Funktionen som inte är en funktion

Transkript

1 Funkionen som ine är en funkion Impuls En kraf f som under e viss idsinervall T verkar på en s.k. punkmassa, säer punkmassan i rörelse om den var i vila innan. Och om punkmassan är i rörelse när krafen säs in, dvs. har en nollskild rörelsemängd, så ändras nämnda rörelsemängd. Inegralen över idsinervalle av krafen ugör e må på den ändrade rörelsemängden, och kallas för krafens impuls på punkmassan. Impuls = T f HL En korvarig kraf vars impuls har värde Om f :s impuls mä över hela idsaxeln har värde, och om f överför huvudparen av denna impuls under e lie inervall run idpunken 0, så kan de se u som i figuren nedanför. krafen impulsen

2 Funkionen som ine är en funkion.nb 2

3 3 Funkionen som ine är en funkion.nb I illusraionen ovanför kan krafen f h väljas fri bland fem sycken funkioner 2 h -h,h HL, h L -h,h h+ - - h HL, h qhh + L, h - p h 2, h sincj p h N. Ju mindre h-värde man väljer, deso mer lik Heavisidefunkionen blir impulsen. Därför förefaller de naurlig - eller hur - a hävda a de som de fem kraferna f h närmar sig, då h Ø 0, är en kraf d vars impuls är exak lika med Heavisidefunkionen. Man kan fråga sig vilka egenskaper hos krafen f h som är avgörande för a dess impuls skall närma sig jus Heavisidefunkionen, då h Ø 0. A f h måse uppfylla - fh HL = () är självklar, eller hur. Dea gäller för varje posiiv h. Därför kommer inegralvärde från e allmer koncenrera inervall omkring origo, då h Ø 0. Dvs. för varje ε > 0 är inegraionsbidrage från > ε lika med noll, bara h görs illräcklig lien. M.a.o. är lim hø 0 f h HL = 0 >ε (2)

4 Funkionen som ine är en funkion.nb 4 De fyra försa valen av f h uppfyller uppenbarligen (5). Men även den feme, gör de, fasän ine på e lika ydlig sä. Delafunkionen Då man låer h Ø 0, kommer således funkioner f h som saisfierar (4) och (5), a närma sig e objek som vi beecknar med d. De är radiion a, som nedanför, represenera d grafisk med en pil av längd. Tros a d ine är någon vanlig funkion (se längre ner i exen) kallas den för delafunkionen eller Diracfunkionen. De formella maemaiska maskinerie bakom är mins sag delika, och uvecklades under många 0

5 den för delafunkionen eller Diracfunkionen. De formella maemaiska maskinerie bakom d är mins sag delika, och uvecklades under många år av bl.a. den briiske fysikern och Nobelprisagaren Paul Dirac och den franske maemaikern Lauren Schwarz. 5 Funkionen som ine är en funkion.nb Paul Dirac och Lauren Schwarz Delafunkionens egenskaper är - dhl = (3) >ε dhl = 0, ε ¹ 0 lim dhl = + Ø0 (4) (5) Ë ANM Formeln (6) illsammans med (7) urycker a inegralvärde kommer från delafunkionens uppförande i origo. De följer a 0+ Ÿ 0- dhl = Ÿ 0- dhl = 0+ Ÿ - dhl =, och a Ÿ 0+ dhl = 0- Ÿ - dhl = 0. All dea beyder a d "söer u" hela sin impuls i en ensaka punk. När man hävdar a d ine är en vanlig funkion, åsyfas jus dea uppförande. För en "vanlig" inegrerbar funkion är nämligen inegraionsbidrage från en ensaka punk lika med noll. En inegralformel Grafen för produken fÿ f h mellan f h och en koninuerlig funkion f blir allmer lik grafen för fh0lÿ f h då h Ø 0.

6 Funkionen som ine är en funkion.nb 6 f f h fÿ f h 3 h Dea fakum moiverar approximaionen - fhlÿ fh HL º - fh0lÿ fh HL = fh0lÿ - fh HL = fh0l De följer a delafunkionen har egenskapen HL - fhl dhl = fh0l (6) för koninuerliga funkioner f. Noera a (6) kan berakas som e specialfall av (9), nämligen där f =. Formeln (9) kommer a illämpas flera gånger under kursen, så lägg den på minne, sam se ill a du har en inuiiv försåelse för den. Man brukar olka (9) som a "d agerar på f och reurnerar f:s värde i origo". Med dea synsä är d en lineär operaor på rumme av funkioner som är koninuerliga i origo. (Lineärieen kommer sig av a inegraion är jus en lineär operaion.) Med mosvarande argumenaion som i ANM 5 kan man konsaera a värde av inegraionen i (9) kommer från uppförande i origo. Därför är närhels a < 0 < b. a b fhl dhl = fh0l.

7 7 Funkionen som ine är en funkion.nb Diskre version De finns även en diskre version av delafunkionen. Och den är en "hel vanlig" (diskre) funkion: dhnl = ;, n = 0 0, n ¹ 0 Den diskrea versionen av delafunkionen uppfyller en diskre version av likheen (6) fhnl dhnl = fh0l - vilke är lä a verifiera, eller hur.