Valfri räknedosa, kursbok (Kutner m fl) utan anteckningar. Tentamen omfattar totalt 20p. Godkänt från 12p.

Transkript

1 Tentamen Linköpings Universitet, Institutionen för datavetenskap, Statistik Kurskod och namn: Datum och tid: Jourhavande lärare: Tillåtna hjälpmedel: Betygsgränser: 732G21 Sambandsmodeller , 8-12 Kalle Wahlin, Valfri räknedosa, kursbok (Kutner m fl) utan anteckningar. Tentamen omfattar totalt 20p. Godkänt från 12p. Redovisa och motivera tydligt alla dina lösningar! Uppgift 1 (5.5p) En marknadsanalytiker hos en bank drar ett stickprov om 8 av bankens kunder för att undersöka om det finns något samband mellan hushållets sammanlagda inkomst och hur stort lån man har hos banken. Följande data erhålles (uttryckt i tusentals kronor): Kund nr Inkomst (x) Sammanlagt lån (y) a) Plotta inkomst mot sammanlagt lån. Vilken typ av regressionsmodell verkar lämplig? Uttryck modellen med de beteckningar som använts under kursen. (0.5p) b) Beräkna punktskattningar av parametrarna i den valda modellen. (1p) c) Tolka modellens parametrar i ord så att en ickestatistiker förstår det eventuella sambandet mellan inkomst och sammanlagt lån. (0.5p) d) Hur stort lån kan man förvänta sig för ett hushåll vars sammanlagda inkomst är 45 (tkr)? (0.5p) 1

2 e) Plotta residualerna mot x. Verkar modellen välanpassad? (1p) f) Marknadsanalytikern vill nu även införa information om huruvida kunden är kvinna eller man. Beskriv med de beteckningar som använts under kursen hur modellen kan utvecklas så att regressionslinjer med olika intercept och olika lutning erhålles i en enda modellanpassning. (1p) g) Antag att man nu för var och en av de 8 kunderna har gjort en bedömning om huruvida de bör få utöka sitt lån (kodat som 1) eller ej (kodat som 0). Beskriv med de beteckningar som använts under kursen en lämplig typ av regressionsmodell för att modellera sambandet mellan huruvida lånet ska få utökas eller ej (y) och hushållets inkomst (x). (1p) Uppgift 2 (4.5p) Föreliggande är ett datamaterial bestående av ett större antal försäljningar av privatbostäder i USA år För varje husförsäljning finns information om y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 X 8 Försäljningspris (dollar) Bostadsyta (kvadratfot) Antal sovrum Antal badrum Förekomst av luftkonditionering, 1 = luftkonditionering finns, 0 annars Antal bilar som garaget är konstruerat för Förekomst av pool, 1 = pool finns, 0 annars Byggnadsår Tomtstorlek (kvadratfot) a) Till följd av det stora antalet möjliga modeller börjar man med att köra best subsets regression i Minitab: Best Subsets Regression: y versus x1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8 Response is y Mallows x x x x x x x x Vars R-Sq R-Sq(adj) Cp S X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 2

3 och baserat på detta har ett antal modeller anpassats (se nedan). Vilken modell anser du är den bästa? Motivera! (1.5p) Modell 1: Regression Analysis: y versus x1; x2; x5; x7; x8 The regression equation is y = x x x x x8 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant x x x x x S = R-Sq = 75.0% R-Sq(adj) = 74.8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E E Residual Error E Total E+12 Source DF Seq SS x E+12 x x E+11 x E+11 x E+11 Predicted Values for Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (119696; ) (-343; ) Values of Predictors for Observations Obs x1 x2 x5 x7 x Modell 2: Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x5; x7; x8 The regression equation is y = x x x x x x8 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant x x

4 x x x x S = R-Sq = 75.1% R-Sq(adj) = 74.8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E E Residual Error E Total E+12 Source DF Seq SS x E+12 x x E+11 x E+11 x E+11 x E+11 Predicted Values for Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (118563; ) (-1229; ) Values of Predictors for Observations Obs x1 x2 x3 x5 x7 x Modell 3: Regression Analysis: y versus x1; x2; x5; x6; x7; x8 The regression equation is y = x x x x x x8 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant x x x x x x S = R-Sq = 75.1% R-Sq(adj) = 74.8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E E Residual Error E

