Sveriges bruttonationalprodukt Årsdata. En kraftig trend.

Transkript

1 Vad är tidsserier? En tidsserie är en mängd av observationer y t, där var och en har registrerats vid en specifik tidpunkt t. Vanligen görs mätningarna vid vissa tidpunkter och med samma avstånd mellan dem. T ex en gång i veckan, månaden eller året. Låt oss se på några exempel.

2 Sveriges bruttonationalprodukt Årsdata. En kraftig trend.

3 Procentuella förändringar i BNP Årsdata. Varför var det ca 6% tillväxttakt i ekonomin 1970 och ca 0% året efter? Förändringar p g a konjunktur.

4 Dödsorsak: olycksfall. USA Månadsdata. Ett tydligt säsongsmönster.

5 Orsakerna till variationen i en tidsserie Byggstenarna eller komponenterna (med olika analogier) i en tidsserie är: 1 TREND Den allmänna utveckling som föreligger under en längre period. 2 KONJUNKTUR Kring den trend vi i stora drag kan urskilja finner vi kanske att värdena fluktuerar mer eller mindre regelbundet. 3 SÄSONG Periodiska mönster som återkommer varje år. 4 SLUMP De variationer som inte kan förklaras av ovan utan snarare av tillfälligheter.

6 Vad är prognoser? En förutsägelse angående framtida händelser eller tillstånd kallas en prognos (forecast). Olika metoder: kvalitativa och kvantitativa. Behövs dem? Människan måste göra prognoser. Prognoserna kan vara punktskattningar eller intervallskattningar.

7 Vad är prognoser?-kvalitativa metoder Experters åsikter. Historiska data saknas. Subjektiv kurvanpassning. S-kurvor. Delfi-metoden: (oraklet i Delfi) Rand Corporation; en grupp experter samlas; använts för att bedöma utvecklingen inom olika teknologiska områden. Teknologiska jämförelser.

8 Vad är prognoser?-kvantitativa metoder Univariata prognosmodeller använder uteslutande tidigare värden. Kausala prognosmodeller söker finna andra variabler som påverkar den variabel som skall prognosticeras.

9 När man gör en prognos kommer framtiden troligen visa att det inte var rätt tänkt Det observerade värdet i period t betecknas y t. Prognosen betecknas ŷ t. Prognosfelet(forecast error) för prognosen ŷ t definieras som e t = y t ŷ t. Utseendet kan avslöja brister i modellvalet.

10 Mått på prognosernas noggrannhet Vi definierar även det absoluta felet(absolute deviations) Absoluta felet = e t = y t ŷ t. Genom att bilda det aritmetiska medelvärdet av de absoluta felen erhåller vi den genomsnittliga absoluta avvikelsen(mean absolute deviation (MAD)) Genomsnittliga absoluta avvikelsen = 1 n n e t = 1 n t=1 n y t ŷ t. t=1

11 Mått på prognosernas noggrannhet Vi kvadrerar prognosfelen e 2 t = (y t ŷ t ) 2 och bildar det aritmetiska medelvärdet av de kvadrerade felen. Då erhåller vi medelkvadratavvikelsen(mean squared error(mse)) Medelkvadratavvikelsen = 1 n n et 2 = 1 n t=1 n (y t ŷ t ) 2. t=1

12 Mått på prognosernas noggrannhet Absoluta procentuella felet ges som APT t = e t y t (100) = y t ŷ t y t (100). Bildar aritmetiska medelvärdet. Då erhåller vi den genomsnittliga absoluta procentavvikelsen(mean absolute percentage error(mape)) Genomsnittliga absoluta procentavvikelsen = 1 n n t=1 y t ŷ t y t (100).

13 Komponenter Vi har en tidsserie X 1, X 2,..., X n. Låt T t (trendkomponenten) S t (säsongskomponenten) C t (konjunkturkomponenten) I t (slumpkomponenten) Två modeller för X t : X t = T t + S t + C t + I t (additiv modell) X t = T t S t C t I t (multiplikativ modell) Den additiva modellen är lämpad för växande eller avtagande säsongsvariation. Den multiplikativa modellen för konstant säsongsvariation.

14 Löpande medeltal För att rensa x t, t = 1, 2,..., n på den slumpmässiga komponenten kan man använda löpande medeltal x t = 1 2m + 1 m j= m x t+j t = m + 1, m + 2,..., n m. Vi kommer att använda m = 1 (eftersom det täcker hela kalenderåret nedan), så x t = x t 1 + x t + x t+1 3

15 Ett företags omsättning Ett företag redovisar följande omsättning i miljoner kronor för en femårsperiod: År jan-apr maj-aug sep-dec ,9 12,9 14, ,9 14,5 16, ,0 16,3 18, ,0 18,4 20, ,2 20,5 22,3

16 Ett företags omsättning

17 Löpande medeltals beräkning Period Obs. 3-punkt-summa Medelvärde 1997: I 7,9 II 12,9 35,4 11,800 III 14,6 36,4 12, : I 8,9 38,0 12,667 II 14,5 39,8 13,267 III 16,4 40,9 13, : I 10,0 42,7 14,233 II 16,3 44,6 14,867 III 18,3 45,6 15, : I 11,0 47,7 15,900 II 18,4 49,8 16,600 III 20,4 51,0 17, : I 12,2 53,1 17,700 II 20,5 55,0 18,333 III 22,3

18 Observerat värde/beräknat trendvärde i % Vi jämför observationsvärdet och trendvärdet. År I II III ,3 120, ,3 109,3 120, ,3 109,6 120, ,2 110,8 120, ,9 111,8

19 Medelvärdet av varje tertial Tertial I II III Summa Medelvärde 69, , , ,085

20 Säsongsindex Tertial I II III Säsongsindex 69,7 110,1 120,2 Under första tertialet ligger omsättningen på grund av att det är lågsäsong drygt 30 % under det beräknade trendvärdet.

21 Säsongsrensade värden Säsongsrensat värde=(observerat värde)/(säsongsindex) T ex för tertial , 9 = 11, 3. 0, 697 För tertial , 9 = 11, 7. 1, 101 För övriga tidpunkter gör vi liknande beräkningar.

22 Säsongsrensade värden

23 Enkel exponentiell utjämning Antag att vi har en tidsserie x 1, x 2,..., x t utan (märkbar) trend eller säsong. Vi önskar utjämna tidsserien för att göra prognoser. Varför inte använda alla tidigare observationer från innevarande tidpunkt t, men med olika vikt? Det utjämnade värdet i t ges av ˆx t = αx t + α(1 α)x t 1 + α(1 α) 2 x t 2 + där α är ett tal mellan 0 och 1. α kallas utjämningskonstant.

24 Enkel exponentiell utjämning Man kan härleda ett rekursivt uttryck för det utjämnade värdet i t som ˆx t = (1 α) ˆx t 1 + αx t. Vi behöver ett startvärde ˆx 1 för att få igång rekursionen. Man kan välja den första observationen x 1 eller någon sorts medelvärde. I tidsperiod t gör vi prognoser för framtida värden på tidsserien genom uttrycket Prognosfelet beräknas som ˆx t+h = ˆx t h = 1, 2, 3,... e t = x t ˆx t 1.

25 Enkel exponentiell utjämning Hur ska α väljas? Man kan välja ett specifikt värde på α och beräkna kvadratsumman av prognosfelen: t ei 2 = i=2 t (x i ˆx i 1 ) 2. i=2