Fastbasindex--Kedjeindex. Index av de slag vi hitintills tagit upp kallas fastbasindex. Viktbestämningar utgår från

Transkript

1 Fasbasindex--Kedjeindex Index av de slag vi hiinills agi upp kallas fasbasindex. Vikbesämningar ugår från priser och/eller kvanieer under basåre. Vid långa indexserier blir dea e problem. Vikerna måse åerspegla förändringen i försäljningsvärden.

2 Länkar och kedjor En indexlänk från år - ill år beräknas som e sammansa index med år - som basår. Länken är indexvärde år. Länken konsrueras som där p i, är prise på vara i år och p i,- är prise på vara i år och w i,-, är den vik som används för varan mellan år ill år sam n är anale varor som skall ingå i indexe n i i i i w p p L,,,,, som skall ingå i indexe Med ex Laspeyre s viksysem beräknas årslänken som E (kedje)index för år med basår 0 fås därefer som I L 0, L,2 L -, 00 j j j i i i i i i i i q p q p p p i p p L,,,,,,,,, försäljningsvärde år Toala år Försäljningsvärde för vara

3 Användande av represenanvaror För föreag och branscher med många varor blir de oprakisk a beräkna viker med alla varors priser och försäljningskvanieer. I sälle väljs ur varje varugrupp en represenanvara, vars pris- och kvaniesuveckling speglar varugruppen väl. riserna på represenanvaran används i formeln för de sammansaa indexe. Vikerna besäms uifrån oalförsäljningen i respekive varugrupp.

4 Lå p i, rise på represenanvaran från grupp i år v i, Värde hos oala försäljningen av grupp i år En årslänk med Laspeyreviker beräknas i dea fall som L, p v i, i, i pi, v j j, där summeringen görs över alla grupper av varor (el. jänser) Observera a i denna formel (och även i idigare formler) summerar vi också i nämnaren över alla grupper, men för a ine blanda ihop med den försa summan används summaionsindexe j där.

5 Hasse s kläder Försäljningsvärden År Srumpor och sockor Försäljningsvärde Underkläder riser för represenanvaror År Srumpor och sockor Underkläder Hasses supersrumpa Hasses boxer

6 År Försäljningsvärde Srumpor och sockor Underkläder År Srumpor och sockor Underkläder Hasses supersrumpa L Årslänkar Hasses boxer ,99 + L ,

7 L ,99 + L , Kedjeindex med basår 998 År Index

8 Relaivprisindex Anag a vi har e framräkna prisindex för någon vara, jäns eller grupp av varor och jänser. Indexe i sig mäer prisuvecklingen på jus den varan/jänsen/gruppen, men de är ofa inressan a sudera uvecklingen i förhållande ill den allmänna prisuvecklingen (oal eller för en sörre grupp ill vilken varan/jänsen gruppen hör). Man kan då använda sig av s k relaivprisindex.

9 Lå I 0 vara prisindexe för den akuella varan/jänsen/gruppen och lå I v vara prisindexe för den sörre gruppen. Relaivprisindexe blir då (I 0 / I v ) 00 I v är ofa konsumenprisindex (se nedan) eller någo branschindex. Relaivprisindex är egenligen bara en varian av deflaering och man skall olka de som lokal prisförändring när den generella prisförändringen har räknas bor. Användningsområdena är många, men speciell blir dea sä a räkna vikig i eferfrågeanalys

10 Exempel: Nedan visas de nyligen framräknade kedjeprisindexe för Hasse s kläder illsammans med konsumenprisindex för mosvarande period. Kedjeprisindex KI (basår 980) KI (basår 998) Värden visar direk a prisuvecklingen hos Hasse s är högre än den allmänna prisuvecklingen. Uryck i e relaivprisindex blir den allså: (04.8/00.5) (07.8/0.4) dvs 6.3% högre än den allmänna prisuvecklingen mellan 98 och 00

