KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Transkript

1 KONTROLLSKRIVNING Version B Kurs: HF Maemaisk saisik Lärare: Armin Halilovic Daum: 7 maj 6 Skrivid: 8:-: Tillåna hjälmedel: Miniräknare av vilken y som hels och formelblad (som delas u i salen) Förbjudna hjälmedel: Telefon lao och alla elekroniska medel som kan kolas ill inerne. Inga oabesök eller andra raser. Denna enamensla får ej behållas efer enamensillfälle uan lämnas in illsammans med lösningar. Fullsändiga lösningar skall reseneras ill alla ugifer. För godkän krävs 4 av max 9 oäng... Ugif. () Ugif. Lå P= vara övergångsmarisen för en Markov kedja i.8. diskre id med illsånd E E. Besäm den saionära sannolikhesvekorn. Ugif. () E sysem har i genomsni 4 fel er år. Rearaionsiden är exonenialfördelad och sysemes rearaionsid är i genomsni månader. Vid = är syseme i funkion. Vi beecknar ( ) = sannolikheen för a sysem fungerar vid idunken och ( ) = sannolikheen för a sysem ine fungerar vid idunken. a) Besäm Q-marisen. b) Besäm den ransiena sannolikhesvekorn dvs lös syseme ( ) ( ) Q med avseende å ) ( ( ) ( )) ( Var god vänd.

2 Ugif. () E kösysem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 9 8 a) Beräkna b)beräkna medelanale kunder i syseme. Ugif 4. () E sysem kan modelleras som M/M//. Ankomsinensieen är kunder/minu och bejäningsinensieen för en bejänare är = kunder/minu. a) Besäm sannolikheerna 4. b) Beräkna särr (= särrad ankomsinensie ). Lycka ill. av 8

3 FACIT.. Ugif. () Ugif. Lå P= vara övergångsmarisen för en Markov kedja i.8. diskre id med illsånd E E. Besäm den saionära sannolikhesvekorn. Lösning: Lå q ( x y) vara en saionär sannolikhesvekor. Då gäller qp q och x y Vi skriver qp q å komonen form:...x.8y x ( x y) ( x y).8..x.y y och lägger ill ekvaionen x y ( q är en sannolikhesvekor) Därmed har vi syseme:.x.8y x.x.8y.x.y y.x.8y x y x y Andra ekvaionen är samma som försa. Från försa ekvaionen har vi subsiuerar i redje ekvaionen och får x y som vi 8 x x 8 x x. 8 8 Från x y har vi 8 y. (Alernaiv: 8 y x ) Svar: q (8 / /) =( ) Räningsmall: Korrek meod och en koordina i q ger. All korrek = av 8

4 Ugif. () E sysem har i genomsni 4 fel er år. Rearaionsiden är exonenialfördelad och sysemes rearaionsid är i genomsni månader. Vid = är syseme i funkion. Vi beecknar ( ) = sannolikheen för a sysem fungerar vid idunken och ( ) = sannolikheen för a sysem ine fungerar vid idunken. a) Besäm Q-marisen. b) Besäm den ransiena sannolikhesvekorn dvs lös syseme ( ) ( ) Q med avseende å ) ( ( ) ( )) ( Lösning: a) 4 6 Från diagramme 4 4 har vi Q=. 6 6 b) Vi subsiuerar ) ( ( ) ( )) ( i ekvaionen ( ) ( ) Q och får 4 4 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 6 6 ) 4 ( ) 6 ( ) (ekv a) ( ( ) 6 ( ) 4 ( ) (ekv b) sam ) ( ) ( ekv c) ( (ekv c gäller efersom ( ) ( ) är en sannolikhesvekor.) Från ekv c får vi ( ) ( ) ( som vi subsiuerar i (ekv a) för a få en differenial ekvaion med obekan funkion ( ) : ( ) 4 ( ) 6( ( )) Efer förenkling har vi följande ekvaion med konsana koefficiener: ) ( ) 6 (*) ( Mosvarande karakerisiska ekvaionen ill homogena delen är 4 av 8

5 r r och därmed är Y h Ce den allmänna lösningen ill de homogena delen. En arikulär lösning får vi med hjäl av ansasen y A ( efersom högerlede i (*) är dvs en konsan) Subsiuionen av y A i (*) gör A 6 A 6 / / Allså y / Därför ( ) Yh y Ce / Begynnelsevillkore: Enlig anagande är syseme i funkion vid =. Därför (). Allså C e / C / och ( ) e För a få ( ) använder vi ) ( ) och får ( ( ) e Svar b) ( ( ) ( )) e e Räningsmall: a=. En koordina i ger +. All korrek = Ugif. () E kösysem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 9 8 av 8

6 a) Beräkna b)beräkna medelanale kunder i syseme. Lösning: Förs urycker vi som funkioner av : 9 9 (*) För a besämma subsiuerar vi (*) i villkore. Vi får Härav 6.7 och därför Vi har beräkna. Med hjäl av (*) är de nu enkel a beräkna alla andra sannolikheer k : 9 =.9878 = = Medelanale kunder i syseme N= = Svar: a) =.9878 =.9499 = b) N= Räningsmall: a= b=. Ugif 4. () E sysem kan modelleras som M/M//. Ankomsinensieen är kunder/minu och bejäningsinensieen för en bejänare är = kunder/minu. 6 av 8

7 a) Besäm sannolikheerna 4. b) Beräkna särr (= särrad ankomsinensie ). Lösning: a) För a ria illsåndsgraf ar vi hänsyn ill följande: i) Toalanal laser i syseme är kmax=( (anale bejänare)+(anale kölaser)=m+k= =+=4 ii) Ankomsinensie är konsan = kunder er minu. ii) Bejäningsinensieen för en bejänaree är = kunder/minu u. Om vå bejänare jobbar samidig (de händer när vi har exak vå kunder i syseme ) dåå är sysemes bejäningsinensie = =4 kunder/min nu. Om vi har eller fyra kunder i syseme så jobbar vå bejänare och därmed blir sysemes bejäningsinensie = =4 kunder/minu. Därför har vi följande illsåndsgraf Med hjäl av eorin för födelsedödsrocesser har vi följande relaioner mellan de saionära sannolikheerna k och : av 8

8 Vi har.. 4 å liknande sä =.847 och 4.68 För a besämma subsiuerar vi ovansående relaioner i ekvaionen och får 4.6 = Nu är de enkel a beräkna alla andra saionära sannolikheer. Vi hel enkel subsiuerar = i ovansående relaioner och får: = = = b) Medelanale kunder er minu som avvisas från syseme är =.786 kunder/min särr k max Räningsmall: a= b=. 8 av 8