Förord: Sammanfattning:

Transkript

1 Förord: Denna uppsas har illkommi sedan uppsasförfaarna blivi konakade av Elecrolux med en förfrågan om a undersöka saisikmodulen i deras nyimplemenerade affärssysem. Vi vill därför acka vår handledare på Elecrolux, Magnus Cohen, för a ha ge oss möjligheen a arbea med deras idsserier, sam för a ha illhandahålli daorer och ordna nödvändig ubildning i SAP-APO-DP. De har vari spännande a ges en roll i analysen av vilka möjligheer som saisiska meoder kan ha i a förbära prognoser på Elecrolux. Mas Nielsen, Yoon Kong Lee och Klas Lindgren är annan personal på Elecrolux som har ge oss omedelbar och nödvändig söd. Vi ackar även Pär Sockhammar som, uan a ha vari anliad för dea, har bidragi med vikig vägledning i meodologiska frågor. Sammanfaning: Saisiska hjälpmedel blir all vanligare i illverkningsföreags planeringsprocess. Syfe med den här uppsasen är a esa e anal saisiska meoders förmåga a prognosisera försäljning och därmed eferfrågan på Elecrolux produker. Sudien ufördes på månalig försäljningsdaa mellan januari 24 och juni 2 för fem olika produkgrupper, vars försäljningsmönser skiljdes sig å. De valdes u som esdaa för a ge e så bre underlag som möjlig. På dessa serier esades sedan fyra olika modeller och uvärderades både med expos-prognos och med halveringsmeod på de 24 sisa observaionerna. Olika modeller preserade bäs beroende på idsavsånd och serie. Mes robusa resula påvisade Hol-Winers modeller. Resulaen pekar på a noggrannhe i anpassande och val av modell är avgörande för prognosresulaen. Absrac: Saisical ools become more and more common in manufacuring companies planning processes. The aim of his sudy is o es a number of saisical mehods abiliy o forecas sales and herefore demand on Elecrolux producs. The sudy was conduced on monhly sales daa beween January 24 and June 2 for five differen produc groups, wih differen sales paerns. They were chosen in order o maximize he scope of he ess. On he series four differen models were esed and evaluaed on ex-pos forecass as well as pseudo ou-of-sample forecass on he las 24 monhs. Differen models performed bes depending on series and disance in ime. The mos robus resuls were obained by he Hol-Winers models. The resuls imply ha choosing and fiing he appropriae model is crucial for good forecass.

2 Inledning Bakgrund Syfe Avgränsningar Meod Uppsasens avsni Meoder inom idsserieanalys Cenrala begrepp i idsserieanalys Hols meod (dubbel exponeniell ujämning) Hol-Winers meoder Hol-Winers addiiva meod Hol-Winers muliplikaiva modell ARIMA Uvärderingsmeoder Halveringsmeod Jämförelseal Informaionskrierier Diebold-Marianos es Daamaerial Val av idsserier Jämförelse med ARIMA Val av mjukvara Resula Tillämpning av exponeniella ujämningsmeoder ARIMA resula och exempel Sammanfaande jämförelse Jämförelseal från expos-prognos Diebold-Marianos es Jämförelseal med halveringsmeod Slusaser och rekommendaioner Slusaser Diskussion Analys Parameerskaningarna för de exponeniella ujämningsmeoderna Skillnad mellan anpassningsförmåga och prognosisering Teoreiska förvänningar och ufall Briser i sudien Vidare analysmöjligheer diskussion Referenser... 3 Appendix Appendix Appendix Appendix

3 Inledning. Bakgrund De finns e naurlig behov av illförliliga prognoser för alla föreag som agerar på en marknad. En god prognos kan effekivisera lagerhanering och även vara e hjälpmedel i sraegisk planering av kampanjer. På Elecrolux sker för närvarande denna prognosisering hel uan hjälp av saisiska meoder. På enheen Demand Planning arbear e eam av väl insaa experer (så kallade demand planners) som, i samråd med säljare med kundkonak, gör en subjekiv bedömning över kommande försäljning. Denna prognos juseras sedan i samrådsmöen med ledning och formaliseras i en prognos kallad Final Agreed Demand Plan. Prognosen ugörs av punkesimaioner över kommande försäljning. Dessa prognoser görs både för aggregerad försäljning och för produkgrupper, sam subgrupper inom produkgrupperna. De uppdaeras och uvärderas löpande. Efersom säljorganisaionerna är olika från land ill land, så skiljer rågången för demand planners sig å. De innebär a syseme är mycke personberoende och svår a sandardisera. I april 2 implemenerades e ny affärssysem i Elecrolux Norden, SAP. Dea ingår i en sörre process där Elecrolux avser a börja nyja SAP global. I dea program finns en modul för saisiska prognosberäkningar, Advanced Planner and Opimizer - Demand Planning (APO-DP). Där kan användaren producera olika prognoser och de finns vissa möjligheer ill uvärdering. Syrkan och svagheen hos APO-DP är a en oerfaren användare enkel kan producera prognoser oavse om denne ine försår eller kan uvärdera dem. Uan saisiska kunskaper blir de allså svår a avgöra vilken modell som bör användas. De blir svår a förså hur programme gör sina auomaiska modellval sam konsekvenserna av dea. Uppsasförfaarna blev konakade under sommaren av den person som är ansvarig för den globala implemeneringen av SAP mo bakgrund av a Elecrolux i dagsläge ine kunna unyja de illgängliga saisiska meoderna på e illfredssällande sä. Uppsasförfaarna har, med illgång ill de daa som Elecrolux har lagra, formulera e syfe som kombinerar Elecrolux behov med de akademiska kraven för en kandidauppsas i saisik. I Elecrolux modell så är anken a saisiska meoder skall användas för a uppskaa marknadens obegränsade eferfrågan (Elecrolux erm är unconsrain demand ) på Elecrolux produker, för a mer långsikig planera illverkningen uan hänsyn ill vad Elecrolux kan leverera och opåverka av evenuella kampanjer. Därför ska hels prognoserna uföras på daa som korrigeras för försäljning som resulera från kampanjer och försäljning som ueblivi på grund av produkions- och logisikproblem (så kallade sock-ous). Dea efersom kampanjer syrs av Elecrolux själva och a hisoriska sock-ous ine kan ligga ill grund för framida produkionsbeslu. 3