11 Konsumenprisindex Konsumenprisindex Sverige: Indelning av marknaden i grupper av varor och jänser görs med jämna mellanrum Val av represenanvaror/jänser från varje grupp (regelbunden revision av val) Basår bys med långa inervall: F n 980, innan dess 949 Beräkning för hela marknaden men också för diverse undergrupper (Naionalräkenskaperna) Indexes uformning: Uppdelning i långidsindex (årsvisa) och koridsindex (månadsvisa) Båda är kedjeprisindex Årslänkar beräknas f n med Edgeworhs viksysem (e medelvärde av Laspeyre s och aasche s vikssysem) Månadslänkar beräknas f n med Laspeyre s viksysem Sammanjämkning i januari och december

12 Konsumenprisindex används för a Mäa inflaion Omräkna värden i löpande priser ill värden i priser för e viss år. Dea används bl. a. för a bedöma försäljningsuveckling och eferfrågan. Konsumenprisindex kan besämmas implici genom KI Försäljningsvärden år Försäljningsvärden år i i löpande priser basåres priser 00

13 Eferfrågeanalys, Elasiciesmodeller (Framsällningen här görs med annorlunda symboler än i AJÅ) Naionalekonomisk framsällning: Eferfrågan, Q försäljningsvolym av akuell vara, jäns eller grupp av varor/jänser beror av o rise,, på varan, jänsen, eller priserna i gruppen av varor/jänser o Inkomsnivån, I, i den populaion av konsumener som eferfrågar varan/jänsen/gruppen. o rise, 2, på en annan vara relaerad ill varan/jänsen/gruppen. E subsiu eller e komplemen o Tiden,, som sammanfaande indikaor på smakförändringar.

14 risvariablerna är sällan enskilda syckepriser för produken ifråga uan ofare e prisindex. Speciell använder man e relaivprisindex där effeker av inflaion har filreras bor (prisindex/ki) Dea gäller försås samliga prisvariabler i lisan ovan Inkomsvariabeln ugörs som regel av realinkomsen per capia i den populaion av konsumener som eferfrågar varan/jänsen/gruppen Realinkoms erhålls genom a deflaera nominell inkoms med KI.

15 Modeller: ) Man kan änka sig en linjär modell: Q β + β + β I + β + β + ε där ε som vanlig anas vara en slumpkomponen med vänevärde 0 och konsan varians, ofas N (0,σ ). men vilka problem kan finnas med en sådan? Vad händer då prise,, ökar från värde ill värde 2? prise,, ökar från värde ill värde 2? prise,, ökar från värde 0 ill värde 02?

16 2) Man skulle också kunna änka sig följande modell: E 2 E EI 2 Q C I 0 γ δ där C, E, E I, E 2 och γ är konsaner och δ är en slumpkomponen som har egenskapen a log (δ ) har vänevärde 0 och konsan varians, ofas N (0,σ ). Vad händer i denna modell om prise,, ökar från värde ill värde 2? prise,, ökar från värde ill värde 2? prise,, ökar från värde 0 ill värde 02?

17 Exempel: Anag följande vå modeller där eferfrågan (Q) förklaras av pris ():. Q Q0. Om prise ökar från ill 2 minskar eferfrågan med 0.2 enheer enlig modell y Q 2 Q ( ) ( ) % enlig modell 2 y Q 2 /Q (0 2. )/(0. ) 0.47 Om prise ökar från 0 ill minskar eferfrågan med 0.2 enheer enlig modell y y Q 2 Q (0 0.2 ) ( ) 0.2 0% enlig modell 2 y Q 2 /Q (0. )/(0 0. ) 0.90

18 Modellen E 2 E EI 2 Q C I 0 γ δ kallas elasiciesmodell och paramerarna E, E I och E 2 är försås i ur och ordning priselasicie, inkomselasicie och korselasicie. aramerarna anas vara konsana i denna modell och eferfrågesambande säges då vara isoelasisk. Inom Mikroekonomin väljer man ofa a arbea med mer generella modeller med varierande elasicieer. Ovansående modell blir dock lämplig som förklaringsmodell ill eferfrågan run jämvikspunken. arameern γ relaerar ill smakförändringar över iden.

