Korttidsprediktering av restider med Holt-Winters metod

Transkript

1 Examensarbee LITH-ITN-KTS-EX--05/050--SE Koridspredikering av resider med Hol-Winers meod Andreas Allsröm Deparmen of Science and Technology Linköpings Universie SE Norrköping, Sweden Insiuionen för eknik och naurveenskap Linköpings Universie Norrköping

2 LITH-ITN-KTS-EX--05/050--SE Koridspredikering av resider med Hol-Winers meod Examensarbee uför i kommunikaions- och ransporsysem vid Linköpings Tekniska Högskola, Campus Norrköping Andreas Allsröm Handledare Niklas Lindquis Examinaor Clas Rydergren Norrköping

3 Avdelning, Insiuion Division, Deparmen Insiuionen för eknik och naurveenskap Daum Dae Deparmen of Science and Technology Språk Language x Svenska/Swedish Engelska/English Rapporyp Repor caegory Examensarbee B-uppsas C-uppsas x D-uppsas ISBN ISRN LITH-ITN-KTS-EX--05/050--SE Serieiel och serienummer ISSN Tile of series, numbering URL för elekronisk version Tiel Tile Förfaare Auhor Andreas Allsröm Sammanfaning Absrac Trafiken på våra vägar ökar sadig och de finns inga ecken på a denna rend ska bryas. Denna uveckling innebär en mängd problem såsom öka buller, mer usläpp och ökad rängsel. En lösning på rafikproblemen är a unyja de befinliga vägarnas kapacie på e bäre sä. E sä a påverka biliserna a använda alernaiva vägar eller resa på andra ider är a förmedla informaion om, exempelvis, rådande rafikförhållande och alernaiva resvägar. Om rafikledningscenralerna hade illgång ill illförliliga predikeringar av resider skulle de ha än sörre möjligheer a dirigera om rafiken så a de värsa problemen kan undvikas. Syfe med dea examensarbee är a ge en inblick i e anal olika meoder för predikering av resider, vidare har en av dessa meoder, Hol-Winers meod, esas på illgänglig rafikdaa och resulae av dea es har analyseras. Predikering av resider är e komplex problem och en hel del forskning har uförs i ämne, med blandad framgång. Meoderna och modellerna som de har forskas kring är många och de flesa av dem kan soreras in i någon av följande kaegorier: enkla saisiska modeller, neurala näverk, regressionsoch idsserieanalys och rafiksimulering. Vilken meod som fungerar bäs beror ill sor del på vad resulae av predikionen ska användas ill, vilken daa som finns illgänglig sam hur rafikförhållandena ser u på den akuella plasen. Resulaen av predikeringar av resider på rafikdaa som uförs med Hol-Winers meod visar ydlig a Hol-Winers meod i vissa fall visserligen är likvärdig med och ibland bäre än de enkla naiva predikorerna som den har jämförs med, men i de flesa fall är den sämre. När de gäller forsa forskning så vore de inressan med en djupare sudie där de incidener som har inräffa suderas och en koppling sker ill akuell rafikflöde och incidenens påverkan på Nyckelord Keyword Predikering, resider, Hol-Winer

4 Upphovsrä Dea dokumen hålls illgänglig på Inerne eller dess framida ersäare under en längre id från publiceringsdaum under förusäning a inga exraordinära omsändigheer uppsår. Tillgång ill dokumene innebär illsånd för var och en a läsa, ladda ner, skriva u ensaka kopior för enskil bruk och a använda de oförändra för ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsräen vid en senare idpunk kan ine upphäva dea illsånd. All annan användning av dokumene kräver upphovsmannens medgivande. För a garanera äkheen, säkerheen och illgängligheen finns de lösningar av eknisk och adminisraiv ar. Upphovsmannens ideella rä innefaar rä a bli nämnd som upphovsman i den omfaning som god sed kräver vid användning av dokumene på ovan beskrivna sä sam skydd mo a dokumene ändras eller preseneras i sådan form eller i sådan sammanhang som är kränkande för upphovsmannens lierära eller konsnärliga anseende eller egenar. För yerligare informaion om Linköping Universiy Elecronic Press se förlages hemsida hp:// Copyrigh The publishers will keep his documen online on he Inerne - or is possible replacemen - for a considerable ime from he dae of publicaion barring excepional circumsances. The online availabiliy of he documen implies a permanen permission for anyone o read, o download, o prin ou single copies for your own use and o use i unchanged for any non-commercial research and educaional purpose. Subsequen ransfers of copyrigh canno revoke his permission. All oher uses of he documen are condiional on he consen of he copyrigh owner. The publisher has aken echnical and adminisraive measures o assure auheniciy, securiy and accessibiliy. According o inellecual propery law he auhor has he righ o be menioned when his/her work is accessed as described above and o be proeced agains infringemen. For addiional informaion abou he Linköping Universiy Elecronic Press and is procedures for publicaion and for assurance of documen inegriy, please refer o is WWW home page: hp:// Andreas Allsröm

5 Sammanfaning Trafiken på våra vägar ökar sadig och de finns inga ecken på a denna rend kommer a bryas. Denna uveckling innebär en mängd problem såsom öka buller, mer usläpp och ökad rängsel. En lösning på rafikproblemen är a unyja de befinliga vägarnas kapacie på e bäre sä. Genom a få biliserna a välja alernaiva vägar, resa på andra idpunker eller välja alernaiva ranspormedel kan rängseln på våra vägar minska och därmed minskar också usläpp och buller. E sä a påverka biliserna är genom a förmedla informaion om, exempelvis, rådande rafikförhållande och alernaiva resvägar. Om rafikledningscenralerna hade illgång ill illförliliga predikeringar av resider skulle de ha än sörre möjligheer a dirigera om rafiken så a de värsa problemen kan undvikas. Behove av illförliliga predikioner av resider är som sörs när någo oföruse händer, men de är också då som de är svåras a göra predikioner. Syfe med dea examensarbee är a ge en inblick i e anal olika meoder för predikering av resider, vidare har en av dessa meoder, Hol-Winers meod, esas på illgänglig rafikdaa och resulae av dea es har analyseras. Predikering av resider är e komplex problem och en hel del forskning har uförs i ämne, med blandad framgång. Meoderna och modellerna som de har forskas kring är många och de flesa av dem kan soreras in i någon av följande kaegorier: enkla saisiska modeller, neurala näverk, regressions- och idsserieanalys och rafiksimulering. Vilken meod som fungerar bäs beror ill sor del på vad resulae av predikionen ska användas ill, vilken daa som finns illgänglig sam hur rafikförhållandena ser u på den akuella plasen. Resulaen av predikeringar av resider på rafikdaa som uförs med Hol-Winers meod visar ydlig a Hol-Winers meod i vissa fall visserligen är likvärdig med och ibland bäre än de enkla naiva predikorerna som den har jämförs med, men i de flesa fall är den sämre. Resulaen av predikering med Hol-Winers meod har förbäras genom a daa som har använs har ujämnas innan predikeringen har genomförs. För a kunna se möjligheer ill vidare uveckling av Hol-Winers meod krävs mer daa än den som har vari illgänglig i dea examensarbee, annars blir modellen lä för anpassad efer e speciell fall och ine så generell som den bör vara. Om en sörre sudie görs där illgången ill daa är sörre skulle de dock exempelvis vara möjlig a anpassa meoden efer rådande rafikläge och rafikflöde, evenuell också väderlek och evenuella evenemang. När de gäller forsa forskning så vore de väldig inressan med en djupare sudie där de incidener som har inräffa suderas och en koppling sker ill akuell rafikflöde och incidenens påverkan på medelhasigheen. i

6 Absrac The number of vehicles on our roads is consanly increasing, which resuls in a lo of problems such as increased noise, polluion and congesion. One soluion is o make beer use of he capaciy of he exising roads. If you can make people use alernaive roads, ravel a alernaive imes or use alernaive ways of ravelling he congesion would decrease, which also would decrease he noise and polluion. One way o influence he drivers is o supply informaion abou, for example, alernaive roads or he curren raffic siuaion. If he raffic managemen cenrals had access o reliable predicions of ravel imes heir possibiliies o influence he raffic siuaion would increase, and maybe he wors problems could be avoided. I is when somehing unexpeced occurs ha reliable ravel ime predicions are really needed, bu i is also a ha ime i is mos difficul o calculae reliable predicions. The purpose wih his hesis is o examine a number of mehods ha are used o predic ravel imes. Furhermore, one of hese mehods, Hol-Winers mehod, has been esed and analysed. Predicion of ravel imes is a complex problem and a reasonable amoun of research has been conduced in he subjec, wih varying success. There are a lo of differen mehods and models ha has been esed and analysed and mos of hem can be sored in under one of he following caegories: simple saisic analysis, neural neworks, regression- and ime series analysis and raffic simulaion. Which mehod ha is mos suiable for predicing ravel imes depends on how he raffic condiions looks like a he specific road, which daa ha is available and wha he predicions are o be used for. The resuls of he predicions made wih Hol-Winers mehod clearly shows ha Hol- Winers mehod in some cases are jus as good as he simple naive predicors i has been compared wih, bu in mos cases he simple naive predicors are beer. The resuls of he predicions wih Hol-Winers mehod has been improved by smoohing he used daa before he predicion. To be able o develop Hol-Winers mehod furher, more daa is needed, oherwise he model migh be adaped o a special case and no be as general as i needs o be. If a larger sudy is made where here is access o a larger amoun of daa, i migh be possible o adjus he model o he curren raffic siuaion and raffic flow, and maybe also he curren weaher. When i comes o furher research a deeper sudy where he incidens ha have occurred and he curren raffic flow and ravel ime are sudied would be very ineresing. ii

7 Förord Dea examensarbee är uför på uppdrag av och i samarbee med AeroechTelub AB i Växjö. Arbee påbörjades under sommaren 2003 men av olika anledningar har de ine sluförs förrän hösen Examensarbee ingår som e obligaorisk delmomen i civilingenjörsprogramme Kommunikaions- och Transporsysem på Campus Norrköping, Linköpings Tekniska Högskola Jag vill rika e sor ack ill min handledare, Niklas Lindqvis vid AeroechTelub, och min examinaor, Clas Rydergren vid Linköpings Tekniska Högskola, som under hela arbee med dea examensarbee har vari e sor söd och bidragi med kloka synpunker. Jag vill även acka övriga medarbeare vid avdelning LDS på AeroechTelub i Växjö som hjälpe mig med alla möjliga och omöjliga frågor under examensarbees sar. Sluligen vill jag också acka min opponen, Niklas Danielsson, för hans skarpsyna kriik. Lund, okober 2005 Andreas Allsröm iii

8 Innehållsföreckning 1. Inledning Syfe Avgränsningar Meod Bakgrund Tillgänglig rafikdaa Analys av rafikdaa Lieraursudie Enkla saisiska modeller Neurala Näverk Trafiksimulering Regressions- och idsserieanalys Jämförelser mellan de olika meoderna Tidsserieanalys Tidsserier Ujämningsmeoder Hol-Winers meod Muliplikaiv Hol-Winer Addiiv Hol-Winer Exempel på predikering med Hol-Winers meod Tes av Hol-Winers meod Programmering av Hol-Winers meod Avgränsningar Besämning av ujämningskonsaner Mädaa Naiva predikorer Resula av es av Hol-Winers meod Fall 1 Exrem låg hasighe under rusningsid Fall 2 Relaiv konsan hasighe under hela dygne Fall 3 Hasigheen följer de genomsniliga relaiv väl Fall 4 Genomsnilig dag Sammanfaning Olika fakorers påverkan på resulae Diskussion Referenser...46 Bilaga iv