4 .2 Syfe Syfe med uppsasen är a beskriva fyra olika modeller för idsserieanalys och prognoser sam, med hjälp av olika lämpliga saisiska uvärderingsinsrumen, analysera dessa. De fyra modellerna som skall suderas är Hols meod, Hols-Winers addiiva och muliplikaiva meoder sam ARIMA-meoder. Med hjälp av vår analys vill vi ge Elecrolux rekommendaioner om hur de ska illämpa de saisiska meoder som finns illgängliga för dem via SAP..3 Avgränsningar Uppsasens avgränsningar är akuella för re områden; val av daamaerial, val av meoder sam val av programvara. Daamaeriale kommer a väljas på subgruppsnivå i Elecrolux produkhierarki. Tidsserierna väljs efer principen om spridning. Dea innebär a idsserier som liknar varandra vad de gäller de re fakorerna rend, säsong och varians ine kommer a analyseras var för sig. Isälle kommer idsserier som skiljer sig å på ovan punker a väljas. Dea kommer a ge en god grund för a uvärdera syrkor och svagheer med de valda meoderna för olika daamaerial. All analys kommer vara univaria då vi ugår från de daa som Elecrolux för närvarande har illgänglig för SAP APO-DP. Vår ugångspunk är de meoder som är illgängliga i SAP och vi lade därefer ill ARIMA-modeller för a öka försåelsen av daamaeriale. E anna skäl ill a vi valde a analysera även ARIMA-modellers presaioner är a denna grupp av modeller är väldig vanliga och populära men saknas i SAP APO-DP. Dea kan allså visa om de illgängliga meoderna är illräckliga eller om Elecrolux bör arbea uanför sin modul..4 Meod Presaionen av de uvalda meoderna kommer a uvärderas med hjälp av lämpliga jämförelseal. Vi undersöker expos-prognoser, de vill säga prognoser på idsavsånd e under anpassningsiden, sam med halveringsmeod, där daamaeriale delas upp och anpassas på den ena delen och prognosiserar och prövas mo den andra delen. Dessa kommer sedan a syra rekommendaioner av vilka analysmeoder som ska väljas för vilka idsserier. 4

5 .5 Uppsasens avsni I avsni 2 går vi igenom de meoder som kommer a illämpas i uppsasen sam e anal grundläggande begrepp som är nödvändiga a känna ill inom idsserieanalys. Vi redovisar även de jämförelseal vi kommer a använda för a uvärdera de olika meoderna sam Diebold-Marianos es. I avsni 3 redovisar vi hur vi val vilka idsserier vi använde för a analysera meoderna sam informaion angående daamaeriale som vari vikig i vår arbee. Vi beräar även hur vi använ olika programvara sam vilken beydelse dea haf för uppsasen. I avsni 4 preseneras hur genomförande av sudien gå ill sam vilke ufalle blev. De görs i form av beskrivningar av hur vi applicera de meoder som vi suderar och resulaen redovisas i re abeller. I avsni 5 preciserar vi våra slusaser och uifrån dessa ger vi sedan rekommendaioner ill Elecrolux. I avsni 6 diskuerar vi olika aspeker av sudien, resulae och genomförande. Vi idenifierar briser i sudien sam olika inressana analysmöjligheer sam vidare uredning som skulle bygga vidare från denna uppsas. 2. Meoder inom idsserieanalys 2. Cenrala begrepp i idsserieanalys. Själva idén med idsserieanalys är a idenifiera och exrapolera mönser i en uppsäning observaioner i en idsserie. Den del av idsserien som ine kan uryckas i någon form av åerkommande mönser kan anses bero på slumpen. De brukar ofas kallas vi brus (Mongomery m.fl., 28, s 7) och kan beecknas som en slumpmässig felerm, ε. De modeller som beskrivs längre fram försöker a beskriva mönsre i idsserien så väl a då mönsre har subraheras från daamaeriale så åersår vi brus. Modellerna handlar allså om all som placeras innan felermen ε. Felermen ε anas ha konsan varians och konsan medelvärde, och den förvänade kovariansen för alla idsavsånd är noll. Föruom de sisnämnda krierie är dea även urycke för en idsserie som uppvisar saionarie. Dea begrepp används åerkommande för a beskriva egenskaper hos en idsserie. Saionarie innebär a egenskaperna för en idsserie är konsana över id. Med egenskaper menas här medelvärde och variansen (Mongomery m.fl. 28, s 25-5

6 26) och kovariansen (Kirchgässner & Wolers, 29, s 3-4.) I korhe gäller för en saionär idsserie följande: E [ ] µ = µ Var X = 2 [ X ] E[ ( µ ) ] 2 = σ = X Vidare gäller a kovariansen för en saionär idsserie endas är en funkion av idsavsånde mellan vå observaioner och ej av var i iden som observaionerna befinner sig. (Kirchgässner & Wolers, 29, s 3-4).Vi brus är allså en saionär idsserie, men en saionär idsserie behöver ine vara vi brus. Kovariansen i en idsserie dela med variansen ger oss korrelaionen. I univariaa idsserier benämns korrelaionen mellan olika idsavsånd för auokorrelaion. De al som urycker dea kallas följakligen för auokorrelaionskoefficienen. Om man konrollerar för alla mellanliggande korrelaioner får man den pariella auokorrelaionen. E av de försa segen i försöken a avslöja underliggande render i en idsserie är a illämpa e glidande medelvärde. Dea är en av de enklase modellerna inom idsserieanalys och innebär a varje observaion bys u mo e medelvärde av några närliggande observaioner (inklusive den akuella observaionen). E glidande medelvärde kan vara cenrera eller ine. Närliggande de glidande medelvärde är glidande medianer som kan användas om de finns en del krafig avvikande observaioner eller andra skäl a illämpa denna mer robusa beskrivning. Glidande medelvärden kan inkorporeras i mer komplicerade modeller. Enkel exponeniell ujämning (EEU) är en vanlig förekommande meod inom idsserieanalys. Den ugör även den koncepuella basen för flera mer avancerade meoder. EEU kan sägas vara en linjärkombinaion av den senase observaionen och den ujämnade föregående observaionen. Viken mellan dessa besäms av en konsan θ. Denna konsan kan benämnas ujämningsfakorn. (Mongomery m.fl. 28, s 76). (2.) Y = ( θ ) Y + θ Y ~ Konsrukionen av (2.) leder ill slusasen a man i användande av EEU behöver vea ~ vad de försa ujämnade värde är. Dea värde kan kallas iniialvärde och beecknas Y. ~ Mongomery e al (28, s 78) nämner vå sä a skaa Y : ~ ~ a) Y = Y, och b) Y = Y Medelvärde Y kan beräknas på en undergrupp av observaionerna. Till exempel kan medelvärde av de försa observaionerna vara en bra grund, särskil om de är lokal saionära. I EEU ges observaioner längre bak i iden en geomerisk minskande vik. ~ 6

7 Därför kommer beydelsen av hur iniialvärde skaas a minska allefersom anale observaioner blir fler. Ju lägre θ, deso mer vik kommer a läggas på den senase observaionen och ujämningen kommer a vara känsligare för ändringar i daamaeriale. Prognosen i enkel exponeniell ujämning är samma som de förra ujämnade värde. Allså: ~ ~ (2.2) Y + = Y Alla prognoser för h seg framå i iden är desamma för (2.2). (Mongomery m.fl. 28, s 94). 2.2 Hols meod (dubbel exponeniell ujämning) EEU är olämplig a använda på serier som innehåller en rend. I de fallen kommer EEU a aningen underskaa de fakiska värdena (vid posiiv rend) eller överskaa dem (vid negaiv rend) (Mongomery m.fl., 28, s 84). E sä a inkludera en rendfakor i exponeniell ujämning är den så kallade Hols meod, en form av dubbel exponeniell ujämning. Grundanken är a idsserien beror på vå komponener, en nivå ( L ) och en rend ( T ) som båda förändras över id: Y = L + T Med rend menas skillnaden med akuell och föregående värde i en idsserie. Namne dubbel exponeniell ujämning kommer av a både nivån och rendkomponenen ujämnas över id med var sin ujämningskonsan. De skaas med följande ekvaioner: (2.3) Lˆ ( )( ˆ ˆ = α Y + α L + T ) (2.4) Tˆ ˆ ˆ ˆ = β ( L + L ) + ( β ) T Ujämningsparamerarna α och β i (2.3) och (2.4) ligger mellan och. Värdena påα och β avgör vilken yngd vi lägger på de senase observaionerna. Ju lägre värde på respekive konsan, deso rögrörligare blir den skaade serien. En generell umregel då dessa besäms är a säa dem så a prognosfelen minimeras (Mongomery m.fl. 28, sid 94). L blir en dubbel exponeniell ujämningsskaing av daamaeriale i period. Med hjälp av T, adderad ill L får vi en prognos för perioden +τ : (2.5) Yˆ Lˆ Tˆ + = τ τ + 7