19 Den fullsändiga modellen enlig används främs vid Mikroekonomiska jämviksanalyser. Vi reducerar därför här ill modellerna: δ δ δ I I E E E E I p C Q I C Q C Q Anpassning med regressionsanalys kan göras av de logarimerade sambanden. För de vå försa används enkel linjär regressionsanalys. För den redje används mulipel regressionsanalys. δ I p C Q

20 Beraka den försa modellen: Logarimera: E Q C δ lg Q lgc + E lg + lgδ (Vilke logarim som används spelar ingen roll. Här använder vi 0-logarimen lg) lg δ anas precis om i den exponeniella modellen vara N (0,σ ). Om vi illfällig ignorerar denna erm och deriverar bägge sidor av modellen Ł d d dq d Q dq d (lgq) ln0 E Q E E E ln0 ln0 dq d / / Q Derivaorna om ln används isälle för lg fås genom a a bor ln 0 ur urycken dq urycker en mycke lien förändring i Q, dvs e lie Q d urycker mosvarande e mycke lie

21 dq/q urycker allså en mycke lien relaiv förändring i Q d/ urycker mosv. en mycke lien relaiv förändring i Ł Modellen ger a för små prisförändringar blir sambande ungefär (% förändring i Q) E (% förändring i ) Den logarimerade modellen kan skrivas y' β 0 + β x' + ε lg Q lgc + E lg + lgδ och anpassas ill yˆ ' b + b 0 x '

22 där b Eˆ e ( lg ) ( lgq) nlg lgq 2 ( lg ) n( lg ) 2 ( lg ) ( lgq) ( lg ) ( lgq) 2 ( lg ) ( lg ) 2 / n / n b 0 lgq lgq b lg b n lg Anpassad modell i originalskala blir då n ˆ b0 b Q 0 Cˆ Eˆ e c

23 Spelar de någon roll hur vi väljer prisvariabeln? Vi kan änka oss a använda ris dividera med KI (eller mosvarande inflaionsmäande index) eller e prisindex dividera med KI. Värde på b (dvs. Ê (e ) kommer a bli desamma oavse vilka av dessa vå prisvariabler som används. De spelar heller ingen roll vilka basår vi har i risindexe resp. i KI (de kan allså vara olika) De enda som förändras är i modellen Ĉ (c ), dvs. den nivåjuserande konsanen

24 Exempel: Konsumion av margarin i Sorbriannien. År Konsumion (oz. per pers. och vecka) Inflaionsjusera pris År Konsumion (oz. per pers. och vecka) Inflaions -jusera pris

25 Konsumionen minskar med realpris, men de är naurligvis ingen skarp ickelinjär eferfrågekurva.

26 Logarimera nu konsumions- och prisvärdena och ploa log Q mo log : Obs! De är ine självklar a man ser a dea samband blir mer linjär. Man får ofas lia på a modellen är förnufig.

27 I modellen lg Q lgc + E lg + lgδ skall vi skaa E p och log C (dvs β 0 ) Vi beräknar och får b lg , 2 ( lg ) , ( lgq) ( lg ) ( lgq) Eˆ p e lgq ( ) / (36.592) / b 0 Cˆ c ( ) Qˆ

28 Se ill punkskaningen av E : skulle ine margarin olkas som en priselasisk vara. Mikroekonomi: E Typ av vara > oelasisk, ej priskänslig enheselasisk, normal priskänslig < priselasisk, priskänslig Dock försår vi a värde borde analyseras djupare än bara som de punkskaade värde.

29 All som hiills gjors i kursen om -es, F-es, konfidens- och prognosinervall kan också illämpas här. Skillnaden ligger i a vi använder logarimerade daa i beräkningarna och a konfidens- och prognosinervall i försa hand görs i denna skala och får sedan illbakaransformeras. I formelsamlingen ges flera av formlerna på logarimerad form, men ine samliga. Vikig a lära sig sambanden Ł Övriga formler kan enkel översäas!