9 Figurföreckning Figur 2.1 Exempel på MCS-skylar... 4 Figur 2.2 Medelhasigheen på Essingeleden under fyra idsinervall respekive veckodag... 6 Figur 3.1 Schemaisk bild av indaa-udaa srukuren hos e neural näverk... 8 Figur 4.1 Effek av cenrera glidande medelvärde med m= Figur 4.2 Effek av exponeniell ujämning med α= Figur 5.1 Proporionell säsongsmönser Figur 5.2 Icke-proporionell säsongsmönser Figur 5.3 Hasigheer uppmäa på Essingeleden 08:04-08:15 under fyra fredagar hösen Figur 6.1 De fyra dagar som har predikeras vid ese av Hol-Winers meod Figur 6.2 Mädaa från fredag 2. Övers uppmä daa, i mien uppmä daa ujämna med α=0,7 och längs ned uppmä daa ujämna med α= 0, Figur 7.1 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.2 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.3 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 1 då = Figur 7.4 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.5 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.6 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 2 då = Figur 7.7 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.8 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.9 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 3 då = Figur 7.10 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.11 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall Figur 7.12 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 4 då = Figur 7.13 Genomsniliga medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på Figur 7.14 Genomsniliga maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på Figur 7.15 Effek av ujämning av daa vid predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod Figur 7.16 Medelfel vid predikion av fall 3 under den id på dygne då medelhasigheen är relaiv konsan ( ) Figur 7.17 Medelfel vid predikion av fall 3 under den id på dygne då medelhasigheen varierar relaiv mycke ( ) Figur 8.1 Uppmä resid på en vägsräcka på Essingeleden med incidener markerade v

10 Tabellföreckning Tabell 2.1 Anal miljoner bilresor per veckodag... 5 Tabell 2.2 Medelhasigheen på Essingeleden under fyra idsinervall respekive veckodag... 5 Tabell 5.1 Hasigheer uppmäa på Essingeleden 08:04-08:15 under fyra fredagar hösen Tabell 5.2 Exempel på beräkning av nivå- och rendkomponenen i muliplikaiv Hol- Winer Tabell 5.3 Exempel på beräkning av säsongskomponenen i muliplikaiv Hol-Winer Tabell 5.4 Exempel på beräkning av nivå- och rendkomponenen i addiiv Hol-Winer Tabell 5.5 Exempel på beräkning av säsongskomponenen i addiiv Hol-Winer Tabell 6.1 Tabell över vilka dagar som har ugjor hisorik för respekive predikerad dag Tabell 7.1 Effeken av respekive möjlig ordning på de dagar som ugör hisoriken för fall 3 37 Tabell 7.2 Opimala värden på ujämningskonsanerna för respekive fall Tabell 7.3 Genomsni, maxvärde och minimivärde för de re ujämningskonsanerna vid olika värden på. Fall 4 ingår ej Tabell 7.4 Känslighesanalys av ujämningskonsanen α Tabell 7.5 Känslighesanalys av ujämningskonsanen β Tabell 7.6 Känslighesanalys av ujämningskonsanen γ vi

11 1. Inledning Trafikarbee på våra vägar har de senase fem åren öka med 1,1-3,1 % per år, se Holmgren (2005), och de finns inga ecken på a denna rend kommer a bryas. Denna uveckling innebär en mängd problem såsom öka buller, mer usläpp och ökad rängsel, framförall i sorsäderna. De finns de som hävdar a de bara är a bygga fler och sörre vägar, a man kan bygga bor alla problem. Tyvärr är de ine så enkel. Fler, sörre och bäre vägar alsrar ny rafik vilke gör a problemen kommer illbaka. De blir en ond cirkel. Dessuom är de ine allid möjlig a bygga fler vägar på grund av bris på urymme eller pengar. En lösning på rafikproblemen är a unyja de befinliga vägarnas kapacie på e bäre sä. Genom a få biliserna a välja alernaiva vägar, resa på andra idpunker eller välja alernaiva ranspormedel kan rängseln på våra vägar minska och därmed minskar också usläpp och buller. Någo som går i linje med den ransporpoliik vi har i Sverige. De huvudsakliga målen i den svenska ransporpoliiken säger a vi ska ha en samhällsekonomisk effekiv ransporförsörjning som är långsikig hållbar ekologisk, ekonomisk, social och kulurell. E sä a påverka biliserna är genom a förmedla informaion om, exempelvis, rådande rafikförhållande och alernaiva resvägar. Möjligheerna a förmedla informaion ill biliserna blir fler och fler, all från variabla hasighesskylar ill avancerade navigeringssysem i bilarna. De är dock vikig a informaionsflöde ine blir för sor, dea kan få mosa effek och förvirra biliserna. För a kunna leverera relevan och rovärdig informaion krävs sor kunskap om rafiknäe och de förhållanden som råder. Har man denna kunskap finns de även möjlighe a göra prognoser eller predikioner, någo som yerligare förbärar möjligheerna a syra rafiken så a rängseln minimeras. Om en rafikledningscenral har illgång ill illförliliga prognoser kan de dirigera om rafiken så a de värsa problemen evenuell kan undvikas. För den enskilde bilisen kan navigaionssyseme i bilen leda bilisen bor från de vägar där residen är på väg a siga, förusa a navigaionssyseme kan hanera dynamiska hasigheer. Behove av illförliliga predikioner av resider eller medelhasigheer är som sörs när någo oföruse händer, men de är också då som de är svåras a göra predikioner. När rafiken beer sig normal, d v s som den gör varje dag, är de såklar väldig enkel a gissa hur rafikförhållandena ser u om 15 eller 30 minuer. Om någo oföruse händer, exempelvis en olycka, blir de däremo genas mycke svårare a föruse hur rafiken kommer a bee sig Syfe AeroechTelub, som är iniiaivagare ill dea examensarbee, har uveckla en ruplanerare för bilrafik där residen huvudsakligen beräknas uifrån skylad hasighe sam e schablonvärde för korsningar. Korrigeringar av residen sker dock basera på väglag, väder, vägarbeen och olyckor genom a e idssraff läggs på den beräknade residen. Sorleken på dea idssraff beror exempelvis på nederbördsmängd, yp av väglag och vilken sörningsgrad en olycka eller e vägarbee har. För de vägsräckor som har deekorer som regisrerar medelhasigheen korrigeras skylad hasighe med e exponeniell ujämna medelvärde från e par månader illbaka för e give idsinervall, ofas en imme. Inresse finns dock av a hia en bäre meod för a predikera medelhasigheer/resider. Syfe med dea examensarbee är a ge en inblick i e anal olika meoder för predikering av resider, vidare ska en av dessa meoder, Hol-Winers meod, esas på illgänglig 1

12 rafikdaa och resulae av dea es ska sedan analyseras. De huvudfrågor som ska besvaras är: Vilka meoder finns de för a predikera resider? Är Hol-Winers meod lämplig a använda för a predikera resider på svenska vägar? Hur kan Hol-Winers meod uvecklas och ge ännu bäre predikeringar? 1.2. Avgränsningar Anale fakorer som påverkar residen på en vägsräcka är väldig sor. De krävs därför a vissa avgränsningar görs. Följande avgränsningar har gjors i den modell som har esas: Predikeringen görs endas för en fördefinierad sräcka. De finns full illgång ill hisorisk och akuell daa. De rafikdaa som finns illgängliga är följande: Medelhasighe Flöde Vägsräckans längd Evenuella rafikmeddelande rörande incidener som inräffa Föruom ovansående daa finns de en mängd andra fakorer som påverkar residen på en vägsräcka, exempelvis vädre och evenuella evenemang, dessa fakorer har ej använs i den esade modellen. Hur de kan användas i en vidareuveckling av modellen diskueras dock. När de gäller rafikmeddelanden som rör olika incidener som har inräffa så påverkar de ej i den esade modellen, en enklare sudie av hur de påverkar medelhasigheen/residen har dock genomförs. Tanken med dea examensarbee har hela iden vari a sudera resider och hur de kan predikeras efersom måle är a hia en bra modell som kan användas för a predikera resider ill en resplanerar på Inerne. På den sräcka som har suderas har de dock ine funnis illgång ill residsdaa uan endas medelhasighe sam sräckans längd. I samråd med min handledare valde jag därför a ia på medelhasigheer isälle. Är sräckan som suderas väldig kor går de givevis a säa likhesecken mellan genomsnilig resid och längden på sräckan dividerad med medelhasighe. I dea fall är den suderade sräckan 740 m vilke innebär a man mycke väl hade kunna ia på resid isälle. Vi ansåg dock a blev enklare a få en överblick av de olika predikorernas effeker om medelhasigheer predikerades isälle för resider. Efersom den genomsniliga residen är beroende av medelhasigheen kommer resulaen av predikeringen a vara desamma oavse om vilken variabel jag hade val a predikera Meod Arbee med dea examensarbee kan delas upp i vå faser: en lieraurfas, en es- och analysfas. Dokumenering av arbee har pågå under hela exjobbe. Alla resula har dokumeneras och kommeneras. 2

13 Lieraurfas Lieraurfasen inleddes med en invenering av maerial på Inerne och biblioeke. De maerial som hiades analyserades och sorerades. De rapporer och modellbeskrivningar som var inressana läses sedan igenom med varierande noggrannhe. Med söd av den informaion som inhämades under läsande och en analys av befinlig rafikdaa valdes sedan en modell u, Hol-Winers meod, som esades och analyserade. Anledningen ill a jus Hol-Winers meod valdes u var a de är en meod som ar hänsyn både ill säsongs- och rendvariaioner, sam a den idigare ine har provas för predikering av resider/medelhasigheer. Vidare så är de en meod som är möjlig a programmera inom ramen för e exjobb och en meod som evenuell kan förbäras och anpassas ill dea speciella användningsområde Tes- och analysfas Tesfasen besod ill en början av programmering av Hol-Winers meod. Därefer esades Hol-Winers meod med rafikdaa från Essingeleden i Sockholm. Analysen gjordes för olika yper av dagar, dels dagar där uppmä medelhasighe följde hisorisk daa relaiv väl, dels dagar då den uppmäa medelhasigheen ine alls överenssämmer med hisorisk daa. Predikioner gjordes 5, 15 och 30 minuer framå i iden och med syfe a minimera både max- och medelfele. Sluligen jämfördes esresulaen med re enkla naiva predikorer som bygger på senas observerade värde och hisorisk daa Rapporens uppbyggnad Rapporen inleds med en beskrivning av probleme sam en genomgång av olika meoder för predikering av resider. Därefer följer en beskrivning av idsserier och framförall Hol- Winers meod. Sedan följer resulaen av de eser som har gjors sam e försök a förklara dessa. Rapporen avsluas med en diskussion kring resulaen och vad den forsaa forskningen bör fokusera på. 3

