Föreläsning 3 Kap 3.4, 3.6, G71 Statistik B

Transkript

1 Föreläsning 3 Kap 3.4, 3.6, G71 Statistik B

2 Exempel 150 slumpmässigt utvalda fastigheter till salu i USA Pris (y) Bostadsyta Tomtyta Antal rum Antal badrum (Pris i $, bostadsyta och tomtyta i kvadratfot) 2

3 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; Antal rum The regression equation is Pris = Bostadsyta Antal rum Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta Antal rum S = R-Sq = 48.6% R-Sq(adj) = 47.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 Antal rum

4 Pris Punktdiagram av pris mot antal rum Scatterplot of Pris vs Antal rum Antal rum Priset på en fastighet kan knappast öka helt linjärt med antal rum. För många rum i en fastighet gör den ointressant för de flesta hushåll: vid en viss gräns är det troligt att ytterligare utrymme bara ses som besvär, att möblera och städa och underhålla. Rimligt är alltså att priset borde mattas av då rummen blir för många sannolikt är det denna effekt vi ser! 4

5 Residualer mot antal rum 5

6 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; Antal rum; Antal rum ** 2 The regression equation is Pris = Bostadsyta Antal rum Antal rum ** 2 Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta Antal rum Antal rum ** S = R-Sq = 50.7% R-Sq(adj) = 49.6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 Antal rum Antal rum **

7 Residualer mot antal rum Modell med bostadsyta, antal rum och antal rum**2 7

8 Interaktionstermer Ibland finns det anledning att misstänka att en variabels effekt varierar mellan olika grupper. Vi kan till exempel misstänka att högre utbildning leder till ett bättre betalt jobb. Men effekten är kanske olika för kvinnor och män utbildning kanske ger ett större hopp i lönen för kvinnor än för män, eller vice versa. Vi säger då att det finns en interaktionseffekt. Kön interagerar i det här fallet med utbildning. Man kan också säga att kön modifierar effekten av utbildning på lönen. Exempel: Samspelar bostadsyta och antal rum när det gäller priset på en villa? => En rimlig hypotes är att en bostad med mycket stor yta, men endast ett rum förmodligen är mindre attraktiv än en bostad med måttligt stor yta men fler rum. Alltså kan det finnas en interaktionseffekt. 8

9 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; Antal rum;... The regression equation is Pris = Bostadsyta Antal rum Antal rum ** Bostadsyta*Antal rum Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta Antal rum Antal rum ** Bostadsyta*Antal rum S = R-Sq = 53.4% R-Sq(adj) = 52.2% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 Antal rum Antal rum ** Bostadsyta*Antal rum

10 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; Bostadsyta*Antal rum The regression equation is Pris = Bostadsyta Bostadsyta*Antal rum Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta Bostadsyta*Antal rum S = R-Sq = 50.3% R-Sq(adj) = 49.6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 Bostadsyta*Antal rum

11 Kvalitativa variabler Kvalitativa variabler har inte numeriskt tolkningsbara värden. Därmed kan kvalitativa förklaringsvariabler ej direkt införas i modellen, utan de måste kodas om till dummyvariabler (även kallat indikatorvariabler, 0/1-variabler eller dikotoma variabler). Exempel: Hur kan variabeln kön inkluderas i en regressionsmodell? Exempel: Vi studerar en population bestående av företag, som är antingen av typen små, mellanstora eller stora. Hur kan variabeln företagsstorlek inkluderas i modellen? Exempel: För vårt fastighetsexempel önskar vi dela upp fastigheterna i två klasser: fastigheter med högst 6 rum respektive fastigheter med fler än 6 rum. 11

12 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; D The regression equation is Pris = Bostadsyta D Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta D S = R-Sq = 49.3% R-Sq(adj) = 48.6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 D

13 Pris Modell med antal rum > 6 (D = 1) eller 6 (D = 0) och bostadsyta som förklaringsvariabler D = 0 D = Bostadsyta 13

14 Fastighetsexempel (forts) Regression Analysis: Pris versus Bostadsyta; D; Bostadsyta*D The regression equation is Pris = Bostadsyta D Bostadsyta*D Predictor Coef SE Coef T P Constant Bostadsyta D Bostadsyta*D S = R-Sq = 49.5% R-Sq(adj) = 48.5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression E Residual Error E Total E+11 Source DF Seq SS Bostadsyta E+11 D Bostadsyta*D