30 Miniab-analys av daamaeriale: MTB > regress c4 c5; SUBC> predic lg 0 Regression Analysis: lg Q versus lg p The regression equaion is lg Q lg redicor Coef SE Coef T Consan lg S R-Sq 67.3% R-Sq(adj) 65.2% Analysis of Variance Source DF SS MS F Regression Residual Error Toal rediced Values for New Observaions New Obs Fi SE Fi 95.0% CI 95.0% I ( , ) ( , ) Values of redicors for New Observaions New Obs lg 2.04

31 Tydlig a E är skild från 0, men är dea inressan? Vi vill snarare esa: H 0 : E mo.ex. H 0 : E > Tesfunkionen blir då Eˆ ( ) s ˆ E som m h a daakörningen beräknas ill ( ) Tes på 5% nivå Ł Jämför med 0.05 [6].746 (Enkelsidig es) 3.0>.746 Ł H 0 förkasas. Margarin är ine priskänslig i UK.

32 I analysen beräknas e 95% prognosinervall för konsumionen då realprise är 0. I logarimisk skala blir inervalle: ( , ) För a få inervalle i originalskala ransformerar vi enlig: ( , ) (2.88, 4.28) Obs! Ni förvänas allså själva kunna räkna u SSE, s b ec. för a kunna göra es och inervall i analyser där eferfrågan skall förklaras av en variabel (pris eller inkoms). Övningarna RT, RT2, RT3 illusrerar dea.

33 Mer om icke-linjära modeller: olynomregression, ex: y x2 2 2 β + β x + β x + β x + β x + β x + ε som vi har avhandla som vanlig mulipel regression. Exponeniell modell: x β β y 0 δ där β 0 och β är konsaner (paramerar) som idigare och δ är en slumpkomponen som anas ha vänevärde och som är sådan a lg(δ) har vänevärde 0 och konsan varians, ofas N (0,σ).

34 Naurligvis kan en exponeniell modell ha flera ermer (fakorer) med x-variabler: β x 2 2 x3 x4, β, β 3 4,... Hur kan man analysera? logarimera modellen (vilken logarim som används spelar ingen roll, här används 0-logarimen lg): lg y lg β + x lg β + lgδ 0 lg β + (lg β ) x + lgδ 0 Sä y ' lg y, β 0 ' lg β 0, β lg β, ε lg δ Ł ' ' y' β + β x + ε 0

35 Anpassa denna modell med vanlig regression Ł ' b 0 '+b ' x Transformera illbaka ill originalskala. Vi anar a vi har använ 0-logarimen här, dvs glg h Ł h0 g ˆ b b x y 0 ' ' 0 (0 ) Konfidensinervall och hypoesprövning för β 0 och β kan göras i den logarimerade modellen, likaså kan konfidensinervall och prognosinervall för E(y 0 ) resp. y 0 göras och dessa kan ransformeras illbaka ill originalskala. Förklaringsgrader skall haneras med försikighe (se kurslierauren) och kan ine as direk från en daoranalys.

36 Varför en exponeniell modell? klarar av mer invecklade icke-linjära samband kan hanera explosiva samband, ex mycke expansiva marknader. Exempel: Anag a e föreag har under en ioårsperiod placera en viss kapialmängd på lie olika sä. Genom a sälja och köpa diverse former av värdepapper har man hoppas kunna förräna kapiale bäre än genom en fas placering under dessa år. Hur skulle man kunna uppskaa en ränesasekvivalen?

37 Anag a följande värden hos kapiale har gäll: År Kapial

38 En modell för daa skulle i och för sig kunna vara linjär men vi ve ju a en eoreisk ränemodell har formen: Kapial år Grundkapial (+r) där r är ränesasen. Vi använder därför modellen y β 0 β δ där β +r. Modellen logarimeras som ovan vilke innebär a vi måse beräkna log y för alla y-värden.

39 År () Kapial (y) lg y 2 (lg y) 2 lg y Summor:

40 b Modellen (med y' lg y) anpassas nu ill där ' ' y' β + β + ε 0 ' b 0 '+b ' y' ( ) ( y' ) 0 ( ) ( lg y) ( ) ( lg y) ' ' ' b0 y' b x 0 ' (lg y) b 0 2 ( )

41 och en anpassad modell i originalskala ˆ y b0 b erhålls genom a beräkna: b b b b 0 ' ' Ł yˆ och vi kan olka som den skaade ränesasekvivalenen, dvs 4.8 % b olkas som ingångskapiale.