14 2. Bakgrund I dea kapiel kommer jag a beskriva den rafikdaa som jag har haf illgång ill. Kapile besår även av en analys av hur medelhasigheen varierar på den sräcka jag ska sudera närmare Tillgänglig rafikdaa För a kunna predikera resider, hasigheer och rafikflöden krävs de a informaion om rafikförhållandena på den akuella vägsräckan koninuerlig samlas in och sparas. Dea kan göras på en mängd olika sä, all från videodeekering ill radar. Den mes använda ekniken idag är indukiva slingor som är nedfräsa i vägbanan, den eknik som har använs för a samla in den rafikdaa som jag har analysera. De akuella slingorna samlar in daa ill MCS, Moorway Conrol Sysem, som i försa hand är e auomaisk kövarningssysem som visar rekommenderade högsa hasigheer uifrån rådande rafikförhållanden. MCS-skylarna kan dock även syras manuell vid exempelvis omledning av rafiken eller då e körfäl måse sängas på grund av exempelvis vägarbee. De finns skylar med jämna inervall (ca 500 m) placerade över varje körfäl. Skylarna kan visa olika symboler, kryss, snedpilar (höger eller vänser) sam olika rekommenderade högsa hasigheer, se figur 2.1. Vid varje skyl finns mäurusning för hasighe och flöde. Figur 2.1 Exempel på MCS-skylar Hasigheen/residen på e av dessa mäsni har suderas i dea examensarbee. En annan möjlighe är a aningen långa sräckor eller mindre näverk suderas, dea ger dock upphov ill nya problem och i samråd med min examinaor och handledare besluades a endas fokusera på en avgränsad sräcka. När arbee med dea examensarbee påbörjades fanns förhoppningar om a de skulle finnas illgång ill en sor mängd rafikdaa som förs skulle suderas och sedan ligga ill grund för uveckling och validering av den valda modellen. De har visserligen funnis illgång ill en sor mängd daa men den har ofa vari av brisfällig kvalie och de är sällan som de har vari möjlig a hia dygn där de finns rafikdaa för hela dygne, ofa har de saknas några minuer här och där. Dea har försvåra arbee en del och fick ill följd a e anal dygn som var användbara plockades u. Även de dygn som valdes u saknade dock e anal minuer och har därför kompleeras manuell med godycklig daa. Uppmäa hasigheer för de dygn som har använs redovisas i bilaga 1. Den rafikdaa som har använs har, med hjälp av e specialskrive program i Malab, plockas direk ur den daabas där den sparas. På den sräcka som har suderas mäs rafikflöde och medelhasigheen varje minu Analys av rafikdaa För a få en bild av hur medelhasigheen och flöde varierar på våra vägar har jag sudera en del lieraur och gjor en del enklare analyser av den rafikdaa jag har haf illgänglig. 4

15 Som ydlig framgår av abell 2.1 är de relaiv sor skillnad i anale bilresor mellan de olika veckodagarna. Observera a abellen allså endas redovisar anale bilresor per veckodag, övrig resande beakas ej. Skulle även övrig resande beakas ökar med all sannolikhe skillnaden mellan helgdagarna och arbesdagarna ännu mer. I dea fall är dock endas bilresor inressana. Tabell 2.1 Anal miljoner bilresor per veckodag (Källa: SIKA:s årsbok 2003, Transporer och kommunikaioner) Veckodag Anal miljoner bilresor (2001) Måndag 708 Tisdag 643 Onsdag 758 Torsdag 690 Fredag 811 Lördag 683 Söndag 590 Vidare har en vägsräcka på Essingeleden i Sockholm som är urusad med MCS suderas. Ur illgänglig daa för akuell sräcka har e medelvärde för medelhasigheen under olika idsinervall och veckodagar räknas fram. Dea har jag gjor för a se hur medelhasigheen varierar mellan olika ider och veckodagar. Som framgår av abell 2.2 och figur 2.2 ligger medelhasigheen för idsinervalle 16:00-18:00 lång under medelhasigheen för övriga idsinervall, föruom på lördagar och söndagar. Dea är ganska naurlig efersom Essingeleden är en vägsräcka som har vissa framkomlighesproblem under rusningsid. Observera a analyserad daa endas är från en rikning. Tabell 2.2 Medelhasigheen på Essingeleden under fyra idsinervall respekive veckodag Veckodag Måndag 73,5 76,0 60,8 81,2 Tisdag 72,0 74,1 54,4 74,3 Onsdag 71,8 74,3 54,1 76,3 Torsdag 73,8 71,9 49,6 78,7 Fredag 75,5 75,7 59,7 79,2 Lördag 84,6 78,4 79,0 81,1 Söndag 84,3 78,7 74,0 82,9 5

16 90 80 Medelhasighe (km/h) Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Figur 2.2 Medelhasigheen på Essingeleden under fyra idsinervall respekive veckodag Den rafikdaa som kommer a användas för es av Hol-Winers meod och re olika enkla naiva predikorer är uppmä på en sräcka i en rikning på Essingeleden i Sockholm under fyra fredagar hösen 2003, se även Bilaga 1. 6

17 3. Lieraursudie Dea kapiel ugör en sammanfaning av den lieraur som jag har sudera. Predikering av resider, medelhasigheer eller rafikflöden är e komplex problem och en hel del forskning har uförs i ämne, med blandad framgång. En sor del av forskningen har fokuseras på predikering av rafikflöden men de finns även en del forskning kring predikering av resider och medelhasigheer. Användningsområdena för predikerade rafikflöden och resider skiljer sig en del. Trafikflöden används i försa hand av rafikledningscenralerna när de vill få en överblick av siuaionen och predikeringar görs ofas på lie längre sik. Resider däremo används vid kommunikaion med biliserna sam för a bedöma effekerna av de incidener som inräffar. Meoderna och modellerna som de har forskas kring är många och de flesa av dem kan soreras in i någon av följande fyra kaegorier: enkla saisiska modeller, neurala näverk, regressions- och idsserieanalys och rafiksimulering Enkla saisiska modeller De enkla saisiska modellerna känneecknas av a de grundar sig på enkel saisisk analys av hisorisk, och ibland även akuell, daa. Vissa enkla modeller bygger endas på e anagande om a rafikförhållanden ser u på samma sä varje idpunk varje dag. Hoffman och Janko (1990) uvecklade en enkel modell som anog a kvoen mellan medelresiden och akuell resid är densamma under den närmase idsperioden. Modellen har använs i Berlin i e sysem där den opimala ruen beräknas i en cenraldaor och sedan disribueras ill fordonen via sändare placerade vid sora korsningar. Kvoen k för länk ij vid idpunken beräknas som: k ij, = ik, ij, Där är nuvarande resid på akuell länk och är den hisoriska medelresiden på samma länk. Sedan beräknas de predikerade värde för idpunken + som: ij, + δ = k ij, + δ ij, Kousopoulos och Xu (1991) uvecklade denna modell genom a använda vå olika yper av hisorisk daa. Dels daa insamlad under ider då rafikförhållanden är sabila och rafiken flyer normal, dels daa insamlad när någon inciden har inräffa vilke gör a insamlad daa skiljer sig krafig från de genomsniliga. Den försa ypen av hisorisk daa används i normalfalle för a predikera resider i vägnäe. Den andra ypen av daa används av rafikinformaionscenralerna för a bedöma effeken av olika incidener sam göra predikioner av resider. Vid predikeringen används samma ekvaioner som ovan, dock med den skillnaden a medelresiden har e värde vid sabila förhållanden och e värde när en inciden har inräffa. 7

18 Rice och Zhang (2001) föreslår en delvis annan yp av modell som använder vikade kombinaioner av de hisoriska medelvärde och senas uppmäa värde. Ekvaionen nedan visar hur den predikerade residen Xˆ vid idpunken + beräknas: Xˆ ( ) ( + δ ) = µ ( + δ ) + ˆ α(, δ ) + ˆ β (, δ ) X ( ) Den försa delen, µ ( +δ ) besår dels av vå vikningskonsaner, α (,δ ) e, är de hisoriska medelvärde vid idpunken +. Den andra delen ˆ och ˆ β (,δ ), dels av de uppmäa värde vid idpunken. Vikningskonsanerna opimeras för varje idpunk och sorleken och useende på den daa som ligger ill grund för denna opimering har sor påverkan på resulae. Fördelen med denna yp av saisiska hisoriska modeller är a de är relaiv enkel uppbyggda och läa a implemenera och beräkna. Den sora nackdelen är dock a de är väldig saiska och fungerar dålig när någon inciden inräffar och rafikförhållanden sörs Neurala Näverk Neurala näverk har under de senase årionde blivi väldig populära och används i e fleral sammanhang. Även inom rafikforskningen har man få upp ögonen för neurala näverk och e av många användningsområden är predikering av resider och rafikflöden. Neurala näverk är en beräkningseknik som är inspirerad av hjärnans funkionalie och används ofa för a approximera icke-linjära funkioner. Grafisk beskrivs ofa neurala näverk med så kallade flödesdiagram, se figur 3.1. Indaa Dol lager Udaa Figur 3.1. Schemaisk bild av indaa-udaa srukuren hos e neural näverk I figuren besår indaa av fyra olika variabler och udaa av en variabel. Mellan indaa och udaa finns e dol lager där fler variabler finns definierade. Mellan alla variabler finns funkioner med en eller flera paramerar, funkionerna kan var både linjära och icke-linjära Anale variabler i de olika lagren och anale dolda lager varierar mellan olika illämpningsområden. Neurala näverk bygger på a syseme, d v s de olika funkionerna och dess illhörande paramerar skaas, man säger a syseme ränas upp. På så vis kan de neurala näverke lära sig a klassificera och värdera indaa och illhörande udaa. De finns en hel del forskning kring predikering av resider med neurala näverk, se exempelvis 8

19 Kisgyörgy och Rile (2002). Fördelen med neurala näverk är a de är relaiv flexibla och kan ge goda resula vid predikering, även vid incidener efersom de kan känna igen mönsre för den akuella incidenen. Den slugiliga modellen blir dock ofa relaiv komplicerad och kan vara svår a förså och ibland även a implemenera. E neural näverk kräver en sor mängd daa för a ränas upp och ge bra resula. Om ej illräcklig mycke daa används för a räna upp de neurala näverke kan de bli allför anpassa efer någo specialfall och därmed ge dåliga predikeringar Trafiksimulering Trafiksimuleringsmodeller är uvecklade för a eferlikna beeende i e verklig rafiksysem. De finns en rad olika yper av rafiksimuleringsmodeller som exempelvis ids- eller händelsesyrda, micro-, meso- eller makromodeller och diskrea eller sokasiska. Alla har de dock gemensam a de på e eller anna sä bygger på beeende hos den enskilde rafikanen eller en rafiksröm. En sor fördel med rafiksimuleringsmodeller är a de, om de är validerade och kalibrerade på rä sä, eferliknar verkligheen väldig bra och ger därmed bra predikioner av resider, framförall vid olika yper av incidener. En nackdel är a de kräver inkommande och ugående flöde vid predikering av resider, d v s en prognos av flöde måse förs göras. Vidare så är de beräkningskrävande och de krävs a en sor mängd daa samlas in hela iden så a modellen hela iden är anpassad efer rådande rafiksiuaion. Drömmen för alla rafikinformaionscenraler vore naurligvis en rafiksimuleringsmodell som hela iden anpassas efer akuell daa och som därmed kan användas för a göra exaka prognoser och predikeringar för alla idpunker. Idag finns dock inge sådan sysem men i framiden kommer de med all säkerhe a göra de då de forskas en hel del inom dea område, se exempelvis Chu och Recker (2004) som har sudera mikrosimulering med PARAMICS som e verkyg för realidssimulering. Se även Mahmoud och El-Araby (1999) som uvecklade en egen makrosimuleringsmodell som esades för realidssimulering på moorvägar run München. I Sverige pågår jus nu e projek som heer Predik som syfar ill a a fram verkyg för offline- och online-predikering av resider och ruval vid incidener Regressions- och idsserieanalys Regressionsanalys bygger på a hia samband mellan en specifik variabel och dess förklaringsvariabler. Vid predikering av resider kan ill exempel idigare uppmäa resider och flöden ugöra förklaringsvariabler. Exempelvis kan de senas uppmäa residerna machas mo uppmäa resider från idigare dagar för a hia en serie daa som liknar den senas uppmäa. Därefer görs e anagande om a nuvarande serie av resider kommer a uvecklas på samma sä som den serie av idigare uppmäa resider som ger bäs machning. Lee e al (1998) har jämför predikering av resider med mulipel regression med e par andra meoder, se även sisa delen av lieraursudien där jämförelser mellan olika meoder behandlas. Den mulipla regressionsmodell som användes i dea es hade uppmä hasighe, flöde och densie från närliggande deekorer vid idigare idpunker som förklaringsvariabler. Minsa kvadra-meoden användes för a besämma modellkoefficienerna, d v s respekive förklaringsvariables inverkan på de predikerade värde. 9