8 För skaning av både L och T behövs e iniialvärde, som kan beräknas på olika sä. Mongomery m.fl. (28, s 9) föreslår linjär regression. Inercepe blir ˆL och luningen blir T ˆ. 2.3 Hol-Winers meoder Vissa idsserier, ine mins sådana som beskriver försäljning, uppvisar de som kallas för säsongsvariaion. A glassförsäljningen ökar på sommaren medan skridskor säljs mer på vinern är ganska självklar, men dea gäller även de flesa varor som illverkas av Elecrolux. Dea mönser kan uppräda med eller uan rend. De är möjlig a i ermer av exponeniell ujämning bygga modeller som ar hänsyn ill den här ypen av variaioner. Den modell som finns illgänglig i SAP är Winers meod, som efersom den kan reduceras ner ill Hols meod också kallas Hol-Winers meod. Beroende på säsongsvariaionens naur kan man använda vå olika meoder, en addiiv eller en muliplikaiv Hol-Winers addiiva meod Hol-Winers uökar Hols meod genom a addera en säsongsanpassning: Yˆ = Lˆ + Sˆ L överenssämmer med mosvarande erm i Hols meod och S är säsongsanpassningen för period. För S gäller: (2.6) S S is ; i =,2..., n s S = = + ; = I (2.6) är S anale perioder som ugör en cykel och n är anale cykler. Dea innebär a den eoreiska säsongsvariaionen är densamma för varje period under olika cykler. Om vi har månadslånga perioder över årslånga cykler har allså en given månad samma säsongsanpassning år från år. Vi får re skaningar, rend, nivå och säsong, som skaas löpande enlig följande: (2.7) Lˆ ( ˆ ) ( )( ˆ ˆ = α Y S s + α L + T ) (2.8) Tˆ ˆ ˆ ˆ = β ( L L ) + ( β ) T (2.9) Sˆ = γ ( Y Lˆ ) + ( γ ) Sˆ s 8

9 I (2.7), (2.8) och (2.9) gäller a paramerarna α, β, γ ligger mellan och. Som idigare behövs iniialvärden. Dessa fås genom a anpassa en linjär regression med s- dummyvariabler ill maeriale (Mongomery m.fl., 28, s 22). Inercepe ger oss ˆL, luningen T ˆ och dummyvariablernas paramerar, sandardiserade så de summerar ill noll, ger Ŝ i för den försa säsongen (SAS, 2a). En prognos för period (+τ ) ges av: Yˆ = Lˆ + τtˆ + Sˆ ( + τ τ s) Efersom sorleken av säsongsvariaionen är oberoende av sorleken på nivåskaningen, så passar den här modellen bäs när säsongsvariaionen ine är proporionell mo nivån på observaionen. Dea innebär a om.ex. en produk i Elecrolux sorimen ökar i försäljning så kommer skillnaden mellan olika månader under åre vara densamma i absolua al Hol-Winers muliplikaiva modell Om säsongsvariaionen är proporionell mo sorleken på daamaeriale, så är en muliplikaiv modell a föredra. Dea är allså lämplig om man ror a.ex. en ökad försäljning av en viss produkgrupp kommer öka skillnaden i försäljning mellan olika månader under åre i absolua al men i relaiva al vara densamma. I Hol-Winers muliplikaiva meod mulipliceras säsongsanpassningen med nivåskaningen: Yˆ = Lˆ Sˆ För S gäller nu isälle: s = S = s Vi har åerigen re skaningar, rend, nivå och säsong, a uppdaera enlig: (2.) ˆ Y L ( ) ( )( ˆ ˆ = α + α L + T ) Sˆ s (2.) Tˆ ˆ ˆ ˆ = β ( L L ) + ( β ) T Y (2.2) Sˆ = γ ( ) + ( γ ) Sˆ s Lˆ Som idigare gäller de a paramerarna i (2.), (2.) och (2.2) ligger mellan och. 9

10 SAS skaar iniialvärdena på samma sä som för den muliplikaiva modellen, men dummyvariablernas paramerar sandardiseras ill medelvärde. En prognos för period (+τ ) ges av: yˆ ( ˆ ˆ ) ˆ + = L + τt S ( τ s) τ 2.4 ARIMA ARIMA modeller är en kombinaion av s.k. auoregressiva modeller (AR-modeller) och glidande medelvärdesmodeller (Moving Avarage MA-modeller). Både glidande medelvärdesmodeller och auoregressiva modeller ugår från a en saionär idsserie kan beskrivas som summan av medelvärde och en vikad summa av slumpmässiga avvikelser. En MA-modell kan skrivas (Mongomery m.fl. 28, s 24): (2.3) y = µ + ψ iε i i= Avvikelserna anas vara idenisk och oberoende fördelade. E rimlig anagande man kan göra om observaionernas påverkan på varandra är a de minskar med idsavsånde. Då kan vi illskriva de oändliga anale avvikelser minskande viker för a beskriva de minskande inflyande de har på den akuella observaionen. Ofa anas dessa viker vara i exponeniell avagande och modelleras genom a säa ψ = φ med φ <. Då kan ekvaion 2.3 skrivas: i 2 (2.4) i y = µ + ε + φε + φ ε = µ + φ ε = Dea innebär a: 2 (2.5) y µ + ε + φ ε + φ ε +... = 2 3 i Efersom alla avvikelser i ekvaion (2.5) finns i ekvaion (2.4) kan dessa kombineras ill: (2.6) y = µ + ε + φ( y µ ) = δ + φy + ε I (2.6) är δ = µ φµ. Ovan ransformaion har resulera i en auoregressiv modell av försa ordningen. Både (2.4) och (2.6) kan ses som specialfall av (2.3). De kan vara så a påverkan från idigare observaioner är mer komplicerad än a auokorreleraionen är exponeniell avagande. I sådana fall kan de vara nödvändig a anpassa en ARmodell av högre ordning. En sådan AR (p)-modell kan skrivas:

11 (2.7) y = δ + φ y φ p y p + e Ändliga MA-modeller ugår även de från ekvaion (2.3). För dem gäller a:, ψ i =, θ i, i = < i i > q q En MA (q) modell kan allså berakas som yerligare e specialfall av (2.3) och kan skrivas (Mongomery m.fl. 28, sid 235): (2.8) y = µ + e θe... θ qe q Dessa modeller ugår allså från a en observaion kan beskrivas som summan av medelvärde plus akuell observaions avvikelse minus summan av q föregående avvikelser i avagande beydelse. Modellerna presenerade i (2.7) sam (2.8) har den vikiga egenskapen gemensam a deras paramerar är skaningsbara. En ARMA-modell är en kombinaion av en AR- och en MA-modell. En ARMA-modell kan generell skrivas (Mongomery m.fl., 28, s 253): (2.9) y = δ + φ y φ p y p + e θe... θ qe q De vanligase säe a avgöra hur en modell skall byggas är a se på hur auokorrelaionen och den pariella auokorrelaionen beer sig på olika idsavsånd. Kirschgässner & Wolers illhandahåller en koncepuell maris för dea och så även Mongomery m.fl. (se appendix 3). För a modellen ska vara prakisk möjlig a bygga måse AR- och MA-processerna båda vå vara finia, de vill säga: p < ; q < Som idigare nämns måse idsserien, för a kunna beskrivas av ARMA- processer, vara saionär. Probleme är a ganska många idsserier ine är de, ill exempel sådana som innehåller en rend. Lösningen på dea är a illämpa en lämplig ransformaion, med syfe a åsadkomma saionarie. En av de vanligase ransformaionerna är så kallad. differeniering. Dea kan skrivas (Mongomery m.fl., 28, s 256):

12 (2.2) w y y = ( B) y = d (2.2) w = ( B) y ; < d < Fakorn ( B) är den så kallade bakåoperaorn som enkel urycker vilken ordning d vi har differeniera vår serie på. E hjälpmedel för a avgöra om en idsserie är saionär är Dickey-Fullers uökade es. De konrollerar om en serie är saionär vid exisensen av auokorrelerade felermer. Nollhypoesen är a idsserien är icke-saionär och mohypoesen är a serien är saionär (Se appendix ). Tillämpas AR, MA och inegrering på en gång kallar vi y för en auoregressiv inegrerad glidande medelvärdesprocess (ARIMA) av ordningarna p, d och q. (Inegrerad efersom y kan beskriva som summan, eller inegralen, av w s, s =, 2,..., med e sarvärde y ). En ARIMA(p,d,q)-process kan allså skrivas: d (2.22) B) y = δ + φ y φ p y p + e θe... θ qe q ( En anledning ill a ARIMA-modeller fick e snabb genombro är a de, jämför med sora ekonomeriska modeller, har hög pålilighe i prognoserna och a prognosiseringen är relaiv enkel (Kirchgässner & Wolers, 29, s 77). En ARIMA(,,)-prognos för idpunk + kan skrivas (Mongomery m.fl., 29 s 277): ˆ+ = (2.23) y ( + φ) y φy θe () Urycke ( + φ ) y φy kan skrivas om ill y + φ y φy och följakligen ill y ( ) + φ y y. Enlig (2.4.8) får vi då y + φ ( B) y. Dea är allså innevarande observaion plus en vik gånger försa differensen på innevarande och föregående observaion. Urycke e () skall läsas som den beräknade felermen basera på föregående idsperiods prognos för innevarande idpunk: y ˆ y ( T ). Därmed finns en MA()-del och en AR()-del gjord på försa differensen. MA-delen, som ugår från de siffror som gavs i e (), kommer a påverka prognosen endas i den försa prognosen och om de är en MA (2) lösning så påverkar den prognosen i vå prognoser och så vidare (Kirschgässner & Wolers, 29, s 83). ARIMA behandlar säsong på ungefär samma sä som andra processer. Vi föresäller oss en säsongprocess såsom en summa av vå delar; en del besår av säsongsvariaionen S, och den andra delen är en sokasisk process N som kan modelleras som en ARMAprocess: (2.24) y = S + N 2

13 Efersom säsongsvariaionen innebär a S = är de möjlig a differeniera bor den: S s (2.25) y ( B w y s s) y = S s = ( B ) N S s + N s = ( B ) N N s ; S S s = I (2.25) är ( Resulae s) B en differeniering på avsånd s och allså ine av ordningen s. w är säsongssaionär och möjlig a beskriva med ARMA-modeller. Om vi isälle för a se S som enbar en deerminisisk process även illskriver den sokasiska egenskaper så kan beydande auokorrelaion på säsongsidsavsånde kvarså även efer differenieringen. Denna variaion kan även den beskrivas som en ARMAprocess. En generell ARIMA- modell som innehåller en sokasisk säsongskomponen kan då vara av ordning (p,d,q)(p,d,q). Versalerna represenerar den ARMA och den differeniering som genomförs på säsongsavsånde. Mongomery m.fl. (28, s 283) skriver a i de flesa fall förvänas ine ARIMA på säsong översiga (,,). Prognoser för säsongsmodeller erhålls på samma sä som i ickesäsongsmodeller. 2.5 Uvärderingsmeoder Vägledande för all form av modellval är vilken uvärderingsmeod som väljs. De går a dela upp dessa i vå yper. Den ena kan benämnas jämförelseal och den andra es (Clemens & Hendry, 998, s 32-33). Denna koncepuella uppdelning hjälper oss a förså grunderna för våra modellval. När vi väljer modell basera enbar på jämförelseal finns de en risk a slumpen påverkar vår beslu. Därför behöver vi uföra es för a pröva om de skillnader vi kan se är saisisk signifikana. I dea avsni beskriver vi syrkor och svagheer i e fleral jämförelseal sam e es för skillnaden mellan prognosmodeller Halveringsmeod När syrkan med en prognosmeod skall uvärderas är de vikig a komma ihåg a den modell som bäs beskriver de hisoriska daamaeriale ine behöver vara den modell som lämpar sig bäs för prognoser. Enlig Ashley & Paerson (2, sid 2-3) kan en bra modellanpassning ill e viss daamaerial snarare ses som e må på modellens flexibilie. Därför är de bra a uvärdera en modells presaion på e daamaerial som ine använs för a bygga desamma. Dea gäller för både jämförelseal och es. De vanligase säe a göra dea på är a dela upp idsserien i vå delar. En del används för a anpassa modellen och en del för a esa modellen. Mongomery m.fl. (28, s 25) föreslår a mins 2-25 observaioner bör vara en del i esdaa. Ashley & Paerson 3

