man har saisik på för a uppskaa uvecklingen av anal överlevande från nu levande kohorer. Man kan då eempelvis följa kohoren födda år 1940, där en sor andel forfarande är vid liv. Vi inför e anal beeckningar, d( b, y) dödsfall år y bland kohoren född år b. E d(197, 005) s( b, y) anal överlevande (vid slue av år y-1) bland kohoren född år b R( b, y) överlevelseraion vid slue av år y för kohoren född år b Överlevelseraion för denna kohor vid slue av år y, när raion relaeras ill anal dödsfall de k senase åldrarna, definieras som R( b, y) s( b, y) d( b, y) + d( b, y 1) d( b, y k) och kvanifierar allså förhållande mellan andelen som forfarande är vid liv vid slue av år y och de anal från denna kohor som avlidi under de k senase åren. Under anagande om a kohorer födda olika år har samma överlevelseraio as en ieraiv meod fram för a baklänges följa överlevelseraion. Anagande innebär a för vå kohorer födda med e års mellanrum gäller sambande R ( b, y) R( b 1, y 1). Den ieraiva meoden ugår från maåldern w vilken är de sisa åre då en person från kohoren forfarande är vid liv, d.v.s. s ( y w, y) 1 och s ( y + 1 w, y + 1) 0. Trendesimering i överlevelseraiomeoden Meoden kan även generaliseras för a a hänsyn ill render som fallande moraliesinensieer. Vid rendning inkluderas en konsan c i modellen via sambande R ( b, y) c R( b 1, y 1). Konsanen c är sörre än e om dödligheen förbäras och mindre än e om dödligheen försämras. Meoden a skaa denna rendfakor framsår dock för mig någo oklar. De framgår ej heller vilka implicia anaganden som ligger ill dess grund, men idéen verkar vara a ugå från en känd populaionssorlek vid.e. åldern 70 år, därefer använda en hisorisk överlevelseraio för a beräkna förväna anal personer vid liv.e. vid åldern 80 år och sedan välja e c så a denna beräkning överenssämmer med den nu kända populaionssorleken för denna kohor vid 80 års ålder. För mig framsår ine överlevelseraiomeoden som inressan a applicera på svensk daa. Sverige har, enlig flerale källor, påliliga regiser över befolkningssorlek och dödsfall ur vilke korreka esima μˆ kan beräknas. A anpassa dödlighesinensieen ill en lämplig paramerisk funkion eller a skaa framida render, vilke är huvudsyfe med denna undersökning, hjälper ine överlevelseraiomeoden ill med. 18

19 1. Den yska DAV- R meoden I Tyskland har de nyligen agis fram en ny formel a användas vid dödlighesesimering för annuiesproduker (DAV, ). Avsiken har vari a finna realisiska anaganden, med pålagd säkerhesmarginal. Observerade idigare render anas forsäa i nuvarande form e anal år ill och därefer linjär ava ill en lägre långsikig rend. 13. Finlands akuarieförenings referensdödlighe K Dödligheen enlig de finska rekommendaionerna K (Acuarial Sociey of Finland, 005) är realisiska anaganden för dödlighesinensie för försäkrade uan säkerhesillägg. Rekommendaionerna ar hänsyn ill render för en person som är född år F och nu är år gammal, separa för män (M) och kvinnor (K) μ μ, M, K ( F) ma(0,0001, a ( F) ma(0,0001, a De könsberoende paramerarna ar urycken a M ( F) ,744 (070 F) M K ( F)) + e ( F)) + e c, M ( F ) c, K ( F ) 5 ak ( F) 10 0,06 (019 F) och c, M ( F) 0,05438 (1716 F) + 0, ( F 1719) 0,00017 ( F 1843) ma{0; 81} c ( F) 11,51+ 0, (53 F) + 0, ( F 1916) ma{0; 71}, K Urycken för dödlighesinensieen är av Makehamyp. Urycken ar direk hänsyn ill framida (esimerade) render, både för den konsana delen och för den eponeniella delen i Makehamformeln. Paramerarna och är beroende både av akuell ålder och c, M c, K födelseår F. am och ak är funkioner av födelseår, vilke allså direk represenerar en åldersoberoende kohoreffek för risken a avlida från all som ine är åldersberoende. De är inressan a noera a denna bakgrundsdödlighe anas avaga linjär ner ill 1/10 promille för kvinnor fram ill år 019 och för män ill år Den empiriska dödlighesinensieen μˆ En enkel varian är a arbea direk med de empiriska observaionerna av dödlighesinensie μ ˆ ˆ1,..., μ w. Fördelen är naurligvis a de ine uppsår några avvikelser mellan modell och empirisk observaion. Nackdelen är dock a sokasiska effeker kan resulera i sora hopp i observerad dödlighesinensie mellan närliggande åldrar, speciell i de åldersinervall där eponeringen är låg. De är ju jus denna sokasiska effek man avser a konrollera när en koninuerlig funkion för dödlighesinensie ansäs. För a minska påverkan av dessa sokasiska effeker kan man medelvärdesbilda den empiriska dödlighesinensieen över e anal närliggande år, under förusäning a renderna under denna id kan negligeras. 19

20 Trendesimering med den empiriska dödlighesinensieen En enkel meod för rendesimering när man arbear direk med den empiriska dödlighesinensieen är a jämföra förändringen i dödlighesinensie för varje åldersgrupp mellan e sarår i och e sluår j. Den genomsniliga årliga förändringen för åldern, vilken beecknas c besäms som, beräknas sedan ugående från sambande c 1/( j i) μ (1 + c ) μ j i j i, vilke resulerar i a j μ c 1. i μ Framida förändringar i dödlighesinensie anas sedan för varje ålder följa den observerade årliga åldersberoende förändringen. Med grunder från år G, beräknas dödlighesinensieen för kalenderår enlig, G G μ μ (1 + c ). Noera a dea för åldern (för negaiva c ) leder ill en eponeniell avagande dödlighesinensie med e undre gränsvärde lika med noll. 0