20 En idsserie är en serie av observaioner ordnade i kronologisk ordning. Analysen av en idsserie bygger på anagande om a varje observaion är beroende av närliggande observaioner. En vikig del i idsserieanalys är a filrera de brus/slumpfakor som finns i mäningarna. De finns en rad olika modeller för idsserieanalys och jag kommer här a a upp några av dem. Box-Jenkins modeller är cenrala inom den generella prognoseorin och har även esas för predikering av resider, se exempelvis Lee e al (1998) och Lee och Choi (1998). ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average) är den mes använda modellen då den är väldig framgångsrik vid predikering av saionära idsserier, d v s idsserier med en åerkommande säsongssvängning kring en konsan nivå. Nackdelen med ARIMA-modellen är a den ine är speciell känslig för sörningar vilke gör a den reagerar sen på incidener som sör rafiken. En av de mes avancerade meoderna för idsserieanalys är Kalmanfilrering. Kalmanfilrering är en rekursiv meod som är lämplig för predikering av resider efersom den möjliggör koninuerliga uppdaeringar av de predikerade värde allefersom ny mädaa finns illgänglig. Kalmanfilrering bygger på vå ekvaioner, en observaionsekvaion och en illsåndsekvaion. Observaionsekvaionen beskriver förhållande mellan de observerade värde och en förklaringsvariabel som ska predikeras men som ine är mäbar. Tillsåndsekvaionen beskriver hur den predikerade residen beror av residen vid föregående idpunk och en eller flera förklaringsvariabler. Kalmanfilrering har bland anna använs av Chien och Kuchipudi (2002) vid deras forskning kring möjligheen a kombinera länk- och rubaserade predikioner. Vid jämförelser mellan olika modeller för predikering av resider har Kalmanfilrering visa sig vara en av de modeller som har ge bäs resula, se även kapiel 3.5 där de olika modellerna jämförs. En annan meod för idsserieanalys är Hol-Winers meod. Den bygger på exponeniell ujämning och kan hanera idsserier som innehåller både säsong och rend. Efersom Hol- Winers meod är den meod som kommer a analyseras närmare i dea exjobb kommer jag ine a beröra den mer här uan hänvisar isälle ill kapiel 5-7. Tidsserieanalys i allmänhe kommer a beskrivas närmare i kapiel 4. För mer informaion kring idsserier se exempelvis Washingon e al (2001). Sammanfaningsvis kan konsaeras a idsserieanalys fungerar väl när idsserien svänger relaiv regelbunde kring en viss nivå. När ovänade förändringar sker och den suderade variabeln beer sig på e oväna sä, exempelvis vid en inciden, fungerar de dock i allmänhe sämre, precis som de flesa meoder och modeller Jämförelser mellan de olika meoderna Två sudier där e anal olika meoder för predikering av resider jämförs har suderas. Den försa är en sudie genomförd av Lee och Choi (1998) där resulae av predikering av medelhasigheer med neurala näverk, Kalmanfilrering och en ARIMA(2,1,0)-modell har jämförs. Sudien visar a Kalmanfilrering ger e någo bäre resula än de övriga meoderna vid koridspredikering av medelhasigheer. Den andra sudien är genomförd av Lee e al (1998) och i den har Kalmanfilrering, mulipel regression, neurala näverk och ARIMA(1,0,0) jämförs. Sudien visar a Kalmanfilrering och neurala näverk ger de bäsa resulaen. 10

21 Sammanfaningsvis kan konsaeras a de finns flera olika meoder och modeller för a predikera resider. Vilken meod som fungerar bäs beror ill sor del på vad resulae av predikionen ska användas ill, vilken daa som finns illgänglig sam hur rafikförhållandena ser u på den akuella plasen. 11

22 4. Tidsserieanalys I dea kapiel kommer begreppe idsserieanalys a beskrivas lie mer ingående. Kapile innehåller även en beskrivning av vå ujämningsmeoder som kan användas dels för a neuralisera slumpfakorn, d v s evenuella mäfel och andra sörningar, dels för a a fram sarvärden ill Hol-Winers meod Tidsserier Om en variabel mäs regelbunde bildar de observerade värdena en idsserie. I en idsserie anas a de observerade värdena är beroende av varandra på någo sä, exempelvis a hasigheen klockan 13:00 är beroende av hasigheen klockan 12:59. De är dea anagande som möjliggör de prognoser som baseras på idsserieanalys. I radiionell idsserieanalys alar man om fyra olika variaionsorsaker: Trend Säsong Konjunkur Slump Tidsseriens useende och egenskaper avgör vilka av dessa variaionsorsaker som är relevana och som måse inkludera i analysen för a resulae ska bli bra. Nedan beskrivs de olika variaionsorsakerna lie närmare Trend Trenden beskriver uvecklingen under en längre idsperiod, d v s den uveckling som sker borse från de illfälliga och korvariga säsongsvariaionerna. När de gäller predikering av rafik så mosvarar renden den sadiga ökningen av rafik på våra vägar och skillnaden i rafikflöden mellan olika ider på åre Säsong Säsongsvariaion innebär a den suderade idsserien har svängningar kring renden som är åerkommande med jämna mellanrum. Säsongsvariaionerna, eller de periodiska variaionerna, är hela iden lika långa. Vid predikering av rafik så mosvarar säsongsvariaionen den dagliga ökningen av rafikflöde vid rusningsid. En ökning som på länkar med kapaciesproblem även innebär en sänkning av medelhasigheen Konjunkur Kring renden i en idsserie kan de finnas variaioner som beror på konjunkuren. Konjunkur är e ekonomisk begrepp som beskriver de sändig åerkommande uppgångarna och nedgångarna i ekonomin. Dessa mer eller mindre regelbundna svängningar finns främs i idsserier med ekonomiska daa. Analys av denna variaionsorsak kräver a idsserien suderas under e mycke sor anal år. Räneläge, arbeslösheen och prise på olika råvaror är exempel på ekonomiska variabler som påverkas av konjunkuren. Då konjunkuren ine anas ha någon sörre påverkan vid predikion av rafik kommer denna variaionsorsak ej a behandlas närmare. 12

23 Slump De variaioner i en idsserie som ej kan förklaras av de redan nämnda variaionsorsakerna förklaras av slumpfakorn, eller brus som de också kallas. Under denna kaegori kan olika saker som påverkar mäningarna soreras in, exempelvis rena mäfel och variaioner i väder. Variaioner som beror av någon slumpmässig påverkan kan ofa minskas med en ujämningsmeod, se näsa avsni Ujämningsmeoder Slumpfakorn, d v s mäfel och annan påverkan av mävärdena i en idsserie som ej kan förklaras av rend-, konjunkur- eller säsongsvariaion, kan ibland vara så sor a den försvårar möjligheen a göra en rovärdig och bra predikion. En sor slumpfakor innebär ofa a idsserien variera väldig mycke kring de förvänade värde, d v s de värde som kan förklaras av rend-, konjunkur- och säsongsvariaion. Om så är falle kan en ujämningsmeod användas för a jämna u idsserien och därmed minska påverkan av slumpfakorn. Ujämningsmeoder kan även användas för a a fram sarvärden ill Hol-Winers meod. Jag kommer a beskriva vå olika ujämningsmeoder, cenrera glidande medelvärde och exponeniell ujämning Cenrera glidande medelvärde En enkel ujämningsmeod är cenrera glidande medelvärde. Denna meod baseras på eorin om a en sor slumpfakor får mindre påverkan om den grupperas ihop med dess m närmase grannar, d v s de observerade värde X ersäs med X m 1 m m+ 1 + m 1 X + i = i= m 2m + 1 = 2m + 1 X + X + K + X + K + X + X + m Deso sörre m deso mer ujämnad blir serien, vilke ydlig kan ses i figur 4.1. Av figuren framgår även a, precis som förväna, e mindre m gör a den ujämnade serien reagerar snabbare på variaioner i den uppmäa idsserien. E problem med cenrera glidande medelvärden är a den ujämnade serien innehåller färre värden än den verkliga serien, m sycken värden förloras i början och slue av idsserien. Cenrera glidande medelvärde lämpar sig väl för a a fram sarvärden ill Hol-Winers meod. Däremo är den ej lämplig för a jämna u en idsserie som ska predikeras efersom de senas observerade värdena ej kan jämnas u. 13

24 :00 07:02 07:04 07:06 07:08 07:10 07:12 07:14 07:16 07:18 07:20 07:22 07:24 07:26 07:28 07:30 Uppmä värde Ujämna värde (m=2) Figur 4.1 Effek av cenrera glidande medelvärde med m= Exponeniell ujämning Enkel exponeniell ujämning är en ujämningsmodell som ligger ill grund för många mer avancerade prognosmodeller, bland anna Hol-Winers meod. Modellen bygger ujämningen på vikade medelvärden. Sörs vik ges å de senas observerade värde, näs mes vik å de näs senase osv. De uppmäa värde X ersäs med X 2 ( 1 α) X + α(1 α) X 1 + α (1 α) X 2 = < α < 1 Viken besäms av den så kallade ujämningskonsanen α. E sor α ger en mer ujämnad serie medan e lie α följer den uppmäa serien väldig väl efersom den ger klar sörs vik ill de senas uppmäa värde, se figur Figur :00 07:02 07:04 07:06 07:08 07:10 07:12 07:14 07:16 07:18 07:20 07:22 07:24 07:26 07:28 07:30 Uppmä värde Ujämna värde ( =0.6) Effek av exponeniell ujämning med α=0.6 14

25 5. Hol-Winers meod Hol-Winers meod finns i re olika varianer. En varian som lämpar sig bäs när idsserien innehåller en rend men ingen påaglig säsong och vå varianer som lämpar sig då de finns både rend och säsong, en muliplikaiv och en addiiv. Efersom de inom rafiken finns viss rend men framförall säsong kommer jag a koncenrera mig på de vå varianerna som klarar av dea. Vilken av dessa vå varianer som lämpar sig bäs beror på hur säsongsmönsre ser u. Är säsongsmönsre proporionell mo sorleken på daa (se figur 5.1) är den muliplikaiva a föredra, medan den addiiva lämpar sig bäre om säsongsmönsre är icke-proporionell mo sorleken på daa (se figur 5.2). För a predikera hasigheer kan de diskueras vilken meod som är mes lämpad. Efersom medelhasigheen, d v s sorleken på daa, ligger relaiv konsan från vecka ill vecka spelar de mindre roll vilken meod som används. Båda varianerna kommer a analyseras och esas. Figur 5.1 Proporionell säsongsmönser Figur 5.2 Icke-proporionell säsongsmönser Följande paramerar ingår i modellerna: X X T S Xˆ δ = Observerad nivå för idpunken = Skaad nivåkomponen för idpunken = Skaad rendkomponen för idpunken = Skaad säsongskomponen för idpunken. Om serien besår av en period med längd p beecknas säsongsfakorn för samma idpunk föregående period S -p = Predikera värde för idpunken = Skillnaden i anal minuer mellan idpunken som ska predikeras och akuell idpunk 5.1. Muliplikaiv Hol-Winer Hol-Winers muliplikaiva meod besår av re komponener: nivå, rend och säsong. Nivåkomponenen besår av vå delar, en del som beror av den senas skaade nivån och renden, och en del som beror av de observerade värde och säsongsskaningen. Dessa vå delar vikas sedan med hjälp av en ujämningskonsan α. 15

