Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3

Transkript

1 Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1

2 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest för hela regressionsmodellen förklaringsgraden, R p-värden för de individuella variablerna eller t-kvoter Residualanalys, för att avgöra om regressionsantagandena är uppfyllda

3 Visuell bedömning: Regression Plot Hyra = Kv-meter S = R-Sq = 85.5 % R-Sq(adj) = 84.8 % Hyra Kv-meter

4 Hur bra är modellen som vi har anpassat? The regression equation is Hyra = Kv-meter enskilda p-värden Predictor Coef SE Coef T P Constant Kv-meter S = 55.5 R-Sq = 85.5% R-Sq(adj) = 84.8% Analysis of Variance R och justerad R Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total F-test och dess p-värde Residualanalys kan också göras i MINITAB 4

5 Vi har redan räknat med ett mått för den oförklarade variationen: Residualkvadratsumman, som också ofta betecknas med SSE (Sum of Squared Errors). SSE n y i b0 b1 x i i1 Ett mått på den totala variationen är också ganska enkelt att ta fram: variationen i responsvariabeln, SS yy, som i regressionssammanhang ofta kallas för SST (Totalkvadratsumman). SST n y i y i1 5

6 För att göra kvadratsummeuppdelningen komplett kan vi beräkna SSR (Sum of Squares Regression), den förklarade variationen. SSR = SST - SSE eller SST = SSR + SSE 6

7 Förklaringsgrad och korrelationskoefficient Förklaringsgraden betecknas R R SSR SST Ju högre förklaringsgrad, desto bättre lyckas vår skattade modell förklara variationen i data Modellen kan anses vara bra. I vårt exempel blev R =0, 855, dvs. att 85.5% av all variation i y kan förklaras med hjälp av modellen. 7

8 Utvikning: Kom ihåg korrelationskoefficienten r x i x yi y x x y y i SSxy SS SSxx yy i som mäter det linjära sambandet mellan x och y. I motsats till regressionsmodellen finns det i korrelationskoefficienten ingen kausalitet: regressionsmodellen: x påverkar y, men inte tvärtom korrelationskoefficienten: x och y hänger ihop 8

9 Korrelationskoefficienten ligger alltid mellan 1 och 1. Om den är = 1 eller = 1 säger man att det råder ett perfekt linjärt samband mellan y och x. Om r = 0 finns inget linjärt samband mellan y och x. (Det kan dock finnas andra samband, t.ex. kvadratiska) I vårt fall blir korrelationskoefficienten r=0.95 Observera att r =(0.95) =0.8556R Men detta gäller bara i fallet med en förklaringsvariabel, inte om vi inkluderar fler oberoende variabler i modellen. 9

10 F-test: F SSR SSE MSR n MSE MSE har vi träffat på förut, men då kallade vi den för. I MINITAB-utskriften kan vi hitta både MSE och s. Om vi bara har en förklarande variabel, så är SSR/1=MSR. Värdet på F-testet ska jämföras med F-fördelningen med 1 och (n- ) frihetsgrader I vårt fall: F s Ur tabellen: F 0.05,1, signifikant 10

11 The regression equation is Hyra = Kv-meter Predictor Coef SE Coef T P Constant Kv-meter S = 55.5 R-Sq = 85.5% R-Sq(adj) = 84.8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P SSR Regression SSE Residual Error Total SSE n MSE s SST MSE s MSR e s MSE F-test 11

12 Kap 4,1-4,5: Multipel linjär regression y 0 1 x 1 x k x k I stället för en förklarande variabel kan vi inkludera flera. Vi får dock tänka på att inte inkludera sådana variabler som inte har någon eller som bara har marginell betydelse för responsvariabeln. Återigen inkluderas en felterm i modellen, som står för den del i variationen av y som inte kan förklaras genom modellen. Feltermen har medelvärde 0 och varians s och är normalfördelad och varje är oberoende av de andra. 1

13 t-test och konfidensintervall för de enskilda parametrarna ( 1,,..., k ) i modellen beräknas i princip på samma sätt som förut. Men nu använder man en t-fördelning med n-k-1 frihetsgrader. F-test korrigeras lite genom att inkludera k (antal förklarande variabler i modellen): F SSR SSE k MSR n k 1 MSE Observera att formeln är den samma som förut om man sätter k=1. Förklaringsgrad beräknas fortfarande: R SSR SST 13

14 14 Kvadratsummeuppdelningen gäller också: SST = SSR + SSE SST, SSR beräknas som förut, och även SSE beräknas som förut: n i i i n i ki k i i i y y x b x b x b b y SSE ˆ b k x k x b x b b y ˆ eftersom: Observera att alla sådana beräkningar görs för varje observation, även om index i inte alltid är med I formlerna.