14 (2) lyfer också fram beydelsen av a inkludera observaioner för längre perioder så a uvärderingen ine blir allför beroende av en specifik idsperiod. För vår es och för våra jämförelseal illämpar vi en uppdelning där 24 observaioner är en del av esdaa. Dea ger oss 54 observaioner a anpassa våra modeller uifrån. Denna uppdelning valde vi för a 24 observaioner i våra serier represenerar vå år (eller vå säsongscykler). Vår esdaa som ugörs av observaionerna mellan juli 28 ill och med juni 2 äcker en finansiell orolig period. Våra idsserier har synbarligen ine ändra mönser under denna period (se appendix 3). Därmed ugår vi från a den period esperioden äcker ine är sådan a den är allför speciell för a ine kunna användas ill a esa och uvärdera våra modeller Jämförelseal Som grund för a bygga jämförelseal används prognosfel. E prognosfel är skillnaden mellan prognosen och de verkliga värde och kan för en prognos gjord för en idsperiod framå i iden skrivas: e ( ) = y yˆ ( ). Från denna felerm, residualen på idsavsånd e, kan olika jämförelseal beräknas. Genomsnilig fel är summan av residualerna dela med anale. Vänevärde för denna är såillvida den är fri från sysemaisk fel. Om man kvadrerar felermen får man e sorleksmå på felermen. Medelkvadrasumman, given i (2.26) används ofa, men har den nackdelen a exrema observaioner har en sor påverkan. Så är också falle för al som är närliggande medelkvadrasumman, som ill exempel kvadraroen ur medelkvadrasumman definerad i (2.27), (vi kommer referera ill dea al enlig dess engelska förkorning RMSE). I de fall man vill begränsa effeken av avvikande observaioner kan man använda absoluvärden. (2.26) Medelkvadrasumman= (2.27) Roen ur medelkvadrasumman= n i= e () n i n i= n 2 e () i 2 De absolua medelfele är summan av absolufele dela med anale observaioner. n i= e () i n 4

15 De absolua medelfeles sorlek är skalberoende och de lämpar sig därför ine a använda i jämförelser mellan idsserier. Därför kan man använda e må som på engelska heer Mean Absolue Percenage Error (MAPE). Vi kan översäa de ill de procenuella absolua medelfele men kommer i exen benämna de med dess engelska förkorning. MAPE beräknas på följande sä för residualen på idsavsånd e: n i= ei () x i n Informaionskrierier. De kan argumeneras för a de generell föreligger e posiiv samband mellan hur komplicerad en modell är och hur den preserar. En modell med fler paramerar klarar ofas a förklara sörre del av variaionen i daamaeriale. E bra exempel på dea är mulipel regressionsanalys där fler förklarande variabler ger en ökad förklaringsgrad och e lägre MAPE. Men en förklarande variabel kan enbar genom slumpen öka förklaringsgraden och även om den individuella förklaringsförmågan hos en variabel är låg, kan modellen som helhe enlig vissa må presera bäre. Frågan är då om vår försåelse av daamaeriale ökar för a vi koppla en del av den slumpmässiga variaionen ill en variabel. De är allså ine enydig hur en komplex modell ska bedömas (Gujarai m.fl., 28, s 26). Som e svar på denna problemaik är de möjlig a använda olika former av informaionskrierier. De är jämförelseal som påverkas av modellens komplexie. Akaikes informaionskrierium (AIC) och Schwarz informaionskrierium (SIC) är vå av dessa. De ges enlig följande formler: (2.28) (2.29) AIC = ln SIC = ln T = T = n n e e p + n p ln( n) + n 5

16 I (2.28) och (2.29) är p= anal paramerar i modellen. Som kan ses så ökar AIC och SIC då anale paramerar ökar. Enklare modeller får därför lägre al och bedöms som mer informaiva. Modellerna är lika i den försa delen av formeln. Denna urycker logarimen av de kvadrerade medelfele. Skillnaden mellan AIC och SIC ovan, som urycks i den senare delen av formlerna, innebär a AIC sraffar modellen med vå gånger modellparamerarna och SIC sraffar modellen med paramerarna muliplicera med logarimen på urvale. Skillnaden mellan formlerna innebär a då n ökar så kommer besraffningen i AIC minska snabbare än SIC. SIC kommer a ge en högre besraffning för komplicerade modeller på alla urval som är sörre än sju. Under dea gränsvärde besraffar AIC modellkomplexie mer än SIC. (Vid gränsvärde 7,39 gäller a 2p= p *ln (n).) Diebold-Marianos es Många es ugår från e viss jämförelseal, ofa den kvadrerade medelavvikelsen, och anar även a residualerna har noll i medelvärde (dvs. vänevärdesrikig), a de är normalfördelade och a de är okorrelerade över olika idsavsånd (Clemens & Hendry 998, s 32). Diebold och Mariano har föreslagi e es av skillnaden mellan konkurrerande prognosmodeller som ine kräver a ovan angivna anaganden är uppfyllda. (Clemens & Hendry 998, s 322). Dea innebär a Diebold-Marianos es har e bre illämpningsområde sam är relaiv robus. Man kan ana a en modells kvalié kan uryckas i en funkion av residualen på olika idsavsånd, g e ). När vå modeller preserar lika bra anar vi a: ( i E [ g e ) g( e )] ( 2 = Om vi definierar skillnaden mellan modell och modell 2 såsom: d = g( e ) g( e2 ); =,..., n så blir de skaade medelvärde för skillnaden mellan modellerna: n d = (2.3) d = n Ugångspunken för Diebold-Marianos essaisiska är (2.3). När vi jämför prognoser på idsavsånd sörre än är prognosen för period h ill sin naur korrelerad ill prognosen för period h-, h-2 och så vidare. Därför kan man ine enbar använda den skaade variansen i de saisiska ese. 6

17 Diebold-Mariano inkluderar därför auokorrelaioner mellan felermerna upp ill idsavsånde h, för en prognos h seg framå, i sin skaning av variansen för d som asympoisk är lika med: h ( ) 2, (2.3) + V d n γ γ k k= I (2.3) kan auokorrelaionenγ k skaas med: ˆ γ k = n n = k+ ( d d )( d k d ) För prognoser på idsavsånd e får man följande uryck för variansen (Harvey m.fl.,997, s 283). V ( d) n [ γ ] eller V ( d) n [ var ] Diebold- Marianos essaisika beräknas enlig följande: (2.32) S = [ V d ] d ˆ( / 2 ) Noll- och mohypoes för ese kan skrivas: H H a : E : E [ d ] = [ d ] Under nollhypoesen är essaisikan i (2.32) normalfördelad med medelvärde och varians. Nollhypoesen förkasas enlig ovan med α =, 5 för värden som är sörre/mindre än ±,96. De har dock visa sig a dea es är överkänslig i små och medelsora sickprov sam a dea problem förvärras ju sörre h-segs-prognos som görs (Harvey m.fl., 997, s. 29, s 282). Därför har Harvey m.fl. föreslagi e modifierad Diebold-Mariano-es. Deras modifikaion innebär a skaningen av variansen på d förändras någo. Tese preserar med förändringen bäre, men är forfarande någo överkänslig. d 7