26 X = α X ( X + T ) + ( α ) 0 α S p Trendkomponenen besår även den av vå delar, dels den senas skaade rendkomponenen, dels skillnaden mellan de vå senas skaade nivåkomponenerna. De vå delarna vikas med ujämningskonsanen β. T β ( 1 β )( X X ) 0 β 1 = T Säsongskomponenen beror dels av den senase säsongskomponenen, dels av kvoen mellan de observerade värde och den skaade nivån. Dessa vå delar vikas med ujämningskonsanen γ. S X ( γ ) 0 1 = γ S p + 1 γ X De predikerade värde med Hol-Winers muliplikaiva meod ges av: X ˆ ( X T ) S + δ = + δ p+δ 5.2. Addiiv Hol-Winer Hol-Winers addiiva meod besår precis som den muliplikaiva av re komponener. Trendkomponenen är idenisk med rendkomponenen i den muliplikaiva meoden medan de vå övriga komponenerna skiljer sig en del. Nivåkomponenen beror även i den addiiva meoden av vå delar. Skillnaden jämför med den muliplikaiva meoden ligger i den andra delen där de ine är kvoen uan den fakiska skillnaden mellan de observerade värde och idigare periods säsongskomponen som beräknas. X α ( X + T ) + ( 1 α )( X S ) 0 α 1 = 1 1 p Skillnaden i säsongskomponenen ligger även den i den andra delen och även här är den kvo som beräknas i den muliplikaiva meoden ersa med den fakiska skillnaden. S ( 1 γ )( X X ) 0 1 = γ S p + γ De predikerade värde med Hol-Winers addiiva meod ges av: X ˆ + δ = X + δ T + S p+δ 5.3. Exempel på predikering med Hol-Winers meod För a illusrera hur Hol-Winers meod fungerar ska jag visa e dealjera exempel på hur de 16

27 olika komponenerna beräknas. Som daa använder jag hasigheer uppmäa på Essingeleden i Sockholm på morgonen under fyra fredagar hösen 2003, se abell 5.1 och figur 5.3. Tidpunken som ska predikeras är 08:15 fredag 4 och δ är fem minuer. För a kunna predikera måse vi skaa de re komponenerna nivå, rend och säsong. Säsongskomponenen skaas med daa från de re föregående fredagarna medan de vå övriga komponenerna skaas med värden från alla fyra fredagarna. För säsongskomponenen används daa från 08:09 ill 8:15 medan de vå övriga komponenerna skaas med daa från 08:04 ill 08:10. Paramerarna, β och γ är i exemple alla saa ill 0,5. Denna parameersäning påverkar naurligvis resulae, hur mycke beskrivs i kapiel Tabell 5.1 Hasigheer uppmäa på Essingeleden 08:04-08:15 under fyra fredagar hösen De värde som ska predikeras är markera med fe sil Tid Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 Fredag 4 08:04 74,7 77,3 77,8 78,3 08:05 76,4 77,5 77,3 78,1 08:06 76,2 77,5 77,8 77,9 08:07 76,9 78,1 77,7 78,7 08:08 76,3 77,3 77,2 79,1 08:09 76,0 78,1 76,8 79,3 08:10 72,5 77,5 76,7 79,7 08:11 72,7 77,7 76,3 79,9 08:12 72,5 77,4 76,1 79,7 08:13 73,1 77,9 76,3 80,2 08:14 73,1 77,8 76,2 80,2 08:15 71,0 77,4 76,2 80,3 82 Observerad hasighe (km/h) Vecka 1 Vecka 2 Vecka 3 Vecka 4 08:04 08:05 08:06 08:07 08:08 08:09 08:10 08:11 08:12 08:13 08:14 08:15 Figur 5.3 Hasigheer uppmäa på Essingeleden 08:04-08:15 under fyra fredagar hösen

28 Exempel - muliplikaiv Hol-Winer Nivåkomponenen X skaas med ekvaion 5.1, se även kapiel 5.1. X ( X + T ) + ( α ) 0 α 1 X = α (5.1) S p Efersom är sa ill 0,5 i dea exempel beror nivåkomponenen ill hälfen av den skaade nivån från föregående minu adderad med den skaade renden från föregående minu och ill hälfen av observerad nivå från akuell idpunk dividerad med säsongskomponenen från akuell idpunk föregående vecka. Sarvärde för nivåkomponenen beräknas med e cenrera glidande medelvärde med m sa ill 2 enlig ekvaion 5.2, se även kapiel X 2 + X 1 + X + X X + 2 X = (5.2) 5 Trendkomponenen T skaas med ekvaion 5.3. ( 1 β )( X X ) 0 β 1 T β (5.3) = T Ujämningskonsanen β är i dea exempel sa ill 0,5 vilke innebär a rendkomponenen ill hälfen besår av den skaade rendkomponenen från föregående minu och ill hälfen av skillnaden mellan nivåkomponenen från akuell idpunk subraherad med nivåkomponenen från föregående minu. Sarvärde för rendkomponenen beräknas som skillnaden mellan de vå skaade sarvärdena för nivåkomponenen, se ekvaion 5.4. Om β säs ill 1 beror rendkomponenen bara på den föregående rendkomponenen vilke innebär a rendkomponenen är densamma som sarvärde. T (5.4) = X X 1 Säsongskomponenen i Hol-Winers muliplikaiva meod beräknas med ekvaion 5.5. X S ( γ ) 0 1 (5.5) = γ S p + 1 γ X Efersom γ i dea exempel är sa ill 0.5 baseras säsongskomponenen ill hälfen på föregående säsongskomponen och ill hälfen på uppmä nivå dividerad med skaad nivå. Sarvärde för säsongskomponenen, d v s säsongskomponenen för vecka 1 är beräknad på följande sä: S X = X 2 + X 1 + X + X X

29 Efersom de ine finns någon idigare säsongs- eller nivåkomponen a ugå från beräknas e sarvärde för säsongskomponenen av kvoen mellan observerad nivå och en skaad nivå som mosvaras av e cenrera glidande medelvärde. Säsongskomponenen ligger nära 1 om den skaade nivån ligger nära den observerade nivån. I abell 5.2 visas e exempel för beräkningen av nivå- och rendkomponenen. Som framgår av abellen och av ovansående beskrivning måse en nivåkomponen skaas innan en rendkomponen kan skaas och en rendkomponen måse i sin ur skaas innan en säsongskomponen kan skaas. Beräkningen av de re komponenerna bör påbörjas e anal observaioner respekive perioder bakå för a e bra resula ska erhållas. I dea exempel har jag val a påbörja beräkningen fem observaioner bakå. I exemple, där idpunken är 8:10 och δ är fem minuer, blir nivåkomponenen 79,48 och rendkomponenen 0,47, se abell 5.2. Tabell 5.2 Exempel på beräkning av nivå- och rendkomponenen i muliplikaiv Hol-Winer Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 Fredag 4 Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend 08:05 77,45 77,61 78,09 08:06 77,71 0,27 77,60-0,02 78,23 0,14 08:07 1, ,78 0,17 1, ,44-0,09 1, ,35 0,13 08:08 1, ,24-0,19 1, ,06-0,23 1, ,66 0,22 08:09 1, ,02-0,20 1, ,24-0,53 1, ,65 0,10 08:10 0, ,97 0,37 0, ,72-0,02 0, ,48 0,47 Vid beräkning av säsongskomponenen används ej daa från den akuella dagen och idpunken som säsongskomponenen beräknas för är den idpunk som ska predikeras, i dea fall 8:15. I abell 5.3 visas e exempel på hur en säsongskomponen räknas fram, i dea fall blir säsongskomponenen 1,0023. Tabell 5.3 Exempel på beräkning av säsongskomponenen i muliplikaiv Hol-Winer Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend Säsong 08:10 77,77 76,57 08:11 77,51-0,26 76,36-0,21 08:12 0, ,48-0,15 0, ,25-0,16 0, :13 1, ,28-0,17 1, ,88-0,27 1, :14 1, ,82-0,32 1, ,36-0,39 1, :15 0, ,22 0,04 0, ,66-0,05 1,0023 I Hol-Winers muliplikaiva meod beräknas de predikerade värde u med ekvaionen nedan. ( X + T ) S = ( 79, ,47) 1,0023 = 82, 0 ˆ + δ = δ p+ δ X I de akuella exemple blir de predikerade värde 82,0, a jämföra med de observerade värde som är 80,3. Dea får ses som en bra predikering efersom e fel på 1,7 km/h 19

30 omräkna i resid på akuell sräcka mosvarar 0,7 s. E fel som ligger inom felmarginalen för mäningarna. E bäre resula kan dock uppnås om paramerarna, β och γ opimeras med avseende på akuella förhållanden Exempel Addiiv Hol-Winer För a illusrera skillnaden mellan Hol-Winers addiiva och muliplikaiva meod ska jag även visa e exempel med den addiiva. Jag har använ samma rafikdaa som i exemple med den muliplikaiva meoden. Skillnaden mellan den muliplikaiva och den addiiva meoden ligger i beräkningen av nivå- och säsongskomponenen, se även kapiel 5.1 och kapiel 5.2. Den egenliga skillnaden ligger dock i säsongskomponenen som isälle för a vara e procenuell värde och ligga run 1 är e fakisk värde på skillnaden mellan skaad och observerad nivå. Efersom säsongskomponenen är annorlunda måse även nivåkomponenen juseras. Nivåkomponenen i Hol-Winers addiiva meod beräknas med ekvaion 5.6. ( X + T ) + ( 1 α )( X S ) 0 α 1 X α (5.6) = 1 1 p Efersom är sa ill 0,5 i dea exempel beror nivåkomponenen ill hälfen av den skaade nivån från föregående minu adderad med den skaade renden från föregående minu och ill hälfen av observerad nivå från akuell idpunk subraherad med säsongskomponenen från akuell idpunk föregående vecka. Skillnaden jämför med den muliplikaiva meoden ligger i ekvaionens andra del där den observerade nivån subraheras isälle för divideras med säsongskomponenen. Sarvärde för nivåkomponenen beräknas som i den muliplikaiva meoden, d v s med cenrera glidande medelvärde. Trendkomponenen i den addiiva meoden beräknas precis som i den muliplikaiva meoden och as därför ine upp här, se föregående kapiel. Beräkningen av säsongskomponenen skiljer sig dock, som idigare nämns, en del mellan den addiiva och den muliplikaiva meoden. I den addiiva meoden används ekvaion 5.7. ( 1 γ )( X X ) 0 1 S (5.7) = γ S p + γ Skillnaden jämför med den muliplikaiva meoden ligger i ekvaionens andra del där e divisionsecken har bys u mo e minusecken. Säsongskomponenen blir allså väldig lik rendkomponenen. De som skiljer dem å är a rendkomponenen visar skillnaden mellan de vå senase skaade nivåerna och säsongskomponenen skillnaden mellan observera värde och skaa värde. Sarvärde för säsongskomponenen i Hol-Winers addiiva meod är observera värde subrahera med en skaning gjord med cenrera glidande medelvärde, se ekvaion 5.8. X 2 + X 1 + X + X X + 2 S = X (5.8) 5 I abell 5.4 visas hur nivå- och rendkomponenen beräknas med den addiiva meoden uifrån gällande förusäningar. Nivåkomponenen blir här 79,47 och rendkomponenen 0,45. 20