15 Konfidensintervall för punktskattningen och prognosintervall for punktprognosen beräknas i princip på samma sätt Konfidensintervall yˆ ( nk 1) t / s "Distance value" 0 Prognosintervall yˆ ( nk 1) t / s 1 "Distance value" 0 Men Distance value kan inte beräknas lika enkelt som i fallet med en förklarande variabel. Däremot kan man ta den rätt enkelt från datorutskriften (senare). 15

16 Exempel: Följande datamaterial innehåller uppgifter om 150 slumpmässigt valda fastigheter i USA Column Name Count Description Modell Översättning C1 Price 150 Price y pris C Area 150 Area in square feet x1 bostadsyta C3 Acres 150 Acres x tomtyta C4 Rooms 150 Number of rooms x3 antal rum C5 Baths 150 Number of baths x4 antal badrum Källa: MTBWIN /Student1/HOMES.MTW 16

17 Pris mot bostadsyta Spridningsdiagram = Scatterplot Price Area

18 Pris mot tomtyta Price Acres 0 18

19 Pris mot antal rum Price Rooms 13 19

20 Pris mot antal badrum Price Baths 3 4 0

21 Vi börjar med en modell som inte inkluderar alla förklarande variabler, men bara de som verkar viktigast: bostadsyta och antal rum. MINITAB 1

22 Regression Analysis: Price versus Area, Rooms The regression equation is Price = Area Rooms yˆ x1 141 x 3 Predictor Coef SE Coef T P Constant Area Rooms Signifikanstest för t.ex. 1: t b s b sb är den skattade standardavvikelsen av b Vi jämför t med t-fördelningen med n-k-1= frihetsgrader.

23 t-fördelning med 147 frihetsgrader För ett dubbelsidig test är p-värdet sannolikheten att få ett värde t eller ännu större eller ett värde t eller ännu mindre t=6.6 3

24 Regression Analysis: Price versus Area, Rooms The regression equation is Price = Area Rooms Predictor Coef SE Coef T P Constant Area Rooms inte signifikant 4

25 s MSE R SSR SST S = R-Sq = 48.6% R-Sq(adj) = 47.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1.573E Residual Error E Total E+11 F SSR SSE k MSR n k 1 MSE F-testet är signifikant 5

26 Vad står F-testet för i detta fall? F-testet testar om den linjära regressionsmodellen är signifkant eller inte. Om vi har flera förklarande variabler, då testar vi om H 0 : alla parametrar 1,,..., k är lika med 0 H 1 : minst en av parametrarna 1,,..., k är inte 0 Om vi kan förkasta denna noll-hypotes så använder vi t-testet för var och en av de enskilda parametrarna. 6

27 7 Vad är R-sq(adj) då? Justerad R : k n n n k R R Det vanliga R -värdet ökar alltid när man lägger till fler förklarande variabler. Men det gör nödvändigtvis inte justerade R -värdet

28 Kap 4,6: Punktskattning och punktprognos Nu vill vi göra en prognos för priset på en fastighet med bostadsytan: 3000 ft och antal rum: 6, och ett 95% prediktionsintervall i MINITAB 8

29 Regression Analysis: Price versus Area, Rooms Samma utskrift som tidgare Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI ( , 36717) ( 1489, 76564) XX X denotes a row with X values away from the center XX denotes a row with very extreme X values Values of Predictors for New Observations New Obs Area Rooms yˆ (147) t0.05 s 1 "Distance value" 0 Prediktionsintervall 9

30 Regression Analysis: Price versus Area, Rooms Samma utskrift som tidgare Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI ( , 36717) ( 1489, 76564) XX X denotes a row with X values away from the center XX denotes a row with very extreme X values Values of Predictors for New Observations New Obs Area Rooms yˆ (147) t0.05 s "Distance value" 0 Konfidensintervall för det genomsnittliga priset på fastigheter med 3000 ft och 6 rum. 30

31 Distance value kan, som sagt, inte enkelt beräknas från datamaterialet om vi har fler än en förklarande variabel. Men den kan beräknas ur New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI ( , 36717) ( 1489, 76564) XX ˆy 0 SE yˆ 0 s "Distance value" SE Fit är standardavvikelsen för punktskattningen ŷ 0 31

32 Får vi någon ytterligare information från prognosen? Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI ( , 36717) ( 1489, 76564) XX X denotes a row with X values away from the center XX denotes a row with very extreme X values Varning för att den typ av fastighet vi valt har extrema värden på x. Vi kan endast göra tillförlitliga prognoser på fastigheter där vi har liknande fastigheter med i ursprungliga datamaterialet. 3

33 Om vi t.ex bara har bostadsytan som förklarande variabel: Prediktioner utanför området där vi har observationer är inte tillförlitliga Regression Plot Price = Area S = R-Sq = 48.6 % R-Sq(adj) = 48. % Price Regression 95% CI Area

34 Pris mot bostadsyta Price Area Få observation med bostadsyta 3000 ft eller större, men ändå väl inom området där vi har observation 34

35 Pris mot antal rum Price Rooms 13 35

36 Vad är då problemet? pris area rooms Om vi tittar på datamaterialet så ser vi att de fastigheter som ingår och har exakt 6 rum har en bostadsyta mellan 1008 och 1900 ft. Det är alltså kombinationen 3000 ft och 6 rum som är extrem och vi måste fundera över om det är rimligt att anta att modellen är giltig även för denna typ av fastighet

37 Kap 5, 5,3: Residualanalys För att kunna ta resultaten av regressionsanalysen på allvar, måste vi undersöka om regressionsantagandena är uppfyllda. Har residualerna en konstant varians? Är residualerna normalfördelade? Är residualerna oberoende? Är alla samband linjära? Saknas någon förklarande variabel? 37

38 Har residualerna en konstant varians? Plotta residualerna mot anpassade värden (residuals vs fits) Är residualerna normalfördelade? Histogram av residualerna Normalfördelningsplot av residualerna (Normal probability plot) Är residualerna oberoende? Plotta residualerna i observationsordning (residuals vs order). Är alla samband linjära? Plotta residualerna mot enskilda förklarande variabler (Residuals vs the variables) 38

39 39