15 Pris Modell med antal rum > 6 (D = 1) eller 6 (D = 0) och bostadsyta samt interaktionsterm bostadsyta * D D = 0 D = Bostadsyta 15

16 Exempel Vad påverkar kostnaden för produktion av korrugerat papper, dvs sådant som ingår i wellpapp och kartonger? Enligt en studie kan kostnaden (COST) förklaras av en eller flera av följande variabler: produktionsmängden (PAPER) maskintid (MACHINE) overhead-kostnader (OVERHEAD) antal personarbetstimmar (LABOR) Month Cost (y) Paper (x 1 ) Machine (x 2 ) Overhead (x 3 ) Labor (x 4 )

17 17

18 Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR The regression equation is COST = PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR Predictor Coef SE Coef T P Constant PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR S = R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Source DF Seq SS PAPER MACHINE OVERHEAD 1 3 LABOR

19 Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE The regression equation is COST = PAPER MACHINE Predictor Coef SE Coef T P Constant PAPER MACHINE S = R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total

20 Partiellt F-test För att simultant testa om fler än en men inte alla förklaringsvariabler platsar i modellen eller ej Full (komplett) modell: Reducerad modell: Steg 1: Formulera hypoteser Steg 2: Bestäm testfunktionen ( SSER SSEC ) /( k g) F SSEC /( n k 1) SSE C = Residualkvadratsumma i den kompletta modellen (C för Complete) SSE R = Residualkvadratsumma i den reducerade modellen (R för Reduced) k = antalet förklaringsvariabler i den kompletta modellen g = antalet förklaringsvariabler i den reducerade modellen n = stickprovsstorlek y y i i x H0 : g 1... k 0 H : åtminstone en av 1,..., 1 g k 0 1 i1 i1 x 2 i2 x x... x i2... g xig g 1 xig 1... g ig i x k ik i 20

21 Partiellt F-test (forts) Steg 3: Ska vi tro på H 0 eller H 1? Förkasta H 0 om F > Steg 4: Dra slutsats F k g, n k 1 Exempel: Platsar förklaringsvariablerna Overhead och Labor simultant i modellen? Alternativ formulering av testfunktionen: ( SSRC SSRR ) /( k g) F SSE /( n k 1) C SSR C = Regressionskvadratsumman för full modell SSR R = Regressionskvadratsumman för reducerad modell 21

22 Partiellt F-test (forts) AJÅ uttrycker formeln för det partiella F-testet annorlunda: F där 2 R UR 2 R R r 2 2 RUR RR / r 2 1 R / n k 1 UR : Förklaringsgraden i den kompletta (unrestricted) modellen : Förklaringsgraden i den reducerade modellen k g H 0 förkastas om F > F r, n k 1 F k g, n k 1 Ger förstås samma resultat! 22

23 Skötsel (y) Transformationer Ett av kraven för regressionsmodellens giltighet är att residualernas varians är konstant. Vad gör vi om så inte är fallet? Exempel: Föreliggande är ett datamaterial där vi önskar beskriva sambandet mellan privatägda fastigheters värde (X, i tusentals dollar) och hur mycket man årligen spenderar på fastighetsskötsel (Y, i dollar). Skötsel (Y) Värde (X) Scatterplot of Skötsel (y) vs Värde (x) Värde (x)

24 Residual Exempel (forts) Transformationer Regression Analysis: Skötsel (y) versus Värde (x) The regression equation is Skötsel (y) = Värde (x) Predictor Coef SE Coef T P Constant Värde (x) S = R-Sq = 88.9% R-Sq(adj) = 88.6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Residuals Versus Värde (x) (response is Skötsel (y)) Värde (x)

25 Residual Exempel (forts) Transformationer Regression Analysis: ln(y) versus Värde (x) The regression equation is ln(y) = Värde (x) Predictor Coef SE Coef T P Constant Värde (x) S = R-Sq = 86.9% R-Sq(adj) = 86.5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Residuals Versus Värde (x) (response is ln(y)) Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (7.0308; ) (6.6807; ) Values of Predictors for New Observations New Värde Obs (x) Värde (x)

26 Residual Exempel (forts) Transformationer Regression Analysis: y**0.5 versus Värde (x) The regression equation is y**0.5 = Värde (x) Predictor Coef SE Coef T P Constant Värde (x) S = R-Sq = 90.8% R-Sq(adj) = 90.5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Residuals Versus Värde (x) (response is y**0.5) Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI (34.191; ) (30.348; ) Values of Predictors for New Observations New Värde Obs (x) Värde (x)