31 Tabell 5.4 Exempel på beräkning av nivå- och rendkomponenen i addiiv Hol-Winer Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 Fredag 4 Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend 08:05 77,45 77,61 78,09 08:06 77,71 0,27 77,60-0,02 78,23 0,14 08:07 0,53 77,79 0,17 0,43 77,44-0,09 0,36 78,35 0,13 08:08 0,74 77,25-0,18 0,38 77,06-0,23 0,24 78,67 0,23 08:09 1,13 77,04-0,20 1,12 76,25-0,52 0,82 78,67 0,11 08:10-1,51 77,93 0,35-0,97 76,69-0,04-0,48 79,47 0,45 I abell 5.5 visas hur säsongskomponenen beräknas med Hol-Winers addiiva meod, i dea exempel blir den 0,18. Tabell 5.5 Exempel på beräkning av säsongskomponenen i addiiv Hol-Winer Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 Säsong Nivå Trend Säsong Nivå Trend Säsong 08:10 77,77 76,57 08:11 77,51-0,26 76,36-0,21 08:12-0, ,47-0,15-0,20 76,25-0,16-0,15 08:13 0, ,29-0,16 0,64 75,88-0,27 0,54 08:14 1, ,87-0,29 1,07 75,38-0,38 0,96 08:15-0, ,24 0,04-0,16 75,67-0,05 0,18 Även beräkningen av de predikerade värde skiljer sig å mellan den addiiva och den muliplikaiva. I den addiiva meoden adderas säsongskomponenen ill övriga komponenen medan den, enlig kapiel 5.3.1, mulipliceras med summan av nivå- och rendkomponenen i den muliplikaiva. I de akuella exemple beräknas de predikerade värde med den addiiva meoden enlig nedan: ˆ + δ = X + δt + S p+ δ X = 79,47 + 0, ,18 = 81,9 I ovansående exempel blir de predikerade värde med Hol-Winers addiiva meod 81,9, a jämföra med de predikerade värde med Hol-Winers muliplikaiva meod som var 82,0 och de observerade värde som var 80,3. Dessa fel ligger inom felmarginalen för mäningarna. E bäre resula kan dock uppnås om paramerarna, β och γ opimeras med avseende på akuella förhållanden. Vilken effek värde på paramerarna, β och γ har på resulae beskrivs närmare i kapiel

32 6. Tes av Hol-Winers meod I dea kapiel behandlas bakgrunden ill de es av Hol-Winers meod som har gjors. Den mädaa som har använs beskrivs, illsammans med de avgränsningar som har gjors. Även probleme med besämningen av ujämningskonsanerna behandlas och de naiva predikorer som Hol-Winers meod har jämförs med beskrivs Programmering av Hol-Winers meod I många saisikprogram finns de möjlighe a göra prognoser med Hol-Winers meod. A använda e sådan program i dea examensarbee var dock aldrig akuell. Anledningen ill dea var a möjligheen a ändra och evenuell uveckla modellen då skulle försvinna. A skicka in en massa daa i en svar låda och sedan få u e svar ger ine heller någon sörre försåelse för modellens uppbyggnad. Isälle har Malab använs för a esa och analysera Hol-Winers meod. A Malab användes innebar visserligen a en hel del programkod fick skrivas men dea uppvägdes av de fakum a möjligheen fanns a uveckla och esa modellen på e bra sä. Malab är dessuom e program som lämpar sig väl när man ska hanera sora mängder daa, någo som har gjors i dea examensarbee. Vidare är de enkel a koppla samman Malab med en daabas Avgränsningar Precis som i exemple i kapiel 5.3 används re dagar för beräkning av säsongskomponenen medan alla fyra dagarna används för beräkning av nivå- och rendkomponenen. Vidare har beräkningen av de olika komponenerna baseras på de fem senase värdena, precis som i exemple. Jag har endas använ mig av daa mellan 05:00 och 22:00 efersom hasigheerna variera väldig mycke och oregelbunde under naen. Vidare har jag sa e minimivärde för medelhasigheen på 0 km/h, d v s hel sillasående rafik, och e maxvärde på 90 km/h. Skylad hasighe är 70 km/h. Anledningen ill a jag sae e min- och e maxvärde för den predikerade hasigheen är a Hol-Winers meod annars kan ge orimliga negaiva värden då δ och rendkomponenen är sora. Vid jämförelse av medelfele är Hol-Winers ujämningskonsaner opimerade med avseende på jus medelfele och vid jämförelse av maxfele är de opimerade på maxfele. Medelfele är beräkna över de 1020 minuer som har predikeras för respekive fredag och maxfele är de sörsa predikionsfele bland dessa 1020 minuer. Predikionsfelen är beräknade med minsa kvadra-meoden Besämning av ujämningskonsaner I beskrivningen av Hol-Winers meod framgår a de finns re ujämningskonsaner som ska besämmas:, β och γ. Efersom de re komponenerna som predikionen med Hol-Winers meod bygger på beror av varandra är de e ganska komplex problem a besämma de opimala värde på ujämningskonsanerna. Jag valde därför a använda mig av en färdig funkion i Malab, fmincon, isälle för a programmera en egen opimeringsruin. Fmincon lear upp den kombinaion av ujämningskonsaner som ger de lägsa medel- eller maxfele med hänsyn ill de bivillkor som gäller. Efersom de sarvärde som anges vid opimeringen med fmincon har viss beydelse för sluresulae har jag prova flera olika sarvärden för varje fall. 22

33 Opimeringsprobleme för besämning av ujämningskonsaner ill Hol-Winer muliplikaiva meod kan beskrivas enlig nedan: Min ( X Xˆ ) T 2 = + 1 δ + δ X ˆ T X + δ = + δ T S p+δ där ( ) X T S X ( X 1 + T 1 ) + ( 1 ) = α α β S p ( β )( X X ) = T γ = S p 0 α 1 0 β 1 0 γ 1 + X ( 1 γ ) Opimeringsprobleme ovan beskriver de fall när ujämningskonsanerna opimeras för a minimera medelfele, ujämningskonsanerna har även opimeras med avseende på maxfele. T är de oala anale minuer som predikeras de akuella dygne, se kapiel 5 för beskrivning av de övriga paramerarna. Observera a vid opimeringen av ujämningskonsanerna ingår de sanna värde, X +, som en parameer. Dea är dock ine möjlig när idpunken + ligger i framiden, efersom man då ej har illgång ill de sanna värde. Om så är falle måse e generell värde på ujämningskonsanerna, eller e värde anpassa efer en speciell rafiksiuaion, användas. Anledningen ill a jag har val a använda de sanna värde när ujämningskonanerna har opimeras är a jag ville se hur bra predikeringar Hol-Winers meod kan ge under opimala förhållanden. När Williams e al (1998) jämförde resulaen av predikering av rafikflöden med ARIMA respekive Hol-Winers meod användes SPSS 1 grid-search för a hia opimala ujämningskonsaner. Vid användning av SPSS grid-search besämmer användaren e maxoch e minvärde sam en seglängd för respekive ujämningskonsan. SPSS söker därefer igenom alla möjliga kombinaioner uifrån de värden som användaren ange och presenerar de io kombinaioner som ger lägs SSE (sum square of errors). Vid besämningen av de opimala värdena på ujämningskonsanerna finns en del frågesällningar a besvara. Är de rimlig a ana a ujämningskonsanerna ska vara samma under hela dygne, oberoende rafiksiuaion? Hur sor påverkan har ujämningskonsanerna på resulae? Hur varierar de med δ? Svar på dessa frågor redovisas i kapiel 7.6. X 1 SPSS (Saisical Package for he Social Sciences) är e programpake för saisiska bearbeningar. 23

34 6.4. Mädaa Hol-Winers meod har esas på fyra olika yper av dagar, se figur :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00: :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00: :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00: :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 6.1 De fyra dagar som har predikeras vid ese av Hol-Winers meod De fyra dagarna besår av en dag där hasigheen sjunker beydlig mer än genomsnilig under rusningsid, en dag där hasigheen är relaiv konsan, en dag som är relaiv lik en genomsnilig fredag och ill sis genomsnie för de fyra dagar som har använs. Som hisorik för respekive dag har övriga dagar använs, uom för genomsnisdagen där genomsnisdagen har använs även som hisorik. Anledningen ill de är a jag ville se hur modellen reagerade under ideala förhållanden, d v s a de dygn som ska predikeras är idenisk med idigare dygn. I abell 6.1 framgår vilka dagar som har ugjor hisorik för respekive dag. Tabell 6.1 Tabell över vilka dagar som har ugjor hisorik för respekive predikerad dag Fall 1 Fall 2 Fall 3 Fall 4 Predikerad dag Fredag 2 Fredag 3 Fredag 4 Genomsni Hisorisk dag 1 Fredag 1 Fredag 1 Fredag 1 Genomsni Hisorisk dag 2 Fredag 3 Fredag 2 Fredag 2 Genomsni Hisorisk dag 3 Fredag 4 Fredag 4 Fredag 3 Genomsni Ujämning av mädaa Vid en försa analys av Hol-Winers meod konsaerades a de predikerade värdena har väldig sor varians, framförall när δ är sor och mävärdena varierar mycke. I de akuella 24

35 exemple där daa på minunivå har använs är Hol-Winers meod ej lämplig a använda direk på de hasigheer som mäs uan en ujämning har visas sig vara nödvändig för a få bäre resula. Hol-Winer är visserligen en ujämningsmeod i sig men de krävs allså yerligare ujämning för a göra modellen mindre svängig och minska variansen. I figur 6.2 visas skillnaden mellan uppmäa hasigheer under en av de uvalda mädagarna och samma mädaa ujämna med exponeniell ujämning där α är sa ill 0,7 respekive 0, :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00: :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00: :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 6.2 Mädaa från fredag 2. Övers uppmä daa, i mien uppmä daa ujämna med α=0,7 och längs ned uppmä daa ujämna med α= 0,85 Efer a mädaa hade jämnas u erhölls bäre resula vid predikering med Hol-Winers meod, se avsni Naiva predikorer För a få e må på hur bra Hol-Winers meod predikerar hasigheer har resulaen jämförs med re olika yper av enkla naiva predikorer: en som baseras på senas observerade värde, en som baseras på hisorisk daa och en som baseras på en kombinaion av dessa vå. Predikion med senas observerade värde bygger, precis som de låer, på e anagande om a de senas observerade värde ligger nära de värde som ska predikeras. Predikion med endas hisorik bygger på anagande om a hasigheen varierar på samma sä varje dag. Genomsnie för alla fyra dagar har här ugjor hisorik. Predikering baserad endas på hisorik är oberoende av δ. Den redje naiva predikorn, den som bygger på en kombinaion av de vå övriga, har jag val a basera ill hälfen på senas kända värde och ill hälfen på hisoriken. 25

36 Anledningen ill a jag ej har jämför Hol-Winers meod med den meod som används för a predikera medelhasigheer i den nuvarande versionen av AeroechTelubs reseplanerare, d v s exponeniell ujämna medelvärde, är a jag vid dea examensarbees sar ej hade illgång den mängd daa som den meoden kräver. Vidare så baseras den meoden på imdaa och ej på minudaa. Se kapiel 7 för jämförelse av resulaen av predikering med de naiva predikorerna och Hol- Winers meod. 26