18 Tessaisikan för modifierade Diebold-Mariano kan skrivas: S * n + 2h + n = n h( h ) / 2 S För prognoser som uförs på idsavsånd e får man följande uryck: S * ( n ) = n / 2 S Harvey m.fl. (997) moiverade även användande av -fördelningen isälle för normalfördelningen som jämförelse ill essaisikan (s 283). 3. Daamaerial 3. Val av idsserier På den svenska marknaden har Elecrolux ca 7 olika produker indelade på ca 2 subgrupper och ca 27 produkgrupper. Prognosiseringar sker som regel på subgruppsnivå, då enskilda produker kan ha kor livslängd, medan produkgrupperna aggregerar produker med olika konsumionsmönser. A genomföra en djupare analys på de 2 subgrupperna vore försås önskvär, men omöjlig inom den här uppsasens ramar. De nödvändiga urvale har gjors enlig principen om spridning. De innebär a vi hel enkel val idsserier som skiljer sig när de gäller rend, säsong och varians. I SAP APO-DP lagrar Elecrolux 2 års hisorik av försäljningssiffror, som går a dela upp på månader och veckor. Då dea maerial är aningen begränsa, framförall för uvärdering, har Elecrolux säll e anna daamaerial ill förfogande. I denna daabas, EFS, finns illgång ill daa från januari 24 ill juni 2. Efersom dea maerial ger sörre möjlighe ill analys och uvärdering använder vi denna källa isälle för a exporera från SAP-APO-DP. Dea innebära a vår daamaerial ine hel äcker samma period som de daamaerial som för närvarande är illgänglig för analyser i den dagliga produkionsmiljön på Elecrolux. Siffrorna i SAP APO-DP och EFS skiljer sig å i viss mån. Dea beror på a man illämpa någo olika affärslogik i sysemaiseringen av dessa. Enlig experer på Elecrolux skall dea ine innebära a de påverkar idsseriernas naur. Därmed är de möjlig för oss a använda de sörre daamaeriale, analysera dea och sen ge modellvalsrekommendaioner som är akuella för daamaeriale i SAP-APO-DP. De är också vär a nämna a daamaeriale i SAP-APO-DP i vissa fall är påverka även av en manuell rensningsprocess som ine illämpas på daamaeriale i EFS. Dea är dock så pass sällsyn och i sådan pass begränsad usräckning a de ine kan anas påverka våra analyser i sor. 8

19 3.2 Jämförelse med ARIMA SAP APO- DP illåer användare a imporera exerna prognoser och dessuom illhandahåller SAS en modul som kan skapa idsserieanalys ill SAP, därför ansåg vi de var inressan, även för Elecrolux, a analysera meoder uanför SAPs räckvidd. Genom a göra dea så går de även a göra en bedömning över kvalién på de i SAP-APO-DP direk illgängliga meoderna. Om de visar sig a en annan uppsäning modeller preserar mycke bäre så bör Elecrolux överväga a kompleera med annan programvara. Vi valde a jämföra de i SAP-APO-DP illgängliga exponeniella ujämningsmeoderna med ARIMA- modeller. De är med anke på deras popularie och flexibilie e naurlig val för en jämförelse. 3.3 Val av mjukvara E fleral begränsningar i SAP-APO-DP gjorde a de var naurlig för oss a genomföra våra analyser i SAS. För de försa, som ovan nämn, har SAP-APO-DP enbar 24 månaders lagrad daa. För de andra har SAP-APO-DP mycke begränsade möjligheer ill analys av residualer, auokorrelaioner ec. Sluligen är SAS enklare a använda för a exporera daa ill exerna program. Dea argumen var akuell då vi kompleerade användningen av SAS med olika beräkningar i Microsof Excel. Dea har vari falle i uförande av Diebold-Marianos es och även för beräkning av vissa jämförelseal. 4. Resula Dea avsni ger förs en genomgång av hur analysen genomfördes för de meoder vi valde och därefer en sammansällning av resulaen för meoderna avseende jämförelsealen och de modifierade Diebold-Marianos es. Uifrån idigare redogjorda urvalsprinciper så kom vi fram ill a följande fem idsserier illfredssäller de krav vi har för a esa meoderna. Dessa finns grafisk presenerade i appendix 3. Tabell. Undersöka idserier och deras karakäriska Serie Produkyp Karakäriska 353 Frysfack Säsong 422 Tillbehör ill spisar Oregelbunden säsong 2224 Frisående spisar Trend och säsong muliplikaiv 92 Handhålllna golvdammsugare Trend och oregelbunden säsong 433 Tillbehör ill köksfläkar Trend och säsong addiiv Som man kan se så innehåller alla serierna någon form av säsongskomponen. Dessa är däremo olika för de olika idsserierna För 353 innebär karakäriseringen a den ine innehåller rend. Uppdelningen har gjors uifrån en visuell berakelse. 9

20 4. Tillämpning av exponeniella ujämningsmeoder För Hols meod sam Hol-Winers addiiva och Hol-Winers muliplikaiva meoder använde vi proceduren ESM i SAS. Inom denna lä vi programme auomaisk besämma vilka värden som skulle ges på ujämningskonsanerna. SAS säer dessa uefer vilke som ger lägs RMSE vid expos prognos (SAS, 2b). De går även a låa programme använda en mindre daamängd i sin skaning av iniialvärdena men då vi ine har någo specifik eoreisk skäl a göra dea lä vi grundinsällningarna så orörda. 4.2 ARIMA resula och exempel Vi har följ gängse meodik för anpassning och analys av ARIMA-modeller. Arbesgången är som följer. De försa som vi försök avgöra är om idsserien kan berakas som saionär. E ydlig ecken på a den ine är de är om auokorrelaionsfunkionen (ACF) avar långsam. I de fall en idsserie uppvisade dea mönser gjorde vi en differeniering och suderade sen ånyo ACF. I samliga fall uom 2 valde vi a göra dea, i e fall även på säsong. Om den differenierade idsserien uppvisade e saionär mönser kompleerade vi den uppfaningen med a genomföra Dickey-Fullers uökade es, vilke finns illgänglig i SAS. I samliga fall bekräfade ese a serien var saionär. Då saionarie uppnås undersökes ACF och pariell auokorrelaion (PACF) för den bearbeade idsserien. Uifrån beslusregler presenerade av Mongomery sam Kirschgässner besämmer man sedan vilken kombinaion av auoregressiva- och glidande medelvärdesprocesser som bör illämpas (se appendix 2). En sammanfaning av våra bedömningar finns i abell 2 och underlage finns i appendix A4. Tabell 2 Skaning av ARIMA modeller. Tidsserie ARIMA (p,d,q)(p,d,q) 353 (,,)(,,) 2224 (,,)(,,) 433 (,,)(,,) 422 (,,)(,,) 92 (,2,2) (,,) I idsserie 92 gjorde vi även den ovan beskrivna analysen på logarimera daa, då förändringen i idsserien i viss mån kan änkas följa e exponeniell mönser. Då resulae av dea gav ARIMA modeller med sämre resula valde vi a ine logarimera daa. 2

