Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2

Transkript

1 Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1

2 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y y TR TR SN TR = Trendkomponen SN = Säsongkomponen CL = Cykliska komponen IR = Slumpkomponen ( Denna har vi idigare kalla ε) SN CL CL IR IR 2

3 Trendkomponenen TR sår för en (ofa) linjär funkion av iden. Den kan också vara ex kvadraisk. Säsongkomponenen SN besår av e värde per säsong, som urycker skillnaden mellan denna säsong och årsgenomsnie (jämför säsongsdummies där man jämför med en viss säsong) Cykliska komponenen CL sår för en oregelbunden funkion som avspeglar ex konjunkursvängningar Slumpkomponenen är resen av variaionen som är hel oregelbunden och som ine kan förklaras. 3

4 Muliplikaiv eller addiiv modell? Muliplikaiv modell: Modellen används om säsongssvängningarna ökar med öka nivå i serien. För ekonomiska daa brukar denna modell ofa vara bäs. Addiiv modell: Fungerar vid mer sabila idsserier där säsongssvängningarna ej beror av nivån. 4

5 Beeckna den skaade rendkomponenen TR med r, skaad säsongskomponen SN med sn skaade cyklisk komponen CL med cl sam den skaade slumpkomponenen IR med ir. Idén är nu a vi ska skaa en komponen i age och därefer rensa bor den. Dea görs ills de endas finns slump kvar. Dea görs hel annorlunda jämför med idsserieregression där alla komponener skaas samidig.

6 Skaning och rensning av komponener Säsongrensning: Boragande av säsongsvariaion y - SN i den addiiva modellen y / SN i den muliplikaiva modellen Säsongsvariaion överskuggar ofa andra relevana komponener. Genom säsongrensningen kan man allså enklare se render och andra komponener. Derending : Boragande av renden y - TR y / TR 6

7 Skaning av säsongskomponenen 1. Säsongrensning: seg-för-seg Serien rensas från säsongkomponenen genom beräkning av cenrerade och vikade glidande medelvärden (cenered moving averages, CMA): CMA y ( L/ 2) y ( L/ 21) 2... y 2... y( L/ 21) 2 y( L/ 2) L2 där L=Anal säsonger i serien (L=2 för halvårsdaa, 4 för kvaralsdaa och 12 för månadsdaa) 7

8 Exempel (sales daa från idigare) id månad anal CMA * * * * * * ( ) / 24 8

9 En försa skaning av sk grova säsongkomponener erhålls genom a beräkna y /CMA i en muliplikaiv modell y CMA i en addiiv modell Ger n olika värden och sen beräkna medelvärden för alla värden som avser samma säsong. (.ex. alla januari-värden av y /CMA, ec.) Toal L medelvärden. 9

10 Exempel, fors Tid Mån. Sold CMA Grova säs.kom. Tid Mån. Sold CMA Grova säs.kom * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

11 Medelvärden av grova säsongskomponener: Juli: ( )/ Aug: ( )/ Sep: ( )/ Ok: ( )/ Nov: ( )/ Dec: ( )/ Jan: ( )/ Feb: ( )/ Mar: ( )/ Apr: ( )/ Maj: ( )/ Juni: ( )/ Obs! Bara vå värden här! och här! 11

12 Medelvärdena måse dessuom juseras så a de vid muliplikaiv modell får medelvärde 1, dvs summan av alla juserade säsongmedelvärden ska bli L vid addiiv modell får medelvärde 0, dvs summan av alla juserade säsongmedelvärden ska bli 0. De juserade värdena kallas för säsongskomponener sn 1,...,sn L 12

13 Summan av de beräknade medelvärdena: ) Summan skall bli L=12 För a få den ill 12 mulipliceras samliga medelvärden med 12/

14 Slulig skaade säsongkomponener: Jan: sn 1 = Feb: sn 2 = Mar: sn 3 = Apr: sn 4 = Maj: sn 5 = Juni: sn 6 = Juli: sn 7 = Aug: sn 8 = Sep: sn 9 = Ok: sn 10 = Nov: sn 11 = Dec: sn 12 =

15 Tidsserien säsongrensas genom: d y / sn vid muliplikaiv modell d y sn vid addiiv modell där sn är någo av värdena sn, 1, snl beroende på vilken av säsongerna som mosvarar. 15

16 Exempel, fors Tid Mån. Sold y sn d Tid Mån. Sold y sn d

17 DESE1 2. Använd de säsongrensade värdena och skaa rendkomponenen på dessa. Skaa en linjär (eller kvadraisk) rend TR med hjälp av regressionsanalys Regression Plo DESE1 = id S = R-Sq = 3.0 % R-Sq(adj) = 0.9 % id

18 3. Cyklisk och oregelbunden komponen: Om cyklisk komponen ine finns med: Residualerna från regressionsanalysen ugör skaning av ermen IR i den klassiska modellen. Om cyklisk komponen finns med: Skaa cyklisk och oregelbunden komponen som en komponen (CLIR ) ( clir) ( clir) r y y sn ( r vid muliplikaiv modell sn ) vid addiiv modell 18

19 Den cykliska komponenen skaas nu genom e cenrera ovika glidande medelvärde: Gäller både addiiv och muliplikaiv modell cl ( clir) m ( clir) ( m1)... ( clir) ( clir) 1 2 m 1 ( clir) m och den oregelbundna komponenen skaas sluligen som ir ir ( clir) cl ( clir) cl vid vid muliplikaiv modell addiiv modell 19