37 7. Resula av es av Hol-Winers meod I dea kapiel kommer resulae av ese av Hol-Winers meod a beskrivas och analyseras. Som nämns idigare har fyra olika fall suderas: En fredag där medelhasigheen p g a en eller flera incidener sjunker beydlig mer än genomsnilig under rusningsid, en dag där medelhasigheen är relaiv konsan, en fredag som är relaiv lik en genomsnilig fredag och sis genomsnie för de fyra fredagar som har använs. De fyra olika fallen har vals u uifrån de dagar som fanns illgängliga och anken är a de illsammans ska beskriva hur väl Hol- Winers meod klarar av a predikera olika yper av dagar. Jag kommer här a dels redovisa resulaen för predikeringen av respekive fall, dels de genomsniliga resulae. Resulae för sju olika predikorer redovisas, förs de re olika naiva predikorerna, därefer Hol-Winers muliplikaiva meod med re olika nivåer av ujämning och sluligen Hol-Winers addiiva meod Fall 1 Exrem låg hasighe under rusningsid I fall 1, där hasigheen sjunker väldig mycke under rusningsid ger Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa lägs värde på maxfele och medelfele då är 15 minuer. Skillnaden mo predikion baserad på de senas kända värde är dock lien se ill medelfele och då är 5 eller 30 min ger predikionen baserad på senas kända värde lägs medelfel, se figur Medelfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.1 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 1 När de gäller maxfele ger dock Hol-Winers meod lägs värde för alla, se figur 7.2. Då är 5 min är Hol-Winers meod med ujämnad daa bäs och när är 15 eller 30 min är Hol- Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa bäs. 27

38 120 Maxfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.2 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 1 Dealjera resula för predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa och =15 min för fall 1 kan ses i figur 7.3. Som framgår av figuren ger predikion med Hol-Winers meod relaiv sor varians ros a daa som används är mycke ujämnad. När medelhasigheen run kl sjunker mycke krafig blir de predikerade värde negaiv. Som nämns idigare har dock e minimivärde för hasigheen lags in så a de predikerade värde ej kan bli negaiv, uan isälle blir 0. 28

39 :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 7.3 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 1 då =15, blå heldragen linje är observerad hasighe och sreckad röd linje är predikera värde 7.2. Fall 2 Relaiv konsan hasighe under hela dygne För fall 2, där medelhasigheen är relaiv konsan under hela dygne, ger predikion med senas kända värde lägs medelfel för alla, se figur 7.4. Hol-Winers meod ger e någo högre medelfel än predikion med senas kända värde då är 5 eller 15 min. När är 30 min är däremo medelfele för Hol-Winers meod näsan dubbel så sor som medelfele för predikion med senas kända värde. 29

40 12 Medelfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.4 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 2 Om man iar på maxfele är Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa marginell bäre än predikion med senas kända värde då är sa ill 5 min. Vid = 15 eller 30 min är predikion med senas kända värde beydlig bäre än Hol-Winers meod, se figur Maxfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.5 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 2 Dealjera resula för predikering av fall 2 med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa och =15 min kan ses i figur

41 :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 7.6 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 2 då =15, blå heldragen linje är observerad hasighe och sreckad röd linje är predikera värde 7.3. Fall 3 Hasigheen följer de genomsniliga relaiv väl För fall 3, där medelhasigheen följer de genomsniliga värdena relaiv väl, ger predikion med senas kända värde lägs medelfel då är 5, se figur 7.7. Vid = 15 min är senas kända värde och den naiva predikor som bygger på en kombinaion av senas kända värde och hisoriken bäs och då är 30 min ger kombinaionspredikorn bäs resula. Hol-Winers meod ger e marginell högre medelfel då är 5 eller 15 min. När däremo är 30 min är skillnaden sörre. 31

42 8 7 Medelfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.7 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 3 För maxfele ser de u på ungefär samma sä. Då är 5 min ger predikion med senas kända värde bäs resula, medan kombinaionspredikorn ger bäs resula då är 15 eller 30 min, se även figur Maxfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.8 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 3 I figur 7.9 visas predikering av fall 3 med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa och med =15 min. 32

43 :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 7.9 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 3 då =15, blå heldragen linje är observerad hasighe och sreckad röd linje är predikera värde 7.4. Fall 4 Genomsnilig dag Hisoriken för den genomsniliga dagen besår, som nämns idigare, av den genomsniliga dagen. Syfe är a se hur de olika predikorerna uppför sig under opimala förhållanden, d v s när den predikerade dagen ser idenisk u med idigare dagar. Självklar är predikorn som bara bygger på hisoriken bäs, den får både e medelfel och maxfel som är 0. Näs bäs är predikorn som ill hälfen bygger på hisoriken och ill hälfen på senas kända värde. Bland övriga predikorer har Hol-Winers meod lägs medelfel då är 5 och 15 min, medan predikion med senas kända värde ger lägs medelfel då är 30 min, se även figur

44 6 Medelfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.10 Medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 4 Även när de gäller maxfele är predikorn som bara bygger på hisoriken självklar bäs, följd av predikorn som ill hälfen bygger på hisoriken och ill hälfen på senas kända värde. Bland övriga predikorer ger Hol-Winers meod lägs maxfel då är 5 min, medan predikion med senas kända värde ger lägs maxfel då är 15 eller 30 min, se figur Maxfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.11 Maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på för fall 4 Exempel på predikering av fall 4 med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa och =15 kan ses i figur

45 :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 7.12 Resula av predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa för fall 4 då =15, blå heldragen linje är observerad hasighe och sreckad röd linje är predikera värde 7.5. Sammanfaning Om e medelvärde av medelfelen för de olika fallen beräknas framgår a skillnaden mellan predikion med senas kända värde och Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa är mycke lien då är 5 eller 15 min. Då är 30 min är medelvärde av medelfele för predikion med senas kända värde ungefär 1,5 km/h lägre än medelvärde av medelfele för predikion med Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa, se även figur När de gäller övriga predikorer så ger predikorn som bygger på en kombinaion av hisorik och senas kända värde e bra resula då är 15 eller 30 min, medan den är beydlig sämre då är 5 min. 35

46 10 9 Medelfel (km/h) (min) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv Figur 7.13 De genomsniliga medelfele för olika yper av predikorer och olika värden på För de genomsniliga maxfelen ser de u i sor se samma sä som för medelfelen, d v s predikion med senas kända värde och Hol-Winers meod ger bäs resula då är 5 eller 15 min. När är 30 min ger däremo Hol-Winers meod e någo sämre resula än predikion med senas kända värde, se figur Maxfel (km/h) Kombinaion Senase Hisorik Muliplikaiv Ujämnad muliplikaiv Mycke ujämnad muliplikaiv Ujämnad addiiv (min) Figur 7.14 Genomsniliga maxfele för olika yper av predikorer och olika värden på 7.6. Olika fakorers påverkan på resulae För a få en förklaring ill resulaen av ovansående es av de olika predikorerna, främs Hol-Winers meod, kommer e anal olika fakorer a suderas lie djupare. 36

47 Ujämning av daa Som framgår av de olika esfallen ger en ujämning av hasighesdaa som används för predikering med Hol-Winers meod e bäre resula än om predikering görs direk av insamlad daa. Dea gäller framförall då är 15 eller 30 min. Anledningen ill dea är naurligvis a en ujämning av daa ger en mindre varians. I figur 7.15 visas vilken påverkan ujämning av daa har vid predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod för fall 3 med =30 min :00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00 00:00 Figur 7.15 Effek av ujämning av daa vid predikering med Hol-Winers muliplikaiva meod. Heldragen blå linje är uppmäa värden, sreckad röd linje är predikera värde med mycke ujämnad daa och gul sreckad linje är predikera värde med orginaldaa Hisoriken För a se vilken påverkan hisoriken har på resulae av predikering med Hol-Winers meod har jag prova bya ordningen på de dagar som ugör hisoriken i fall 3, d v s predikering av Fredag 4, och =15 min. I normala fall är ordningen på hisoriken Fredag 1- Fredag 2-Fredag 3. Jag har prova alla möjliga kombinaioner och jag har även esa a ha den genomsniliga fredagen som hisorik. Tabell 7.1 Effeken av respekive möjlig ordning på de dagar som ugör hisoriken för fall 3 Hisorisk dag 1 Hisorisk dag 2 Hisorisk dag 3 Medelfel Fredag 1 Fredag 2 Fredag 3 2,1 Fredag 1 Fredag 3 Fredag 2 2,1 Fredag 2 Fredag 1 Fredag 3 2,2 Fredag 2 Fredag 3 Fredag 1 2,2 Fredag 3 Fredag 2 Fredag 1 2 Fredag 3 Fredag 1 Fredag 2 2 Genomsni Genomsni Genomsni 2,1 37

48 Av abellen framgår a de i huvudsak är den försa hisoriska dagen som påverkar resulae. Dea innebär a de kan vara möjlig a få e bäre resula om fler dagar ugör hisorik, d v s Hol-Winers meod behöver fler hisoriska dagar för a svänga in. Vidare så kan de konsaeras a de kombinaioner av hisoriska dagar som har samma sardag, d v s hisorisk dag 1, har även samma opimala värde på ujämningskonsanerna. För a esa om e bäre resula kan uppnås om fler dagar ugör hisoriken provade jag a använda sju dagar som hisorik. Jag använde fall 3 med =15 min som esfall. Som hisorik använde jag den ursprungliga ordningen av fredagar, d v s fredag 1 följd av fredag 2 och fredag 3, som grund och lade sedan på fyra genomsniliga fredagar som exra hisorik. Dea visade sig dock ine påverka resulae nämnvär. De är dock möjlig a modellen skulle ge e bäre resula om fler olika dagar användes, yvärr har de ine vari möjlig a esa dea inom ramen för dea examensarbee Sorleken på Efersom Hol-Winers meod har en rendkomponen som mulipliceras med blir variansen väldig sor om både och rendkomponenen är sora. Av eserna framgår a Hol-Winers meod lämpar sig bäs för låga, d v s fem eller 15 minuer. Då är 30 minuer blir variansen allför sor och de naiva predikorerna ger e beydlig bäre resula Addiiv respekive muliplikaiv Teserna av Hol-Winers muliplikaiva respekive addiiva meod visar a de vå meoderna ger likvärdiga resula. De innebär allså a de ine spelar någon roll om man väjer a använda Hol-Winers muliplikaiva eller addiiva meod vid koridspredikering av hasigheer/resider Värde på ujämningskonsanerna Ujämningskonsanerna har en cenral del i Hol-Winers meod och de påverkar naurligvis resulae en hel del. Om man iar närmare på respekive ujämningskonsan kan man konsaera följande: - Sor innebär a modellen beror mer av den skaade nivåkomponenen från föregående minu adderad med rendkomponenen från föregående minu, än den observerade nivåkomponenen från akuell idpunk dividerad/subraherad med skaad säsongskomponen från föregående fredag. - Sor β innebär a modellen ar sörre hänsyn ill den skaade rendkomponenen från föregående minu än skillnaden mellan skaade nivåkomponen från akuell idpunk och den skaade nivåkomponenen från föregående minu. - Sor γ innebär a modellen beror mer av den skaade säsongskomponenen från föregående fredag än observera nivå från akuell idpunk dividerad/subraherad med skaad nivå för samma idpunk. I abell 7.2 redovisas de opimala värdena på respekive ujämningskonsan från de esfall som redovisades i idigare i dea kapiel. Värdena är agna från ese av Hol-Winers muliplikaiva meod med mycke ujämnad daa. 38