21 Som e komplemen ill vår analys använde vi även en scan-funkion i SAS under proceduren ARIMA. Denna ger förslag på vilka ARIMA modeller som bör illämpas. I samliga fall fanns de modeller vi val bland de olika modeller som SAS förslog. 4.3 Sammanfaande jämförelse 4.3. Jämförelseal från expos-prognos Tabell 3. Jämförelseal för 24 månaders expos prognoser. RMSE MAPE AIC SIC 353 H 428,8 23,9 294,85 297,2 AW 29,52 6,62 276,4 278,76 MW 334,78 8,68 283,5 285,4 ARIMA 374,6 2,36 288,38 29, H 79,99 8,49 24,32 26,69 AW 6,62 29,8 232,43 234,78 MW 8,73 2,42 25,36 27,72 ARIMA 83,3 2,36 26,2 28, H 258,35 2,72 27,67 272,96 AW 93,98 4,45 256,85 259,2 MW 24,4 5,65 26,66 264, ARIMA 24,68 8,48 267,2 269, H 436,2 28,58 295,73 298,8 AW 3,25 2,22 277,82 28,2 MW 338,8 24,34 283,62 285,98 ARIMA 344,3 24,36 284,39 286, H 4599,53 46,4 48,82 4,7 AW 34,27 33,58 394,33 396,69 MW 336,53 32,57 39,44 392,8 ARIMA 4647,6 6,2 49,3 4,67 H= Hol, AW=Addiiv Winer, MW=Muliplikaiv Winer, ARIMA=den anpassade ARIMA modellen. I abell 3 preseneras resulae för de fem olika idsserierna för de fyra uvalda jämförelsealen. Dessa siffror är framagna på expos-prognoser och för de 24 sisa observaionerna i daamaeriale. Den meod som SAS använder för a räkna u AIC och SIC är densamma som vi redovisa för idigare med den skillnaden a de muliplicerar ale med urvale. Därmed var vi vungna a dividera deras al med 24 för a få en samsämmighe med vår redovisade modell. 2

22 För a bäre kunna jämföra resulaen från expos-prognoserna och halveringsmeod har vi val a göra sammansällningen på de sisa 24 observaionerna. På så sä jämförs båda prognosavsånden mo samma observaioner. Vi har markera de al som är lägs med fe sil. Man kan se a addiiv Hol-Winers har lägs al i re idsserier, muliplikaiv Hol-Winers i en och Hols meod i en Diebold-Marianos es För a se om skillnaderna mellan expos-prognoser är saisisk signifikana har vi illämpa de idigare nämnda modifierade Diebold-Marianos es. I abell 4 redovisas resulaen. Tabell 4 Meoder jämförda med modifiera Diebold-Mariano es 2 på kvadrera fel Serie MW/AW MW/ H MW/ARIMA AW/H AW/ARIMA ARIMA/H 353,44 -,26 -,7 -,4 -,38,5 422,49 -,34 -,4 -,39 -,33, ,42,3 -,2,37,4 -,6 92 -,7 -,47 -,63 -,64 -,65 -,3 433,4 -,3 -,32 -,44 -,49,2 Inge av dessa värden är sörre eller mindre än de kriiska värdena, hämade ur -abellen (2, för 95 % konfidensgrad och,7 för 9 % konfidensgrad). Som synes är ine en enda jämförelse signifikan. 2 Uför på de sisa 24 observaionerna och avrunda ill vå decimaler. 22

23 4.3.3 Jämförelseal med halveringsmeod Tabell 5 Jämförelseal från prognos med halveringsmeod på de 24 sisa observaionerna. RMSE MAPE AIC SIC 353 H 675,96 44,4 36,77 39,3 AW 385,86 2,5 289,86 295,4 MW 388,55 2,22 292,2 295,73 ARIMA 393, 25,57 292,76 296, H 255,7 72,53 27, 272,37 AW 26,44 7,75 27,8 276,7 MW 26,44 6,75 264, 267,65 ARIMA 23,2 3,5 234,99 237, H 256,47 22,37 27,26 272,6 AW 238,4 7,98 266,68 272,2 MW 22,93 6,4 265,3 268,85 ARIMA 227,2 9, 264,44 266,8 422 H 432,89 32,52 295,38 297,74 AW 343,54 26,2 284,29 289,82 MW 349,38 25,6 287, 29,63 ARIMA 337,57 28,2 289,45 295,34 92 H 485,23 6,63 4,38 43,73 AW 454,45 56,3 48,2 43,73 MW 434,8 5,28 47,74 4,28 ARIMA 4889, 72,44 4,75 44, Tabell 5 visar samma al som i abell 3 men för en prognos med halveringsmeod. Vi har allså gjor en prognos för 24 månader framå och därefer jämför prognosen med ufalle. Resulae visar a de nu är någon av de re meoder som inkluderar en säsongskomponen som preserar bäs. Denna abell visar, liksom den förra, a en modell ofas preserar bäs på samliga jämförelseal. En avvikelse från dea finns för subgrupp 422 där muliplikaiv Hol-Winers preserar bäre än addiiv Hol-Winers avseende MAPE. Här är de också ARIMA modellen som får lägs RMSE. Skillnaderna mellan modellerna är dock marginell och dea gäller även för AIC och SIC. En rolig orsak ill dea är a exrema observaioner påverkar jämförelsealen på olika sä. 23

24 5. Slusaser och rekommendaioner 5. Slusaser Den ydligase slusasen är a ingen meod var den bäsa för samliga undersöka idsserier. Olika modeller måse allså användas på olika yper av serier. Vidare kan vi noera a för flera serier preserade samma modeller mycke olika på de olika prognosavsånden. Inressan är a Hols meod och den addiiva Hol-Winers meod preserar relaiv se bäre på expos prognoser än på halveringsmeod, med mosasen gäller för de övriga. De bäsa resulae på halveringsmeod kan illskrivas Hol-Winers muliplikaiva modell men i de fall de preserade sämre än ARIMA var skillnaden beydande. De är allså ine möjlig a rekommendera en enda modell för alla idsserier uan de är vikig a idenifiera och illämpa olika modeller. Vi kan också konsaera a de skillnader som uppvisas i jämförelseal ine bekräfas av de modifierade Diebold- Marianos es. Enlig de ese kan allså modellerna ine sägas skilja sig å signifikan på expos-prognoser. 5.2 Rekommendaioner Elecrolux, begränsa av möjligheerna i SAP APO-DP, kan endas basera sina prognosuvärderingar på de jämförelseal som syseme genererar. De använder för närvarande en uvärderingsperiod på 2 månader efer en anpassningsperiod på 2. Uvärderingsmåen beräknas endas på expos prognoser. En jämförelse mellan exposprognos och halveringsmeod visar a goda jämförelseal under anpassningsperioden ine nödvändigvis resulerar i goda prognoser flera seg fram. Med anke på a uvärderingsperioden enbar är 2 månader ökar de dessuom risken för a slumpen skall påverka modellvale. Vi har också se en ydlig risk för överanpassning när man låer programme själv generera opimala prognoser. Mo bakgrund av a ARIMA fungerade bäre än samliga exponeniella ujämningsmeoder endas i e fall, dessuom på en svårprognosiserad serie, anser vi a SAP APO-DP i princip äcker Elecrolux behov. Våra resula visar allså a de är riskabel a blin illämpa olika modeller uifrån en generell rekommendaion. Även fas de visserligen går a rekommendera Hol-Winers muliplikaiva meod före andra val är dea som vi se ine enydig. Den bäsa rekommendaionen är därför a demand planners, ibland i samråd med saisiker, väljer en modell som ine enbar preserar väl på hisorisk maerial, men som också ger en prognos som sämmer överens med demand plannerns förvänningar. Tillämpningen av saisiska meoder bör ses som en process, där en regelbunden uvärdering av illämpade meoder är en självklarhe. Makradakis & Hibon (2) konsaerar i sin sora sudie då de jämförde e anal modeller på 33 sycken serier a meoderna preserar olika bra på olika idshorisoner. De kan allså vara lämplig a a hänsyn ill vilken idshorison man ska prognosisera på när man väljer modell. 24