20 Vilka glidande medelvärden ska användas? 2m+1 väljs i regel ill någo av värdena 3, 5, 7, 9, 11, 13 Hur m skall väljas besäms genom a ia på den sluliga skaningen av IR m väljs så a auokorrelaionen och variansen för dessa värden blir så låg som möjlig. I boken används bara 3. 2m+1 kallas anal punker i de glidande medelvärde 20

21 Miniab kan användas för komponenuppdelning med SaTime seriesdecomposiion Muliplikaiv modell är dock någo annorlunda: y = TR SN +IR Val av modellyp Möjlighe a välja komponener, men dock begränsa 21

22 Säsongrensade daa 22

23 Time Series Decomposiion Daa Sold Lengh 47,0000 NMissing 0 Trend Line Equaion Y = 5, ,30E-02* Seasonal Indices Period Index 1 0, , , , , , , , , , , , Dessa blir någo annorlunda jämför med handräkningen idigare p g a a modellen är annorlunda Accuracy of Model MAPE: 16,8643 MAD: 0,9057 MSD: 1,

24 24

25 25

26 Time Series Plo of TREN1; SEAS1; FITS TREN1 SEAS1 7,2 7,0 6,8 6,6 6, FITS1 1,50 1,25 1,00 0,75 0, Index

27 27

28 Skaade rend- och säsongkomponener har lagras i kolumnerna TREN1 resp. SEAS1 Beräkning av (clir) kan göras genom a dividera originaldaa med produken av dessa vå CLIR1=Sold/(TREN1 SEAS1) Den cykliska komponenen ska nu skaas genom beräkning av glidande medelvärden på CLIR1 28

29 SaTime SeriesMoving Average Anal punker i de glidande medelvärde 29

30 Sparar de glidande medelvärdena, dvs den skaade cykliska komponenen i en ny kolumn, som får namne AVER1 30

31 31

32 Den oregelbundna komponenen (IR) skaas sluligen genom a dividera CLIR1 med AVER1 De resulerade värdena suderas sedan med avseende på spridning, s och seriell korrelaion, Corr ( ir, ir -1 ) 2m+1 s Corr(ir,ir -1 )

33 33

34 Seriella korrelaioner kan enkel beräknas med SaTime serieslag och sedan SaBasic saisicscorrelaion eller manuell i Session window: MTB > lag RESI4 c50 MTB > corr RESI4 c50 34

35 Analys med addiiv modell: 35

36 Time Series Decomposiion Daa Sold Lengh 47,0000 NMissing 0 Trend Line Equaion Y = 5, ,30E-02* Seasonal Indices Period Index 1-4, , , , , , , , , , , ,17361 Accuracy of Model MAPE: 16,4122 MAD: 0,9025 MSD: 1,

37 Vad Beyder måen MAPE, MAD och MSD? Alla re är må på hur bra anpassningen är och kan användas för a jämföra olika modeller. Den modell som har lägs MAPE, MAD och/eller MSD har bäs anpassning. Ofas visar alla 3 måen å samma håll. Men i vissa fall kan man vara vungen a välja e av dem. Vid val mellan ex addiiv modell och muliplikaiv modell kan de hända a någo av måen är högre för den ena modellen medan e anna må är lägre. De gäller allså a olka måen med viss förnuf.

38 MSD kan också jämföras med MSE i den mulipla regressionen: MSD 1 n n y yˆ 1 2 Mean Square Deviaion MSE 1 n k 1 n y yˆ 1 2 Mean Square Error 38

39 MAD 1 n n 1 y yˆ Mean Absolue Deviaion Skillnaden mellan MAD och MSD är a MAD använder absoluavvikelser isälle för kvadraiska avvikelser. MAD är mindre känslig för avvikande värden och blir mer användbar när vi har någo ensaka värde som uppräder konsig. Yerligare en fördel med MAD är a dess värde är i samma skala som y - observaionerna själva, vilke gör de läare a olka. 39

40 MAPE 1 n n 1 y y yˆ Mean Absolue Percenage Error Måe använder också absolua avvikelser, men mäer dem relaiv nivån hos y. Vi får allså relaiva (procenuella) avvikelser. Måe är prakisk för muliplikaiva modeller där den oregelbundna komponenen (IR ) är ganska beydande, efersom avvikelserna då blir sora när vi har sora värden på y. 40

41 Muliplikaiv Addiiv 41

42 Trend Line Equaion Y = E-02* Seasonal Indices Period Index muliplikaiv addiiv Trend Line Equaion Y = E-02* Seasonal Indices Period Index

43 Prognoser Regression/Komponenuppdelning Saiska modeller (med rend, säsongskomponener) som gör prognoser genom a använda samma rend och samma säsongskomponeneer som under hela den observerade perioden. Bäre prognosmodeller Dynamiska modeller som anpassar sig efer de senase endenserna i idsserien. Prognoserna görs främs med hjälp av idpunkerna i slue av serien, äldre värden har ine lika sark beydelse. Trend och säsongskomponenerna uppdaeras över iden. 43

44 Prognoser i saiska modeller 44

45 Prognoser i idsserieregressionen Predicor Coef Consan ime jan feb mar apr maj jun jul aug sep ok nov Prognos för december 1999 id : 48; jan-nov: 0 yˆ Prognos för januari 2000 id : 49; jan: 1; feb-nov: 0 yˆ

46 Prognoser i en komponenuppdelningsmodell Trend Line Equaion Y = E-02* Seasonal Indices Period Index Prognos för december 1999 id =48, säsong=1 muliplikaiv modell Prognos för januari 2000: ŷ ŷ

47 47