49 Tabell 7.2 Fall 1 Opimala värden på ujämningskonsanerna för respekive fall. (0-1 innebär a värde på parameern ine spelar någon roll för resulae.) Medel Max 5 alfa 0,3944 0,2923 bea 0 0 gamma 0, alfa 0, bea 0,4684 0,8333 gamma 0 0, alfa 0, bea 0,6332 0,858 gamma Fall 2 Medel Max 5 alfa 0, bea 0,2069 0,6315 gamma 0, alfa 0 0,5044 bea 0,7908 0,7346 gamma 0, alfa 0 0,8876 bea 0, gamma 1 1 Fall 3 Medel Max 5 alfa 0,5875 0,3365 bea 0 0 gamma 0,8686 0, alfa 0,835 0,7596 bea 0 0 gamma 0, alfa 0 0,7747 bea 0,7865 0,3437 gamma 1 1 Fall 4 Medel Max 5 alfa 0 0 bea 0 0 gamma alfa 0 0 bea 0 0 gamma alfa 0 0 bea 0 0 gamma

50 Kolumnen Medel redovisar opimala värden då medelfele har minimeras, medan kolumnen Max visar opimala värden då maxfele har minimeras. Tabellen visar a de opimala värdena på ujämningskonsanerna varierar väldig mycke, dels mellan de olika fallen, dels för olika värden på. För a få en samlad bild har jag även ia på genomsnilig värde på respekive ujämningskonsan, se abell 7.3. Vid beräkningen av genomsnie har jag ine agi med fall 4 efersom de är orealisisk och skiljer sig väldig mycke från de övriga fallen. Jag har endas ia på de opimala ujämningskonsanerna vid minimering av medelfele. Tabell 7.3 Genomsni, maxvärde och minimivärde för de re ujämningskonsanerna vid olika värden på. Fall 4 ingår ej. Genomsni Maxvärde Minimivärde 5 alfa 0,44 0,59 0,34 bea 0,07 0,21 0 gamma 0,68 0,87 0,56 15 alfa 0,39 0,84 0 bea 0,42 0,79 0 gamma 0, alfa 0,06 0,19 0 bea 0,74 0,89 0,63 gamma 0, Tabellen visar a α varierar relaiv lie då =5. Värde på α ligger run 0,5 vilke innebär a modellen ar ungefär lika sor hänsyn ill den skaade nivåkomponenen från föregående minu adderad med rendkomponenen från föregående minu, som den observerade nivåkomponenen från akuell idpunk dividerad med skaad säsongskomponen från föregående fredag. När ökar minskar de opimala värde på α vilke allså innebär a sörre hänsyn as ill skaad nivå- och rendkomponen än observerad nivåkomponen och skaad säsongskomponen. De kan ses som lie mosägelsefull, rimligvis borde mindre hänsyn as ill rendkomponenen då ökar. Probleme är dock a de olika komponenerna beror av varandra och de är svår a dra några slusaser av värde på respekive ujämningskonsan. För β gäller samma sak som för α, d v s de opimala värde ökar när ökar. Dea innebär a vid lie as sörs hänsyn ill skillnaden mellan skaad nivåkomponen från akuell idpunk och skaad nivåkomponen från föregående minu medan de vid sor as sörs hänsyn ill den skaade rendkomponenen från föregående minu. De genomsniliga opimala värde på γ är relaiv konsan oavse. Noera dock a då sor varierar γ väldig mycke. För a närmare sudera hur resulae av predikering med Hol-Winers meod påverkas av ujämningskonsanerna har jag gjor en känslighesanalys. Jag har ugå från fall 3 med =15 min. Försa kolumnen med värden innehåller de ujämningskonsaner som ger lägs medelfel. I abell 7.4 framgår vilken påverkan olika värden på α har på resulae. 40

51 Tabell 7.4 Känslighesanalys av ujämningskonsanen α α 0,835 0,935 0, ,5 0 β γ 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 Medelfel 2,1 2,2 2,2 2,5 2,2 2,7 Maxfel 14,7 16,4 14,7 18,3 14,8 19,3 Tabellen visar a medelfele försämras som mes med 0,6 km/h. Minimivärde på maxfele är 14,7 km/h och när α varieras samidig som de andra ujämningskonsanerna hålls konsana försämras minimivärde på maxfele som mes med 4,6 km/h. Tabell 7.5 Känslighesanalys av ujämningskonsanen β α 0,835 0,835 0,835 0,835 0,835 β 0 0,1 0,25 0,5 1 γ 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 Medelfel 2,1 2,1 2,1 2,2 2,4 Maxfel 14,7 14,8 15, ,9 I abell 7.5 framgår a värde på β har relaiv lien påverkan på både max och medelfele. Medelfele försämras som mes med 0,3 km/h och maxfele med 3,2 km/h. Tabell 7.6 Känslighesanalys av ujämningskonsanen γ α 0,835 0,835 0,835 0,835 0,835 β γ 0,9996 0,9 0,75 0,5 0 Medelfel 2,1 2,1 2,2 2,4 2,7 Maxfel 14,7 15,8 17,5 19,6 21 Tabell 7.6 visar a γ är den ujämningskonsan som kan påverka resulae mes om övriga ujämningskonsaner är konsana. Medelfele kan försämras med 0,6 km/h och maxfele med 6,3 km/h. Sammanfaningsvis kan man säga a de opimala värde på ujämningskonsanerna varierar ganska krafig mellan de olika fallen men a värde på ujämningskonsanerna ej påverkar resulae så mycke som förväna. Efersom opimala värde på ujämningskonsanerna varierar så pass mycke mellan de olika fallen kan man ana a de går a få e bäre resula med Hol-Winers meod om ujämningskonsanerna ine är samma under hela dygne Övriga fakorer En fakor som kan påverka Hol-Winers meods dåliga resula jämför med några av de naiva predikorerna är de fakum a de är en hel dag som har suderas. De naiva predikorerna, framförall den som bygger på senas kända värde, fungerar relaiv bra under de flesa av dygnes immar, då hasigheen är relaiv konsan, se exempelvis esfall 2. De är endas då 41

52 hasigheen sjunker rejäl som de fungerar sämre. Hol-Winers meod kan däremo ha svårigheer under hela dygne efersom även små variaioner som uppsår försärks ganska mycke då är sor. Hol-Winers främsa, och sämsa, egenskap är a den följer med i de svängningar som inräffar. Vilke också bevisas i esfall 1, där de sörsa variaionerna uppsår och som är de esfall då Hol-Winers meod ger bäs resula i jämförelse med de naiva predikorerna. Jag har också ia närmare på fall 3 och dela upp dygne i vå delar. En del då hasigheen är relaiv konsan och en del då hasigheen sjunker under några immar. Under den försa delen, som är mellan 8.00 och 14.00, är Hol-Winers meod jämbördig med de naiva predikorerna då är 5 och 15 min, se figur När är 30 min är skillnaden dock väldig sor och medelfele vid predikion med Hol-Winers meod är dubbel så sor som medelfele som de naiva predikorerna ger. 3,5 Medelfel (km/h) 3 2,5 2 1,5 1 0,5 Senas Hisorik Kombinaion Hol-Winers muliplikaiv mk uj (min) Figur 7.16 Medelfel vid predikion av fall 3 under den id på dygne då medelhasigheen är relaiv konsan ( ) Om vi isälle iar närmare på den del av dygne då medelhasigheen varierar deso mer, på efermiddagen och kvällen mellan och 20.00, kan vi se a Hol-Winers meod är mins lika bra som de naiva predikorerna för alla, se figur Dea räcker dock ine. För a de ska vara vär a sasa på en meod som Hol-Winers krävs a den ger beydlig bäre resula än de enklare naiva predikorerna. 42

53 8 Medelfel (km/h) Senas Hisorik Kombinaion Hol-Winer muliplikaiv mk uj (min Figur 7.17 Medelfel vid predikion av fall 3 under den id på dygne då medelhasigheen varierar relaiv mycke ( ) 43

54 8. Diskussion I syfe sälldes re frågor som denna rappor skulle svara på. Vilka meoder finns de för a predikera resider? Är Hol-Winers meod lämplig a använda för a predikera resider på svenska vägar? Hur kan Hol-Winers meod uvecklas och ge ännu bäre predikeringar? Den försa frågan besvaras med den lieraursudie som har gjors. De finns e fleral olika modeller och angreppssä för a predikera resider och medelhasigheer och jag valde efer en del funderande och konsulerande med min handledare och examinaor a ia närmare på Hol-Winers meod. De för oss in på den andra frågan och svare på den frågan är nej. De eser jag har gjor visar ydlig a Hol-Winers meod i vissa fall visserligen är likvärdig med de naiva predikorerna men i de flesa fall är den sämre. Hol-Winers meod fungerar bäs då är väldig låg, d v s 5 eller 15 minuer. Då är 30 min gör den rendkomponen som Hol- Winers meod innehåller a de predikerade medelhasigheerna variera väldig mycke. I de fall som Hol-Winers meod är bäre än de naiva predikorerna är skillnaden i medelfel väldig lien, max 1 km/h, vilke är en mycke lien skillnad när resider ska beräknas uifrån medelhasigheerna, en skillnad som ryms inom felmarginalen för mäningarna. De handlar om någon sekund, en förbäring som ine moiverar en sasning på Hol-Winers meod. De bör också beonas a i de eser jag har genomför har jag opimera ujämningskonsanerna för a få e så låg predikionsfel som möjlig. Någo som ine är möjlig i e skarp läge uan där måse generella värden på ujämningskonsanerna besämmas. När de gäller den redje frågan så har jag genom a använda ujämnad daa förbära resulaen av predikering med Hol-Winers meod. I övrig har jag inga förslag på hur Hol- Winers meod kan uvecklas vidare. För a kunna se möjligheer ill vidare uveckling krävs mer daa, annars blir modellen lä för anpassad efer e speciell fall och ine så generell som den bör vara. De är svår a dra några generella slusaser kring effeker av exempelvis rafikflöde, väder och andra fakorer som kan påverka hasigheen och därmed residen uifrån de få dagar som jag har haf illgång ill. Om en sörre sudie görs där illgången ill daa är sörre skulle de dock kunna vara möjlig a anpassa ujämningskonsanerna efer rådande rafikläge och evenuell också väderlek och evenuella evenemang. Om jag iar på predikering av resider och medelhasigheer i sor så anser jag a de naiva predikorerna fungera väldig bra i de flesa fall. När de inräffar en inciden fungerar de däremo lie sämre och jag föreslår a de i forsäningen bör fokuseras mer på dea än a hia en bra generell modell som fungerar hela iden, d v s både under normala förusäningar som vid incidener. Jag gjorde en enkel jämförelse mellan residen på en sräcka på Essingeleden, rafikflöde och de incidener som har rapporeras in i TRISS 2, se figur TRISS är de sysem som Vägverke använder för insamling och kvaliessäkring av rafikinformaion. 44

55 Miersa körfäle blockera Höger körfäl blockera Figur 8.1 Uppmä resid på en vägsräcka på Essingeleden med incidener markerade Denna enkla sudie visar a vid de incidener som har inräffa under ider med höga rafikflöden sjunker medelhasigheen väldig krafig, d v s residen ökar. En djupare sudie där de incidener som har inräffa suderas och en koppling sker ill rafikflöde och medelhasigheen vid de akuella illfälle vore väldig inressan. Kanske de skulle göra de möjlig a på e bäre sä föruspå incidenens omfaning och dess påverkan på residen/medelhasigheen. Precis som jag skriver i inledningen är de vid incidener behove av predikioner av resider och medelhasigheer är som sörs, yvärr är de också då som de är svåras a göra dessa predikioner. Som nämns i lieraursudien pågår redan e projek i Sverige, Predik, där jus e verkyg för koridspredikering av resider vid incidener ska uvecklas. 45