25 6. Diskussion I dea avsni analyserar vi de presenerade resulae och avsluar med uppslag för yerligare inressana analyser och eoreiska frågesällningar. 6. Analys 6.. Parameerskaningarna för de exponeniella ujämningsmeoderna. Tabell 6 Skaningsabell för ujämningsviker för de exponeniella ujämningsmeoderna då SAS opimeringsfunkion används. Tidsserie Konsaner H AW MW 353 Nivå,946,532, Trend,,, 353 Season,, Nivå,999,28, Trend,,, 2224 Season,,5 433 Nivå,24,29,9 433 Trend,,, 433 Season,, Nivå,288,333, Trend,,2,4 422 Season,,49 92 Nivå,2,26,23 92 Trend,,,5 92 Season,,339 Som vi nämnde i föregående avsni så har vi låi SAS göra opimerade skaningar av paramerar ill våra exponeniella ujämningsmeoder. Dea gav oss e anal skaningar som var nära noll och vå skaningar som var nära e. Dessa siuaioner beskrivs av SAS. De viker som är nära noll ger sor beydelse ill föregående observaion, som för exponeniella ujämningsmeoder i sin ur är beroende av den förr- förra observaionen. Allså anyder dessa viker a modellerna har konsana nivåer, render eller säsonger. I mosvarande siuaion, med viker nära e, kan de innebära a en fakor kanske ine borde vara en del av modellen. T.ex. om säsongsviken är nära e är de kanske mer rimlig a exkludera denna (SAS, 2c). Dea innebär vidare a iniialskaningarna har sor beydelse när ujämningskonsanerna är nära noll. 25

26 Då vår syfe var a skapa så räffsäkra modeller som möjlig har vi ine val a exkludera olika fakorer uifrån de resula som framkommi från SAS opimeringsprocess. För serien 353 är alla säsongsskaningar för addiiv Hol-Winer nära noll. Dea sämmer bra överens med själva grundanken för denna yp av modell som förusäer a säsongsvariaionen ine skiljer sig å beroende på vilken nivå som serien ligger på. Man kan också se a säsongsskaningarna för muliplikaiv Hol-Winer här ligger mellan, och,42, vilke bekräfar funkionen av en muliplikaiv modell. De är vär a noera a parameerskaningarna för alla de exponeniella ujämningsserierna avseende rendfakorn ligger nära noll. Dea innebär a den rendskaning som minimerar felermen näsinill kan berakas som en linjär regression. Trendförändringen är med andra ord en konsan förändring. Ser man grafisk på idsserierna i appendix 5 är de lä a föresälla sig a dea är korrek för serierna 353, 422 och 433. De är ine lika klar i de vå reserande idsserierna. Avseende Hols meod så gör den en parameerskaning på nivå för serie 353 som är,95 och på serie 2224 som är,99. Dea innebär a modellen i denna illämpning ine skiljer sig mycke från en random walk process, eller en process med s.k. naiva skaningar. Dea innebär a näskommande observaion prognosiseras ill samma värde som den föregående Skillnad mellan anpassningsförmåga och prognosisering. Om man jämför ufalle på expos-prognos och halveringsmeod så kan man konsaera a de är skillnad på en modells anpassningsförmåga och en modells prognoskapacie. Allra ydligas framräder dea för Hols meod på serie För prognoser på e idsavsånd får den e MAPE på dryg 8 procen, vilke är bäre än alla de re andra konkurrerande modellerna. För prognoser på 24 månader däremo preserar den säms, med en MAPE på 72 procen. Vår generella bedömning är a då de råder sora skillnader mellan prognoser på dessa olika idsavsånd så är de e ecken på a modellen är överanpassad. Dea innebär a den är allför beroende av närliggande observaioner och därmed avviker från den eoreiska funkion som kan anses ligga bakom ufallen i idsserien. För a vända på resonemange kan man uppmärksamma muliplikaiv Hol-Winers meod på serie 433 som har en MAPE på 5,7 procen på expos-prognoser och 6,4 procen på halveringsmeoden. Även ARIMA uppvisar e likvärdig resula på denna serie. Dea indikerar allså a modellerna ligger nära den eoreisk sanna modellen. 26

27 6..3 Teoreiska förvänningar och ufall Uifrån den beskrivning som finns i lierauren av de olika meoderna för exponeniell ujämning och ARIMA kan man förväna sig a modellerna preserar bäre eller sämre i olika siuaioner. De idsserier vi ugick från presenerar olika umaningar för modellerna. Tidsserierna verkar uppvisa addiiv eller muliplikaiv säsong, render som är sarkare eller svagare och även e variansmönser som är oregelbunde. Uifrån vår eoreiska förförsåelse förvänade vi oss a addiiv Hol-Winer skulle presera bäre än muliplikaiv Hol Winer på serie 433 men sämre på serie Vi förvänade oss e likvärdig resula dem emellan på serie 353 och e viss överag för den muliplikaiva varianen på serie 92. Vi förvänade oss a Hols meod skulle presera dålig på alla serier, och vara väsenlig mycke sämre än de andra modellerna. ARIMA modellerna förvänade vi oss som högpreserande i samliga fall med anke på dess flexibilie och i ungefärlig parie med Hol-Winers båda meoder. Vi kan konsaera a våra uppfaningar angående skillnaden på muliplikaiv Hol- Winer och addiiv sämde överens grov. Den muliplikaiva preserade märkvär bäre på serie 2224 och var förövrig likvärdig den addiiva. Dea beror roligen på a seriernas karakär ine enydig följ e addiiv eller muliplikaiv mönser. Resulaen från ARIMA-modellen på serie 2224 är de som visar den sörsa skillnaden mellan modellerna. Den anpassade ARIMA-modellen är här väldig enkel och beroende enbar av säsongsförskjuningen. Anledningen ill a den muliplikaiva och den addiiva Hol Winers ine får bäre resula kan vara a säsongsskillnaden är kvadraisk eller a den minskande säsongsvariaionen ine beror på seriens nivå uan snarare sjunker med iden. Därmed kan en modell som ine gör anaganden om säsongsvariaionens karakär, uan isälle gör prognoser uifrån enbar observerade värden, presera mindre dålig. Muliplikaiv Hol-Winer preserar mins dålig på serie 92, som vi berakar som den serie som är svåras a prognosisera. A muliplikaiv Hol-Winer här överräffar även den anpassade ARIMA modellen kan evenuell förklaras på samma sä som ovan. I ARIMA modellen beror prognosen på de föregående observaionerna medan muliplikaiv Hol-Winer eoreisk förusäer en muliplikaiv funkion. Den underskaar därmed ine rörelsen. A de relaiv enkla modellerna, de vill säga de exponeniella ujämningsmeoderna sammanage, kan säga presera bäs är ine hel förvånade med anke på a Makradakis & Hibon (2) konsaerar a mer sofisikerade modeller ofa preserar sämre än enklare modeller (s.46). Vi förvänade oss a vi i alla fall skulle få några signifikana resula på de modifierade Diebold-Marianos es. Tvärom var ingen av skillnaderna i kvadrera fel i närheen av 27