5 Total E+12 Source DF Seq SS x E+12 x x E+11 x x E+11 x E+11 Predicted Values for Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (119086; ) (-877; ) Values of Predictors for Observations Obs x1 x2 x5 x6 x7 x Modell 4: Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x5; x6; x7; x8 The regression equation is y = x x x x x x x8 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant x x x x x x x S = R-Sq = 75.2% R-Sq(adj) = 74.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E E Residual Error E Total E+12 Source DF Seq SS x E+12 x x E+11 x E+11 x x E+11 x E+11 5

6 Predicted Values for Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (118098; ) (-1666; ) Values of Predictors for Observations Obs x1 x2 x3 x5 x6 x7 x Modell 5: Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x4; x5; x7; x8 The regression equation is y = x x x x x x x8 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant x x x x x x x S = R-Sq = 75.1% R-Sq(adj) = 74.8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E E Residual Error E Total E+12 Source DF Seq SS x E+12 x x E+11 x x E+11 x E+11 x E+11 Predicted Values for Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (118353; ) (-1369; ) Values of Predictors for Observations 6

7 Studentized deleted residuals Obs x1 x2 x3 x4 x5 x7 x b) Hur många husförsäljningar har din valda regressionsanalys baserats på? (0.5p) c) Från datamaterialet har också en modell med p = 8 parametrar anpassats och nedanstående residualplottarna tagits fram. Baserat på (en av) dessa, finns det några indikationer på outliers med avseende på de förklarande variablerna (x)? (1p) 6 Scatterplot of Studentized deleted residuals vs y y

8 COOKS DISTANCE Leverage values 0.14 Scatterplot of Leverage values vs y y Scatterplot of COOKS DISTANCE vs y y

9 DFFITS Scatterplot of DFFITS vs y y d) Baserat på din valda modell, ange ett 95% intervall för det förväntade försäljningspriset för ett specifikt hus som är 1500 kvadratfot stort och som har 4 sovrum, 2 badrum, luftkonditionering, garage för 1 bil, ingen pool, byggnadsår 1974 och med en tomtyta om kvadratfot. (0.5p) e) Beskriv i ord metodiken för att göra en stepwise regression. (1p) 3 Vid ett forskningslaboratorium ville man få fram en komponent för lindring av hösnuva. I ett experiment utsattes 36 frivilliga för två olika substanser med varierande koncentration. De två substanserna kallas här A och B. Responsvariabel Y är tiden tills lindring. Till var och en av de 9 kombinationerna slumpades 4 frivilliga. Se korstabell: Rows: B Columns: A Tabell med medelvärden för Y. låg medel hög All låg 24,75 46,00 45,75 38,83 9

10 medel 54,50 81,75 91,25 75, hög 59,75 102,75 132,50 98, All 46,33 76,83 89,83 71, Cell Contents: Y : Mean Count Nedan har två modeller anpassats. Modell 1 = Yijk i j ijk samt modell 2 = Yijk i j ij ijk Uppgifterna kommer efter alla utskrifter. Modell 1 The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values A B Number of Observations Read 36 Number of Observations Used 36 10

11 Dependent Variable: Y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A <.0001 B <.0001 Modell 2 The GLM Procedure Dependent Variable: Y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

12 Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F A <.0001 B <.0001 A*B < Interaction Plot for Y Data Means A B 3 a) Pröva på 1% signifikansnivå om Substans B har effekt i modell 1. 1p b) Bilda konfidensintervall med Tukeys metod för alla differenser mellan nivåerna på substans B i modell 1. 2p c) Ta hjälp av interaktionsplotten för att avgöra om interaktion kan vara närvarande. Hur kan en interaktion tolkas i detta exempel? d) Skatta, samt i modell 2. 1p 1p e) Genom att bara titta på data så ser det inte ut att vara någon större skillnad mellan medel- och hög koncentration för de båda substanserna. Bilda därför ett % konfidensintervall för kontrasten. 2 2 Motivera noggrant vilket MSE du använder för detta konfidensintervall. 3p 4 a) Ge ett exempel på då man hellre vill ha varianskomponenter istället för fixa effekter. 1p 12

13 b) Förklara varför man inte kan ha interaktionsterm vid randomiserat blockförsök med en obs per cell. 13